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Laboratorio di matematica Le derivate con derive

Bergamini Trifone Barozzi Corso base verde di matematica © Zanichelli 2009La riproduzione di questa pagina è autorizzata ai soli fini dell’utilizzo nell’attività didattica degli alunni delle classi che hanno adottato il testo.

eSercitazione guidata

Calcoliamo le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione ( )f x x x x4 3 23 2= - - + nei suoi punti di ascissa - 1, 1 e 3.Tracciamo poi il grafico della funzione e delle tangenti.

La funzione e la sua derivata•UsiamoInserisci_Testoperscrivereiltitolodellavoro (figura1).•DiamoCrea_Espressione,enellarigadieditazionedigitiamol’espressionedellafunzionex^3 - 4x^2 - 3x + 24econOKlainseriamonella#1.•Perottenereladerivatadellafunzioneapplichia-moilcomandoCalcola_Derivata.Nellafinestradidialogocheappareconfermiamol’ordinedideriva-zione,1,elavariabile,x.•UsciamoconSemplifica.Nella#2apparel’impo-stazionedelladerivataenella#3laderivatastessa.•DiamounnomeallafunzionedigitandonellarigadieditazioneF(x) : =eimportandoconF3dalla#1l’espressionedellafunzione.•OperiamoinmodoanalogoperdareilnomeD(x)alladerivata.

La formula per la retta tangente e le sue applicazioni•Scriviamo e inseriamo nella #6 la formula perottenerel’equazionedellarettatangentealgraficodiunafunzione(figura2).•La applichiamo usando il comando Semplifica_Sostituisci variabili.Nellafinestradidialogoigno-riamolapropostadisostituzionedellaxenelcam-podisostituzionedellaadigitiamo1eusciamoconOK.Nella#7apparelasemplicesostituzione.•Diamo Semplifica_Sviluppa ottenendo nella #8l’equazionedellaprimatangente.•Operiamo similmente per ottenere le altre dueequazioni,comevediamonella#10enella#12.

I punti di tangenza•Perrenderenotealsistemalecoordinatedeipuntiditangenza,digitiamo[[- 1, F(- 1); 1,F(1); 3, F(3)]]ediamoINVIO (figura3).•Sulla#13applichiamoSemplifica_Basepervederenella#14lecoordinatedeitrepuntiditangenza.

Laboratorio di matematicaLe derivate con derive

m Figura 1 La funzione e la sua derivata.

m Figura 2 Le equazioni delle tangenti.

c Figura 3 Le coordinate dei punti di tangenza.

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Il graficoPercostruireilgraficorichiestosfruttiamoglistrumentigraficidiDerive.•Tracciamolafunzioneinrossoeletangentieipuntiditangenzainblu.•Scriviamoleetichette.•Inquadriamolazonadelpianocartesiano,scegliendo- 4(ilminimo),6(ilmassimo)e10(ilnumerodelletacche),perl’asseorizzontale,e- 18,12e10,perl’asseverticale,neicampidiMassimo/minimodelcomandoImposta_Intervallo del Grafico.•Alterminedelleoperazionivediamoilgraficodifigura4.

m Figura 4 Il grafico della funzione e delle tangenti nei punti di ascissa 1, 1 3e- .

esercitazioniIl calcolo delle derivateCalcola le derivate dei primi due ordini delle seguenti funzioni, applicando le regole di derivazione. Svolgi poi la verifica con Derive e confronta i risultati ottenuti.

( )g x x x x3 2 63 2= - + + [ ( ) ; ( ) ]g x x x g x x3 6 2 6 62= - + = -l m

( )h x xx1

3=

- ( ) ( 1)

3 ; ( ) ( 1)6h x x h x x2 3=-

-=

-l m; E

( ) 1r x xx x

32

=-

+ + ( )( )

; ( )( ) ( )

r xx x x

x r xx x xx x x

2 3 17 5

3 128 51 30 4742 2 3 2 3

3 2=-

- + +

+=

- + +

+ + +l m< F

( )s x xxe

1x 1

=+

-

( ) ( )( ) ; ( ) ( )

( )s x xe x x s x x

xe x x1

112 3x x

2

1 2

3

1 2=

+

+ +=

+

+ +- -

l m< F

1

2

3

4

3

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( ) ( ) ( )lnl x x x1 12= + + ( ) 2 ( 1) 11 ; ( ) 2 ( 1) ( 1)

3 4 1ln lnl x x x xx l x x x

x x2

2

2= + +

++

= + ++

+ -l m< F

( ) sen cosc x x x x22= + [ ( ) ( ) ; ( ) ]cos sen sen cos cos senc x x x x x c x x x x x2 2 2 4 2 4 22= + - = - - -l m

L’equazione della retta tangente al grafico di una funzioneRisolvi i seguenti problemi svolgendo i calcoli analitici sul quaderno.Con l’aiuto di Derive controlla le operazioni svolte.Per ogni problema costruisci il relativo grafico centrato, le tangenti trovate, i punti di tangenza evidenziati e alcune didascalie.Determina le equazioni delle tangenti al grafico delle seguenti funzioni nei punti a fianco indicati

( )f x x x42=- - x 31 =- , x 22 =- , x 13 =- . [ ; ; ]y x y y x2 9 4 2 1= + = =- +

( )f x x x43=- + x 21 =- , x 02 = , x 23 = . [ ; ; ]y x y x y x8 16 4 8 16=- - = =- +

( ) senf x x= x 01 = , x 22r

= , x3 r= . [ ; ; ]y x y y x1 r= = =- +

( )f x xx

11

=+- x 21 =- , x 02 = , x 23 = . 2 7; 2 1; 9

291y x y x y x= + = - = -: D

Trovaleequazionidelletangentialgraficodellafunzione ( ) ( )( )f x x x1 3 2= - - neipuntiincuiincontralaretta y x 1= - . [ ; ; ]y x y x y x4 4 3 7 25= - =- + = -

Determinaleequazionidelletangentialgraficodellafunzione ( )f x xx

11

2

2=

+- neipuntiincuiincontragli

assicartesiani. [ ; ; ]y x y y x1 1 1=- - =- = -

Determina l’equazione della retta tangente al grafico della funzione ( )f x xx4

2

3=

- parallela alla retta y x7= . [ ]y x7 12= +

Determinaleequazionidelletangentialgraficodellafunzione ( )f x x x94 2= - neipuntiincuiincontragliassicartesiani. [ ( ); ; ( )]y x y y x54 3 0 54 3=- + = = -

Determinal’equazionedellatangentealgraficodellafunzione ( )f x xx1022= - perpendicolarealsuoasin-

totoobliquo. 2 2

15y x= +: D

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