Politecnico di MilanoDipartimento di Scienze e Tecnologie Aerospaziali

Corso di Impianti e Sistemi Aerospaziali

Lab No. 1Meccanica dei Fluidi

Massimo Piazza(Matr.: 847535)

massimo.piazza@mail.polimi.it

Anno Accademico 2016/2017

Sommario

Analisi di un semplice impianto idraulico, costituito da una pompa che travasa fluidoda un serbatoio. Particolare attenzione sarà rivolta all’individuazione e quantificazionedelle perdite di carico, sia distribuite che concentrate.

Indice

1 Premessa 1

2 Nomenclatura e Dati 2

3 Analisi del problema 43.1 Descrizione del Problema e Metodo di Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1.1 Perdite di Carico Distribuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.2 Perdite di Carico Concentrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Sviluppo dei Calcoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.1 Caso 1 - Pompa a portata costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.2 Caso 2 - Pompa a pressione costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Presentazione dei risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.1 Caso 1 - Pompa a portata costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.2 Caso 2 - Pompa a pressione costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Conclusioni 13

i

1 Premessa

1

2 3 4

5 6

A B C

P

R

S1 S2

Figura 1.1: Schema generale dell’impianto

Si consideri il circuito idraulico in Fig. 1.1 in cui una pompa P travasa un olio minerale dalserbatoio A verso i serbatoi B e C. Non appena il serbatoio B risulta interamente riempito,il rubinetto R si chiude, in modo che tutto il fluido venga inviato direttamente al serbatoio C.

Esamineremo due diversi casi:

1. Pompa a portata costante Q34 = 20 lmin = const,

2. Pompa a pressione costante p3 = 0.5 MPa = const.

Per entrambi i casi calcoleremo il tempo necessario al riempimento dei due serbatoi, trascu-rando le variazioni di quota, ma tenendo in considerazione sia le perdite di carico distribuiteche quelle concentrate, dovute a: componenti discreti, curve, allargamenti e restringimenti.L’impianto sarà inoltre caratterizzato calcolando i valori di pressione nei sei punti indicatiin figura.

1

2 Nomenclatura e Dati

Coefficienti Adimensionali

α Coefficiente perdite di carico distribuite [−]

λ Fattore d’attrito di Darcy [−]

k Coefficiente perdite di carico concentrate [−]

Re Numero di Reynolds [−]

Grandezze Fisiche

µ Viscosità dinamica [Pa · s]

ν Viscosità cinematica [cSt]

ρ Densità fluido [kg/m3]

ε Rugosità superficiale [µm]

AS1Sezione strozzatura 1 [mm2]

AS2Sezione strozzatura 2 [mm2]

AT Sezione tubo [mm2]

D Diametro tubo e rubinetto aperto [mm]

K Coefficiente globale delle perdite di carico [kg/m5]

Lij Lunghezza del tratto i-j (con i, j ∈ N) [m]

pA Pressione nel serbatoio A [MPa]

pB Pressione nel serbatoio B [MPa]

pC Pressione nel serbatoio C [MPa]

pi Pressione nel punto i (con i ∈ N) [MPa]

Qij Portata nel tratto i-j (con i, j ∈ N) [l/min]

T Temperatura del fluido [◦C]

tc Tempo di travaso in cui il rubinetto è chiuso [s]

to Tempo di travaso in cui il rubinetto è aperto [s]

ttot Tempo di travaso totale [s]

v Velocità fluido nel tubo [m/s]

VB Volume serbatoio B [l]

VC Volume serbatoio C [l]

2

2 Nomenclatura e Dati

VB VC pA pB pC ρ λ

50 l 100 l 0.1 MPa 0.2 MPa 0.2 MPa 850 kg/m3 0.04

T D DS1 DS2 L12 L34 L45 L46

18 ◦C 10 mm 5 mm 9 mm 3 m 10 m 2 m 8 m

Per le strozzature S1, S2 ed il rubinetto R le perdite di carico possono essere calcolatecome:

k =

(1 + 0.707

√1− AS

AT− AS

AT

)2(AT

AS

)2

3

3 Analisi del problema3.1 Descrizione del Problema e Metodo di SoluzioneProcederemo con l’analisi del problema, individuando i legami tra le pressioni dei vari puntidell’impianto. A tal fine verranno considerati separatamente i contributi dovuti alle perditedi carico distribuite e concentrate, ricavando infine un coefficiente globale che tenga contodi entrambe le tipologie di perdite. D’ora in poi assumeremo inoltre che il moto del fluidonella tubazione sia a regime, cioè con i profili di velocità completamente sviluppati.Calcoleremo dunque le portate Q45 e Q46 fornite a ciascun serbatoio prima e dopo la chiu-sura del rubinetto. In funzione di tali valori, noti VB e VC , verranno ricavati i tempi diriempimento per i due casi in esame.

3.1.1 Perdite di Carico Distribuite

Consideriamo un condotto a sezione costante, attraversato da un fluido in moto dalla sezione1 alla sezione 2.Sperimentalmente si osserva una perdita di pressione del fluido, dovuta ad effetti dissipativi,per via dei quali parte dell’energia di pressione del fluido viene convertita in energia termica,con conseguente aumento della temperatura.In tali situazioni vale la seguente equazione, nota come legge di Darcy:

∆p = p1 − p2 = λL

D

1

2ρv2 (1)

Il coefficiente λ dipende linearmente da Re se il flusso è laminare, cioè per valori diRe < 2000:

λ =64

Re(2)

Per la regione di transizione ed il regime turbolento, si ha invece una dipendenza piùcomplessa, influenzata sia da Re che dalla rugosità relativa ε

D .

Il valore di λ viene comunemente ricavato, dal diagramma di Moody:

103 104 105 106 107 108

10-2

10-1

8

9

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

7

8

9

6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8

1e-05

2e-05

5e-05

0.0001

0.0002

0.0004

0.0006

0.00080.001

0.0015

0.002

0.003

0.004

0.006

0.008

0.01

0.0125

0.015

0.01750.02

0.025

0.03

0.035

0.040.0450.05

0.06

0.07

Figura 3.1: Diagramma di Moody generato con MATLAB

4

3 Analisi del problema

POLITECNICO DI MILANO - DIPARTIMENTO DI SCIENZE E TECNOLOGIE AEROSPAZIALI IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI – Dispense del corso, versione 2013 Capitolo 3 – Elementi di meccanica dei fluidi

Queste dispense possono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.4

particolare per i liquidi esiste un valore di pressione minimo al disotto del quale il fluido passa allo stato gassoso. Il valore di pressione al quale questo fenomeno avviene è la tensione di vapore ed è in genere fortemente influenzato dalla temperatura.

3.2.4 Viscosità

La viscosità è la capacità di un fluido a resistere a forze tangenziali. Per far scorrere l’uno

rispetto all’altro due piani paralleli separati da un fluido, è necessaria una forza F proporzionale alla superficie di contatto A, alla velocità relativa v ed inversamente proporzionale alla distanza h delle due superfici:

FAvh

P

il coefficiente di proporzionalità è la viscosità:

P FhAv

Le dimensioni della viscosità sono quindi [FL-2T]. Le unità di misura utilizzate per la

viscosità sono le seguenti: sistema metrico internazionale Ns/m2 o Pa�s sistema tecnico kgfs/m2 sistema anglosassone lbfs/m2

ma in pratica vengono sempre usati il poise P o il centipoise cP, essendo: 1 P = 1 dyne s/cm2 = 0.1 Pa�s.

E’ spesso usata anche la viscosità cinematica, data dal rapporto fra la viscosità e la

densità: QPU

ed avente le dimensioni di lunghezza per velocità [L2T-1], è usualmente misurata in Stokes:

1 St = 1 cm2/s

o più comunemente in centistokes:

1 cSt = 10-6 m2/s

La viscosità dipende

fortemente dalla temperatura, come evidente nel diagramma di fig.3.1 relativo ad un tipico liquido a base petrolifera.

-80 -40 0 40 80 120TEMPERATURA [°C]

1

10

100

1000

VIS

CO

SIT

A' C

INE

MA

TIC

A [c

St]

Fig. 3.1 - Viscosità in funzione della temperatura

(liquido a base petrolifera) Figura 3.2: Viscosità cinematica in funzione della temperatura

La viscosità di un olio minerale risulta fortemente influenzata dalla temperatura, comeillustrato dal diagramma in Fig. 3.2.In corrispondenza di T = 18 ◦C si ha dal diagramma ν = 26 cST.Inoltre, prendendo come riferimento il caso 1, in cui Q34 = 20 l/min, essendo AT =78.54 mm2 possiamo calcolare:

v =Q

AT= 4.2441

m

s⇒ Re =

ρvD

µ=

vD

ν= 1632

Dunque verifichiamo di essere in regime laminare, per il quale risulta valida la (2).

Calcoliamo adesso i coefficienti di perdite distribuite α per i diversi, tratti, dove

α = λL

D(3)

Ramo↷ij

↷12

↷34

↷45

↷46

αij 12 40 8 32

3.1.2 Perdite di Carico Concentrate

Le perdite di carico sono dovute agli effetti viscosi causati da differenze di velocità tra ipunti del fluido, il che avviene ogniqualvolta il flusso incontra un ostacolo che determinavariazioni del vettore velocità.

Tratto↷12

5

3 Analisi del problema

K = 0.05Well-rounded

entrance

K = 0.25Slightly rounded

entrance

K = 0.50 K = 0.80Sharp-edged

entranceInward projecting

pipe entrance

K = 1.0Rounded

exit

K = 1.0Sharp-edged

exit

K = 1.0projectingpipe exit

figura 4Figura 3.3: Perdite di carico per allargamenti e restringimenti

Per l’imbocco dal serbatoio A al tubo, consideriamo un valore tipico per restringimentiin presenza di spigoli smussati, ricavando da Fig. 3.3

kA1 = 0.25

hL = KLV1 − V2( )2

2g(2.27)

in which V1 and V2 are, respectively, the upstream and downstream velocities. In Eq.2.27 the loss coefficient KL is unity for a sudden enlargement and takes on valuesbetween 0.2 and 1.2 for assorted gradual conical enlargements. The head loss for flowfrom a pipe into a reservoir is a special but important case of Eq. 2.27, called the exit loss;in this case KL = 1 and V2 = 0, independent of the geometric details of the pipe exitshape.

Local loss coefficients KL for some common valve and pipe fittings are listed in Table2.5. The energy losses for these fittings are mostly a consequence of fluid turbulencecaused by the device rather than by secondary motions which persist downstream.Normally a locally accelerating flow will cause much less energy loss than does adecelerating flow. If deceleration is too rapid, it causes separation, which results inadditional turbulence and a high velocity in the non-separated region. Some additional losscoefficients from specific valve manufacturers and coefficient values as a function of theamount of the valve opening can be found in Appendix C.

Table 2.5 Loss Coefficients for Fittings

Fitting KL

Globe valve, fully open 10.0Angle valve, fully open 5.0Butterfly valve, fully open 0.4

Gate valve, fully open 0.2 3/4 open 1.0 1/2 open 5.6 1/4 open 17.0

Check valve, swing type, fully open 2.3Check valve, lift type, fully open 12.0Check valve, ball type, fully open 70.0

Foot valve, fully open 15.0Elbow, 45o 0.4Long radius elbow, 90o 0.6

Medium radius elbow, 90o 0.8Short radius (standard) elbow , 90o 0.9Close return bend, 180o 2.2

Pipe entrance, rounded, r/D < 0.16 0.1Pipe entrance, square-edged 0.5Pipe entrance, re-entrant 0.8

An abrupt contraction has first a region of accelerating flow, followed by a region ofdecelerating flow caused by flow separation. Though the region of accelerating flow maybe larger, the head loss is attributable principally to the deceleration and separation whichoccurs immediately downstream from the contraction. The local loss coefficient for a pipecontraction is given in Fig 2.3.

© 2000 by CRC Press LLC

Figura 3.4: Perdite di carico per collegamenti vari (tratto da [Lar99])

Nello stesso ramo vi sarà anche una perdita dovuta alla curva. Prendendo come ri-ferimento un gomito a 90◦ con largo raggio di curvatura, risulta dalla tabella in Fig.3.4

k12 = 0.6

Tratto↷45

Per la strozzatura S1 ed il rubinetto R si considererà la seguente relazione

k =

(1 + 0.707

√1− AS

AT− AS

AT

)2(AT

AS

)2

(4)

da cui:kS1 = 29.6969

6

3 Analisi del problema

Per il rubinetto (aperto) invece, avendo quest’ultimo lo stesso diametro del tubo, nonavremo alcuna perdita di carico.

Q1

Q2

p1

p2

Q1

Q2

p1

p2

a) b

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0,20 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2Q2/Q1

k

K2

K2

= 45°÷90°

K1

=90°

= 45°

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0,20 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2Q2/Q1

k

K2

K1

K1

=90°

= 45°K 2

=90°

= 45°

Figura 3.5: Perdite di carico per diramazioni

Vi sarà inoltre una perdita dovuta alla diramazione con separazione di correnti in duerami a 90◦, per il calcolo della quale faremo riferimento alla curva in Fig. 3.5. Assumiamoinoltre un rapporto Q34/Q45 ≈ 0.5 (tale assunzione risulta ragionevole trattandosi di unrapporto tipico ed essendo la curva di interesse solo lievemente influenzata da tale rapporto).

k4 = 0.9

Per quanto riguarda l’allargamento dovuto allo sbocco verso il serbatoio B, ricaviamoda Fig. 3.3

k5B = 1.0

a)

45°

b)

45°ki=2.5÷3ki=0.5

c)

45°ki=0.15

d)

45°ki=0.1

e)90°ki=0.5

f)90°ki=0.1

Figura 3.6: Perdite di carico per diramazioni cieche

7

3 Analisi del problema

Non appena il rubinetto viene chiuso, si ha però una diversa situazione e l’unica perdita dicarico nel ramo diviene quella dovuta alla diramazione cieca. Tale perdita verrà quantificatamediante il coefficiente indicato nel caso f) di Fig. 3.6, per cui:

k(c)4 = 0.1

Tratto↷46

Per la strozzatura S2 è ancora valida la (4), da cui:

kS2 = 0.3783

Per l’allargamento, avremo come prima

k6C = 1.0

La curva in questo tratto verrà assunta come gomito a 90◦ con stretto raggio di curvatura,per cui, da Fig. 3.4

k46 = 0.9

8

3 Analisi del problema

3.2 Sviluppo dei CalcoliIntroduciamo ora un coefficiente globale, che tenga conto delle perdite di carico sia di-stribuite che concentrate, in modo che, preso un generico flusso diretto da i verso j, valgala relazione:

pi − pj = KijQ2ij (5)

Essendo inoltre

∆p = (α+ k)1

2ρv2 = (α+ k)

1

2

ρ

A2T︸ ︷︷ ︸

≜K

Q2

possiamo definire:

K = (α+ k)1

2

ρ

A2T

(6)

Sommando tutti i contributi per ciascun tratto, costruiamo la seguente tabella riassuntiva1:

RamoL[m]

AT

[m2]α kimb./sboc. kcurve/diram. ks

K[kg ·m−5]

↷12 3 7.854 · 10−5 12 0.25 0.6 − 8.8534 · 1011↷34 10 q 40 − − − 2.7559 · 1012↷45

(o)

2 q 8 1.0 0.9 29.697 2.7282 · 1012↷45

(c)

2 q − − 0.1 − 6.8898 · 109↷46 8 q 32 1.0 0.9 0.378 2.3617 · 1012

1Gli apici (o) e (c) indicano rispettivamente le due situazioni di rubinetto “open” e rubinetto “closed”.

9

3 Analisi del problema

3.2.1 Caso 1 - Pompa a portata costante

Q34 = 20l

min= const

Dunque, per la (5), essendo Q12 = Q34

p1 − p2 = K12Q212 ⇒ p2 = p1 −K12Q

212 = 1628 Pa

Inizialmente R è aperto. Per il calcolo delle portate relative ai flussi nei due serbatoi occorrerisolvere il seguente sistema di 2 equazioni in 2 inconite:∆p45 = ∆p46 → K

(o)45 Q2

45 = K46Q246 → Q46 = Q45

√K

(o)45

K46

Q34 = Q45 +Q46Q34 = Q45 +Q45

√K

(o)45

K46→ Q45 = Q34

1+

√K

(o)45

K46

Q46 = Q34 −Q45

=⇒

{Q45 = 9.6396 l

min

Q46 = 10.3602 lmin

Il serbatoio B sarà il primo a riempirsi completamente, impiegando un tempo

to =VB

Q45= 311 s

trascorso il quale rimarrà una porzione di C non ancora riempita, con volume

V C = VC −Q46to = 46.2608 l

Risultano inoltre i seguenti valori di pressione:

p4 = p5 +K(o)45 Q2

45 = 0.270418 MPa

p3 = p4 +K34Q234 = 0.576633 MPa

A questo punto R viene chiuso, per cui:

{Q45 = 0

Q46 = Q34 = 20 lmin

ed il tempo necessario al

riempimento di V C è

tc =V C

Q46= 139 s

Quindi, in definitiva, il tempo totale per il travaso da A verso B e C sarà dato da

ttot = to + tc = 450 s = 7 min 30 s

A rubinetto chiuso, risultano inoltre i seguenti valori di pressione:

p4 = p6 + (K(c)45 +K46)Q

246 = 0.463179 MPa

p3 = p4 +K34Q234 = 0.769394 MPa

10

3 Analisi del problema

3.2.2 Caso 2 - Pompa a pressione costante

p3 = 0.5 MPa = const

Si noti che essendo ∆p45 = ∆p46 i due rami↷45 e

↷46 risultano essere in parallelo, per cui

dalla (5) possiamo facilmente ricavare:

1√K45//46

=1√K45

+1√K46

→ K45//46 = 6.3376 · 1011

Essendo inoltre il ramo↷34 collegato in serie con il parallelo

↷45//

↷46:

p3 − p5 = (K34 +K45//46)(Q45 +Q46︸ ︷︷ ︸Q34

)2 ⇒ Q34 =

√p3 − p5

K34 +K45//46= 17.8497

l

min

p2 = p1 −K12Q234 = 0.021644 MPa

p4 = p3 −K34Q234 = 0.256090 MPa

Inizialmente R è aperto ed in tale situazione:Q45 = Q34

1+√

K45K46

= 8.6032 lmin

Q46 = Q34 −Q45 = 9.2465 lmin

Il serbatoio B sarà il primo a riempirsi completamente, impiegando un tempo

to =VB

Q45= 349 s

trascorso il quale rimarrà una porzione di C non ancora riempita, con volume

V C = VC −Q46to = 46.2608 l

Non appena R viene chiuso, risulta

Q36 =

√p3 − p6

K34 +K(c)45 +K46

= 14.5172l

min

tc =V C

Q36= 191 s

Quindi, in definitiva, il tempo totale per il travaso da A verso B e C sarà dato da

ttot = to + tc = 540 s = 9 min

11

3 Analisi del problema

3.3 Presentazione dei risultatiRiassumiamo in alcune tabelle i valori di pressioni, portate e tempi di riempimento appenacalcolati.

3.3.1 Caso 1 - Pompa a portata costante

Pressione[MPa]

p1 0.1p2 0.001628

p(o)3 0.576633

p(o)4 0.270418

p(c)3 0.769394

p(c)4 0.463179

p5 0.2p6 0.2

Portata[l ·min−1]

Q12 20Q34 20

Q(o)45 9.6396

Q(o)46 10.3602

Q(c)45 0

Q(c)46 20

Tempo[s]

to 311tc 139ttot 450

3.3.2 Caso 2 - Pompa a pressione costante

Pressione[MPa]

p1 0.1p2 0.021644p3 0.5p4 0.256090p5 0.2p6 0.2

Portata[l ·min−1]

Q34 17.8497

Q(o)45 8.6032

Q(o)46 9.2465

Q(c)36 14.5172

Tempo[s]

to 349tc 191ttot 540

12

4 ConclusioniIl travaso risulta di 90 s più veloce nel caso 1 (a portata costante).

Inoltre, ripetendo tutti i calcoli in assenza di strozzature, ovvero con kS1= kS2

= 0, notiamoche i tempi di riempimento rimangono pressoché invariati per entrambi i casi:

t(1)tot = 7 min 30 s, t

(2)tot = 9 min 6 s

. Tuttavia, si osservi che:

Caso 1

Con Strozz. Senza Strozz.

Q(o)45 9.6396 l

min 12.9836 lmin

Q(o)46 10.3602 l

min 7.0164 lmin

Caso 2

Con Strozz. Senza Strozz.

Q(o)45 8.6032 l

min 12.2292 lmin

Q(o)46 9.2465 l

min 6.6087 lmin

È quindi evidente il motivo dell’aggiunta di strozzature, il cui ruolo è quello di riequili-brare le portate nei due rami

↷45 e

↷46.

Va poi sottolineato il fatto che, nel caso 1, il valore particolarmente basso di pressionep2 = 1628 Pa a monte della pompa, è indice di un consistente rischio di cavitazione.

Si noti infine che sino ad ora abbiamo considerato i tubi come elementi discreti, le cuipressioni alle estremità sono legate dalla (1). In realtà, nelle tubature, la pressione varia concontinuità secondo la relazione

p(x) = p1 − λx

D

1

2ρv2 (7)

per cui, considerando ad esempio il caso 1 (a rubinetto aperto), avremo il seguenteandamento:

0 5 10 15 20 25

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

12

34

45

46

Figura 4.1: Profilo di pressione nelle tubature

13

Riferimenti bibliografici[Ast16] P. Astori, C. Cardani e F. Bernelli Zazzera. Dispensa del Corso di Impianti e

Sistemi Aerospaziali. 2016.

[Lar99] Bruce E. Larock, Roland W. Jeppson e Gary Z. Watters. Hydraulics of PipelineSystems. CRC Press, 1999.

14