Domande di Teoria Fisica Tecnica

1. Primo principio della termodinamica

La differenza tra il calore e il lavoro scambiati con l’esterno è uguale alla variazione dell’energia

interna. U è una funzione di stato in quanto dipende solo dallo stato iniziale e quello finale della trasformazione, ovvero dalle temperature dei due stati. in un sistema isolato quindi

2. Espansione libera di Joule Esperimento fatto utilizzando due serbatoi a bagno d'acqua collegati tramite valvola. Un serbatoio contiene un gas perfetto mentre l'altro è vuoto. Aprendo la valvola il gas va ad occupare entrambi i serbatoi. Il sistema non scambia ne calore con l'ambiente ( ) ne lavoro( ). Essendo allora si ha che . Durante l'esperimento la temperatura rimane costante, quindi vuol dire che

3. Def. di calore specifico → il calore specifico deve essere uguale per ogni gas perfetto? Il calore specifico è la quantità di calore da dare ad una massa per alzarne la temperatura di un grado. Il calore specifico massico cambia a seconda del gas perfetto in quanto dipende da e dipende dal tipo di gas (monoatomico, biatomico o poliatomico).

4. Espressione di per i gas perfetti

Risulta quindi 5. La variazione di energia interna è pari al calore scambiato a volume costante

oppure dal primo principio che vale per ogni sostanza

6. Def. di entalpia → dimostrare: che H per un gas perfetto dipende solo da T L'entalpia è una funzione di stato definita come . Per i gas perfetti vale la legge e dunque si ha che

7. La variazione di entalpia è uguale al calore scambiato a pressione costante.

oppure dal primo principio che vale per ogni sostanza

8. Espressione di per un gas perfetto

Risulta quindi

9. Per un gas perfetto

10. Motivare i valori di e per gas perfetti monoatomici, biatomici e triatomici. A parità di numero di molecole due gas perfetti hanno gli stessi calori specifici molari(a volume e a pressione costante). Ogni grado di libertà corrisponde a perciò:

a. Monoatomico: 3 gdl

b. Biatomico: 5 gdl

c. Poliatomico: 5-6 gdl 11. Trasformate di Legéndre, potenziali termodinamici e diagramma U-S, derivazione dei

coefficienti elastici e dei calori specifici La trasformata di Legéndre ci permette di passare da una funzione a perciò differenziando

dal primo principio abbiamo che quindi risulta che

Usiamo Legéndre rispetto a

entalpia

Usiamo Legéndre rispetto a

energia libera di Helmholtz

Essendo dobbiamo usare Legéndre anche rispetto a e a insieme

energia libera di Gibbs

Coefficienti elastici

coefficiente di dilatazione cubica isobarica

coefficiente di variazione isotermica di volume al variare della pressione

coefficiente di variazione isoentropica di volume al variare della pressione

12. Relazioni di Maxwell Le relazioni di Maxwell si ottengono dalle derivate in croce di eguagliate per Schwarz.

13. Dimostrazione dell'espressione

ma poiché sostituendo si ha che

dividendo il tutto per (mantenendo costante la pressione) si ha

che corrisponde a

Essendo si ha che

quindi sostituendo si ha

14. Equazione di Clapeyron

Descrive l'andamento della pressione con la temperatura lungo la curva d'equilibrio tra due fasi di una sostanza.

Durante il passaggio di fase e pressione e temperatura rimangono costanti.

che diventa derivata totale in quanto non dipende da ma solo da . In condizioni di

saturazione si ha

ovvero

che integrato da

e poichè

si ha

con calore latente di fusione o di evaporazione a seconda del passaggio di fase.

15. Dimostrazione che per un gas perfetto U=U(T)

Essendo e

ciò vuol dire che non dipende da e quindi

per un gas perfetto.

16. Equazione di stato di Wan der Waals ed esempio di espansione libera per gas di Van der Waals

Vale per qualsiasi gas reale, ognuno con e propri del gas. e dovuto alla parte di volume occupata dalle molecole. Inoltre

Un'espansione libera di un gas reale (in un sistema di due serbatoi rigidi e adiabatici, divisi da una valvola) comporta, come nel caso di gas perfetto, , e .

come si può notare, sebbene , poiché

si ha che

17. Secondo principio della termodinamica: enunciati di Kelvin, di Clausius ed equivalenza dei due enunciati.

a. Enunciato di Kelvin: è impossibile realizzare una macchina che come unico risultato trasformi in lavoro tutto il calore ottenuto da una sorgente a temperatura uniforme.

b. Enunciato di Clausius: è impossibile realizzare una macchina che come unico risultato trasferisca il calore da una sorgente fredda ad una più calda.

Per mostrare l'equivalenza dei due enunciati si utilizza un sistema con due macchine cicliche, una diretta(A) e una inversa (B). Supponiamo che Kelvin non sia vero, dunque , quindi A trasforma tutto il calore in lavoro . Poniamo che , e che il lavoro prodotto da A sia quello usato da B. Ciò comporta che la macchina B trasferisca calore da una sorgente fredda ad una più calda senza che l'intero sistema spenda lavoro, contraddicendo Clausius.

Supponiamo che Clausius non sia vero, dunque . Poniamo che e quindi è come se si bypassasse la sorgente . Questo però contraddice Kelvin in quanto l'intero sistema produce lavoro( ) prendendo calore da un'unica sorgente.

18. Def. della funzione di stato entropia ed enunciato del II principio, con esempi di sorgenti di irreversibilità L'entropia è una funzione di stato definita come il rapporto tra il calore scambiato e la temperatura alla quale viene scambiato in una trasformazione reversibile. Il secondo principio può essere enunciato come

Attrito, espansione libera, miscelazione di due gas, scambio termico con finito, deformazioni anelastiche e reazioni chimiche sono sorgenti di irreversibilità

19. Ricavare le espressioni della variazione di entropia tra due stati per gas perfetti. Variazioni di entropia nei liquidi e nei solidi. Dal primo principio si ha che oppure Essendo si ha che il primo principio si può riscrivere come La variazione di entropia può essere calcolata sfruttando: isocora + isoterma, isobara + isoterma oppure isocora + isobara.

ma poiché nell'ultima espressione abbiamo seguito un'isocora e un'isobara si può scrivere

Essendo quasi incomprimibili, i solidi e i liquidi hanno

e un calore specifico

perciò

20. Trasformazioni isoentropiche

Una trasformazione isoentropica è una trasformazione con variazione nulla dell'entropia.

Dunque

quindi, posto

, si ha

che sono ricavabili sia alle espressioni di , sia da usando . Queste relazioni valgono solo per trasformazioni adiabatiche reversibili(ovvero isoentropiche). Nei liquidi e nei

solidi quindi e perciò sono anche isoterme.

21. Definizione di politropica e sua espressione Una trasformazione politropica è una trasformazione durante la quale il calore specifico

rimane costante e la il gas segue la legge con

detto indice.

e dunque 22. Lavoro per una politropica

con si ha che quindi e dunque

23. Passaggio di fase e diagrammi che lo descrivono (in particolare diagramma PT) Un passaggio di fase è il processo con il quale una sostanza cambia stato di aggregazione delle molecole. Lungo le linee dei diagrammi è indicato l'insieme di stati in cui si può trovare la sostanza contemporaneamente in due fasi. Il punto triplo indica una condizione di stato nella quale convivono in equilibrio tutte e tre le fasi di una sostanza. La maggior parte delle sostanze si comporta come il grafico a sinistra, mentre alcune(come l'acqua) hanno un comportamento diverso. Il diagramma in cui si nota maggiormente questa differenza

è il diagramma PT. Si nota che alcune sostanze possono liquefare semplicemente con l'aumento di pressione: questo rende queste sostanze, ad esempio il ghiaccio, scivolose.

24. Definizione di titolo e ricavare la regola della leva per v

Il titolo indica il rapporto tra la massa di vapore e la massa totale durante un passaggio di fase:

. Il volume è e perciò si ha che, posto volume specifico del liquido e

volume specifico del vapore, . Dividendo tutto per la massa totale si ha che il volume specifico perciò si ha la regola della leva che vale anche per

25. Perché le curve limite formano una campana Le curve limite formano una campana poiché, all'aumentare della pressione o della temperatura(tanto la relazione tra le due in un passaggio di fase è biunivoca), diminuisce la quantità di calore da fornire o da togliere per far avvenire completamente il passaggio di fase(ovvero si avvicinano gli stati di liquido saturo e vapore saturo). Oltre la pressione critica e la temperatura critica il passaggio di fase avviene istantaneamente in maniera indefinita.

26. Diagramma Pv, diagramma Ts e trasformazioni. Coefficiente angolare delle isobare su Ts. Nel diagramma PV le isobare sono orizzontali mentre le isocore verticali. Le isoterme sono iperboli equilatere che, nel caso di passaggio di fase, diventano orizzontali sotto la campana isotermobarica. Le isoentropiche vengono rappresentate con delle iperboli più pendenti delle isoterme. Nel diagramma Ts le trasformazioni si comportano come in figura qui accanto. Il

coefficiente angolare delle isobare è

oltre la curva limite

superiore. Sotto la campana le isobare sono isoterme e quindi orizzontali. Prima della curva limite inferiore le isobare sono molto schiacciate su di essa in quanto un grande aumento di pressione comporta un piccolo aumento di temperatura. Le aree sottese alle trasformazioni nel grafico PV sono i lavori compiuti. Le aree sottese alle trasformazioni nel grafico Ts sono i calori scambiati.

27. Sistemi aperti: definizione di volume di controllo, stazionario, transitorio, uniforme, portata massica e volumica. Equazione di continuità Il volume di controllo è quel volume definito in parte dalle pareti del sistema e in parte nelle pareti immaginarie(in quanto passa della massa) che delimitano l'entrata e l'uscita del sistema. Nel moto stazionario le grandezze puntuali non variano nel tempo, mentre nel transitorio ciò avviene. Il moto uniforme si ha quando le grandezze non variano al variare della posizione. La portata massica ( ) indica la quantità di massa del fluido che attraversa una sezione nell'unità di tempo. Si esprime come . Se si assume la velocità come quella media si ha che . La portata volumetrica ( ) indica il volume del fluido che attraversa una sezione nell'unità di tempo. Si esprime come L'equazione di continuità dice che, se il moto è stazionario, la portata si conserva e quindi resta costante: ne deriva che

28. Equazione di conservazione dell'energia per i sistemi aperti. Definizione di lavoro di pulsione. Applicazione a diversi organi di macchina.

Il bilancio energetico è con

e

dove è il lavoro di pulsione, ovvero il lavoro necessario a mantenere il flusso di massa nel volume di controllo(1 è l'entrata mentre 2 è l'uscita). è il lavoro esterno netto, ovvero quello fornito o assorbito dal sistema.

Applicazioni(nel caso stazionario): a. Turbina: , e perciò si ha che

(inoltre poiché ) b. Scambiatore di calore: , e perciò si ha che c. Compressore , e perciò si ha che

(inoltre poichè )

d. Ugello di efflusso e perciò si ha che

Posto si ha che in quanto

29. Bilancio entropico In un sistema chiuso si ha che

In un sistema aperto con entrate e uscite si ha che

è l'entropia dovuta a scambio termico, è l'entropia dovuta al trasporto di

massa e è l'entropia generata da irreversibilità.

30. Isoentalpica di Joule Thomson È un processo nel quale un gas di pressione e volume passa attraverso un setto poroso portandosi a e a . Posto il sistema adiabatico si ha che diventa ovvero quindi

Essendo si ha che

e, poiché quelle a destra sono

tutte quantità positive significa che . Per un gas perfetto poiché . In un gas reale invece : questo viene maggiormente sfruttato nei passaggi di fase dove un abbassamento di pressione indica anche un abbassamento di temperatura(sotto la campana isotermobarica nel grafico Ts si nota questo). Aumentare l'ostruzione significa aumentare la diminuzione di pressione e quindi l'abbassamento della temperatura.

31. Espressione del lavoro in un sistema chiuso ed in un sistema aperto(esempio del compressore alternativo) In un sistema chiuso quindi

In un sistema aperto (posto che e )

Compressore alternativo: sistema sia chiuso sia aperto che opera aspirando un fluido con una espansione isobara, una compressione isoentropica/isoterma e una compressione isobara(di scarico). Le aree gialle rappresentano i lavori positivi(fatti dal sistema) mentre quelle blu i lavori negativi. Il grafico finale rappresenta il lavoro netto fatto dal sistema(area verde) che altro non è che la sovrapposizione dei lavori di ogni fase. Essendo un compressore si può notare che il lavoro complessivo è negativo(seguendo la numerazione qui considerata)

32. Lavoro di una pompa Per un fluido incomprimibile si ha che

con prevalenza della pompa. Per una politropica si ha

e dunque

33. Compressione in due stadi Il lavoro richiesto per far funzionare un compressore dipende dal tipo di trasformazione eseguita: il lavoro minore si ottiene impiegando una isoterma, tuttavia il processo richiede molto tempo. L'utilizzo di una trasformazione adiabatica velocizza molto il processo ma richiede più lavoro. Per risparmiare dell'energia si sfrutta la compressione a due stadi, che prevede due adiabatiche intervallate da una isobara(raffreddamento intermedio: intercooler) che riporta il sistema alla temperatura iniziale(più bassa). La pressione iniziale e finale restano invariate rispetto ad una compressione normale.

34. Rendimento isoentropico Le trasformazioni in un compressore e in una turbina ideali vengono rappresentate con delle linee verticali su grafico Ts. Tuttavia nel caso reale si ha che la variazione di entropia non è nulla ma dipende dalla generazione di entropia. Ciò significa che il salto entalpico reale è minore(turbina) o maggiore(compressore) rispetto al caso ideale isoentropico. La differenza tra il salto reale e quello ideale è il lavoro specifico degli attriti. Vengono definiti dunque i rendimenti del compressore e della turbina che fanno riferimento al caso ideale

35. Macchina termodinamica motrice e operatrice

Una macchina termodinamica è un macchina che compie un ciclo termodinamico compiendo o assorbendo lavoro grazie a due serbatoi di calore. a. Si definisce macchina motrice se produce lavoro sfruttando il gradiente termico tra le due

sorgenti. Essendo ciclica e il rendimento è pari a

b. Si definisce macchina operatrice se assorbe lavoro e calore da una sorgente fredda per trasferire calore ad una sorgente calda.

36. Ciclo di Carnot ideale, reale e definizione di rendimento Il ciclo di Carnot è un ciclo costituito da quattro trasformazioni reversibili: compressione isoterma, compressione adiabatica, espansione isoterma ed espansione adiabatica. Sul grafico Ts è rappresentato come un rettangolo(nel caso reale è un trapezio in quanto le isoentropiche diventano da verticali a pendenti). La macchina che lo sfrutta è un sistema costituito da un

cilindro adiabatico con pistone mobile e dei pesi, con due sorgenti che possono scambiare calore con il gas nel cilindro(che solo in questo momento non è adiabatico). Il rendimento di una macchina è definito come il rapporto tra il lavoro fornito e il calore assorbito. Nel ciclo di

Carnot si ha che e .

37. Teorema di Carnot e corollario. Definizione di rendimento di II principio

Il teorema di Carnot afferma che non esistono macchine termiche funzionanti tra due sorgenti di calore( e ) che abbiano rendimento maggiore di quello della macchina di Carnot che lavora alle stesse temperature. Il teorema si dimostra ponendo per assurdo che e quindi, posto per entrambe le macchine il calore assorbito da uguale a si ha che . Questo vuol dire che

Essendo la macchina di Carnot reversibile, posso invertirla. Nel farlo si nota che il sistema produce lavoro sebbene assorba calore da una sola sorgente in quanto il calore ceduto dalla macchina di Carnot viene assorbito dalla macchina reale: ciò è in contrasto con l'enunciato di Kelvin del 2° principio. Corollario: due macchine di Carnot che lavorano tra le stesse temperature hanno lo stesso rendimento(in quanto dipende dalle temperature). Ciò si dimostra ponendo per assurdo ma invertendo la macchina C2 e ponendo che il calore ceduto da questa è uguale a quello assorbito da C1 si ha un sistema che produce lavoro( ) da una sola sorgente, contraddicendo l'enunciato di Kelvin del 2° principio. Viene definito rendimento di secondo principio il rapporto tra il rendimento di una macchina reale e il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le due temperature(minima e massima) della macchina reale:

38. Ciclo di Carnot inverso (ideale e reale): cicli frigo e pompe di calore

Il ciclo di Carnot inverso è uguale a quello diretto con la differenza che il ciclo viene percorso in senso antiorario. La macchina che sfrutta questo ciclo assorbe calore da una sorgente fredda e riceve lavoro dall'esterno al fine di cedere calore ad una sorgente calda. Il ciclo frigorifero ha lo scopo di togliere calore alla sorgente fredda mentre la pompa di calore serve per immettere calore alla sorgente calda.

39. Definizione di COP e consumo meccanico specifico e loro espressioni per cicli di Carnot. Il consumo meccanico specifico è il rapporto tra il lavoro da fornire alla macchina operatrice e

l'effetto utile che essa produce

. Il COP(coefficiente di prestazione) è l'inverso del

consumo specifico meccanico e indica di quante volte aumenta l'effetto utile rispetto al lavoro fornito. Se il COP è unitario significa che tutto il lavoro diventa calore(e quindi la macchina termica si comporta come una stufa elettrica). Per una cella frigo l'effetto utile è il calore che assorbe mentre per una pompa di calore l'effetto utile è il calore che immette.

Poste le sorgenti si ha:

40. Ciclo Rankine con e senza risurriscaldamento

Il ciclo Rankine è il ciclo ideale degli impianti a vapore e si avvicina molto al ciclo di Carnot. Il motivo per cui non viene usato il ciclo di Carnot è che, sebbene abbia il rendimento massimo possibile, ha alcuni svantaggi: se viene effettuato sotto la campana isotermobarica la temperatura massima è molto limitata a causa della bassa temperatura critica dell'acqua(caduta di rendimento) e inoltre la formazione di goccioline liquide danneggerebbe gli organi di macchina; se si spostasse l'espansione isoterma sopra la campana isotermobarica si avrebbe un tempo di trasformazione troppo elevato. Per far fronte a questi problemi si utilizza il ciclo Rankine, il quale è composto da quattro trasformazioni

a. compressione isoentropica(1-2) da liquido saturo a liquido sottoraffreddato con temperatura e pressione maggiore mediante una pompa.

b. riscaldamento isobaro(2-3) mediante caldaia fino ad avere vapore surriscaldato. In questo modo si ha una trasformazione isoterma durante il passaggio di fase.

c. espansione isoentropica(3-4) fino a diventare vapore umido(talvolta con ma non pari a 1) mediante una turbina.

d. raffreddamento isobaro(4-1) da vapore umido(quasi saturo) a liquido saturo mediante condensatore.

Nel caso reale le trasformazioni isoentropiche hanno un aumento di entropia che si nota maggiormente dopo l'espansione in turbina, in quanto un aumento di entropia corrisponde ad un aumento del titolo di entrata nel condensatore. Il rendimento della macchina tiene conto solo del lavoro assorbito dalla turbina in quanto il lavoro effettuato dalla pompa è spesso trascurabile( è molto piccolo e e )

quindi

. Per abbassare ulteriormente la temperatura di condensazione si utilizza un

condotto convergente -divergente che abbassa ulteriormente la pressione. I combustibili utilizzati sono polvere di carbone, olio combustibile o combustibile nucleare. Risurriscaldamento: il risurriscaldamento è una tecnica che ha lo scopo di aumentare il titolo del vapore in uscita dalla turbina. Esso si attua frazionando l'espansione, quindi usando due turbine: la prima, ad alta pressione, porta il vapore ad una temperatura e una pressione intermedia. Poi il vapore viene rimandato in caldaia e, dopo essere ritornato ad una temperatura elevata in modo isobaro, viene espanso da un'altra turbina a pressione minore (coassiale alla prima) fino alla pressione di entrata nel condensatore, dove avrà un titolo maggiore rispetto al caso senza risurriscaldamento.

41. Rigenerazione nel ciclo Rankine e dimostrazione che il rendimento aumenta La rigenerazione è una tecnica che prevede la deviazione(rigenerazione) di parte vapore surriscaldato dalla turbina ad un miscelatore presente dopo la pompa. Definita la quantità di vapore rigenerata(deviata), si ha che nel miscelatore il bilancio energetico diventa dove 3' è il punto di spillamento della massa rigenerata dalla turbina mentre il punto R è il punto in cui avviene la miscelazione. Il rendimento diventa quindi

dato che si somma la stessa quantità al numeratore e al denominatore di un numero si ha che il rendimento aumenta, ovvero (senza mai superare )

42. Dimostrazione che per i cicli simmetrici i prodotti in croce sono uguali Un ciclo simmetrico è un ciclo termodinamico formato da due coppie di trasformazioni uguali e reversibili. Prendiamone uno composto da 4 politropiche tali che

Se giro la seconda equazione e divido la prima per la seconda ottengo quindi necessariamente Si ha che (si vede sostituendo il risultato nelle due equazioni intermedie) e (da )

43. Ciclo Joule-Brayton, espressione del rendimento Il ciclo Joule-Brayton è un ciclo aperto ideale degli impianti a turbina a gas. Nell'ipotesi che il ciclo ideale sia ad aria standard si considera questa come un gas perfetto con calori specifici costanti e trasformazioni reversibili(internamente). Inoltre la combustione viene considerata uno scambio termico verso l'aria mentre il rinnovo del fluido viene considerato come una perdita di calore. Si hanno quattro trasformazioni:

a. Compressione isoentropica(1-2) mediante compressore b. Riscaldamento isobaro(2-3) mediante camera di combustione c. Espansione isoentropica(3-4) mediante turbina d. Raffreddamento isobaro(4-1) dovuto al ricambio del fluido

Nel caso reale (1-2) e (3-4) hanno un aumento di entropia, quindi il lavoro reale del compressore è maggiore mentre quello della turbina è minore(presi in modulo)

Essendo un ciclo simmetrico il rendimento si può scrivere come

Definiamo

come il rapporto di compressione manometrica. Essendo (1-2) isoentropica

si ha che

e quindi il rendimento si può scrivere come

All'aumentare di aumenta il rendimento, cosi come usare un gas monoatomico aumenta il rendimento: quando il ciclo è chiuso conviene usare questi gas.

44. Criteri di progetto Nel progettare un motore con ciclo Joule-Brayton bisogna tener conto dei limiti imposti dalle temperature: la temperatura minima non può scendere sotto la temperatura ambiente mentre quella massima non può superare la temperatura di fusione dei materiali. Per poter aumentare si può intervenire sulle palette degli organi di macchina in diversi modi:

a. Condotti di fluido refrigerante all'interno delle palette b. Condotti di fluido refrigerante con alcuni fori dai quali, al momento del funzionamento

del ciclo, si crea una patina protettiva sulla paletta c. Ricopertura in ceramica e metallo. In questo caso però occorre intermediare con un

altro materiale a coefficiente di dilatazione intermedio, onde evitare rotture. Il criterio di progettazione delle palette può influire sul rendimento in quanto bisogna mettere in conto anche la manutenzione delle palette dovuta all'allungamento a caldo(grip) di queste. Un altro criterio per un progetto di un ciclo Joule-Brayton è , ovvero la pressione massima (poiché quella minima è quella atmosferica): aumentare la pressione significa aumentare il rendimento ma ne potrebbe risentire il lavoro massimo ottenibile, infatti l'area del ciclo

diminuisce all'aumentare di .

45. Rigenerazione nel ciclo Joule-Brayton La rigenerazione nel ciclo Joule-Brayton è un metodo per aumentare il rendimento che sfrutta l'aria calda in uscita dalla turbina per preriscaldare l'aria prima dell'ingresso nella camera di combustione. In questo modo la combustione deve fornire meno calore. Questa tecnica è possibile solo nel caso in cui la temperatura in uscita dalla turbina sia maggiore di quella in uscita dal compressore( ). Definiamo il punto (pressione e temperatura ) e il punto (pressione e temperatura ): il calore rigenerato è e il rendimento dunque diventa

che è maggiore del rendimento senza rigenerazione in quanto togliamo la stessa quantità a numeratore e denominatore di un numero inferiore a 1, il quale sottratto a 1 da un rendimento maggiore. Talvolta non si verifica , oppure la differenza tra le temperature è molto bassa: in questi casi si può applicare una compressione a più stadi e un'espansione a più stadi. La compressione a più stadi permette di risparmiare lavoro con raffreddamento

isobaro intermedio mentre l'espansione a più stadi produce più lavoro con riscaldamento isobaro intermedio. Infatti questo causa anche la diminuzione della in uscita dall'ultimo compressore e si ha l'aumento di in uscita dall'ultima turbina: aumenta la possibilità di rigenerazione. All'aumentare degli stadi di compressione e espansione si ha che queste piccole trasformazioni tendono ad avere un aspetto isotermo. Se poi tutto il calore viene rigenerato lo scambio di calore è solo interno e quindi si ha un ciclo molto somigliante a quello di Carnot.

46. Ciclo Otto Il ciclo Otto è il ciclo ideale dei motori alternativi ad accensione comandata, nella quale si sfrutta un sistema cilindro pistone dove una miscela di aria e combustibile viene compressa e poi innescata mediante candela. Il ciclo ideale ad aria standard si divide in quattro trasformazioni, più due di lavaggio.

a. Compressione isoentropica (1-2) mediante pistone in cilindro adiabatico b. Riscaldamento isocoro (2-3) mediante l'accensione della candela che detona la miscela c. Espansione isoentropica (3-4) esercitata sul pistone il quale, legato ad un albero,

produce lavoro utile d. Raffreddamento isocoro (4-1) dovuto al ricambio del fluido

Definiamo il rapporto di compressione volumetrica come

e, poiché il ciclo è simmetrico,

si ha che il rendimento è pari a:

47. Ciclo frigo e diagramma Ph. Varie soluzioni impiantistiche

Il ciclo frigo è un ciclo termodinamico inverso che serve a togliere calore da una sorgente termica a temperatura bassa per immetterlo in una sorgente più alta. Le macchine che utilizzano questo ciclo sono la pompa di calore e la cella frigo, le quali differenziano solo per lo scopo operativo. Il ciclo prevede quattro trasformazioni:

a. Evaporazione isobara (1-2) da vapore umido a vapore saturo mediante evaporatore, ovvero scambiatore di calore

b. Compressione isoentropica (2-3) mediante compressore c. Raffreddamento isobaro (3-4) fino a liquido saturo mediante condensatore d. Laminazione isoentalpica(4-1) fino allo stato iniziale mediante valvola di laminazione di

Joule-Thompson. Questa trasformazione non può essere rappresentata da una linea continua sul grafico in quanto è reale e non reversibile.

Il fluido nei condotti arriva a temperature di -30°C e perciò si usa R134A o R32A. Talvolta si usa ammoniaca, tuttavia bisogna stare attenti alla velenosità di questa sostanza. In passato si usavano clorofluorocarburi, non più impiegati a causa dei danni che procurano all'ozono. Per sicurezza si fanno impianti senza esposizione diretta quando si tratta di condizionamento di locali pubblici. La valvola di laminazione serve a regolare la temperatura d'entrata nell'evaporatore. Alcuni impianti usano due valvole e due evaporatori.

48. Progetto di un impianto a ciclo inverso Per progettare un impianto a ciclo inverso occorre conoscere la temperatura ambiente , la temperatura minima raggiungibile e la potenza termica da fornire all'evaporatore. Bisogna scegliere il fluido refrigerante più adeguato e le trasformazioni isotermobariche giuste: quella dell'evaporatore a temperatura un po' minore di mentre quella del condensatore a temperatura un po' maggiore di . La potenza termica da fornire è dunque ovvero con titolo dell'entrata nell'evaporatore. Dunque lo scambiatore di calore deve avere una potenza termica con e da qui mi ricavo la superficie necessaria. Per evitare l'esposizione diretta si mette uno scambiatore di calore intermedio controcorrente, rendendo quindi l'esposizione diretta ad un altro fluido che può essere acqua. L'utilizzo di una doppia valvola serve a migliorare le prestazioni in quanto diminuisce la temperatura in uscita dal compressore e diminuisce la potenza meccanica richiesta dal compressore. Inoltre per evitare che il compressore abbia a che fare con del liquido si può mettere un evaporatore adiabatico in più. La temperatura in uscita dal compressore si ricava per interpolazione lineare.

49. Ciclo Diesel Il ciclo Diesel è il ciclo ideale dei motori ad accensione spontanea, in quanto si ha la combustione non per mezzo di una candela ma a causa della pressione elevata, e quindi della temperatura elevata, della miscela di aria e combustibile. Il ciclo consiste in quattro trasformazioni:

a. Compressione isoentropica (1-2) dovuta all'azione di un pistone b. Riscaldamento isobaro (2-3) dovuto alla combustione c. Espansione isoentropica (3-4) mediante il pistone che viene spinto verso l'esterno del

cilindro, fornendo lavoro ad un albero collegato d. Raffreddamento isocoro (4-1) dovuto al ricambio del fluido

Il rapporto tra il volume dell'aria dopo e prima della combustione viene detto rapporto volumetrico di introduzione

. Il rendimento dunque si può scrivere come

Essendo (1-2) e (3-4) isoentropiche si ha che

A parità di il ciclo Otto ha rendimento maggiore di quello Diesel. Inoltre, maggiore è e minore è . Tuttavia, grazie alla mancanza del problema della detonazione, i cicli Diesel usano rapporti di compressione maggiori, che aumentano il rendimento.

50. Ciclo Stirling e ciclo Ericsson Il ciclo Stirling è un ciclo simmetrico con due isoterme e due isocore. È difficile da creare ma idealmente è completamente rigenerato durante le isocore. Il ciclo Ericsson è un ciclo simmetrico con due isoterme e due isobare. È difficile da creare ma idealmente è completamente rigenerato durante le isobare. Questi due cicli hanno la particolarità di avere il rendimento uguale a quello di Carnot.

51. Miscele di gas e legge di Dalton La legge di Dalton dice che la pressione totale di una miscela di gas è la somma delle pressioni parziali di ogni gas componente, dove la pressione parziale è la pressione che avrebbe il gas preso da solo alla stessa temperatura. Ciò vuol dire che una miscela di gas si descrive con:

Inoltre si ha che e quindi le proprietà della miscela diventano

52. Aria umida, umidità relativa, umidità assoluta e diagramma di Mollier

L'aria umida è una miscela di aria(azoto e ossigeno con altri gas rarefatti) e acqua sotto forma di vapore surriscaldato. Avendo come riferimento a 0°C l'entalpia nulla dell'aria secca(senza

acqua) si ha che l'entalpia dell'aria è

Se l'aria possiede del vapore l'entalpia va sommata a quella del vapore . Il valor medio di tra -10°C e 50°C perciò si ha

L'umidità relativa è il rapporto tra la quantità di vapore acqueo contenuto in una massa d'aria e la quantità massima che quella massa d'aria è in grado di contenere alla stessa pressione e

temperatura:

. L'umidità assoluta è il rapporto tra la massa di contenuta in una

massa d'aria e la massa d'aria stessa presa secca(senz'acqua):

Il diagramma di Mollier è un grafico che rappresenta l'andamento dell'entalpia con la temperatura e l'umidità assoluta. Stati di equilibrio omogenei: Stati di equilibrio eterogenei con

Stati di equilibrio eterogenei con

53. Postulato ed equazioni di Fourier

Il postulato di Fourier dice che la potenza termica trasmessa per conduzione attraverso uno strato è proporzionale alla differenza di temperatura tra le superfici dello strato e all'area dello scambio termico mentre è inversamente proporzionale allo spessore dello strato quindi:

è il coefficiente di scambio termico. Inoltre si mette il segno meno poiché il calore si muove da temperature alte a temperature basse. L'equazione di Fourier si ottiene facendo un bilancio energetico tra il calore uscente, quello entrante e quello generato in un corpo, e la somma di questi è pari all'energia contenuta nel corpo. In una dimensione diventa:

con Taylor

Le condizioni al contorno per risolvere questa equazione differenziale sono la temperatura imposta, il flusso imposto e il flusso dipendente dalla temperatura(terza specie convettivo, quarta specie conduttivo tra due corpi con diverso.

54. Metodo delle resistenze termiche

Dato che e

si ha un analogia coma la legge di Ohm dell'elettrotecnica

quindi . La resistenza termica è quindi pari a

Analogamente all'elettrotecnica, due strati in serie sommano le loro resistenze mentre due strati in parallelo(trascurando il calore che passa da uno strato all'altro) hanno una resistenza totale pari all'inverso della somma delle resistenze inverse. Talvolta tra uno strato e un altro è presente una resistenza di contatto, dovuta alla rugosità della parete. Nel caso convettivo si ha

che

.

55. Ricavare espressione di T per un cilindro cavo senza generazione di potenza e T di parete imposte. (simmetria cilindrica) L'equazione di Fourier in condizioni stazionarie e senza generazione di potenza(in coordinate

cilindriche) è

Integrando ed integrando ancora

56. Ricavare espressione di T per un cilindro pieno con generazione di potenza L'equazione di Fourier in condizioni stazionarie e con generazione di potenza(in coordinate

cilindriche) è

57. Raggio critico

Il flusso termico passante dalla superficie interna a di un tubo cilindrico isolante ad un fluido a che scorre fuori dal tubo è pari a

all'aumentare di aumenta la resistenza dell'isolante ma diminuisce la resistenza per

convezione. Per trovare il raggio nel quale di ha si deve

. Tuttavia il raggio in cui

si ha corrisponde a quello in cui si ha la resistenza e perciò basta fare la derivata del denominatore e porla uguale a zero. Quindi

Il raggio trovato si chiama raggio critico e corrisponde al raggio che deve avere il tubo cilindrico per passare il flusso termico massimo possibile.

58. Problema del corpo con Bi << 1 immerso in un fluido a temperatura costante. Il numero di Biot è il rapporto tra il calore scambiato per convezione da un fluido e il calore

scambiato per conduzione da un oggetto immerso in esso. Perciò

con la lunghezza

caratteristica (rapporto tra volume e superficie del corpo). L'equazione di Fourier per

questo caso diventa in quanto non c'è generazione di potenza.

Integrando sul volume del corpo si ha che per il teorema della

divergenza diventa ovvero la parte a destra diventa un integrale di

superficie( è il versore normale alla superficie dell'oggetto).

e quindi

dovuto al fatto che (condizioni iniziali).

Considerando le temperature medie di volume e di superficie

si ha

Essendo si ha che poichè la variazione di temperatura tra volume e superficie varia molto poco (problema a parametri concentrati) si ha che

Cosi facendo si ottiene

la quale diventa

quanto impiega il corpo a raggiungere : maggiore è e maggiore è il tempo necessario.

Considerare da subito implicherebbe che ovvero

che porterebbe a pensare che (cosa ovviamente falsa)

59. Problema del corpo con Bi << 1 immerso in un fluido a temperatura variabile sinusoidalmente nel tempo. Se la temperatura del fluido varia sinusoidalmente nel tempo si ha che

Essendo si può sfruttare la condizione di parametri concentrati, ovvero

Se aumenta allora aumenta anche la frequenza con cui il fluido varia temperatura, rendendo difficile la lettura di tale valore da parte di un termometro troppo lento.

60. Soluzione del problema dell'aletta sottile La potenza termica scambiata tra una superficie e un fluido aumenta all'aumentare del prodotto , motivo per il quale si utilizzano delle superfici estese dette alette, che servono a questo scopo. Il problema dell'aletta(lunga e spessa ) si estende in due dimensioni(si trascura la terza) e quindi l'equazione di Fourier in condizioni stazionarie e senza generazione di potenza diventa

Integrando sul semispessore in direzione si ha

Se il problema ha allora al variare di non varia quindi e perciò

Definiamo la temperatura a-dimensionale e la nuova variabile

Sostituendo nell'equazione si ha

Le condizioni iniziali diventano

Definiamo il seno e il coseno iperbolico e la variabile

La soluzione del problema è

e con le condizioni al contorno si ha

La soluzione finale è dunque

Per calcolare il flusso scambiato si guarda alla base dell'aletta per conduzione, ovvero

Efficienza aletta: rapporto tra quanto scambia realmente l'aletta e quanto scambierebbe se avesse la temperatura uniforme come quella della base

Efficacia aletta: rapporto tra quanto scambia il sistema senza usare le alette rispetto al sistema che usa le alette

61. Mezzo semi-infinito con gradino di temperatura Prendiamo in considerazione il caso monodimensionale

Definendo la diffusività termica

l'equazione di Fourier diventa

Essendo l'ingresso a gradino le condizioni al contorno sono:

Consideriamo la temperatura a-dimensionale

ottenendo

Con il metodo delle variabili di similitudine possiamo scrivere che

Essendo l'equazione invariante rispetto al cambio di variabili si può dire che . Se allora si può dire che è anch'essa soluzione. Definiamo la variabile

di similitudine

perciò cambiando variabili

che infatti resta

ancora invariante rispetto alla trasformazione.

Quindi l'equazione di Fourier assume la forma

poiché e

La soluzione finale è quindi

Il flusso termico per unità di superficie è dato da

62. Mezzo semi-infinito con flusso termico variabile sinusoidalmente nel tempo. Prendiamo in considerazione il caso monodimensionale

Definendo la diffusività termica

l'equazione di Fourier diventa

Essendo l'ingresso sinusoidale le condizioni al contorno sono:

Anche il mezzo semi-infinito risponderà sinusoidalmente e quindi L'equazione di Fourier diventa dunque

La soluzione dell'equazione differenziale è quindi

Essendo allora poiché non può divergere(è una funzione limitata)

Considerando che

dove

è la lunghezza di diffusione termica

Imponendo la prima condizione al contorno si ha

e poiché

si trova

La soluzione finale è

63. Definizione di radianza spettrale direzionale, potere emissivo spettrale e potere emissivo totale. La radianza spettrale direzionale indica la potenza termica emessa per irraggiamento rispetto per unità di superficie, lunghezza d'onda e angolo solido.

Il potere emissivo spettrale, detto anche monocromatico, indica la potenza termica emessa per irraggiamento da un corpo nero a temperatura T per unità di superficie e di lunghezza d'onda. Si ottiene integrando su una semisfera la radianza spettrale direzionale:

Il potere emissivo totale è la potenza termica emessa per irraggiamento da un corpo nero su tutto lo spettro elettromagnetico quindi

64. Definizione delle proprietà di un corpo nero Un corpo nero è un corpo che, idealmente, assorbe ed emette tutta la radiazione incidente per qualsiasi lunghezza d'onda e angolo d'incidenza. Inoltre non esiste alcun corpo reale in grado di assorbire o di emettere più di un corpo nero. Infine è un emettitore diffuso, ovvero la radianza non ha dipendenza dall'angolazione. è la velocità della luce mentre è la costante di Planck e è la costante di Boltzmann Radianza spettrale direzionale corpo nero:

Potere emissivo spettrale corpo nero : Potere emissivo totale corpo nero

65. Legge di Planck e legge di Wien L'energia trasmessa per irraggiamento è trasmessa in quanti finiti, associati ad un singolo

fotone. L'energia di un quanto è

con frequenza della radiazione.

La legge di Planck dice che:

e quindi la radianza spettrale(potere emissivo) dipende dalla lunghezza d'onda e dalla temperatura del corpo. La lunghezza d'onda corrispondente al potere emissivo massimo diminuisce all'aumentare della temperatura: questo è il motivo per cui i corpi incandescenti emettono luce. Il valore di dove è massimo alla temperatura segue la legge dello spostamento di Wien ovvero (quindi il prodotto è costante)

66. Legge di Stefan-Boltzmann La legge di Stefan-Boltzmann afferma che il potere emissivo totale di un corpo nero e pari a

67. Definizione di emissività e corpo grigio

L'emissività è un numero che indica il rapporto tra il potere emissivo di un oggetto e il potere emissivo di un corpo nero alla stessa temperatura. Un corpo nero ha mentre un corpo con emissività si definisce corpo grigio. L'emissività di corpi reali dipende dalla direzione, dalla lunghezza d'onda, dalla temperatura e dalla finitura superficiale(all'aumentare della rugosità aumenta l'emissività). I metalli hanno un'emissività bassa crescente alla temperatura mentre materiali non metallici hanno una emissività elevata che diminuisce all'aumentare di temperatura. Il corpo grigio ha inoltre un coefficiente di assorbimento .

68. Coefficienti di trasmissione, riflessione e assorbimento La potenza termica incidente si può definire come la somma della potenza termica trasmessa, assorbita e riflessa da un corpo: Dividendo tutto per la potenza termica incidente si ottiene Coefficiente di trasmissione: Coefficiente di riflessione: Coefficiente di assorbimento: I coefficienti sono tutti positivi e quindi non superano il valore di . Superfici opache hanno e perciò si ha

69. Legge di Kirchhoff Se consideriamo un piccolo corpo di superficie contenuto in una cavità più grande alla stessa temperatura abbiamo che la cavità più grande si può considerare un corpo nero. Il corpo piccolo riceve quindi una radiazione , assorbe una radiazione ed emette una radiazione . Essendoci equilibrio termico tra i due corpi significa che la potenza termica scambiata tra i due corpi è nulla, ovvero la radiazione assorbita è pari a quella emessa e quindi si ha che che viene detta legge di Kirchhoff

70. Irraggiamento tra parete nera e grigia affacciate Due pareti nere affacciate hanno una potenza termica scambiata per irraggiamento che è pari alla differenza del potere emissivo totale delle due pareti Una parete nera affacciata ad una parete grigia di emissività irraggia una potenza termica mentre la parete grigia irraggia , ovvero in parte emette e in parte riflette ciò che arriva dalla superficie nera. Considerando la parete grigia opaca si ha e per la legge di Kirchhoff . Si ha dunque e perciò . La potenza termica scambiata è dunque

71. Definizione di fattore di vista Prendiamo due corpi, e : la potenza termica da a è uguale a

con l'angolo solido e la distanza tra i due corpi, e sono le aree mentre gli angoli sono gli angoli tra linea congiungente i due corpi e la normale alle superfici. Integrando sulle superfici si ottiene

è il fattore di vista della superficie rispetto alla superficie ed indica la frazione della potenza emessa da nei confronti di . indica la frazione di radiazione che, emessa da un corpo, viene ricevuta dallo stesso. Se il fattore di vista ha valore unitario significa che tutta la superficie emessa da viene ricevuta da .

72. Regola della reciprocità e della somma per il fattore di vista La regola della reciprocità dice che La regola della somma dice che per un corpo esposto a pareti vale

73. Funzione di radiazione e calcolo della potenza termica emessa da un corpo nero tra due lunghezze d'onda Viene definita funzione di radiazione il rapporto tra il potere emissivo monocromatico di un corpo nero fino ad una determinata lunghezza d'onda e il potere emissivo spettrale totale

Il valore di si trova mediante tabelle, guardando il valore di . Dunque è la quota parte emessa da un corpo nero alla temperatura fino a . La potenza termica scambiata tra due lunghezze d'onda e è quindi:

74. Resistenza superficiale all'irraggiamento e resistenza spaziale La radiosità di un corpo e definita come la somma della radiazione emessa e quella riflessa.

La potenza termica scambiata da è quindi

perciò si può definire la resistenza superficiale all'irraggiamento

Due corpi affacciati presentano anche una resistenza spaziale in quanto

75. Irraggiamento tra due superfici grigie Due superfici grigie scambiano una potenza termica pari al rapporto tra la differenza dei loro poteri emissivi totali(considerati corpi neri) e la somma delle resistenze(spaziali e di superfici):

Inoltre la somma delle potenze termiche trasmesse da una superficie verso altre superfici è uguale alla potenza termica dalla stessa superficie.

76. Convezione forzata: numero di Nusselt, Reynolds, Prandtl Lo scambio termico può avvenire per convezione forzata dove è il coefficiente di scambio convettivo, è la temperatura superficiale del corpo e è la temperatura asintotica del fluido. Il fenomeno avviene quando un fluido incontra un oggetto di temperatura diversa. dipende dalla densità del fluido , dalla velocità , dalla lunghezza caratteristica del corpo , dalla conducibilità del fluido , dal calore specifico e dalla viscosità . Il numero di Nusselt è il rapporto tra lo scambio convettivo e quello conduttivo di un fluido(mentre per Biot lo scambio conduttivo è quello del corpo).

Il numero di Reynolds serve ad indicare se un fluido ha moto laminare o turbolento ed è pari al rapporto tra le forze d'inerzia(energia cinetica) e le forze viscose (energia dissipata per viscosità).

Un fluido passante su lastra piana è turbolento se mentre un fluido in un tubo è laminare se e turbolento se Il numero di Prandtl indica il rapporto tra la diffusione della quantità di moto e la diffusione del calore in un fluido. Non dipende dunque dal moto ma solo dal fluido, infatti

Se lo stratolimite di temperatura è molto più spesso di quello della velocità(metalli liquidi); Se lo stratolimite della velocità è molto più spesso di quello della temperatura (oli); Se si ha che la dissipazione di calore e di energia cinetica è simile (come avviene nei gas)

77. Definizione di viscosità dinamica e cinematica Un corpo(lastra) che si muove in un fluido a velocità ad una distanza dalla parete riceve una forza d'attrito viscoso proporzionale alla velocità e all'area del corpo ed inversamente proporzionale alla distanza dalla parete. Il fluido che aderisce con la parete, per il principio di aderenza, ha velocità nulla mentre quello in aderenza con il corpo ha velocità . Risulta quindi:

con la costante di proporzionalità detta viscosità dinamica(indica la capacità di

resistere a sforzi tangenziali). Perciò, posta la distanza sull'asse si ha che

La viscosità cinematica è

ed è una velocità areolare(

)

78. Convezione forzata su lastra piana: definizione di stratolimite e relazioni semiempiriche per lo

scambio termico Lo stratolimite è una regione dello spazio dove si esauriscono il delle variazioni di una proprietà di un fluido. Lo stratolimite delle velocità può essere laminare o turbolento a seconda delle forze che predominano(Reynolds) e al di fuori di esso si ha una velocità indisturbata.

è il numero di Reynolds puntuale

Per calcolare il coefficiente si scambio convettivo occorre conoscere il numero di Nusselt, che può essere ricavato dalle seguenti relazioni semiempiriche. La temperatura o il flusso imposto fanno riferimento alla lastra.

a. Flusso laminare con temperatura imposta( puntuale)

b. Flusso laminare con temperatura imposta( medio)

c. Flusso turbolento con temperatura imposta( puntuale)

d. Flusso laminare con temperatura imposta( medio)

e. Flusso laminare con flusso imposto( puntuale)

f. Flusso turbolento con flusso imposto( puntuale)

79. Convezione dentro i tubi. Calcolo di a costante In un tubo di raggio la velocità massima si ha nel centro. La natura del moto dipende dal numero di Reynolds: è laminare se e turbolento se . Il profilo delle

velocità è a forma di D e si può definire la velocità media come . La

portata si può scrivere dunque . Le relazioni semiempiriche sono a. Flusso laminare con temperatura di superficie imposta

b. Flusso laminare con flusso imposto

c. Flusso turbolento con temperatura di superficie imposta o flusso imposto

Un tubo di superficie con temperatura del fluido in entrata , portata e calore specifico sottoposto ad un flusso ha un bilancio energetico: e perciò la temperatura in uscita è

80. Calcolo di a costante

Consideriamo un tubo di raggio di superficie con temperatura superficiale costante nel quale scorre un fluido che entra a temperatura ed esce dal tubo a temperatura . Poniamo la direzione pari a quella della lunghezza del tubo. Il bilancio energetico diventa: La superficie e perciò

81. Convezione naturale: fenomenologia, condizioni necessarie, numero di Rayleigh, esempi.

La convenzione naturale è un fenomeno che si verifica per forze di galleggiamento dovute a differenze di temperatura nel fluido. Le condizioni necessarie sono tre:

a. La densità del fluido deve dipendere dalla temperatura b. Deve essere presente un campo gravitazionale c. Se il gradiente di temperatura e sono paralleli devono essere equiversi

Il numero di Grashoff indica il rapporto tra le forze di galleggiamento e le forze viscose

Per un gas perfetto

Il numero di Rayleigh è pari al prodotto tra il numero di Grashoff e quello di Prandtl È importante in quanto serve per trovare da

82. Tipologia e problemi degli scambiatori di calore. Gli scambiatori di calore sono organi di macchina che servono a far scambiare energia termica tra due fluidi a temperature diverse. Ne esistono di vari tipi

a. A doppio tubo, ovvero con due tubi concentrici dove in uno passa il fluido freddo mentre nell'altro il fluido caldo. A seconda della direzione dei fluidi uno scambiatore può essere detto equicorrente(fluidi con stessa direzione) o controcorrente(fluidi in direzioni opposte.

b. Compatto, se utilizza un sistema di tubi intervallati perpendicolarmente da alcune alette e lamierine che aumentano la superficie di scambio. Tra le piastre passa un fluido mentre nei tubi passa l'altro. Si applica questo scambiatore nei radiatori delle

automobili ed anche nei polmoni umani(lo scambio qui è anche di massa). Il vantaggio di questi scambiatori è il volume ridotto.

c. A mantello, se un fluido passa in alcuni tubi paralleli coperti da un mantello cilindrico nel quale passa l'altro fluido(la cui traiettoria viene estesa con delle piastre detti diaframmi). Sebbene vengano usati maggiormente nelle applicazioni industriali sono molto ingombranti e pesanti(inadatti a mezzi di trasporto).

d. A piastre, ovvero costituito da piastre (con piccoli condotti) intervallate alternativamente dal fluido caldo e dal fluido freddo. In questo modo la corrente fredda viene a contatto con quella calda in maniera doppia, migliorando lo scambio termico.

83. Relazioni di scambio termico per scambiatori di calore in equicorrente e in controcorrente In uno scambiatore di calore controcorrente, ovvero con fluidi in direzioni opposte, si può verificare che la temperatura in uscita del fluido freddo sia maggiore di quella in uscita del fluido caldo(cosa che non si verifica in quelli equicorrente) Consideriamo uno scambiatore equicorrente. Dato che vi è solo un salto entalpico la potenza termica trasmessa nello scambiatore è pari a Definiamo il coefficiente globale di scambio termico e otteniamo dove è il prodotto del perimetro del tubo interno per (quindi l'area di scambio)

con

temperatura media logaritmica. Le sezioni 1 e 2 non sono

necessariamente ingresso e uscita in quanto uno scambiatore controcorrente non ha ingresso e uscita definiti. Inoltre , rendendo necessaria una minore per lo scambiatore controcorrente.

84. Efflussi da serbatoi, equazione di Hugoniot, determinazione delle condizioni di blocco sonico In un condotto di uscita da un serbatoio si ha

La velocità del suono è definita come

Il numero di Mach è definito come

Essendo in condizioni stazionarie ovvero

Quando un aumento di sezione corrisponde ad una diminuzione di velocità Quando un aumento di sezione corrisponde ad un aumento di velocità Essendo poi Questo vuol dire che in un condotto convergente - divergente il fluido raggiunge la velocità del suono nella sezione di gola. Nel caso ideale, poste 1 sezione d'entrata e 2 sezione d'uscita, il passaggio nel condotto è isoentropico con diminuzione dell'entalpia. Nel caso reale si ha anche una variazione di entropia con conseguente diminuzione di entalpia(meno rispetto al caso ideale). Se il condotto è progettato male, nella sezione di gola la vena fluida si rompe causando un enorme aumento di entropia e una variazione quasi nulla di entalpia dal punto di gola. Considerando la trasformazione (1-2) isoentropica e integrando si ha

Il massimo della portata(calcolata nella sezione di gola) si trova ponendo

Il massimo della portata si ottiene quando la velocità . Se si aumenta la pressione (o si diminuisce si ha il blocco sonico, ovvero la portata non aumenta più ma resta costante. Questo perché nei fluidi le informazioni viaggiano alla velocità del suono