Corso di:Misure e Strumentazione Industriale

Guido Perucchini

27 aprile 2016

SommarioL’obiettivo del corso è, l’acquisizione delle competenze necessarie

alla verifica ed alla misura sperimentale di alcuni fenomeni tipici del-l’ingegneria energetica.

Richiami di metrologia di base: modello di misura, valutazionedell’incertezza nelle misure, sistemi ed unità di misura, proprietà sta-tiche degli strumenti, taratura statica, certificazione e accreditamento,le catene di misura, prestazioni dinamiche degli strumenti (con cennial passaggio al dominio delle frequenze).Strumentazione analogica e digitale:il multimetro, l?oscilloscopio,il generatore di funzioni, la conversione analogico-digitale, le schede diacquisizione dati da PC, fondamenti di utilizzo dei microcontrollori,sistemi di monitoraggio e controllo basati su bus di campo.Misure meccaniche: misure di lunghezza, misure di spostamento,misure di velocità, misure di accelerazione, misure di forza, misure dimassa, misure di pressione e misure di portata.Misure di temperatura: scale di temperatura, termometri a resi-stenza, termocoppie e termistori;Misure senza contatto: utilizzo di telecamere per misure di formae di pirometri e termocamere per misure di temperatura.

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Indice1 Introduzione 3

2 Nomenclatura e concetti base di metrologia 42.1 La catena di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 L’incertezza di misura 93.1 Il numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 L’incertezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2.1 Incertezza di tipo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2 Incertezza di tipo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.3 Incertezza combinata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.4 Incertezza estesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Metodo Montecarlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Taratura Statica 184.1 Caratteristiche di un dispositivo di misura . . . . . . . . . . . 184.2 Diagramma di taratura e curva di taratura . . . . . . . . . . 20

4.2.1 Determinazione della curva di taratura . . . . . . . . . 22

5 Sistema Normativo 235.1 Riferibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.1.1 Organismi di riferibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Accreditamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Metrologia e Sistema Normativo . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.3.1 Certificato ISO 9000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Algoritmi di Fourier per l’analisi dei segnali 276.1 Spettri di segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.1.1 Rappresentazione tramite vettori rotanti nel campocomplesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.2 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.3 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.4 Leakage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Campionamento di segnali 307.1 La conversione Analogico/Digitale . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.1.1 Configurazione di ingresso nei sistemi di conversioneA/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.2 Sample and Hold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3 La durata del campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.4 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.4.1 Filtri Anti-Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.5 L’avvio del campionamento: trigger . . . . . . . . . . . . . . . 30

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7.6 Campionamento asincrono vs sincrono . . . . . . . . . . . . . 31

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1 IntroduzioneIl contesto industriale in cui viviamo viene definito Industria 4.0, ovvero,la quarta rivoluzione industriale, quella dei cyber-physical systems (CPS),in cui un ruolo importante nella produzione è quello di internet e delle tec-nologie definite "smart".La centralità delle misure è evidenziata nei compiti fondamentali di moni-toraggio, diagnostica, controllo e regolazione, in cui tramite sensori vengonoquantificate grandezze fisiche con le quali successivamente interagire nei si-stemi.

Si elencano quindi le principali tipologie di applicazione delle misure:

• monitoraggio e diagnostica di operazioni e processi.

• controllo di operazioni e processi.

• analisi per mezzo della ingegneria sperimentale, acquisizione di cono-scenze e validazione del modello, identificazione e collaudo.

Tra questi la principale applicazione delle misure è il controllo di opera-zioni e processi utilizzando sensori in sistemi di controllo retroazionato:

Figura 1: schema di un sistema di controllo retroazionato

Volendo considerare, ad esempio, un problema di allineamento della navicel-la di una turbina eolica con la direzione del vento, il cui obiettivo è quindidi ottenere:

αvento = βnavicella (1)

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Si necessita di una variabile di controllo fornita dal sistema, in questocaso è la posizione angolare relativa tra navicella e direzione del vento:

variabile di controllo = ∆ = αvento − βnavicella (2)

dato un valore di βnavicella iniziale, tramite il sistema di misura si ottie-ne un valore stimato βnavicella∗stimato, e il sistema di controllo confronteràquesta grandezza con α, nel caso queste coincidano allora il sistema forniràun output positivo e non dovrà effettuare nessuna retroazioni; altrimenti∆ = αvento−βnavicella∗stimato e il sistema dovrà modificare la posizione rela-tiva, tramite un comando di retroazione, determinando quindi un nuovo β.Il valore di β è soggetto a diversi disturbi che entrano nel sistema ed è quindiessenziale un costante monitoraggio attivo dei parametri di sistema.

Fondamentale è anche il ruolo dell’analisi tramite ingegneria speri-mentale in cui la formazione di un’opinione avviene tramite i seguentipassaggi:

a. concepimento di un modello

b. definizione di prove di verifica / falsificazione

c. esecuzione di prove sperimentali

d. misura dei risultati

e. confronto tra le misure reali e i valori previsti dal modello

f. misure reali e previste diverse −→ a

g. misure reali e previste circa uguali allora il modello è corretto −→verifica o negazione

La parte di ingegneria è fondamentale nella progettazione, sviluppo e ri-cerca che si avvale della sperimentazione di laboratorio, è fondamentale pervalidare i modelli numerici. Il passaggio di falsificare o verificare una teo-ria è critico: una misura con strumenti inadeguati potrebbe condurre aconclusioni errate.

2 Nomenclatura e concetti base di metrologiaVerrano elencati alcuni termini e concetti fondamentali di metrologia. Si fariferimento al VIM - Vocabolario Internazionale delle Misure

• grandezza è la proprietà di un fenomeno che può essere espressaquantitativamente mediante un numero e un riferimento

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• specie di grandezza è l’aspetto comune di due grandezze confronta-bili; due grandezze della stessa specie sono dimensionalmente omoge-nee.

• misurazione è un processo volto ad ottenere sperimentalmente uno opiù valori che possono essere ragionevolmente attribuiti ad una gran-dezza. Comprende l’atto del misurare, l’uso di uno o più strumenti,l’eventuale elaborazione matematica e la necessaria valutazione dellaqualità del risultato. La misurazione è quindi il procedimento attraver-so il quale si assegnano valori numerici a rappresentazione di grandezzefisiche.

• metrologia è la scienza della misurazione e delle sue applicazioni.

• misurando è la grandezza che si intende misurare, la specificazionedi un misurando richiede la conoscenza dello stato del fenomeno, delcorpo di cui la grandezza costituisce una proprietà, includendo tutti irelativi componenti e le entità chimiche in gioco.

• metodo di misura è la descrizione generale dell’organizzazione logicadelle operazioni messe in atto in una misurazione.

• risultato di misura è l’insieme di valori attribuiti a un misurandocongiuntamente a ogni altra informazione pertinente disponibile.

Le grandezze possono essere estensive se sono legate alla massa, se vale laproprietà additiva e il confronto può essere eseguito in termine di rapporti;oppure intensive se esprimono un ordine, non vale la proprietà additivaed i rapporti valgono solo in termini di differenze rispetto ad un valore diriferimento, definiscono un modo di essere della materia e di solito vengonomisurate indirettamente.

I metodi di misurazione, ovvero la procedura che regola le modalità concui si esegue una misura, possono essere:

• DIRETTO: il metodo diretto è il metodo nel quale il valore del mi-surando è ottenuto leggendo direttamente la grandezza di interessa,confrontandola con un’altra della stessa specie, scelta come campio-ne e rappresentante l’unità di misura, ad esempio la lettura di unalunghezza con un metro da falegname.

• INDIRETTO: il metodo indiretto è il metodo nel quale la misura èottenuta leggendo una o più grandezze legate funzionalmente al valoredel misurando, ma non omogenee alla grandezza di interesse. Perpoter utilizzare questo metodo è necessario conoscere preventivamentele relazioni che legano queste grandezze, ad esempio la misura dellospostamento, leggendo in realtà un segnale in tensione.

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Oppure possono essere classificati come metodi per deviazione, per azzera-mento o per sostituzione:

• DEVIAZIONE se la misura del misurando è in relazione con lo spo-stamento di un indice da uno strumento o con un altro tipo di segnaledi uscita

• AZZERAMENTO se la misura del misurando è ottenuta confron-tandolo con un campione materiale ad esso omogeneo

• SOSTITUZIONE se il misurando è sostituito con una grandezza del-la stessa tipologia di valore noto in modo che l’effetto sullo strumentoindicatore sia lo stesso

Figura 2: deviazione e azzeramento

• principio di misura è il fenomeno a fondamento di una misurazione.

• procedura di misura è la descrizione dettagliata di una misurazioneeseguita in conformità a uno o più principi di misura e un determinatometodo di misura, fondato su un modello di misura e comprendentetutti i calcoli necessari per ottenere un risultato di misura.

L’esecuzione di una misura è un investimento: è dunque opportuno che siaadeguata alle esigenze della situazione specifica, è inutile utilizzare strumentidalle caratteristiche eccessivamente spinte se non vi è una reale necessità. Lascelta dello strumento di misura dipende dal grado di accuratezza richiesto.Bisogna misurare ciò che serve, per questo motivo associato ad ogni misuradeve esistere un modello della realtà che si vuole misurare e il modello stessoinfluenza la scelta dello strumento da usare e la procedura di esecuzione dellemisure.

• modello di misura è la relazione matematica tra tutte le grandezzeche si conosce essere coinvolte in una misurazione.

• grandezza d’uscita del modello di misura è la grandezza il cui va-lore misurato è calcolato impiegando i valori delle grandezze d’ingressodei modelli di misura.

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• grandezza d’influenza è la grandezza che in una misurazione direttanon ha effetto sulla grandezza effettivamente misurata ma influenza larelazione tra l’indicazione e il risultato della misura.

Figura 3: modello di misura

Il modello è un insieme di relazioni tra valori di parametri, descrivente leinterazioni e/o le evoluzioni dei sistemi. Non esistono modelli migliori o peg-giori ma solo modelli più o meno efficaci nel rappresentare le caratteristichedell’applicazione per cui le misure vengono fatte. Anche un modello moltogenerale non ha validità assoluta ma solo relativa, ovvero per un limitatocampo di valori dei parametri che definiscono lo stato del sistema.

Esiste una grandezza principale che è l’oggetto della misura, ma altregrandezze influenzano la misura, le grandezza di disturbo: alcune sonoidentificabili come la temperatura, l’umidità, lo stato di sollecitazione maaltre non sono identificabili perché non tutti i fenomeni sono noti. La sud-divisione tra queste grandezze è dipendente dal tipo di modello scelto.

Una distinzione importante è tra misure statiche o stazionarie, cioè mi-sure di grandezze le cui variazioni nel tempo sono lente e quindi si possonopensare stabili nel tempo di osservazione, oppure misure tempo-variantio dinamiche cioè valutando l’effetto del tempo sulla grandezza.

2.1 La catena di misura

La catena di misura è la serie di elementi di un sistema di misura che costi-tuisce un percorso univoco per il segnale del sensore all’elemento di uscita.E’ composta da un sensore/trasduttore, dal condizionamento del segnale,dalla fase di acquisizione del segnale e dalla successiva elaborazione dellostesso.Si definisce sensore l’elemento di u sistema di misura che è direttamenteinfluenzato dal fenomeno, corpo o sostanza che propongono la grandezzada sottoporre a misura. E’ l’elemento che produce un’uscita dipendente dauna variabile fisica da cui è interessato, secondo un principio fisico fissato; è

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quindi l’elemento sensibile che risente del misurando.

Ad esempio: la resistenza elettricaLa legge su cui si basa è la legge di Ohm V = R · I, per effetto della tem-peratura il metallo subisce una dilatazione, con conseguente allungamentoe riduzione della sezione trasversale. Tale riduzione della sezione provocauna variazione della resistenza, di conseguenza è possibile quantificare unavariazione di resistenza per stimare la temperatura esterna. In questo casola resistenza è il sensore (e non lo strumento di misura).

Si definisce trasduttore il sensore che ha la funzione di trasformare lagrandezza fornita dal sensore primario in un’uscita più facilmente trattabile.

L’uscita di un trasduttore, spesso, non può essere collegata direttamentead uno strumento di misura o di elaborazione. Il segnalo elettrico, oltre acontenere componenti indesiderate e rumori, è troppo debole per poter es-sere trasmessa a distanza.E’ quindi possibile, tramite un circuito di condizionamento, ottenere unsegnale in un formato compatibile con il dispositivo di elaborazione, ridu-cendo il più possibile gli effetti negativi di carico e di interferenze esterne.I disturbi elettromagnetici, come ad esempio un cellulare nelle vicinanze,introducono rumori nel sistema, e se la tensione registrata è piccola rispettoal rumore, non si riesce ad ottenere una misurazione adeguata. La soluzionea questo problema è il condizionamento del segnale tramite un sistema diamplificazione, in modo tale da variare il rapporto tra il segnale e il disturbo.

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3 L’incertezza di misuraSi consideri, ad esempio, la misura della resistenza in una batteria: si fapassare una corrente nota ai poli, si misura il potenziale e di conseguenzaricavo il valore della resistenza. In output, eseguendo varie misurazioni,ottengo valori simili ma che si discostano per poche cifre decimali:

Ω1 = 120.44ΩΩ2 = 120.42ΩΩ3 = 120.39ΩΩ4 = 120.34Ω

(3)

Si ricorda che non esiste la misura esatta poiché ci sono varie grandezzedi disturbo, che posso conoscere o non conoscere, di cui non tengo contomisurando quindi qualcosa diversa ad ogni misurazione. La misura vieneespressa tramite un’espressione statistica: la stima campionaria Ω delleresistenze misurate. Tale valore risulta comunque non essere quello vero,che non è conoscibile, ma risulta essere il più probabile.La misura assumerà, quindi, un’espressione del tipo: Ω ± uΩ: cioè un valormedio ed un intervallo di confidenza. Riferendoci al caso precedente si puòdire che

resistenza = 120.40± 0.5[Ω] (4)

Secondo la normativa UNI4546, la misura è un’informazione costituita da:un numero, l’incertezza e l’unità di misura, assegnati a rappresentare unparametro in un determinato stato del sistema. Ad esempio:

massa = 10± 0.2[kg] (5)

3.1 Il numero

E’ essenziale capire quale sia il numero di cifre significative per l’appros-simazione con cui si sceglie di rappresentare una grandezza, l’errore diarrotondamento nel momento in cui si scelgono n cifre significative saràerrore ≤ 5 ·10−n. Per capire quante sono le cifre significative è consigliabilesempre esprimere il numero in notazione scientifica: le cifre che in notazio-ne scientifica sono essenziali per non cambiare il valore del numero sono lecifre significative. Il numero delle cifre significative esprime la sensibilità dimisura dello strumento.

3.2 L’incertezza

L’incertezza è un numero associato al risultato di una misurazione, che espri-me la dispersione dei valori che possono ragionevolmente essere attribuiti al

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misurando. Quando si esprime una misura è obbligatorio esprimere l’incer-tezza di misura.

L’approccio classico, oggi superato, definiva l’errore come la differenza tra ilvalore vero della misura e la misura effettuata, il valore vero non è noto edesiste solo convenzionalmente, quindi non potrò neanche conoscere l’errore.In realtà dell’errore si può dire che è formato da due componenti:

• casuale (random) dovuta alle variazioni non prevedibili o casuali neltempo e/o nello spazio delle grandezze d’influenza. Tale componenteda luogo a variazioni in osservazioni ripetute sul misurando. Non è pos-sibile correggerla/eliminarla ma si può ridurre aumentando il numerodi osservazioni.

• sistematica, se una grandezza d’influenza produce un effetto identifica-to in un errore sistematico, tale effetto è quantificabile e correggibile.

L’approccio GUM, attualmente valido, prevede che sia possibile affermaresolo che il valore vero si trovi all’interno di un intervallo di valori, con uncerto livello di probabilità. L’incertezza è un numero associato al risulta-to di una misurazione, che esprime la dispersione dei valori che possonoragionevolmente essere attribuiti al misurando.

Figura 4: Incertezza: approccio attuale

Quando si parla di incertezza ci si riferisce alla sola componente casuale e,solitamente, ci si riferisce ad un modello di distribuzione probabilistico ditipo gaussiano.Solo le definizioni hanno incertezza nulla, l’incertezza di una misurazionenon può essere ridotta a piacimento dato che esistono dei limiti economici efisici a questo processo.

Si definisce accuratezza l’accordo tra il risultato di una misura ed il va-lore ,convenzionalmente vero, del misurando. E’ un un concetto qualitati-vo, infatti il valore vero non è conoscibile. Si faccia riferimento a questarelazione:

↑ accuratezza ↓ dispersione ↑ costo (6)

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Rappresentazione degli errori:

Figura 5: Valori concentrati, poco dispersi ma distanti dal valore vero. Lamisura avrò un valore casuale basso ma un errore sistematico rilevante, ditraslazione dal valore vero.

Figura 6: Valori dispersi attorno al valore vero con un rilevante errore casualeed un piccolo errore sistematico

Le fonti di incertezza in una misurazione sono numerose ma le più comunisono la non costanza dello stato del sistema tra le misurazioni, l’incompletadefinizione del sistema e la presenza di effetti strumentali.Il concetto di uguaglianza di due misure va sostituito con quelli di compa-tibilità, dato che non è certo il valore numerico del misurando è impossibileparlare di uguaglianza fra due misure nel senso matematico del termine.

Si definisce compatibilità la condizione che si verifica quando le fasce divalore assegnate, in diverse occasioni, come misura dello stesso parametronello stesso stato hanno almeno un elemento in comune. E’ evidente che lacompatibilità non è una proprietà transitiva.L’incertezza è un parametro, associato al risultato di una misurazione, checaratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misu-rando.Si definisce incertezza tipo, l’incertezza del risultato di una misurazioneespressa come scarto tipo.

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Figura 7: effetti sistematici e casuali

Figura 8: compatibilità: esempio

• valutazione dell’incertezza di categoria A: metodo di valutazione permezzo dell’analisi statistica, ottenuta da una densità di probabilitàderivata da una distribuzione di frequenza osservata

• valutazione dell’incertezza di categoria B: metodo di valutazione permezzo differenti dall’analisi statistica, ottenuta da una densità di pro-babilità ipotizzata sulla base del grado di credenza nel verificarsi di unevento.

3.2.1 Incertezza di tipo A

Come detto precedentemente l’incertezza di tipo A, fa riferimento ad una di-stribuzione gaussiana dei valori delle misure effettuate, in corrispondenza

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di un determinato valore di riferimento o di una t-Student se il numero dicampioni è modesto (ad esempio inferiore a 20 o 30).

La miglior stima dei valori attesi µx di una grandezza x che varia casual-mente e della quale sono state ottenute n osservazioni indipendenti xk nellestesse condizioni sperimentali, è il valor medio x delle n osservazioni:

x = 1n

∑xk (7)

Le singole osservazioni xk differiscono a causa di variazioni casuali dellegrandezze d’influenza, o effetti aleatori. La varianza sperimentale delle os-servazioni, che stima la varianza σ2 della distribuzione di probabilità di xk,cioè la varianza della popolazione, è data da:

s2p = s2(xk) = 1

n− 1∑

(xk − x)2 (8)

Questa stima della varianza e la sua radice quadrata positiva S(xk), dettascarto tipo sperimentale, caratterizzano la variabilità dei valori osservati xk,cioè la loro dispersione intorno alla media.La miglior stima della varianza della media σ2(x) = σ2/n è data da S2

m:

S2m = S2(x) =

S2p

n= S2(xk)

n(9)

Da cui si ottiene che Sm = Sp√n

e quindi, al crescere della dimensione delcampione n la varianza della media diminuisce.

La misura è data dalla media e la sua incertezza è lo scarto tipo dellamedia stessa.

x = x± Sp√n

= x± Sm (10)

(Notare bene, per non fare confusione, che si sta stimando la media e l’incer-tezza quindi va data calcolando σ sulla stima della media e non sul campionedi partenza)

Si definisce incertezza di tipo A l’incertezza relativa alla distribuzionedelle medie data da:

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UA = Sm = SP√n

(11)

la misura viene quindi espressa come

µ± UA [UdM ] (12)

3.2.2 Incertezza di tipo B

Anche questa è di tipo statistico ma, a differenza dal tipo A, la funzionedensità di probabilità viene ipotizzata a priori ed i relativi calcoli effettuatisecondo tale distribuzione. E’ consigliata quando si conosce il modello stati-stico del fenomeno fisico in esame oppure se lo strumento di misura ha unascala graduata.L’uso dell’insieme di informazioni disponibili per una valutazione di catego-ria B dell’incertezza tipo richiede capacità di approfondimento basata sull’e-sperienza e conoscenze generali ( dati di misurazioni precedenti, conoscenzadel comportamento e delle proprietà dei materiali e strumenti di interesse,specifiche tecniche del costruttore, dati forniti in certificati di taratura, in-certezze assegnate a valori di riferimento tabulati.)Tutte le valutazioni di tipo B hanno per definizioni numero di gradi di li-bertà infinito.

Ad esempio, considerando uno strumento a display digitale in grado di misu-rare solo i numeri interi e che non riesce ad apprezzare le variazioni decimalidel misurando. Indicando quindi una misurazione che cade tra un numerointero (11) ed il seguente (12), come si indica la misura?

Si fa un’assunzione a priori: tutti i valori tra due numeri interi successi-vi sono equiprobabili e si ipotizza quindi una distribuzione rettangolare,nessun valore ha probabilità di uscita maggiore degli altri, la densità diprobabilità è f(x) = 1

2a nell’intervallo e nulla altrove.

Posta a la semiampiezza dell’intervallo, simmetrico rispetto al valo-re intero, se si accetta una distribuzione rettangolare la deviazionestandard è:

σ = a√3

(13)

La scelta a priori della distribuzione è comunque libera, ed è possibile optareanche per distribuzioni trapezoidali, triangolari, ecc. ma nella maggior par-te dei casi pratici, per semplificazione, si adotta la distribuzione rettangolare.

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Per concludere: nel caso si abbia tempo e risorse è meglio procedere conla stima statistica della popolazione e la determinazione dell’incertezza ditipo A, più robusta. Altrimenti si procede con l’incertezza di tipo B, siricorda che se è possibile determinare l’incertezza di tipo A allora è possi-bile determinare anche quella di tipo B. Nel caso di indecisione si sceglie ilmodello più cautelativo, con incertezza maggiore che di solito risulta esserquello di tipo A.

3.2.3 Incertezza combinata

Nella maggioranza dei casi il misurando Y non viene misurato direttamente,ma determinato mediante altre N grandezze X1, X2, . . . , XN attraverso unarelazione funzionale f

Y = f(X1, X2, . . . , XN ) (14)

l’incertezza di Y è detta incertezza combinata, f può essere complessaquindi per stimare Y occorrerà stimare le grandezze d’ingressoX1, X2, . . . , XN

e per stimare l’incertezza di Y occorrerà stimare prima le incertezze dellegrandezze d’ingresso.

Legge di propagazione dell’incertezza

i = UC =

√√√√ p∑i=1

(( ∂f∂xi

)2 · i2(xi))

(15)

valida solo se l’ipotesi di non correlazione tra le variabili in ingressoè verificata

si noti come ∂y∂i−esimax corrisponde al peso e la formula rappresenti una som-

ma in quadratura pesata, che da quindi un peso relativo differente ad ogniincertezza della i-esima grandezza d’ingresso.

Come si calcola l’incertezza estesa combinata e come si sceglieil fattore di copertura in caso di incertezza compostaSe i parametri x1, . . . , xn si distribuiscono come una gaussiana e se f ècombinazione lineare di questi parametri allora anche y = f(x1, . . . , xn) sidistribuisce come una gaussiana; ciò è tanto più vero quanto cresce il numerodi parametri n.Per determinare i fattori di copertura si procede analogamente con la tabelladella distribuzione gaussiana. Nel caso invece n sia piccolo allora bisogne-rebbe fare ricorso alla distribuzione t-Student con ν = gradi di libertà, e seν →∞ allora la t-student tende ad una gaussiana.

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3.2.4 Incertezza estesa

E’ la grandezza che definisce, intorno al risultato di una misurazione, unintervallo che ci si aspetta comprendere una frazione rilevante della distri-buzione di valori ragionevolmente attribuibili al misurando.

L’incertezza estesa si ottiene moltiplicando l’incertezza tipo per un oppor-tuno fattore di ricopertura.

Lo scopo dell’incertezza estesa è la costruzione di un intervallo di valoriche contenga il misurando con una confidenza, cioè una probabilità, desi-derata. Si noti che il valore del misurando è fisso, anche se incognito, lavariabile aleatoria sono gli estremi dell’intervallo di misura.Un livello di confidenza 0.95 significa che, ripetendo 100 volte n misurazioni,95 intervalli su 100 costruiti come (media ± fattore di coperatura * devia-zione standard della media) contengono il misurando.

In caso di incertezza A, come fattori di copertura si utilizzano gli oppor-tuni quantili della distribuzione gaussiana (n > 20) o della t- Student (n ≤20). In quest’ultimo caso i g.d.l. della distribuzione sono pari a n-1.

Sia per la gaussiana che per la t-Student, ponendo LC = 1−α, è da scegliereil quantile q = 1− α/2.

Se si parla di incertezza estesa bisogna indicare:

• il livello di confidenza

• il fattore di copertura

• la distribuzione utilizzata

E’ possibile che venga richiesto di calcolare il fattore di copertura, ricavandoquindi il percentile relativo dalle tabelle della gaussiana. Ricordarsi che sulletabelle i valori sono indicati secondo un intervallo (− inf, z) mentre stiamocercando un’area del tipo (−z, z) e quindi bisogna considerare anche l’areadella coda sinistra data da 1−α

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3.3 Metodo Montecarlo

E’ il modello adatto per stimare l’incertezza combinata se:

• il modello è troppo complesso e le ipotesi per l’applicazione dellapropagazione dell’incertezza non sono verificate.

• i parametri non sono indipendenti tra loro.

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• le leggi che legano le grandezze in input e il misurando è di tipo nonlineare.

Il metodo Montecarlo può essere applicato qualsiasi sia la distribuzione diprobabilità dei parametri in ingresso; è usato per trarre stime attraversosimulazioni. E’ basato su un algoritmo che genera una estrazione causaledi ciascun Xi parametro, basandosi sulle distribuzioni di probabilità che sisuppone abbiano le Xi grandezze stesse. Per ogni simulazione viene stimatala legge di distribuzione degli n parametri, ripentendo N ≥ 106 estrazioni siottengono N campioni della variabile casuale Y = f(X1, . . . Xn) dai quali sipuò stimare la distribuzione di Y e quindi la relativa incertezza.

Procedura del Metodo Monte Carlo:

• definizione della grandezza da misurare Y

• definizione della grandezza d’ingresso Xi da cui dipende la grandezzaY

• definire il modello che lega la grandezza Xi alla grandezza Y

• assegnare alla grandezze in ingressoXi una distribuzione di probabilitàadeguata.

Propagazione dell’incertezza:

• definire un numero di iterazioni sufficientemente alto, almeno 106

• l’algoritmo MC ad ogni interazione seleziona, per ogni input, un valorerandom tra quelli definiti dalla corrispettiva distribuzione.

• alla fine delle interazioni quello che si ottiene è la distribuzione diprobabilità della grandezza Y

Risultati del Metodo Monte Carlo

• ottenere la distribuzione di probabilità della grandezza Y

• stimare la media di Y dalla distribuzione ottenuta

• stimare la deviazione standard di Y

• stimare il fattore di copertura necessario, dato un determinato valoredi confidenza.

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4 Taratura StaticaL’obiettivo è lo studio delle prestazioni degli strumenti e dei sistemi di misu-ra con particolare riguardo alla qualità della misura. Si definiscono misurestatiche le misure di quantità costanti o che variano lentamente nel tempo.

La taratura è il processo atto a determinare la corrispondenza tra il valore inoutput e la grandezza fisica che lo strumento sta misurando. Procedimentoche consiste nel confronto, in corrispondenza di definiti campi di variazioneper le grandezze di influenza, tra un dispositivo di misura (dispositivo intaratura) ed un secondo avente caratteristiche metrologiche adeguatamentesuperiori, al fine di ricavare l’insieme di dati di correzione e l’incertezza deldispositivo di misura in taratura.

4.1 Caratteristiche di un dispositivo di misura

a. Diagramma di Taratura: relazione che permette di ricavare daogni valore di lettura fornito da un dispositivo, per misurazione e/oregolazione, la misura da assegnare al misurando.

b. Risoluzione è l’attitudine di un dispositivo a risolvere stati diversidel misurando durante la misurazione, ovvero è la più piccola partemisurabile dallo strumento. l valore della risoluzione è la variazionedel valore del misurando che provoca una modificazione del valore dilettura di ampiezza pari all?incertezza di lettura. La risoluzione nonpuò essere dedotta dal diagramma di taratura e non va confusa con lasensibilità.

c. Ripetibilità è il grado di concordanza tra i risultati di misure suc-cessive dello stesso misurando effettuate nelle medesime condizioni dimisura, seguite in un breve intervallo temporale cioè, se le condizioniin cui effettuo la misurazione si mantengono costanti otterrò risultaticompatibili, cioè fasce di valori sovrapposte.

d. Riproducibilità è il grado di concordanza tra i risultati di misure suc-cessive dello stesso misurando effettuate in condizioni di misura diver-se; cioè non viene più vincolata la costanza delle condizioni ambientalidurante la misurazione.

e. Stabilità è l’attitudine di un dispositivo di misura a mantenere costan-te il valore fornito in misure eseguite indipendentemente sullo stessomisurando in un intervallo di tempo definito con identica procedura enelle stesse condizioni per le grandezze d’influenza. E’ quindi la ca-pacità dello strumento di fornire valori in output costanti nel tempomentre vengono effettuate misure statiche.

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f. Deriva è la variazione in funzione di una grandezza d’influenza diuna grandezza metrologica di un dispositivo di misura. Ovvero, nelmomento in cui leggo una misura in funzione del tempo, noto che essasi discosta dal valore costante.

g. Isteresi è la proprietà di uno strumento di fornire valori di letturadiversi in corrispondenza di un medesimo misurando, quando questoviene fatto variare per valori crescenti e per valori decrescenti.

Viene definita classe di uno strumento la categoria convenzionale cui ap-partengono i dispositivi di misura che rispettano prescritti limiti riguardoad alcune caratteristiche metrologiche.Quando è noto che un dispositivo ap-partiene ad una data classe di precisione, è lecito usarlo supponendo che ilvalore delle sue caratteristiche metrologiche sia pari al limite fissato per essenella definizione della classe stessa. La classe viene indicata con un indicedi numeri e/o lettere.

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4.2 Diagramma di taratura e curva di taratura

L’ingresso al sistema è noto con incertezza nulla, i disturbi sul sistema dimisura sono eliminati o controllati e il sistema può essere considerato comeuna "scatola nera" caratterizzato da una funzione che lega in modo univocol’ingresso X e l’uscita Y .Nel caso ideale, quindi, esiste perfetta corrispondenza tra i valori sperimen-tali e legge fisica. La relazione biunivoca che lega tra loro ingresso e uscitaè una taratura statica (fissata la condizione di costanza delle grandezze diinfluenza).

Figura 9: esempio caso ideale: bilancia

Ovviamente in un sistema reale sono presenti delle grandezze di influenza,come ad esempio la temperatura ( T = T (gdi)), e quindi la curva di taraturapuò subire variazioni non trascurabili: avremo in questo caso una famiglia dicurve di taratura. Le grandezze d’influenza non sono controllate e, rispetto

Figura 10: esempio caso reale: bilancia

alla condizione iniziale alcune gdi sono controllabili con un certo grado di

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incertezza mentre altre non sono controllabili oppure sono eliminabili e inquest’ultimo caso vengono definite disturbi.La misura dell’output è quindi affetta da incertezza ed il legame funzionaletra input e output è spesso complesso.

Figura 11: taratura nel caso reale

La taratura dello strumento di misura viene svolta in condizioni ambientaliil più possibile controllate per limitare la variazione dei dati, l’esperienzasperimentale dimostra che solitamente i dati si distribuiscono approssimati-vamente secondo la funzione densità di probabilità Gaussiana.Tale funzione è definita da un valor medio µ e deviazione standard σ inaccordo con il teorema del limite centrale.

µ = x = 1N

∑xk (16)

σ = s =√

1N − 1

∑(xk − x)2 (17)

Mediando le letture di misure ripetute si ottiene una stima della lettura deltrasduttore in corrispondenza del valore della misura in ingresso (grandezzadi riferimento).

La curva di taratura è quindi una relazione biunivoca tra ogni valore fornitodallo strumento e il corrispondente valore da assegnare al misurando. Undiagramma di taratura è fornito per determinati valori delle grandezze di

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Figura 12: Curva di taratura

influenza (da specificare). La curva di taratura per quanto detto prima saràcorredata da una opportuna fascia di incertezza.

4.2.1 Determinazione della curva di taratura

Si approssimano i punti ottenuti durante le misure di taratura, in modo daavere una espressione analitica che consenta una rapida e facile conversio-ne dal valore letto al valore della grandezza da misurare. Se lo strumentoè lineare, la curva che approssima è una retta (regressione lineare), ma sipossono avere anche altre funzioni interpolanti (ad es. parabole), oppureancora funzioni non polinomiali.Se i punti a disposizione sono più di due si passa ai procedimenti di minimiz-zazione degli scarti fra punti sperimentali e curva (o retta) approssimante.Si trova la retta che "mediamente" segue meglio l’andamento dei punti senzanecessariamente passare per alcuno di essi.

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5 Sistema Normativo

5.1 Riferibilità

E’ la proprietà di una misura di essere rapportata con valori noti a campioniappropriati, attraverso una catena ininterrotta di confronti. Senza questadefinizione, derivante direttamente dal concetto di misura, non sarebbe pos-sibile assegnare ad un valore misurato un’unità di misura riconosciuta inquanto non vi sarebbe un collegamento certo ai campioni che lo rappresen-tano.La riferibilità è una caratteristica acquisita attraverso la taratura. Le lettu-re dello strumento vengono relazionate con un campione che già dispone diuna sua riferibilità. La strumentazione tarata presso laboratori metrologiciacquisisce la capacità di fare misure riferibile, e per questo viene chiamatastrumentazione dotata di riferibilità.

Quasi nessuno ha accesso ai campioni primari dell’unità di misura, si ècreata quindi una catena di riferibilità attraverso la quale, i campionisecondari trasmettono via via riferibilità agli altri strumenti.

Campione primario→ n-campione secondario nazionale→ n-campionesecondario aziendale → n-esimo strumento d’uso comune

A ogni → corrisponde un’operazione di taratura che trasmette la riferibili-tà. Man mano che ci si allontana dal campione primario la precisione concui si può misurare la grandezza diminuisce perchè l’incertezza di misuracresce allontanandosi dal campione primario poiché:

• gli strumenti coinvolti hanno errori non correggibili.

• l’operazione di taratura produce errori di misura.

• gli errori non correggibili di un anello della catena, vengono ereditaticome incertezza di misura dall’anello successivo.

La riferibilità presuppone che sia stata stabilita una gerarchia di campionie strumenti.

5.1.1 Organismi di riferibilità

La convenzione del metro è il trattato, cui aderiscono i Paesi, che definisceil SI, la responsabilità delle attività di mantenimento e aggiornamento delleUnità SI è assegnata al CGPM - Conférence Gènèrale des Poids etMesures mediante il proprio organismo tecnico Comitè Internationaldes Poids et Mesures.

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Figura 13: Piramide della riferibilità

In italia IMP - Istituti Metrologici Primari sono INRIM - Istitu-ti Nazionale di Ricerca Metrologica e INMRI - Istituti Nazionaledi Metrologia delle Radiazioni Ionizzanti

Da regolamento CE N. 765/2008 è necessario assicurare che i prodotti chebeneficiano della libera circolazione dei beni all’interno della CE soddisfi-no requisiti che offrano un grado elevato di protezione di interessi pubbli-ci come salute e sicurezza. Di conseguenza si dovrebbero provvedere nor-me sull’accreditamento, la vigilanza di mercato, i controlli dei prodottiprovenienti da paesi terzi.

5.2 Accreditamento

L’accreditamento è l’attestazione da parte di un organismo nazionale checertifica che un determinato organismo di valutazione della conformità sod-disfa i criteri stabiliti da norme armonizzate e, ove appropriato, ogni altrorequisito supplementare , compresi quelli definiti nei rilevanti programmisettoriali, per svolgere una specifica attività di valutazione della conformità.

Attraverso la certificazione del proprio prodotto, il produttore può dimo-strare al cliente che opera in conformità a norme internazionali e altre pre-scrizioni specifiche attinenti al proprio campo di attività.Solo i Laboratori di prova, Laboratori di taratura, Organismi dicertificazione e ispezioni accreditati sono in grado di fornire al mercato

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dichiarazioni di conformità affidabili, credibili e accettate a livello interna-zionale.

ACCREDIA è l’organismo, senza scopi di lucro, nazionale di accredita-mento, l’unico che in uno stato membro è autorizzato a svolgere attivitàdi accreditamento. ACCREDIA valuta la competenza tecnica e l’idoneitàprofessionale degli operatori i valutazione delle conformità, accertandone laconformità a regole obbligatorie e norme volontarie per assicurare il valoree la credibilità delle certificazioni.

5.3 Metrologia e Sistema Normativo

Secondo la Direttiva Europea 98/34/CE del 1998 si definisce norma laspecifica tecnica approvata da un organismo riconosciuto a svolgere attivitànormativa per applicazione ripetuta o continua, la cui osservanza non siaobbligatoria e che appartenga a una delle seguenti categorie:

• ISO - Norma Internazionale

• EN - Norma Europea

• UNI - Norma Nazionale

A livello Internazionale vengono emesse delle raccomandazioni alle qualiil Paese aderente può attenersi o meno senza alcun limite di vincolo.A livello Europeo si emettono solamente delle regole tecniche e pertantohanno carattere vincolante per i Paesi aderenti.A livello Italiano vengono emesse delle norme tecniche con carattere con-sensuale, talvolta rese vincolanti da specifiche leggi.

Le norme tecniche, sono specifiche di un organismo normatore e nonsono obbligatorie; sono documenti che definiscono le caratteristiche di unprodotto, servizio, processo secondo lo stato dell’arte e hanno le seguenticaratteristiche:

• Consensualità: devono essere approvate con il consenso di coloro chehanno partecipato ai lavori.

• Democraticità: tutte le parti interessate possono partecipare ai lavo-ro, chiunque è messo in grado di formulare osservazioni sull’iter cheprecede l’approvazione finale.

• Trasparenza: UNI segnala le tappe fondamentali dell’iter di approva-zione di un progetto di norma, mettendo il progetto stesso a disposi-zione degli interessati.

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• Volontarietà: le norme sono un riferimento che le parti interessate siimpongono spontaneamente.

5.3.1 Certificato ISO 9000

Un fornitore o un’organizzazione ricorre a un Sistema Gestione Qualità cer-tificato ISO 9000 (VISION 2000) quando ha l’esigenza di dimostrare la suacapacità di fornire con regolarità prodotti che ottemperano ai requisiti deiclienti e quando desidera accrescere la soddisfazione dei clienti tramite l’ap-plicazione efficace del sistema SGQ.

La Garanzia di Qualità è un sistema di gestione operativa può sintetiz-zarsi in "scrivi quello che fai e fai quello che scrivi" e persegue tre obiettiviprincipali:

• Prevenire eventuali difetti durante il processo di lavorazione di unprodotto in modo da non compromettere l’utilizzo del prodotto.

• Garantire la qualità del prodotto concordata dai due contraenti.

• Rafforzare la consapevolezza del problema qualità tra i dipendenti.

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6 Algoritmi di Fourier per l’analisi dei segnaliSotto ipotesi molto larghe un qualsiasi segnale può essere visto come som-ma di un numero, eventualmente infinito di componenti armoniche. Questoconsente di scomporre un segnale in somma di componenti armoniche (sinu-soidali).Ad ogni componente armonica è associata una frequenza di oscillazione, èquindi possibile studiare quali e quante frequenza sono presenti nel segnale

Vedendo il segnale Z =∑i yi con yi i-esima componente armonica.

yi = Ai · sin(2πfit+ ϕi) (18)

Un segnale sinusoidale, nel dominio delle frequenze, è caratterizzato da:

• Ampiezza Ai

• Frequenza fi = 1/λ [Hz] = [1/s] avendo indicato con λ la lunghezzad’onda, cioè il periodo T del segnale

• Fase ϕi

Per quanto riguarda le caratteristiche nel dominio della frequenza, per leonde quadre sono rilevanti le armoniche successive alla fondamentale; nelcaso particolare di un’onda quadra avente duty cycle pari al 50% si può fa-cilmente conoscerne la consistenza e l’ampiezza: sono presenti infatti esclu-sivamente le armoniche dispari, e in particolare la terza, con ampiezza paria un terzo della fondamentale, la quinta armonica, con ampiezza pari ad unquinto della fondamentale, e così via.

Ogni funzione periodica si ripete identicamente dopo un intervallo di tempoT, detto periodo; ogni funzione periodica continua ha un periodo minimodetto periodo fondamentale ed ogni altro periodo è multiplo del periodo fon-damentale.L’analisi di Fourier effettua una trasformazione dal dominio del tempo aldominio delle frequenze. Per i segnali provenienti dai trasduttori si puòpensare che al trasformazione tempo-frequenze sia sempre possibile e chequalsiasi segnale sia sempre scomponibile in somma di sinusoidi.

6.1 Spettri di segnali

Si cerca un modo alternativo alla visualizzazione nel tempo per dare i valoridi frequenza, ampiezza e di ritardo rispetto ad un riferimento iniziale dellagenerica sinusoide. Se le sinusoidi che compongono il segnale sono più diuna, il discorso visto si ripete per tutte le singole sinusoidi, originando lospettro del segnale, che deve essere definito in modulo e fase.

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La singola sinusoide può essere vista come proiezione sull’asse reale (o imma-ginario) di un vettore che ruota a velocità angolare ω nel piano complesso;in maniera più rigorosa può essere vista come composizione di due vettoriche ruotano nel piano complesso con velocità angolare uguale in modulo madi segno opposto.

6.1.1 Rappresentazione tramite vettori rotanti nel campo com-plesso

Il generico vettore rotante è Aej(ωt+ϕ) e contiene tutte le variabili che de-scrivono una sinusoide o cosinusoide, con 2πf = ω pulsazione e ϕ la fase. Larappresentazione sull’asse reale è un coseno pulsante e sull’asse immaginarioun seno pulsante. Entrambi i vettori, di ampiezza A/2, ruotano con la stessavelocità ω ma con versi opposti e all’istante iniziale sono concordi e sfasatirispetto all’asse reale di ±ϕ.

6.2 Serie di Fourier

Ogni segnale periodico con periodo T0 = 1/f0 può essere espresso come seriedi Fourier:

h(t) = a0 +∞∑k=1

(ak · cos(2πfkt) + bk · sin(2πfkt)) (19)

dove si sono espressi:fk = kf0 = k

T0(20)

a0 = 1T0

∫ T0

0h(t)dt (21)

ak = 2T0

∫ T0

0h(t)cos(2πfkt)dt k = 1, 2, 3, . . . (22)

bk = 2T0

∫ T0

0h(t)sen(2πfkt)dt k = 1, 2, 3, . . . (23)

La serie di Fourier permette di esprimere una funzione periodica attraversoun numero discreto di parametri, che sono le ampiezze delle componenti incoseno alla frequenza fondamentale (f0) e alle frequenze multiple (kf0)

6.3 Trasformata di Fourier

La serie di Fourier è definita solo per segnali periodici ma un segnale, costi-tuito in generale dalla somma di più componenti armoniche, non è periodico.La condizione di periodicità è che le frequenze associate alle diverse compo-nenti armoniche abbiamo rapporti rappresentati da numeri razionali: esiste

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quindi un periodo fondamentale T0 che soddisfa la relazione di periodicità.

La serie e la trasformata integrale di Fourier si applicano a segnali continuinel dominio del tempo e con questa ipotesi le informazioni contenute sonoinfinite. Nella pratica però le analisi vengono fatte tramite campionamentiin intervalli di tempo finiti e conseguentemente il numero di informazioni cheil segnale è in grado di trasmettere è finito. questa perdita di informazionideve essere nota e controllata in modo che le inevitabili distorsioni possanoin ogni caso garantire un’incertezza adeguata.

N = Numero di campioni del segnale da analizzare

N = T

∆t(24)

con T = intervallo o finestra di acquisizione e ∆t intervallo di tempoprefissto.

Si definisce risoluzione in frequenza ∆f

∆f = 1T

(25)

6.4 Leakage

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7 Acquisizione di segnali

7.1 La conversione Analogico/Digitale

7.1.1 Configurazione di ingresso nei sistemi di conversione A/D

7.2 Sample and Hold

7.3 La durata del campionamento

7.4 Aliasing

7.4.1 Filtri Anti-Aliasing

7.5 L’avvio del campionamento: trigger

Spesso si preferisce assoggettare la fase di acquisizione ad un segnale esternoche dia il comando di inizio di acquisizione ad un istante t0 scelto secondocriteri dipendenti dal tipo di prova. Questa acquisizione viene definita sin-cronizzata con il fenomeno fisico che si sta analizzando.

Il trigger è un dispositivo che permette di incominciare ad acquisire i datiquando un segnale preso come riferimento supera un prefissato livello (Trig-ger Level, TL) con una prefissata tangente (slope +/-).

Figura 14: Il trigger su segnale armonico

Il trigger può essere fornito:

• da uno dei canali che vengono acquisiti (internal trigger): ad esem-pio il picco di un segnale di forza proveniente da un eccitazione impul-siva che mette in vibrazione la struttura in analisi; si cercano segnalicon derivata elevata e scarso rumore di fondo.

• un segnale esterno significativo per il fenomeno fisico che si sta ana-lizzando (external trigger): ad esempio una martellata che mette invibrazione la struttura in analisi.

Anche con il trigger rimane un problema, dato che il segnale da acquisireè spesso associato ad un transitorio rapido, in dipendenza dal livello scelto

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si perde sempre la fase iniziale del fenomeno. Infatti il livello di trigger nodeve essere troppo passo per evitare che il rumore di fondo attivi il triggerpiù volte, nè troppo elevato per non correre il rischio che anche il valore dipicco più elevato non attivi l’acquisizione. Per evitare questo problema c’èla possibilità di attivare e scegliere un valore di pre-trigger I moderni siste-mi di acquisizione infatti dispongono di memorie circolari, ring buffer, checontinuano a campionare i dati anche quando non richiesto dall’operatore;quando la memoria è esaurita, i nuovi dati vengono sovrascritti in manie-ra sequenziale; in questo modo quando viene attivato il trigger è possibileaccedere allo storico conservato in memoria degli istanti precedenti

Figura 15: Casi reali con pretrigger

7.6 Campionamento asincrono vs sincrono

• campionamento asincrono: si acquisiscono i campioni adintervalli di tempo costanti. Detto ∆t il tempo trascorso trauna acquisizione e la successiva, si definisce la frequenza dicampionamento fc = 1/∆t

• campionamento sincrono: i campioni vengono acquisiti inmaniera sincrona con un evento (es. un punto ogni 10 di ro-tazione dell?albero motore). In generale il campionamento sin-crono è utile qualora vi sia un fenomeno fisico periodico il cuiperiodo è significativo per la grandezza da acquisire.

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