Espressione e valutazione dell’incertezza di...
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Sistemi di Misura e Monitoraggio
Espressione e valutazione Espressione e valutazione dell’incertezza di misuradell’incertezza di misura
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dell’incertezza di misuradell’incertezza di misura
“To measure is to know”
(Lord Kelvin)
La misura di una grandezza X è costituita da un numero x, da una incertezza u(x) e da una unità di misura [U]
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misura [U]
( x ± u(x) ) [U]
Perché esprimere un’incertezza?
E’ necessario fornire una indicazione quantitativa della qualità del risultato.
Senza tale indicazione non è possibile confrontare:
• risultati fra di loro
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• risultati fra di loro
• risultati con riferimenti assegnati da specifiche e norme
Procedura per caratterizzare la qualità del risultato di una misurazione, cioè per esprimerne l’incertezza
Possiamo ottenere il valore vero del misurando come risultato di una misura?
NO!!
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In un processo di misura agiscono cinque elementi principali:
il misurando
il campione
il metodo
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il metodo
lo strumento
l’operatore
Ognuno di questi elementi contribuisce a rendere non determinabile il valore “vero”.
Misurando: conoscenza parziale, modello matematico incompleto, modifica del suo stato da parte del processo di misura
Campione: è solo una approssimazione della unità di
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Campione: è solo una approssimazione della unità di misura.
Metodo: sfrutta in generale un principio fisico senza considerarne l’interazione con altri fenomeni.
Strumento: il suo funzionamento differisce da quello ideale per la non idealità dei suoi componenti, sensibilità alle condizioni ambientali, età9.
Operatore: la lettura corretta degli strumenti, la corretta interpretazione dei risultati, la realizzazione del circuito di misura9 dipendono fortemente dalla capacità e dalla
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esperienza dell’operatore.
Per tacere del resto del mondo: temperatura, interferenze elettromagnetiche, 9.
Conseguenza:
Ripetendo il processo di misura, anche senza cambiare le condizioni di misura, si ottengono risultati differenti (dispersione dei risultati).
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Sono infatti certamente presenti delle grandezze di influenza sconosciute che non sono controllabili.
Cause:
Sistematiche: ripetendo la misura agiscono allo stesso modo
Casuali: ripetendo la misura agiscono in
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Casuali: ripetendo la misura agiscono in modo differente e, complessivamente, tendono a compensarsi
Morale
Il semplice “numero” non fornisce una informazione completa sul misurando. E’ necessario indicare quanto è incompleta questa informazione. In altre parole, occorre
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questa informazione. In altre parole, occorre indicare la qualità della misura effettuata.
Come esprimerla?
Fino a qualche anno fa la “bontà” di una misura veniva espressa attraverso il concetto di “errore” (Gauss, inizi del XIX secolo).
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Sia X la grandezza da misurare, x il valore misurato e xv il valore vero.
L’errore assoluto ∆X è dato da:
∆X = x - xv
Problemone
Come è possibile riferirsi a un “valore vero” se questo non è ricavabile dal processo di misura? Se lo si conoscesse non si farebbero misure9
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farebbero misure9
Parlare di errore è quindi concettualmente sbagliato
Teoria dell’incertezza
Nell’ottobre 1980 il Bureau International de Poids et Measures (BIPM) convocò un gruppo di lavoro allo scopo di revisionare le modalità di valutazione della qualità di una misura.
Nel 1993 la International Organization for Standardization
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Nel 1993 la International Organization for Standardization(ISO) emana la “Guide to the expression of Uncertainty in Measurement” (GUM). Partecipano: IEC (International Electrotechnical Commission), BIPM, OIML (Organisation Internationale de Metrologie Legal), IUPAC (International Union of Pure and Applied Chemistry), IUPAP (International Union of Pure and Applied Physics), IFCC (Internation Federation of Clinical Chemistry).
Nel 1995 viene pubblicata la seconda edizione della GUM
Nel 1999 la GUM viene integralmente adottata nella normativa europea come norma sperimentale ENV 13005.
Nel 2000 il CEI la pubblica in Italia
Dal 2004 circola una bozza di un supplemento alla GUM riguardante metodi numerici per la valutazione dell’incertezza.
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dell’incertezza.
Incertezza di misura
Il concetto di incertezza è stato introdotto allo scopo di definire un parametro che dia una valutazione quantitativa della qualità di una misura.
“parametro che, associato al risultato di
una misura, caratterizza la dispersione dei
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una misura, caratterizza la dispersione dei
valori che ragionevolmente possono
essere attribuiti al misurando”
Il metodo per valutare ed esprimere l’incertezza di misura deve essere:
• UNIVERSALE – deve essere applicabile a tutti i tipi di misurazione e di dati di ingresso usati nelle misurazioni.
La grandezza usata per esprimere l’incertezza deve essere:
• INTERNAMENTE COERENTE – deve essere derivabile direttamente dalle componenti che vi contribuiscono, indipendente dal modo in cui queste vengono raggruppate e dalla scomposizione
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dal modo in cui queste vengono raggruppate e dalla scomposizione delle componenti in sottocomponenti.
• TRASFERIBILE – l’incertezza valutata per un risultato deve essere direttamente utilizzabile come componente nella valutazione dell’incertezza di un’altra misurazione nella quale intervenga il risultato.
La GUM stabilisce regole generali per la valutazione e l’espressione dell’incertezza di misura piuttosto che istruzioni dettagliate o finalizzate ad una specifica tecnologia.
controllo e garanzia della qualità nella produzione
conformità a leggi o regolamenti
ricerca nella scienza e nell’ingegneria
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ricerca nella scienza e nell’ingegneria
taratura campioni e strumenti, prove allo scopo di mantenere la riferibilità ai campioni nazionali
sviluppare e mantenere i campioni di riferimento nazionali e internazionali
Si considerino tutte le componenti note di errore note o ipotizzate e le si correggano
Resta comunque un dubbio su come il risultato rappresenti il valore della quantità misurata:
gli effetti casuali si possono ridurre effettuando una media di più misure ma resta una incertezza dovuta al numero limitato di osservazioni
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numero limitato di osservazioni
gli effetti sistematici possono essere compensati nel limite della conoscenza della correzione stessa.
Il risultato di una misurazione è ancora solamente una stima del valore del misurando a causa di quanto sopra.
Il risultato di una misura viene considerato come una variabile aleatoria (v.a.)
Come ogni v.a., essa sarà caratterizzata da una certa distribuzione di probabilità
Lo scarto tipo di tale distribuzione viene assunto a rappresentare l’incertezza di misura
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assunto a rappresentare l’incertezza di misura e chiamato incertezza tipo (standard uncertainty)
L’incertezza come intervallo di confidenza
L’incertezza definisce quindi un intervallo di confidenza, cioè un intervallo all’interno del quale cadono, con un dato livello di confidenza, gran parte dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando.
Il livello di confidenza corrispondente dipende dal
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Il livello di confidenza corrispondente dipende dal tipo di distribuzione di probabilità
x x+u(x)x-u(x)
x
Nel caso di una distribuzione Normale (gaussiana) l’intervallo xmedio ± σ corrisponde a un livello di confidenza (probabilità) del 68.3%
Esempio
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xmedio±σ
Un caso notevole
a1 a2
12
)(σ
2122 aa −
=
32σ 12 aa −=
22
-a a
3σ
22 a=
3σ
a=
Valutazione dell’incertezza di misura
Si distinguono due tipi di incertezza:
Incertezze di tipo A Incertezze di tipo B
Tale classificazione riguarda la metodologia con la
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Tale classificazione riguarda la metodologia con la quale esse sono valutate e non le loro caratteristiche.
Incertezze di tipo A
Si definiscono incertezze di tipo A quelle che vengono valutate mediante l’applicazione di tecniche statistiche, cioè a partire dalla distribuzione statistica dei risultati di un numero significativo di misure.
Il misurando viene stimato dalla media della
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Il misurando viene stimato dalla media della distribuzione. L’incertezza tipo viene stimata dallo scarto tipo sperimentale della media.
N
qsxsxu kii
)()()( ==
qk è la k-esima occorrenza della osservazione q della variabile aleatoria xi.
N è il numero di occorrenze
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Si può dimostrare (teorema del limite centrale) che s(qk)/√N è la miglior stima dello scarto tipo del valore medio.
Incertezze di tipo B
Si definiscono incertezze di tipo B quelle che vengono valutate mediante l’applicazione di tecniche NON statistiche. In questo tipo di analisi la distribuzione di probabilità viene ipotizzata sulla base dell’esperienza o di altre informazioni. E’ il caso delle specifiche di uno strumento.
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caso delle specifiche di uno strumento.
Anche in questo caso l’incertezza viene espressa dallo scarto tipo.
Osservazione
• Nella valutazione di tipo A misurando e incertezza vengono stimati attraverso distribuzioni di frequenza che stimano distribuzioni di probabilità
• Nella valutazione di tipo B la distribuzione di
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• Nella valutazione di tipo B la distribuzione di probabilità viene ipotizzata.
Definizioni e simboli della GUM
Incertezza tipo u(x) (standard uncertainty): incertezza del risultato x espressa come scarto tipo
Incertezza estesa U(x) (expanded uncertainty): grandezza che definisce, attorno al risultato, un
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grandezza che definisce, attorno al risultato, un intervallo che si ritiene contenga gran parte della distribuzione dei valori che possono essere ragionevolmente attribuiti all’incertezza.
Per poter associare all’incertezza una certa probabilità occorre conoscere o ipotizzare la distribuzione di probabilità.
Fattore di copertura K (coverage factor): fattore numerico utilizzato come moltiplicatore dell’incertezza tipo per ottenere l’incertezza
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dell’incertezza tipo per ottenere l’incertezza estesa.
c% k 50 0,6745
68,27 180 1,28590 1.645
30
90 1.64595 1,9899 2,576
99,73 3
Scrittura dell’incertezza
L’incertezza di misura viene scritta normalmente in una delle due seguenti forme:
in valore assoluto (stessa unità di misura del misurando)
in valore relativo (grandezza adimensionale, può
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in valore relativo (grandezza adimensionale, può essere espressa in p.u., percento, permille, ppm,9)
Numero di cifre significative
Il numero di cifre significative di una grandezza si ottiene contando, da sinistra verso destra, tutte le cifre a partire dalla prima cifra diversa da zero, indipendentemente dalla posizione della virgola.
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Esempi
1.405 4 cifre 1000.01 6 cifre 4 1 cifra 0.3 1 cifra 0.02 1 cifra 0.025 2 cifre
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0.025 2 cifre 4.0 2 cifre
Convenzione sulle cifre significative
Incertezza assoluta 1 cifraIncertezza relativa 2 cifre
Esempio
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u(R) = 2.5278 Ω 3 Ωu(I)%=u(I)/I100=1.21324% 1.2%
Esempio
Incertezza nelle misure dirette
Il valore del misurando viene determinato mediante strumenti appositamente costruiti e tarati. Ad esempio voltmetri, ampermetri, wattmetri, frequenzimetri, 9
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L’incertezza è calcolata in base alle specifiche fornitedal costruttore dello strumento.
La GUM dice:
in mancanza di ulteriori informazioni fornite dal costruttore, si assume che i contributi all’incertezza siano rappresentabili da distribuzioni rettangolari a valor medio nullo ed estremi dati dalle specifiche
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valor medio nullo ed estremi dati dalle specifiche fornite dal costruttore stesso.
Negli strumenti elettromeccanici le specifiche sono espresse da un unico indice, chiamato indice di classe c.
L’indice di classe è espresso come una percentuale del fondo scala incertezza assoluta costante lungo
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del fondo scala incertezza assoluta costante lungo tutta la scala.
Infatti:
voltmetro classe 0.5, fondo scala 200 V.
Ogni lettura è affetta da una incertezza assoluta massima costante pari a 0.5200/100/√3 = 0.58 V
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L’incertezza relativa aumenta man mano che ci allontana dal fondo scala.
Negli strumenti digitali, invece, le specifiche di accuratezza sono normalmente espresse da due indici: uno (ad. es. “α”) fornisce una incertezza costante in valore relativo e l’altro (ad es. “β”) una costante in valore assoluto.
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α percentuale della lettura
β percentuale del fondo scala
Esempio
Voltmetro classe 2, 150 V fondo scala.
Ipotesi: distribuzione uniforme 3
σa
=
U=84 V
40
U=84 Vu(U)=2/100/ 150 = 1.732 V = 2 Vu(U)%=u(U)100/U= 2.061%= 2.1%
U = (84 ±±±± 2) V oppure (84 V ±±±± 2.1%)
3
Esempio
Udc=8.43467 V; Ufs=10 V; α=0.0035%; β=0.0005%
Ipotesi: distribuzione uniforme
3σ
a=
41
V 0.000199310005.0100
100035.0
100
43467.8
3
1)(
22
=
+
=Uu
U=(8.4347 ±±±± 0.0002) V
Esempio
Uac= 227.461 V; Ufs=750 V; f = 50 Hz; α=0.06%; β=0.03%
Ipotesi: distribuzione uniforme 3
a=σ
42
V 0.2086983
103.0
100
75006.0
100
461.227)(
22
=
+
=Uu
U =(227.5 ±±±± 0.2) V
Osservazione
Il numero di cifre fornite dallo strumento è sovrabbondante rispetto all’incertezza.
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Incertezza nelle misure indirette
Il valore del misurando viene determinato sfruttando relazioni esistenti con grandezze misurate direttamente.
Sia il risultato y di una misura dipendente da N misure x , 1 ≤ i ≤ N, secondo la funzione:
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misure xi, 1 ≤ i ≤ N, secondo la funzione:
y = f(x1,x2,9,xi,9,xN)
Siano note le incertezze tipo u(xi) di ciascun xi.L’incertezza uc(y) su y è detta incertezza tipo combinata (combined standard uncertainty):
“incertezza tipo del risultato di una misura allorquando il risultato è ottenuto mediante i valori di un certo numero di
altre grandezze; essa è uguale alla radice quadrata positiva
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altre grandezze; essa è uguale alla radice quadrata positiva
di una somma di termini che sono le varianze o le covarianze
di quelle grandezze, pesate secondo la variazione del
risultato della misura al variare di esse”. (ISO GUM)
L’incertezza estesa viene poi valutata a partire dall’incertezza combinata.
Il modo in cui viene valutata uc(y) dipende dal grado di correlazione fra le grandezze di ingresso.
Grandezze scorrelate
∑∑ ⋅=⋅
∂
=NN
xucxuf
yu 2222
)()()(
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∑∑==
⋅=⋅
∂∂
=i
ii
i
ii
c xucxux
fyu
1
22
1
2 )()()(
I termini ci sono detti coefficienti di sensibilità
Esempio
Misura di potenza apparente S attraverso misure di U ed I con strumenti diversi.
U = 223 V, u(U) = 1 V; I = 4.5 A, u(I) = 0.1A
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S = UI = 1003.5 VA
UI
SI
U
S=
∂∂
=∂∂
VA75.22)()()( 2222 =+= IuUUuISuc
S = (1.00 ±±±± 0.02) kVA
Grandezze correlate
∑ ∑∑−
= +==
⋅∂
∂⋅
∂
∂+⋅
∂
∂=
1
1 11
22
),( 2)()(N
i
ji
N
ij ji
N
i
ii
c xxux
f
x
fxu
x
fyu
dove u(x ,x ) = u(x ,x ) è la covarianza fra x e x
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dove u(xi,xj) = u(xj,xi) è la covarianza fra xi e xj
Coefficiente di correlazione
Il grado di correlazione fra xi e xj è espresso dal coefficiente di correlazione r:
)()(
),(),(
ji
ji
jixuxu
xxuxxr
⋅=
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)()( ji xuxu ⋅
E’ sempre 0 ≤ r ≤ 1
r = 0 grandezze indipendenti
r = 1 grandezze totalmente correlate
Pertanto l’espressione dell’incertezza combinata per grandezze correlate può essere così riscritta:
)()(),( 2)()(1
1 11
22
ji
N
i
ji
N
ij ji
N
i
ii
c xuxuxxrx
f
x
fxu
x
fyu ⋅⋅⋅
∂∂
⋅∂∂
+⋅
∂∂
= ∑ ∑∑−
= +==
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Se r = 1, uc(y) è l’espressione di un quadrato
Se r = 0, assume l’espressione scritta per il caso non correlato.
Esempio
Stesso caso di prima ma si ipotizzi di usare lo stesso strumento r = 1.
VA8.26)()()()(2)()()( 2222 =⋅+⋅=⋅⋅⋅⋅++= IuUUuIIuUuUIIuUUuISuc
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S = (1.00 ±±±± 0.03) kVA
i. Trascurabile non linearità di f
ii. Disponibilità dell’espressione analitica di f
iii. Assenza di discontinuità in f
Tutto bene se9
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iii. Assenza di discontinuità in f
iv. Piccoli valori dei contributi all’incertezza
Bibliografia
“Guide to the expression of Uncertainty in
Measurement”, ISO, International Standardization Organization, Geneva, Switzerland, 1995.
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UNI CEI ENV 13005: “Guida all’espressione dell’incertezza di misura”, 2000.