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14/01/2011 1 Misure Meccaniche Definisce le regole per valutare ed esprimere l’incertezza nelle misure GUM Guida ideata e sviluppata da sette organizzazioni: BIPM: Bureau International des Poids et Mesures IEC: International Electrotechnical Commission IFCC: International Federation of Clinical Chemistry ISO: International Organization for Standardization IUPAC: International Union of Pure and Applied Chemistry IUPAP: International Union of Pure and Applied Physics Misure Meccaniche IUPAP: International Union of Pure and Applied Physics OIML: International Organization of Legal Metrology 2

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14/01/2011

1

Misure Meccaniche

Definisce le regole per valutare ed esprimere l’incertezza nelle misure

GUM

Guida ideata e sviluppata da sette organizzazioni: BIPM: Bureau International des Poids et Mesures

IEC: International Electrotechnical Commission

IFCC: International Federation of Clinical Chemistry

ISO: International Organization for Standardization

IUPAC: International Union of Pure and Applied Chemistry

IUPAP: International Union of Pure and Applied Physics

Misure Meccaniche

IUPAP: International Union of Pure and Applied Physics

OIML: International Organization of Legal Metrology

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14/01/2011

2

Informazione costituita da:

numero 

incertezza

Misura

incertezza

unità di misura 

X = (x ± u) g

Dove:

X : generica grandezza di misura 

x : risultato della misura 

u : incertezza di misura 

Misure Meccaniche

g : unità di misura

Il risultato di una misurazione è la stima del valore del misurando e si considera completo solo quando viene accompagnato dalla valutazione dell’incertezza di tale stima (GUM 3.1.2)

Il misurando deve essere definito con sufficiente completezza in funzione dell’accuratezza richiesta (GUM 3.1.3)

3

Concetto di errore diverso dal concetto di incertezza

Errore rappresenta la differenza tra il valore misurato ed il valore “ ”

Errore

“vero”

Errori possono essere casuali o sistematici

Errori casuali (GUM 3.2.2):

Derivano da variazioni non conosciute e stocastiche delle grandezze di influenza

Gli effetti casuali determinano variazioni nella misura del misurando in presenza di misure ripetute

V   id i  d  il   di  i i i

Misure Meccaniche

Vengono ridotti aumentando il numero di misurazioni

Il valore atteso (valore medio) è zero

Errori sistematici (GUM 3.2.3):

Errori aventi media non nulla

Se l’effetto di una determinata grandezza di influenza è noto la misurazione può essere corretta                incertezza nel fattore di correzione

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3

Parametro associato al risultato di una misurazione che caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando (VIM  1993)

Incertezza

(VIM, 1993)

L’incertezza del risultato di una misurazione riflette la mancanza di conoscenza del valore del misurando (GUM 3.3.1)

Eliminando gli errori sistematici rimangono gli errori casuali e l’incertezza relativa alla correzione utilizzata

Fonti di incertezza (GUM 3.3.2):

Incompleta definizione del misurando

Misure Meccaniche

Imperfetta definizione del misurando

Inadeguata conoscenza degli effetti delle condizioni ambientali sulla misura

Errore di lettura negli strumenti analogici

Risoluzione degli strumenti non infinita

……..

5

Componenti dell’incertezza vengono suddivise in due categorie basate sul metodo di valutazione: tipo “A” e “B” (GUM 3.3.3)

L   l ifi i  i di  d   di diff i    l  

Incertezza

La classificazione indica due metodi differenti per valutare l’incertezza non indicando alcuna differenza tra la natura delle componenti di incertezza

In entrambi i casi l’incertezza è valutata tramite una distribuzione di probabilità e la deviazione standard

Nessun legame con gli errori di tipo sistematico e casuale

Misure Meccaniche6

TIPO AOttenuta da una 

funzione di probabilità calcolata da dati 

misurati 

TIPO BOttenuta da una 

funzione di probabilità assunta essere quella 

reale

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4

Determinazione di un modello matematico per descrivere il misurando

Valutazione dell’incertezza

1 2 3( , , ,..., )NY f X X X XMisurando Grandezze che i fl  il  i d

Grandezze in ingresso:

1. Quantità i cui valori ed incertezze sono determinate direttamente durante la misura

2. Quantità i cui valori ed incertezze hanno origine esterna alla misurazione come nel caso di coefficienti ottenibili nei manuali o nei certificati di taraturadegli strumenti utilizzati

La stima della misura risulta essere (GUM 4.1.4) : n misure per ogni grandezza in ingresso

influenzano il misurando

Misure Meccaniche

La deviazione standard associata ad Y, detta incertezza combinata standard uc(y),  è ottenuta conoscendo la deviazione standard associata ad ogni grandezza in ingresso u(xi) (GUM 4.1.5)

7

grandezza in ingresso

1, 2, 3, ,1 1

1 1( , , ,..., )

n n

k k k k N kk k

Y Y f X X X Xn n

TIPO A TIPO B

Valutazione dell’incertezzaTIPO A

Comprende quelle incertezze di misura la cui valutazione puòessere basata su metodi statistici (oggettivi) essere basata su metodi statistici (oggettivi) 

TIPO BComprende quelle incertezze la cui stima è basata su “altri

metodi”, implicando valutazioni di tipo soggettivo

Se durante la misura tutte le grandezze d’influenza da cui essa dipende variano in modo casuale si può utilizzare un approccio statistico (TIPO A)

Misure Meccaniche8

statistico (TIPO A)

Operazione lunga e costosa e non sempre fattibile

L’incertezza finale sulla misurazione è ottenuta tenendo conto sia di una incertezza di tipo A che di incertezze di tipo B 

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Tutti le grandezze in ingresso variano in modo casuale

Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO A

Stima della i‐ma grandezza:

Deviazione standard di ogni singola misura per l’i‐ma grandezza:

,1

1 n

i i jj

X Xn

2

,1( )

n

i j ij

X X

s X

Misure Meccaniche

Deviazione standard della media dell’i‐ma grandezza:

9

( )1is X

n

( )( ) i

i

s Xs X

n

Stima dell’incertezza di ogni singola grandezza in ingresso:

Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO A

Stima dell’incertezza combinata standard:

Incertezza estesa:

( ) ( )i iu x s X

2

1

( ) ( )N

C ii

u x u x

( ) ( )U x k u x k f tt  di  t

Misure Meccaniche

k è il fattore di copertura:

k=1 equivale una confidenza pari al 68.3%

k=2 equivale una confidenza pari al 95.5%

k=3 equivale una confidenza pari al 99.7%

10

( ) ( )CU x k u x k fattore di copertura

Ipotizzando la distribuzione degli 

errori di tipo gaussiano

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Misura della temperatura utilizzando una Pt100:

Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO A Esempio

1. Si effettuano 30 ripetizioni e i dati ottenuti (°C) sono:

2. Si calcola la media, la deviazione standard e la deviazione standard della media:

24 83°CT

25,32   25,39   24,68   23,23   25,66   24,9925,06   26,28   25,09   25,10   23,93   25,6523,99   24,59   23,83   22,96   23,99   25,5524,74   24,32   24,98   24,14   25,38   23,4725,25   25,84   24,10   25,59   25,83   26,17

Misure Meccaniche11

24,83°C

( ) 0,87°C

0,87( ) °C 0,16°C

30

T

s T

s T

3. Si calcola l’incertezza  combinata standard:

Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO A Esempio

3

4. Si calcola l’incertezza estesa associata alla misurazione con confidenza pari al 95,5% :

5. Non sono note le incertezze legate a:

( ) ( ) 0,16°CCu T s T

( ) ( ) 2 ( ) 0,32°CC CU T k u T u T

Misure Meccaniche

Strumento di misura Pt100;

Strumento terminale per la misura della resistenza del termometro;

Tensione di alimentazione;

…….

6. Bisogna poter inserire le incertezze elencate utilizzando un differente metodo di valutazione (metodo  B)

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7

L’incertezza stimata da informazioni riguardanti la possibile variabilità d l  i d    

Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO B

del misurando stesso. 

Le informazioni possono derivare da:

1. Dati di misure precedenti

2. Conoscenza del comportamento dei materiali

3. Conoscenza del comportamento degli strumenti

4. Specifiche del costruttore

5. Dati di taratura o di altri certificati

Misure Meccaniche

6. Incertezza assegnata a dati di riferimento presenti nei manuali

7. Previsioni circa le variazioni di grandezze d’influenza

8. ……..

13

Bisogna individuare ogni causa di incertezza

Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO B

Si individua un intervallo di valori entro il quale si suppone debbano cadere i valori del misurando

Si deve stabilire una densità di probabilità per ogni fonte di incertezza:

1. Distribuzione normale

2. Distribuzione rettangolare

3. Distribuzione triangolare

4. Distribuzione a U

Misure Meccaniche

Si stima l’incertezza combinata standard

Si stima l’incertezza estesa

14

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8

La distribuzione normale si utilizza quando è maggiore la probabilità di   l i  i i  l  l   di   h  l i d  

Valutazione dell’incertezzaDistribuzione normale

trovare valori prossimi al valor medio che lontani da esso

Esempio: misura di temperatura con valore 

medio a 100 °C

Misure Meccaniche15

2

2

2 2

1( )

2

( ) ( ) ( )

x

p x e

x x x p x dx

( ) ( )u x x

La distribuzione rettangolare si utilizza quando si conoscono i limiti di i i  d l  i d  

Valutazione dell’incertezzaDistribuzione rettangolare

variazione del misurando 

La probabilità di trovare valori all’interno dell’intervallo è la stessa

Viene in genere utilizzata nel caso in cui non si abbiano informazioni sulla distribuzione all’interno dell’intervallo

1( )

2p x a x a

a

Misure Meccaniche16

( ) 0 p x x a x a

2( ) ( )

12 3

a au x x

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La distribuzione triangolare si utilizza qualora vi sia maggiore b bili à di    l i  i i  ll   di   i   h  l  

Valutazione dell’incertezzaDistribuzione triangolare

probabilità di trovare valori prossimi alla media piuttosto che lontano da esso

Si ipotizza una variazione lineare tra la media ed i limiti

2

( )( )

2

( )( )

a ax ap x a x

aa aa x

p x x a

Misure Meccaniche17

2( )

2( ) 0 altrimenti

p x x aa

p x

( ) ( )16

au x x

La distribuzione ad “U” è utilizzata quando è maggiore la probabilità di  i  l i  i i  i i   i li i i  i   h  i   l  l  

Valutazione dell’incertezzaDistribuzione ad “U”

trovare i valori misurati vicino ai limiti piuttosto che intorno al valore medio.

Esempio: effetti con andamento sinusoidale come vibrazioni, temperature giornaliere, ecc.

( )a

Misure Meccaniche18

( )2

u x

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Valutazione dell’incertezzaDistribuzioni di densità di probabilità

2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12 16 2

a a au x x u x u x u x

Misure Meccaniche19

Il fattore moltiplicativo della distribuzione ad U è maggiore di quello della distribuzione rettangolare e triangolare

Valutazione della temperatura e dell’incertezza legata alla misurazione ili d    P

Valutazione dell’incertezzaINCERTEZZA TIPO B Esempio

utilizzando una Pt100

Si effettua una sola misurazione avente come risultato:

Si elencano le incertezze associate alla misura dovute a:

1. Termometro

2. Alimentazione non costante

3. Strumento terminale

10,12°Cu T

24,85°CT

20, 03°Cu T

30, 02°Cu T

Misure Meccaniche

3

Si calcola l’incertezza combinata standard:

Si calcola l’incertezza estesa per k=2

20

3,

32

1

( ) ( ) 0,13°CC ii

u T u T

( ) 2 ( ) 0,26°CCU T u T

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In genere i contributi all’incertezza combinata standard sono ottenuti 

Valutazione dell’incertezzaRIEPILOGO

gtramite i metodi A e B contemporaneamente. Di fatti si possono avere due situazioni limite:

1. Singola misurazione – non è possibile stimare le incertezze  di tipo A, si considerano unicamente quelle di tipo B;

2. Numerose misurazioni – tutte le grandezze di influenza vengono fatte variare in modo casuale per stimare le cause di incertezza unicamente tramite metodo A;

Sti ti i  t ib ti  i    l  l l  d ll’i t   bi t  

Misure Meccaniche

Stimati i contributi si passa al calcolo dell’incertezza combinata standard

Si stabilisce il fattore di copertura e si fornisce il valore dell’incertezza estesa

21

L’incertezza composta si usa in presenza di misure indirette ossia è    l  f i l    l   d   i  ( )  d il 

Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze

presente un legame funzionale tra le grandezze misurate (xi) ed il parametro di cui si vuole conoscere la misura (y)

L’incertezza composta è una stima della dispersione dei valori di y a causa delle incertezze associate a xi

Le incertezze associate possono essere di tipo “A” e di tipo “B”

1 2, ,..., Ny f x x x

Misure Meccaniche

p p p

Le grandezze misurate possono essere tra di loro indipendenti o correlate

22

14/01/2011

12

Grandezze misurate indipendenti

Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze

1 2 3, ,y f x x x

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x x x

x x x

x x x

1 2 3

1 2 31 2 3

, ,

y y y

y y y

y f x x x y

f f fy x x x

x x x

Sviluppo in serie di Taylor

Misure Meccaniche23

2

2 2

1

N

C ii i

fu y u x

x

Incertezza di tipo A o B per ogni variabile

Esempi:

Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze

2

y a b c

1 1 1f f f

a b c

2 2 2Cu y u a u b u c

2

2 2

1

N

C ii i

fu y u x

x

Misure Meccaniche24

y a b c

f f f

bc ac aba b c

2 2 2

2 2 2

Cu y u a u b u c

y a b c

14/01/2011

13

Grandezze misurate correlate

Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze

2

12 2

1 1 1

2 ,N N N

C i i j i ji i j ii i j

f f fu y u x u x u x r x x

x x x

Coefficiente di correlazione

,i ju x xr x x r=0 non c’è correlazione

Misure Meccaniche25

,i j

i j

r x xu x u x

r=1 correlazione massima

1

1, covarianza tra e

n

i j i j i i j jk

u x x x x x x x xn

Esempio: consideriamo tre variabili a b c dove a=f(b)

Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze

2 2 2

2 2 2 2

2 ,

2 2

C

f f fu y u a u b u c

a b c

f fu a u b r a b

a bf f f f

b b

Misure Meccaniche26

2 , 2 ,f f f f

u a u c r a c u b u c r b ca c b c

2 2 2

2 2 2 2 2 ,C

f f f f fu y u a u b u c u a u b r a b

a b c a b

14/01/2011

14

Misura di una resistenza nel partitore di tensione

Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze Esempio

2 1GG

VR R R

V V

Misure Meccaniche27

1. VG=12V tensione di alimentazione con incertezza estesa U(VG)=10mV (k=2)2. RG=10Ωmisurata tramite 10 letture, la deviazione standard è 12,65 Ω3. R1=1kΩ e u(R1)=5Ω4. V=7,77V misurata tramite  voltmetro a 3 cifre (presente unicamente un errore di 

quantizzazione

Calcolare:

Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle incertezze Esempio

1. Calcolare l’incertezza assoluta per tutti i parametri

2. Calcolare il valore di R2

3. Calcolare l’incertezza combinata standard di R2

4. Calcolare l’incertezza estesa di R2

Misure Meccaniche

Soluzione:

28

1

2 2 2

5 4 2,9mV 5mV

1929 12 24

G G

C

u R u R u V u V

R u R U R

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Cosa succede se non è noto il legame funzionale tra le grandezze misurate (xi) ed il parametro di cui si vuole 

Valutazione dell’incertezza

conoscere la misura (y)?

Si utilizza il supplemento alla GUM (JCGM 101:2008) basato sulla propagazione delle distribuzioni

Il Supplemento raccomanda di implementare detta 

1 2, ,..., Ny f x x x

Misure Meccaniche

Il Supplemento raccomanda di implementare detta propagazione delle distribuzioni mediante la Simulazione Monte Carlo

29

Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle distribuzioni

La propagazione delle distribuzioni va utilizzata quando:

1. Il modello funzionale devia fortemente dalla linearità;

2. Le derivate parziali sono difficilmente calcolabili;

3. Le distribuzioni di probabilità associate alle grandezze da misurare non sono gaussiane;

4. La propagazione delle incertezze fornisce una sovrastima dell’incertezza associata alla misura finale (dello stesso ordine della variabile analizzata);

M d ll  f i l    

Misure Meccaniche

5. Modello funzionale non noto;

6. Modello funzionale complesso (logaritmo, ecc).

30

14/01/2011

16

Procedimento:

Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle distribuzioni

1. Definire la variabile di uscita Y;

2. Determinare le variabili di ingresso Xi da cui Y dipende;

3. Sviluppare un modello matematico che leghi le Xi con Y;

4. Assegnare le distribuzioni di probabilità per ogni Xi;

5. Propagare le distribuzioni di ogni Xi utilizzando il modello ipotizzato per calcolare la funzione distribuzione di probabilità di Y;

6. Calcolare il valore atteso  e la deviazione standard di Y;

l l l’ ll d f d ( ll d ) l b l

Misure Meccaniche

7. Calcolare l’intervallo di confidenza (intervallo di copertura) per la variabile Y.

31

Simulazione Monte Carlo

Simulazione Monte Carlo:

Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle distribuzioni

61. Selezionare un numero M di simulazioni (di solito        );

2. Generare M vettori di numeri per le variabili Xi tenendo in considerazione la funzione di distribuzione di probabilità associata ad ogni Xi;

3. Per ogni vettore calcolare                                                                ;

4. Ordinare gli M elementi di y in ordine non decrescente;

5. Costruire la Fy come conteggio progressivo normalizzato al numero totale dell’insieme y(k);

6 C l l  l   di    l  d i i   t d d di 

610

1 2( , , ..., ) 1...

k k k Nky g X X X k M

Misure Meccaniche

6. Calcolare la media e la deviazione standard di y;

7. L’intervallo di copertura [y1, y2] correlato ad una probabilità di copertura p, è il più piccolo intervallo [y1, y2] per cui  

32

2 1( ) ( )

YF y F y p

14/01/2011

17

Si consideri l’esempio del partitore di tensione;

Valutazione dell’incertezzaPropagazione delle distribuzioni

1

Esempio

Per ogni variabile nota la distribuzione di probabilità si calcola il vettore numerico corrispondente

62 1 10G

G

VR R R M

V V

12.04Tensione Vg (V)

7 785

7.79Tensione V (V)

7, 77V distribuzione rettangolare 0, 005VV a 12V distribuzione normale 5mVG

V

2

Misure Meccaniche330 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 105

11.97

11.98

11.99

12

12.01

12.02

12.03

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 105

7.75

7.755

7.76

7.765

7.77

7.775

7.78

7.785

Valutazione dell’incertezza1

1000 distribuzione normale 5R 50 distribuzione normale 4G

R

70

75Resistenza Rg ()

1020

1025Resistenza R1 ()

2000Resistenza output ()

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 105

30

35

40

45

50

55

60

65

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 105

975

980

985

990

995

1000

1005

1010

1015

Misure Meccaniche340 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 105

1860

1880

1900

1920

1940

1960

1980

3Per ogni valore ottenuto si calcola la resistenza R2

2 1GG

VR R R

V V

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Valutazione dell’incertezza4‐5

Dopo aver ordinato i valori di R2 in modo non decrescente  si costruisce la FR avente in ascissa i valori di R2 ed in ordinata l’indice normalizzato

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Funzione distribuzione della resistenza R

Misure Meccaniche35

1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

Valutazione dell’incertezza

2 21928,7 12,2R R 6 Si passa al calcolo della media e della deviazione standard di R2

2 2

7

0 8

0.9

1p=0.9

Stesso risultato ottenuto con la propagazione degli errori

Infine si calcola l’intervallo di copertura [R2min, R2max], correlato ad una probabilità di copertura p, come il più piccolo intervallo [R2min, R2max] per cui 

2 max 2 min( ) ( )

RF R F R p

Misure Meccaniche36

1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 19700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

2

2min

2max

1928,7

1908,8

1948,5

R

R

R

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Prendiamo i valori della probabilità p pari a 68,3% 95,5% e 99,7%:

Valutazione dell’incertezza

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1p=0.683

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1p=0.955

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1p=0.997

Misure Meccaniche

Si vede come per p=68,3% l’intervallo ottenuto con la simulazione Monte Carlo è simile a quello ottenibile considerando 

37

1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 19800

1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 19800

1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 19800

Descrivere  chiaramente il metodo usato per calcolare il risultato della misura e l’incertezza correlata (GUM 7.1.4 a)

Ri    li      l   i d ll’i    

Esprimere l’incertezza

Riportare una lista contenente tutte le componenti dell’incertezza e come esse sono state calcolate (GUM 7.1.4 b)

Nel caso di incertezza estesa                                bisogna (GUM 7.2.3):

1. Fornire una descrizione esaustiva di come il parametro x è definito;

2. Riportare il risultato della misurazione come                        fornendo l’unità di misura;

3. Fornire l’incertezza estesa relativa pari a

Ri  il  l  di k

( ) ( )CU x k u x

X x U U

x

Misure Meccaniche

4. Riportare il valore di k

5. Fornire il livello di confidenza approssimato associato con l’intervallo                e come è stato calcolato

Se si misurano due grandezze contemporaneamente, oltre alla misura e alle incertezze relative ad ogni parametro, bisogna fornire la covarianza ed il coefficiente di correlazione (GUM 7.2.5)

38

xx U