La teoria di portafoglio: cap.7-9

• Funzioni matrice Cap.28.• Passare dalla serie storica dei prezzi ai rendimenti:

• Calcolare il rendimento medio, la varianza, usando le funzioni di Excel: MEDIA, VAR.POP, DEV.ST.POP, VAR, DEV.ST

1

lnt

tt P

Pr

COVARIANZA

• Rappresenta una misura della propensione dei rendimenti di due attività a muoversi insieme.

• T=1,…M

• COVARIANZA(Matrice1;Matrice2)

t

btba

taba rErrEr

MrrCov )]()][([

1),(

CORRELAZIONE

• E’compreso tra –1 e 1.

• Correlazione(Matrice1;Matrice2)

• Aggiungi linea di tendenza

2,

),(R

rrCov

ba

baba

PORTAFOGLIO

• MEDIA:

• VARIANZA:

)()1()()( baP rErErE

bababap ,22222 )1(2)1(

L’insieme dei portafogli ammissibili con due titoli

• Esaminiamo il caso di correlazione = -1, 0, 1

Rendimenti Portafoglio e Correlazione tra le attività

2,00%

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

4,50%

5,00%

5,50%

0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 7,00% 8,00%

Sigma Portafoglio

Ren

dim

ento

med

io P

ort

afo

gli

o

corr = +1

corr = 0

corr = -1

Media e varianza di un portafoglio con più titoli

• Media:

• Varianza:

S = matrice varianze-covarianze

• Covarianza

portafoglio 1 e 2:

)()()(1

rErErE Tn

iiiP

ST

i jijjip 2

21)2,1( SCov T

Matrice varianze-covarianze

• Costruire la matrice dei rendimenti addizionali:

N = titoli

M = n. osservazioni

• La matrice var-cov:

nmnm

nn

rrrr

rrrr

A

...

...

...

..

...

11

1111

M

AAS

T

ji ][ ,

Cap. 9 La determinazione dei portafogli efficienti in assenza di vendite allo

scopertoPORTAFOGLI FATTIBILI

4%5%

6%7%8%9%

10%11%

10% 30% 50% 70% 90%

Deviazione standard portafoglio

Ren

dim

en

to m

ed

io

po

rtafo

glio

Fattibili, ma NON efficienti

Envelope , ma NON efficiente

Efficiente e envelope

Portafoglio NON fattibile

Il calcolo di due portafogli sulla envelope

• E’ sufficiente trovare due portafogli sulla envelope per identificare l’intera envelope.

• Tutti i portafogli sulla envelope sono dati da:• R – c = S * z

• R = vettore E(Ri)

• c = costante arbitraria• S = matrice varianza covarianze• z = vettore componenti

• x = vettore componenti normalizzate

• Scegliendo due valori differenti per c, risolviamo per z e troviamo due vettori x corrispondenti a due portafogli sulla envelope.

• z = S-1 * ( R – c )• Calcoliamo le corrispondenti proporzioni

normalizzate xi

ii

ii z

zx

Il calcolo di due portafogli sulla envelope

Il calcolo della envelope

• Calcoliamo media e sqm dei due portafogli ottenuti.

• Costruiamo un nuovo portafoglio con pesi e 1- nei due portafogli sulla envelope.

• Creiamo una tabella dati al variare di della media e dello sqm del portafoglio

• Facciamo il grafico di tipo “dispersione”

La Envelope

5%

6%

7%

8%

9%

10%

11%

10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%

Sigma

Med

ia

q

x

zy

w

Il calcolo del portafoglio di mercato: quello per cui c = tasso risk free

La Frontiera Efficiente con la RMC

Deviazione standard portafoglio

Rendim

ento

medio

port

afo

glio

Portafoglio di mercato, M

Retta del mercato dei capitali, RMC

Tasso privo di rischio, rf

Test del CAPM

• Dato un insieme di attività finanziarie (tra cui il portafoglio di mercato), calcolare i rendimenti.

• Calcolare la media dei rendimenti ed il beta di ciascuna attività.

• Regredire le medie sui beta:• E(Ri)=rf+i(E(RM)-rf)• Si trovano così le quantità in grassetto, che

sommate devono essere uguali al rendimento atteso del portafoglio di mercato.

Funzioni statistiche• INTERCETTA(y_nota;x_nota)Calcola il punto in cui una retta inteseca l'asse y

utilizzando i valori x e y esistenti. Tale punto è basato su una retta di regressione lineare ottimale tracciata attraverso i valori x_nota e y_nota.

• PENDENZA(y_nota;x_nota)Restituisce la pendenza della retta di regressione

lineare tramite i valori in y_nota e x_nota. • RQ(y_nota;x_nota)Restituisce il quadrato del coefficiente r della retta di

regressione lineare tramite i valori in y_nota e x_nota.

VaR

• Il VaR è la perdita che ci si aspetta venga ecceduta con una probabilità del x% su un periodo di T giorni

• T = orizzonte temporale

• x% = probabilità

• y = quantile = P(Yy) = x%

Distribuzione Normale Cumulata(rappresentazione parziale per poter vedere il

quantile corrispondente all'1%)

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

-40 -20 0 20 40 60 80

Valore del portafoglio (milioni di $)

Pro

bab

ilità

Distribuzione di Probabilità NormaleFunzione di Densità

00,0020,0040,0060,0080,01

0,0120,014

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270

Valori del Portafoglio

Pro

bab

ilità

Il quantile corrispondente all’1% è 50,20974, quindi il VaR all’1% è 49,79026

Distribuzione del valore del portafoglio

Funzione Distrib.norm• DISTRIB.NORM(x;media;dev_standard;cumulativo

)• X   è il valore per il quale si desidera la distribuzione.• Media   è la media aritmetica della distribuzione.• Dev_standard   è la deviazione standard della

distribuzione.• Cumulativo   è un valore logico che determina la forma

assunta dalla funzione. Se cumulativo è VERO, DISTRIB.NORM restituirà la funzione di distribuzione cumulativa, se è FALSO restituirà la funzione massa di probabilità.

INV.NORM

• Restituisce l'inversa della distribuzione normale cumulativa per la media e la deviazione standard specificate.

• INV.NORM(probabilità;media;dev_standard)• Probabilità   è la probabilità corrispondente alla

distribuzione normale.• Media   è la media aritmetica della distribuzione.• Dev_standard   è la deviazione standard della

distribuzione

VaR di un portafoglio

• Se disponiamo delle medie e della matrice var-cov per le attività in portafoglio, possiamo calcolare media e varianza del portafoglio.

• Assumendo che i rendimenti delle attività siano distribuiti normalmente, possiamo calcolare il VaR del portafoglio.

Simulazione dei dati: il bootstrapping

• Senza imporre nessuna restrizione sulla distribuzione di probabilità dei rendimenti.

• Si supponga di disporre delle serie storiche relative alle attività in portafoglio.

• Il bootstrapping è una tecnica di “rimpasto” casuale dei dati: per ogni iterazione le serie storiche vengono riordinate e viene calcolato il rendimento di portafoglio.

CASUALE

• Restituisce un numero casuale distribuito in maniera uniforme maggiore o uguale a 0 e minore di 1. Ogni volta che si calcola un nuovo foglio di lavoro viene restituito un

nuovo numero casuale.

• Sintassi: CASUALE( )

CASUALE.TRA

• Sintassi: CASUALE.TRA(minore, maggiore)

• Minore      è l'intero più piccolo restituito da CASUALE.TRA.

• Maggiore   è l'intero più grande restituito da CASUALE.TRA.