Analisi e Gestione del Rischio

Lezione 9

Non normalità dei rendimenti e simulazione storica

Non normalità dei rendimenti

• L’assunzione di normalità dei rendimenti non è generalmente supportata dai dati: – Asimmetria

– Leptocurtosi

• La non-normalità dei rendimenti riguarda sia la specificazione della distribuzione dei fattori di rischio sia la determinazione dei prezzi.

Informazione implicita e storica

• La letteratura sulla non normalità dei rendimenti riguarda sia l’informazione storica (analisi serie storiche) sia l’informazione implicita (analisi dei prezzi delle opzioni)

• Modelli econometrici: hanno studiato possibili distribuzioni alternative alla distribuzione normale

• Modelli finanziari: hanno cercato tecniche alternative di determinazione dei prezzi dei titoli derivati (opzioni) coerenti con distribuzioni alternative a quella normale

Oltre Black & Scholes

• Il modello di Black & Scholes implica la stessa volatilità per ogni contratto derivato

• Dal crash del 1987, questa regolarità non è supportata dai dati– La volatilità implicita varia per diversi strike

(smile effect)– La volatilità implicita varia per diverse date di

esercizio (struttura a termine di volatilità)• Il sottostante non ha distribuzione log-normale.

Smile, please!Smiles in the equity markets

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0,8 0,85 0,9 0,95 1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3

Moneyness

Imp

lied

Vo

lati

lity

Mib30

SP500

FTSE

Nikkei

Non-normalità dei rendimenti

• La distribuzione normale è completamente descritta dai primi due momenti, media e varianza.

• La varianza di una variabile a distribuzione normale è costante.

• Non normalità dei rendimenti significa che la varianza– Non esiste (es. distribuzioni di Cauchy)

– E’ una variabile stocastica

Momento terzo: asimmetria

• La distribuzione normale è simmetrica.• Distribuzione non normale può significare

asimmetria nella distribuzione, cioè diversa probabilità di aumento e diminuzione del prezzo

• I trader sanno che una distribuzione asimmetrica è legata a volatilità implicite decrescenti all’aumentare della moneyness (trade the skew)

Momento quarto: curtosi

• La distribuzione normale standard ha curtosi pari a 3. Distribuzioni con eccesso di curtosi presentano il cosiddetto fenomeno di “code grasse” (fat tails)

• Leptocurtosi significa che la probabilità di eventi estremi è maggiore di quanto previsto dalla distribuzione normale

• Evidenza da serie storiche: ad esempio, un evento come il crollo di borsa del 19/10/87 avrebbe, sotto l’ipotesi di normalità dei rendimenti una probabilità pari a 10-160!!

Modelli econometrici

• I primi modelli econometrici utilizzati per spiegare la non-normalità dei rendimenti sono stati i modelli Garch.

• L’assunzione è che il il rendimento di un titolo segua una distribuzione a media zero e varianza ht: H(0,ht).

• La varianza varia nel tempo in funzione di un processo autoregressivo, ad esempio

ht = + shock2t-1 + ht -1

Modelli Arch/Garch

• Nei modelli Arch/Garch standard si assume che i rendimenti condizionali siano distribuiti normalmente: H(.) è la distribuzione normale

• In applicazioni più evolute si assume che anche H non sia distribuita normalmente, ma che sia per esempio una T-student o una funzione GED (generalised error distribution). In alternativa possono anche venire anche utilizzate delle metodologie non parametriche (semi-parametric Garch)

Asimmetria di volatilità• Un problema dei modelli Garch è che la risposta del

rendimento a shock di segno diverso è la stessa. • Possibili soluzioni consistono nel

– distinguere il segno nella equazione dinamica della volatilità Threshold-GARCH (TGARCH)

ht = + shock2t-1 + D shock2

t-1 + ht -1

D = 1 se lo shock è positivo e zer altrimenti– Utilizzare una forma esponenziale EGARCH

log(ht ) = + g (shockt-1 / ht -1 ) + log( ht -1 )con g(x) = x + ( x - E(x )).

Il problema della persistenza

• Uno dei problemi dei modelli Garch è il fatto che la stima della volatilità su orizzonti più lontani non è affidabile. Un problema molto rilevante per prodotti di finanza strutturata.

• Soluzioni:– Component Garch: ripartizione della varianza in una

componente di trend e una di breve periodo

– Figarch (Fiegarch): la varianza segue un processo autoregressivo a “integrazione frazionaria”.

Dai modelli Garch ai modelli a volatilità stocastica

• Un limite dei modelli Garch è che sia la dinamica della variabile che la sua volatilità sono determinati dallo stesso shock.

• Perché non considerare due shock distinti, anche se correlati, tra la variabile e la sua volatilità?

• Modelli a volatilità stocastica.

ht = + shock2t-1 + ht -1 + 2

t -1

Break strutturali

• Un altro modo di rappresentare la volatilità nel tempo è quello di assumere che la volatilità possa cambiare con un processo “a salto”.

• Modelli “switching regime”: la volatilità del processo varia tra un numero finito di possibili “stati”

• Modelli “a salto”: la volatilità procede per variazioni “finite”, piuttosto che continue.

Dati ad alta frequenza

• Per alcuni mercati sono disponibili dati ad alta frequenza (transaction data o tick-by-tick).– Vantaggi: poter analizzare il processo dinamico del

prezzo su intervalli di tempo molto brevi– Svantaggi: le statistiche possono essere sporcate da

questioni di “microstruttura dei mercati finanziari”• Modelli “realised variance”: utilizzare statistiche intra-

giornaliere per rappresentare la varianza, invece della variazione (logaritmica) al quadrato su base giornaliera.Tipicamente vengono rilevati i rendimenti su intervalli di 5 minuti. Ne viene calcolata la varianza e successivamente la dinamica giornaliera.

Processi stocastici subordinati

• Considerate la sequenza delle variazioni logaritmiche del prezzo in un intervallo dato, ad esempio 5 minuti. Il rendimento cumulato

R = r1 + r2 +… ri + …+ rN

è una variabile che dipende dai processi stocastici

a) i rendimenti logaritmici ri.b) il numero delle transazioni N.

• R è un processo stocastico subordinato e N è il processo subordinatore. Clark (1973) mostra che R è un processo a “code grasse”. La volatilità sale quando sale il numero delle transazioni, ed è per questo correlata con i volumi.

Orologio stocastico

• Il fatto che il numero delle transazioni come variabile stocastica induca non-normalità dei rendimenti suggerisce la possibilità di ricavare la normalità dei rendimenti, ponderandoli per tenere conto del diverso numero delle transazioni.

• In pratica l’unità di misura del tempo viene cambiata in funzione del numero delle transazioni. Il tempo si dilata e si restringe con il numero di transazioni (stochastic clock)

Processi di Lévy

• Non solo il tempo viene considerato non continuo, anche i prezzi non sono variabili continue, ma variano di numeri di tick di dimensione finita.

• Per questo motivo, un possibile modello di rappresentazione dei prezzi è dato da una variabile “a salti puri” (pure jump).

• Processi stocastici misti (diffusivi e a salti) sono noti come processi di Levy. Esempi di utilizzo di processi di Levy: modelli Variance-Gamma, modelli CGMY (Carr-Geman-Madan-Yor).

Fat tails

• Affrontare la non-normalità dei rendimenti richiede la soluzione di tre problemi– Tecniche di compressione dei dati per

l’applicazione di modelli univariati – Determinazione del tipo di informazione da

utilizzare– Scelta del modello da utilizzare in sostituzione

della distribuzione normale

Compressione dei dati

• Prima opzione: rivalutare il portafoglio corrente su dati storici e stimare o simulare la distribuzione con tali dati.

• Seconda opzione: stimare la distribuzioni dei fattori di rischio più rilevanti e le sensitività del portafoglio a tali fattori

• Terza opzione: le tecniche statistiche tradizionali (componenti principali e modelli fattoriali)

La distribuzione dei rendimenti

• Prima opzione: scegliere un nuovo modello, o una nuova classe di modelli di distribuzione

• Seconda opzione: simulare la distribuzione utilizzando dati storici

• Terza opzione: determinare scenari estremi per la distribuzione

Simulazione storica classica

• Rivalutazione del portafoglio su dati storici – ogni insieme di dati storici rappresenta un possibile scenario

di mercato

• Calcolo dei profitti e perdite del portafoglio sotto ogni scenario

• Ordinamento degli scenari per dimensione della perdita – istogramma che rappresenta la distribuzione empirica di

profitti e perdite

• Calcolo del percentile empirico. – Es. su 100 dati il peggiore rappresenta il VaR all’1%.

L’istogramma

0

50

100

150

200

250

-10.03%

-8.50%

-6.97%

-5.45%

-3.92%

-2.39%

-0.87%

0.66%

2.19%

3.71%

5.24%

6.77%

8.29%

9.82%

11.35%

FIAT

Simulazione storica classica

• Problemi– I dati possono non essere identicamente e

indipendentemente distribuiti (i.i.d.)

– In particolare, la distribuzione dei rendimenti futuri può variare al variare delle condizioni di mercato

– Periodi di alta e bassa volatilità possono essere raggruppati (volatility clustering)

• Effetti– Sotto o sopravvalutazione del VaR.

Autocorrelazione della volatilità

-0.12

-0.07

-0.02

0.03

0.08

0.13

Mar-99

Jun-99

Sep-99

Dec-99

Mar-00

Jun-00

Sep-00

Dec-00

Mar-01

Jun-01

Sep-01

Dec-01

FIAT

Simulazione storica filtrataBarone-Adesi e Giannopoulos

• Barone-Adesi e Giannopoulos hanno proposto una modifica dell’algoritmo di simulazione storica basato sul filtraggio preventivo dei dati.

• Simulazione storica filtrata– Rivalutazione del portafoglio su dati storici

– Stima di un modello Garch su tale serie

– Utilizzo delle stime per filtrare i dati

– Utilizzo di tecniche bootstrap per simulare l’evoluzione dei rendimenti e della volatilità

Simulazione storica filtrata:l’algoritmo

• Step 1. Rivalutazione del portafoglio sulla base di dati storici, e calcolo di profitti e perdite in ogni scenario

• Step 2. Specificazione e stima di un modello Garch, ad es.

2t

2tt

tttt N~ R

11112

,0

Filtraggio dei dati

• Step 3. Calcolare e salvare la serie storica dei residui t, per t = 0, 1, …,T

• Step 4. Calcolare e salvare la serie storica delle volatilità t, per t = 1, …,T + 1

• Step 5. Calcolo della serie storica dei residui filtrati

zt = t / t

per t = 1, …,T

L’algoritmo bootstrap…• Step 6. Estrarre n residui filtrati dalla serie storica zt = z(1),

z(2), …,z(n)– n è il numero di giorni che rappresenta il periodo di smobilizzo

• Step 7. Porre il rendimento simulato al tempo T + 1 uguale a

RT+1 = z(1) T+1 = T+1

• Step 8. Calcolo della volatilità T+2.

211

211

22 ttT

• Step 9. Ripetere gli step 7 e 8 calcolando

RT+i = z(i) T+i = T+i

per i = 2, …,n – 1

• Step 10. Calcolare e salvare

RT+n = z(n) T+n = T+n

RT+1 + RT+2 + … + RT+i … + RT+n

211

211

21 ititiT

…prima iterazione

…ripetere NITER volte

• Step 11. Ripetere gli step dal 6 al 10 un numero NITER (es. 1000) di iterazioni.

• Step 12. Ordinare gli scenari per dimensione della perdita (istogramma)

• Step 13. Calcolare il percentile empirico dell’istogramma– Es. nel caso di 1000 iterazioni scegliere il valore

decimo peggiore per un percentile dell’1%, il 50 peggiore per il 5%...

Applicazioni

• Con questa metodologia sono determinati margini alla London Clearing House

• Recentemente, in un lavoro Barone-Adesi, Engle e Mancini, la metodologia è stata applicata alla valutazione di opzioni.

• In questo caso si utilizza l’algoritmo sopra descritto utilizzando per n i giorni mancanti all’esercizio.