Varianza y covarianza

VARIANZA Y COVARIANZA DE VARIABLES ALEATORIAS

FCC BUAPLuis Alfredo Moctezuma

4/16/2016 1Varianza y covarianza de variables aleatorias

Introducción• La media de una variable aleatoria X describe en dónde

se centra la distribución de probabilidad– No ofrece una descripción adecuada de la forma de la

distribución

4/16/2016 Varianza y covarianza de variables aleatorias

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Introducción • Histograma de dos distribuciones de prob. discretas con

media μ=2– Difieren en la dispersión de sus observaciones sobre la

media


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Media• Formaliza la idea del valor medio de un fenómeno

aleatorio• Descr ibe en dónde se centra la d ist r ibución de

probabilidad

• Si X es discreta

• Si X es continua


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Varianza,I• Medida de variabilidad• Proporciona una idea de la dispersión de una variable

aleatoria respecto a la media– Se denota por σ2 (sigma minuscula)


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Varianza,II• Sea X una variable aleatoria con distr ibución de

probabilidad f(x) y media μ

– si X es discreta

– Si X es continua

En donde (X - μ) es la desviación de una observación


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Varianza,IIILa varianza de una variable aleatoria X es:

Donde:– Si X es discreta



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Ejemplo I,ISea la variable aleatoria X, que representa el número de automóviles que se utilizan con propósitos de negocios oficiales en un día de trabajo dado.

– La distribución de probabilidad para la empresa A es:

– y para la empresa B es:

• Demostrar que la varianza de la distribución de prob. para la empresa B es mayor que la de la empresa A


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x 1 2 3f(x) 0.3 0.4 03

x 0 1 2 3 4f(x) 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1

Ejemplo I,IIPara la empresa A:

• μA= Σ(x)(fx) = (1)(0.3) + (2)(0.4) + (3)(0.3) = 2

• σ2 A= Σ(x-μ)2f(x) = (1- 2)2(0.3) + (2- 2)2(0.4) + (3- 2)2(0.3) = 0.6


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x 1 2 3f(x) 0.3 0.4 03

Ejemplo I,IIPara la empresa B:

• μB= Σ(x)(fx) = (0)(0.2) + (1)(0.1) + (2)(0.3) + (3)(0.3) +(4)(0.1) = 2

• σ2 B= Σ(x-μ)2f(x) = (0- 2)2(0.2) + (1- 2)2(0.1)+ (2- 2)2(0.3) +(3- 2)2(0.3)+ (4-

2)2(0.1) =1.6

La varianza del número de automóviles que se usan con propositos de negocios oficiales, es mayor en la empresa B


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x 0 1 2 3 4f(x) 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1

Ejemplo IISuponga que la variable aleatoria X representa el número de partes defectuosas de una máquina, cuando de una línea de producción se obtiene una muestra de tres partes y se somete a prueba. La siguiente es la distribución de probabilidad de X.

• Calcular σ2

μ=Σ(x)(fx) = (0)(0.51) + (1)(0.38) + (2)(0.10) + (3)(0.01) = 0.61

σ2 =Σ(x-μ)2f(x) =(0-0.61)2(0.51) + (1- 0.61)2(0.38) + (2- 0.61)2(0.10) + (3- 0.61)2(0.01) = 0.4979


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x 0 1 2 3f(x) 0.51 0.38 0.10 0.01

Ejemplo,IIILa demanda semanal de una bebida para una cadena local de tiendas de abarrotes, en miles de litros, es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente densidad de probabilidad

• Calcular μ y σ2

σ2 = (17/6)- (5/3)^2= 1/18


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Segunda Parte• En los ejemplos vistos solo se puede comparar dos o más distribuciones

cuando tienen las mismas unidades de medida– Por ejemplo, no tendria caso comparar σ2 de distr ibucion de

calificaciones con una de estaturas

• Extenderemos el concepto de varianza de una variable aleatoria X para incluir también variables aleatorias relacionadas con X


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Varianza de g(X)• Para la variable aleatoria g(X) la varianza se denotará

por σ 2g(X)

Sea X una var iab le a leator ia con d is t r ibuc ión de probabilidad f(x). La varianza de la variable aleatoria g(X) es

– Si X es discreta


4/16/2016 Varianza y covarianza de

variables aleatorias14

Ejemplo IV,I• Calcule la varianza de g(X) = 2X + 3, donde X es una

variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad

Primero se calcula la media de la variable aleatoria

μ2x+3= (2(0)+3 )(1/4) + (2(1)+3 )(1/8) + (2(2)+3 )(1/2) + (2(3)+3 )(1/8)= 6


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x 0 1 2 3f(x) 1/4 1/8 1/2 1/8

Ejemplo IV,II• La varianza de g(x)

= E[(2X+3 - 6 )2] = E[( 2X-3 )2] = E[ 4X2 -12x +9]

• De donde se obtiene:

= [4(0)2 -12(0)+9] (1/4 ) + [4(1)2 -12(1)+9] (1/8 ) + [4(2)2 -12(2)+9] (1/2 ) + [4(3)2 -12(3)+9] (1/8 ) = 4


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x 0 1 2 3f(x) 1/4 1/8 1/2 1/8

Covarianza,I• "Varianza: proporciona una idea de la dispersión una

variable aleatoria respecto a la media"

• Covarianza: proporciona una idea de la dispersión de dos(o más) variables aleatorias respecto a la media– Se denota por σxy o cov(X,Y)


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Covarianza,IISean X y Y variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f (x, y)• La covarianza de X y Y es

– Si X y Y son discretas

– Si X y Y son continuas


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Covarianza,III• La covarianza de dos variables aleatorias X y Y, con

medias μX y μY, respectivamente, está dada por:

• Donde:– Si X y Y son discretas

– Si X y Y son continuas


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Covarianza,IV


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Covarianza,V


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Ejemplo V,I• Se seleccionan al azar 2 repuestos para bolígrafo de una caja que

contiene 3 repuestos azules, 2 rojos y 3 verdes. • Si X es el número de repuestos azules y Y es el número de

repuestos rojos. Cuando de cierta caja se seleccionan dos repuestos para bolígrafo al azar y la distribución de probabilidad conjunta es la siguiente. Calcular la covarianza de X y Y


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f(x,y)x

h(y)0 1 2

y

0 3/28 9/28 3/28 15/28

1 3/14 3/14 0 3/7

2 1/28 0 0 1/28

g(x) 5/14 15/28 3/28 1

Ejemplo V,II• Solución

= (0)(0)f(0,0) + (0)(1)f(0,1) + (0)(2)f(0,2) + (1)(0)f(1,0) + (1)(1)f(1,1) + (2)(0)f(2,0) = (1)(1)f(1,1)= 3/14


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f(x,y)x

h(y)0 1 2

y

0 3/28 9/28 3/28 15/28

1 3/14 3/14 0 3/7

2 1/28 0 0 1/28

g(x) 5/14 15/28 3/28 1

Ejemplo V,III• Solución

μx= 0(5/14) + (1)(15/28) + (2)(3/28) = 3/4

μy = (0)(15/28) + (1)(3/7) + (2)(1/28) = 1/2

• Sustituyendo: σxy = E(XY) -μx μy = (3/14) -(3/4)(1/2)= -9/56


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f(x,y)x

h(y)0 1 2

y

0 3/28 9/28 3/28 15/28

1 3/14 3/14 0 3/7

2 1/28 0 0 1/28

g(x) 5/14 15/28 3/28 1

Covarianza,IV (cont)• El signo de la covarianza indica si la relación entre dos

variables aleatorias dependientes es positiva o negativa

• Cuando X y Y son estadísticamente independientes, se puede demostrar que la covarianza es cero


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Referencias• Walpole,Myers.Probabilidad y estadística para ingeniería

y ciencias: Pearson• Editor de formulas: www.wiris.com


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