8/17/2019 Covarianza 123

1/13

Covarianza

La covarianza  de una variable bidimensional es la media aritméticade los productos de las desviaciones de cada una de las variables

respecto a sus medias respectivas.

La covarianza  se representa por  sxy o σxy.

La covarianza  indica el sentido de la correlación entre las variables

Si σxy > 0 la correlación es directa.

Si σxy < 0 la correlación es inversa.

La covarianza  presenta como inconveniente, el hecho de que suvalor depende de la escala elegida para los ejes.

Es decir, la covarianza variará si expresamos la altura en metros oen centímetros. ambién variará si el dinero lo expresamos en euroso en dólares.

Ejemplos:

Las notas de !" alumnos de una clase en #atemáticas $ %ísica son lassiguientes&

Matemáticas Física

2 1

3 3

2

8/17/2019 Covarianza 123

2/13

!

"

" "

#

# "

$ #

10 %

10 10

'allar la covarianza de la distribución.

xi yi xi & yi

2 1 2

3 3 %

2 $

1"

5 4 20

6 4 24

6 6 36

7 4 28

7 6 42

8/17/2019 Covarianza 123

3/13

8 7 56

10 9 90

10 10 100

72 60 431

(espués de tabular los datos hallamos las me'ias aritm(ticas &

Los valores de dos variables ) e * se distribu$en seg+n la tablasiguiente&

Y/X 0 2 4

1 2 1 3

2 1 4 2

3 2 5 0

'allar la covarianza  de la distribución.

En primer lugar convertimos la tabla de doble entrada en tabla simple

$ calculamos las medias aritméticas.

xi yi f i xi · f i yi · f i xi · yi · f i

0 1 2 0 2 0

0 2 1 0 2 0

http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html

8/17/2019 Covarianza 123

4/13

0 3 2 0 6 0

2 1 1 2 1 2

2 2 4 8 8 16

2 3 5 10 15 30

4 1 3 12 3 12

4 2 2 8 4 16

  20 40 41 76

Coefciente de correlación lineal

El coe)iciente 'e correlaci*n lineal es el cociente entre

la covarianza $ el producto de las 'esviaciones típicas de ambas

variables.

El coe)iciente 'e correlaci*n lineal  se expresa mediante la letra r .

+ropie'a'es

1, El coe)iciente 'e correlaci*n  no varía al hacerlo la escala de

medición.

Es decir, si expresamos la altura en metros o en centímetros el

coeiciente de correlación no varía.

2, El signo del coe)iciente 'e correlaci*n es el mismo que el dela covarianza.

8/17/2019 Covarianza 123

5/13

Si la covarian-a es positiva, la correlación es directa.

Si la covarian-a es negativa, la correlación es inversa.

Si la covarian-a es nula, no existe correlación.

3, El coe)iciente 'e correlaci*n lineal es un n+mero realcomprendido entre ! $ !.

-1 . r . 1

, Si el coe)iciente 'e correlaci*n lineal  toma valores cercanos a! la correlación es )/erte e inversa, $ será tanto más uerte cuantomás se aproxime r a !.

!, Si el coe)iciente 'e correlaci*n lineal  toma valores cercanos a !

la correlación es )/erte y 'irecta, $ será tanto más uerte cuantomás se aproxime r a !.

", Si el coe)iciente 'e correlaci*n lineal  toma valores cercanos a/, la correlación es '(il.

#, Si r 0 ! ó !, los puntos de la nube están sobre la recta crecienteo decreciente. Entre ambas variables ha$  'epen'encia )/ncional.

Ejemplos:  

Las notas de !" alumnos de una clase en #atemáticas $ %ísica son lassiguientes&

Matemáticas Física

2 1

3 3

4 2

4 4

5 4

6 4

6 6

7 4

8/17/2019 Covarianza 123

6/13

7 6

8 7

10

10 10

'allar el coe)iciente 'e correlaci*n de la distribución e

interpretarlo.

!i "i !i #"i !i2 "i2

2 1 2 4 1

3 3

4 2 8 16 4

4 4 16 16 16

5 4 20 25 16

6 4 24 36 16

6 6 36 36 36

7 4 28 4 16

7 6 42 4 36

8 7 56 64 4

10 0 100 81

10 10 100 100 100

72 60 431 504 380

1 'allamos las me'ias aritm(ticas .

http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html

8/17/2019 Covarianza 123

7/13

2 1alculamos la covarianza.

3 1alculamos las 'esviaciones típicas.

 2plicamos la órmula del coe)iciente 'e correlaci*n lineal.

 2l ser el coe)iciente 'e correlaci*n positivo, la correlación es

directa.

1omo coe)iciente 'e correlaci*n está mu$ próximo a ! la

correlación es mu$ uerte.

Los valores de dos variables ) e * se distribu$en seg+n la tablasiguiente&

 $%& 0 2 4

1 2 1 3

2 1 4 2

3 2 5 0

'eterminar el coefciente de correlación(

1onvertimos la tabla de doble entrada en tabla simple.

!i "i ) i !i # ) i !i2 # ) i "i # ) i "i2 # ) i !i # "i # ) i

0 1 2 0 0 2 2 0

http://www.vitutor.com/estadistica/bi/covarianza.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_16.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/bi/covarianza.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_16.html

8/17/2019 Covarianza 123

8/13

0 2 1 0 0 2 4 0

0 3 2 0 0 6 18 0

2 1 1 2 4 1 1 2

2 2 4 8 16 8 16 16

2 3 5 10 20 15 45 30

4 1 3 12 48 3 3 12

4 2 2 8 32 4 8 16

  20 40 120 41 7 76

 2l ser el coe)iciente 'e correlaci*n negativo, la correlación es

inversa.

1omo coe)iciente 'e correlaci*n está mu$ próximo a / lacorrelación es mu$ débil.

'ia*rama de +,ntos3n diagrama de puntos es una gráica utili-ada para ilustrar un n+mero

reducido de datos, la cual permite identiicar con acilidad dos características&

!. La locali-ación de los datos.

". La dispersión o variabilidad de los datos.

8/17/2019 Covarianza 123

9/13

Este diagrama muestra cada uno de los elementos de un conjunto de datos

numéricos por encima de una recta numérica 4eje hori-ontal5, acilita la

ubicación de los espacios vacíos $ los agrupamientos en un conjunto de datos,

así como la manera en que estos datos se distribu$en a los largo del eje

hori-ontal.

-os .asos .ara constr,ir el dia*rama

son/

6aso 7 !& ra-ar una línea hori-ontal con el valor mínimo colocado en el

extremo i-quierdo, seleccionar una escala $ utili-ando intervalos regulares,

marcar la escala hasta que el valor máximo sea alcan-ado.

6aso 7 "& 6ara cada valor numérico presente en la tabla de datos, colocar un

punto sobre la escala de valores en la recta numérica, cuando el valor 

numérico aparece más de una ve-, apilar los puntos.

em.lo/

La tabla siguiente muestra los datos de longitud en milímetros de un conjunto

de cables que serán utili-ados en un estudio de resistencia a la tensión&

Cale -on*it,

d

Cale -on*it,

d

Cale -on*it,

d

Cale -on*it,

d

1 20 6 40 11 40 16 40

2 80 7 20 12 110 17 200

3 110 8 20 13 120 18 10

4 100 9 90 14 20 19 100

5 80 10 80 15 40 20 150

 +aso 1& ra-ar una línea hori-ontal con el valor mínimo colocado en el

extremo i-quierdo, seleccionar una escala $ utili-ando intervalos regulares,

marcar la escala hasta que el valor máximo sea alcan-ado.

8/17/2019 Covarianza 123

10/13

 +aso 2: 6ara cada valor numérico presente en la tabla de datos, colocar un

punto sobre la escala de valores en la recta numérica, cuando el valor

numérico aparece más de una ve-, apilar los puntos.

mportante: El diagrama de puntos es una representación de datos +til para

muestras peque8as, hasta 4digamos5 unas "/ observaciones 4(ouglas 1.

#ontgomer$, "//95.

nálisis de re*resión linealEl objeto de un análisis de regresión es investigar la relación estadística

que existe entre una variable dependiente 4Y 5 $ una o más

variables independientes 4 , ... 5. 6ara poder reali-ar esta investigación, se

debe postular una relación uncional entre las variables. (ebido a su simplicidad

analítica, la orma uncional que más se utili-a en la práctica es la relación  lineal .

1uando solo existe una variable independiente, esto se reduce a una línea recta&

8/17/2019 Covarianza 123

11/13

(onde los coeicientes b/ $ b! son parámetros que deinen la posición e

inclinación de la recta. 4:ótese que hemos usado el símbolo especial para

representar el valor deY  calculado por la recta. 1omo veremos, el valor real de Y rara

ve- coincide exactamente con el valor calculado, por lo que es importante hacer esta

distinción.5

El parámetro b/, conocido como la ;ordenada en el origen,; nos indica cuánto es Y 

cuando X  0 /. El parámetro b!, conocido como la ;pendiente,; nos indica cuánto

aumenta Y  por cada aumento de una unidad en X . :uestro problema consiste en

obtener estimaciones de estos coeicientes a partir de una muestra de observaciones

sobre las variables Y  $ X . En el análisis de regresión, estas estimaciones se obtienen

por medio del método de mínimos cuadrados.

1omo ejemplo, consideremos las ciras del 1uadro !, que muestra datos mensuales

de producción $ costos de operación para una empresa británica de transporte depasajeros por carretera durante los a8os !9" 4la producción se mide en términos

de miles de millas=vehículo recorridas por mes, $ los costos se miden en términos de

miles de libras por mes5. 6ara poder visuali-ar el grado de relación que existe entre las

variables, como primer paso en el análisis es

conveniente elaborar un diagrama de

dispersión, que es una representación en un

sistema de coordenadas cartesianas de los datos numéricos observados. En el

diagrama resultante, en el eje  X  se miden las millas=vehículo recorridas, $ en el

eje Y  se mide el costo de operación mensual. 1ada punto en el diagrama muestra la

pareja de datos 4millas=vehículo $ costos de operación5 que corresponde a un mesdeterminado. 1omo era de esperarse, existe una relación positiva entre estas

variables& una ma$or cantidad de millas=vehículo recorridas corresponde un ma$or 

nivel de costos de operación.

8/17/2019 Covarianza 123

12/13

8/17/2019 Covarianza 123

13/13

o 1aso 2 = Elecciones en %lorida

o 1aso @ Le$ de Jun& (esempleo $ 1recimiento Económico, 3S2

!9AA=9>.

o 1aso 1 Le$ de Jun& (esempleo $ 1recimiento Económico, 3S2

!9"9=>