ASSOCIAZIONE FRA CARATTERI … e... · (sqm: scarto quadratico medio) 19 – La covarianza ......

1 – Associazione tra variabili quantitative

ASSOCIAZIONE FRA CARATTERI QUANTITATIVIASSOCIAZIONE FRA CARATTERI QUANTITATIVI:

COVARIANZA E CORRELAZIONE


Prezzo medio per Nr.

Un esempio

Albergo per

cliente (Euro)Nr.

clientiA 70 171B 100 110 C 60 192

Scatterplot dei dati (diagramma di dispersione)

C 60 192D 80 135 V 75 165F 65 225 210

230

( g p )

H 100 134 S 85 178 T 90 145AS 80 171

170

190

N. c

lient

iAS 80 171CC 110 102 FF 75 131

110

130

150N

2

9040 60 80 100 120

Prezzo


• Si vede che i punti del diagramma si dispongono secondo una ‘nuvola allungata’ tanto da permettere di affermare che all’aumentare di una variabile (es. prezzo) l’altra variabile tende a diminuire

• ma se non si conosce a fondo il fenomeno questi dati non ci dicono se• ma se non si conosce a fondo il fenomeno, questi dati non ci dicono se c’è una relazione causa-effetto fra le due variabili. I casi potrebbero essere 2:

d d d1. i clienti tendono ad essere meno numerosi quando il prezzo è più alto e viceversa (relazione: prezzo nr. clienti);

2. quando ci sono gite di gruppi di turisti (e quindi i clienti sono più . q d c s g d g pp d s ( q d c s pnumerosi), l’albergo è disposto a fissare prezzi più bassi (relazione: nr. clienti prezzo)


Lo scatterplot ci fa capire se esiste una associazione statisticafra due caratteri quantitativi.

Chiedersi se esiste un’associazione fra due variabili quantitative equivale achiedersi: al variare di una, anche l’altra tende a variare? (es. se una aumenta, l’altraha la tendenza ad aumentare? a diminuire?)

Quando all’aumentare di una variabile l’altra tende a diminuire si parlaQuando all aumentare di una variabile, l altra tende a diminuire si parladi associazione discordante

Q d ll’ di i bil l’ l d d iQuando all’aumentare di una variabile, l’altra tende ad aumentare siparla di associazione concordante

Quando al variare di una l’altra tende a non variare si parla di assenza diassociazione


Quale dei due scatterplot mostra una associazione più stretta? Perché?

5

5

(b)(a)


Risposta int iti a l’ i zi n è m i r n l r fi (b) p r héRisposta intuitiva: l’associazione è maggiore nel grafico (b) perché la nuvola è più stretta.

6(a) (b)


di d i fi i i ? Q l i i iùE cosa dire dei grafici seguenti ? Quale mostra una associazione più stretta fra le due variabili ?

7(b)(a)


Esiste un indice statistico che esprime il grado di associazione fra due variabili ?

SI.

P i li i di l d fi i i di i iPer capire meglio, riprendiamo la definizione di associazione:

al variare di una variabile anche l’altra tende a variare,

Ci vuole una misura di variabilità congiunta delle variabili

9 – La covarianza

Vi ricordate quale era un indice di variabilità per un variabile quantitativa ? SI’, la varianza

)xx()xx(1)xx(1)xvar(NN

2 −−=−= ∑∑ )xx()xx(N

)xx(N

)xvar( i1i

i1i

i == ∑∑==

Per misurare l’associazione fra la variabile x e la variabile y si usa la covarianza

)yy()xx(N1)x,ycov()y,xcov( i

N

i −−== ∑

9

N 1i=

10 – La covarianza

Segno della covarianza

)yy()xx()yxcov(N

= ∑1 )yy()xx(N

)y,xcov( ii

i −−= ∑=1

Se “prevalgono” gli addendi positivi il segno sarà positivo,

altrimenti negativo

10

Quadrante SW<0

)yy)(xx( ii −−<0 <0

NW NEvariabile y

yyi −

y

yyi

SW SE

x11

xxi − variabile x

NW NE

SW SEDISCORDANZA

0)yy)(xx( ii >−−NW NE0)yy)(xx( ii <−−

0)yy)(xx( ii <−−SE SW 0)yy)(xx( ii >−−

I punti si trovano in maggioranza nei quadranti NW e SE

covarianza NEGATIVA (associazione discordante )12

NW NE

SW SE CONCORDANZA

0)yy)(xx( ii <−− 0)yy)(xx( ii >−−NW NE

0)yy)(xx( ii >−−0)yy)(xx( ii <−−SE SW

I punti si trovano in maggioranza nei quadranti NE e SW

13

covarianza POSITIVA (associazione concordante)


LA COVARIANZA

1. Assume valore 0 quando al variare di una variabile l’altra rimane costantecostante

2. Assume il massimo in valore assoluto positivo quando i punti sono2. Assume il massimo in valore assoluto positivo quando i punti sono tutti allineati su una retta crescente e negativo quando i punti sono tutti allineati su una retta decrescente


y y

x x

x costante al y costante al

1 La covarianza assume valore 0 quando al variare di una variabile

variare di y variare di x

15

1. La covarianza assume valore 0 quando al variare di una variabile l’altra rimane costante


2. Assume il massimo in valore assoluto positivo quando i punti sono tutti allineati su una retta crescente e negativo quando i punti sono

i lli i dtutti allineati su una retta decrescente


Valore della covarianza quando c’è perfetta relazione lineare crescente

)y(sqm)x(sqm)yxcov( = )y(sqm)x(sqm)y,xcov( =

TUTTI i i lli iTUTTI i punti allineati su una retta crescente

17(sqm: scarto quadratico medio)


)y(sqm)x(sqm)yxcov( =

Valore della covarianza quando c’è perfetta relazione lineare decrescente

)y(sqm)x(sqm)y,xcov( −=

TUTTI i i lli i dTUTTI i punti allineati su una retta decrescente

(sqm: scarto quadratico medio)


L i f d i bili ò di i il l è héLa covarianza fra due variabili non può dirci se il legame è stretto o no perché il valore della covarianza dipende dall’ordine di grandezza delle variabili (e anche dalla loro unità di misura).

STATURA (in STATURA (in PESO m) cm) (Kg.)

1.60 160 601.65 165 561.70 170 721.85 185 761 78 178 681.78 178 68

Covarianza (statura in m, peso)=0,5456 metri x Kg( , p ) , g

Covarianza (statura in cm, peso)=54,56 cm x Kg

20 – Il coefficiente di correlazione

Coefficiente di correlazione: e’ dato dalla covarianza diviso il suo valore massimo

)y,xcov(dimassimovalore)y,xcov(rxy = )y,xcov(dimassimovalore

In particolare:

)y,xcov(rxy =

In particolare:

)y(sqm)x(sqmxy

variabilità congiunta di x e y

variabilità di xindipendentemente da y

variabilità di y indipendentemente da x


1r1 xy ≤≤−


•Si ricava dalla covarianza dividendola per il suo valore massimo. •E’ quindi un numero puro che varia da -1 a +1.•Ci indica la strettezza del legame lineare fra le due variabili (cioè quanto sia plausibile approssimare la nuvola dei punti con una retta)

1. Assume valore 0 quando al variare di una variabile, l’altra rimane costante2. Assume valore prossimo a 0 quando la nuvola di punti non ha una forma approssimabile da una retta (non orizzontale né verticale)3 Assume valore 1 quando i punti sono tutti allineati su una retta crescente3. Assume valore 1 quando i punti sono tutti allineati su una retta crescentee valore -1 quando i punti sono tutti allineati su una retta decrescente

4 r = r4. rxy = ryx


1. Esso assume valore 0 quando al variare di una variabile l’altra rimane costante

y y

x xx costante al variare di y y costante al variare di x


2. Esso assume valore prossimo a 0 quando la nuvola di punti non hauna forma approssimabile da una retta ----- c’è incorrelazione (assenza didipendenza lineare) che non vuol dire indipendenza. Infatti nel grafico ap ) p gdestra si evidenzia un legame quadratico tra i dati


3 E l 1 d i i i lli i3. Esso assume valore 1 quando i punti sono tutti allineati su una rettacrescente e valore -1 quando i punti sono tutti allineati su una rettadecrescente

25Coeff. Correlazione =1 Coeff. Correlazione= -1


4. rxy = ryx

y x

x yrxy = ryx = -0.6

27 – Correlazione

correlazione sul web


2 domande:

• Quali valori del coefficiente di correlazione fanno ritenere che si sia associazione ?

• A che cosa serve sapere che è presente un’associazione fra due variabili?

29 –Associazione tra variabili quantitative

Quali valori del coefficiente di correlazione fanno ritenere che ci sia associazione ?

Ai nostri scopi :Ai nostri scopi :

1 0 7 +0 7 1-1 -0.7 +0.7 1

A i i i A i i itiAssociazione negativa (discordante)

Associazione positiva (concordante)


A che cosa serve sapere che è presente una associazione fra due variabili ?ssoc o e due b ?

Se due variabili sono associate, conoscendo il valore di una si possono fare delle congetture abbastanza

precise sul comportamento dell’altraprecise sul comportamento dell altra


La y tende ad yassumere valori in questoquesto

intervallo

S l l i iSe la x assume valori in questo intervallo


Correlazione e Regressioneg

• L’obiettivo è l’analisi della dipendenza tra 2 variabili quantitative: y (variabile risposta) x (variabile esplicativa)

• Analizziamo come i valori di y tendano a variare in funzione dei diversi valori di x

• Una formula matematica può sintetizzare (in modo adeguato e non) il legame che esiste tra x e y per scopi di previsione e controllo

• La più semplice funzione è la retta che descrive una relazione lineare tra x e y:

bxay +=Esempio: Su un gruppo di pazienti viene rilevato il numero di visite per disagi mentali (crisi

d’ansia, depressione, attacchi di panico) e il numero degli eventi di particolare rilevanza (gravi

bxay +

, p , p ) g p z (ge/o felici) che hanno segnato la loro vita. Si vuole indagare se esiste un legame lineare tra disagi (risposta) ed eventi (esplicativa).


• Si dispone dell’elenco dei dati: n coppie di modalità relative ai caratteri quantitativi X=#eventi e Y=#disagi

( ) ( ) ( ) ( )

Graficamente:

1 1 2 2( , ), ( , ), ..., ( , ), ..., ( , )i i n nx y x y x y x y

La nuvola dei punti La nuvola dei punti appare caratterizzata da appare caratterizzata da un trend lineareun trend lineareun trend lineareun trend lineare

34 – Retta di regressione

Sembra plausibile l’idea di descrivere il trend della nuvola dei punti con una retta, e approssimare la realtà con un modello matematico, ma quale retta scegliere?


L d i i i i d i

La retta ai mini quadrati è

La retta dei minimi quadrati

quella che rende minima la somma dei residui al quadrato{ iy q

valori teorici

∑ ∑ −= 2)ˆ(2 yye

iyiii yye −= { iy

ˆv o eo c

parametri

)(

iyixbaiy ˆˆˆ +=

( , )ˆ ˆˆ, ( ) ( )( )

Cov X Yb a M Y bM XVar X

= = − xbyax

yxb

ˆˆ)var(),cov(ˆ

−=

=

( )


Bontà di adattamento

22 )ˆvar( ryR

• il coefficiente di determinazione R2 è il quadrato del coefficiente di

)var()( r

yyR ==

correlazione

• è il raporto tra varianza spiegata e varianza totale, pertanto indica quantad ll i bili à l è i d l d llparte della variabilità totale è spiegata dal modello

• varia tra 0 (non adattamento) e 1 (perfetto adattamento della retta ai dati)

• indica se il legame lineare ipotizzato per descrivere la relazione tra X e Y èplausibile


Alcuni risultatiAlcuni risultati• Nell’esempio, l’equazione della retta è

ˆ 42719422 +

• Significato di b: il numero di visite aumenta di 1.427per ogni evento importantei iù ll it d l i t Si ifi t di h 0 ti i li il

x..y 42719422 +=

in più nella vita del paziente; Significato di a: anche con 0 eventi eccezionali ilmodello suggerisce 3 sedute!!!• Previsione: qual è il numero di disagi che il modello stimato suggerisce per un

paziente che dichiara una vita segnata da 5 eventi?

• C t ll ti ti à bit d il d ll ti t i t10542719422 =+= *..y

• Controllo: quanti eventi avrà subito, secondo il modello stimato, un paziente che dichiara di aver avuto 9 disagi? 244427194229 4271

94229 .xx*.. .).( ==+= −

• L’indice R2=0.705 indica un buon adattamento della retta ai dati


E i 1Esempio 1

Ad alcuni laureati è stato somministrato un questionario per verificare se coloro che hannocompletato gli studi con maggior successo hanno realmente più facilità ad inserirsi nel mondocompletato gli studi con maggior successo hanno realmente più facilità ad inserirsi nel mondodel lavoro. Dai questionari ricaviamo le informazioni riguardanti il tempo X (in mesi) trascorsodalla laurea fino alla stipula del primo contratto di lavoro ed il voto conseguito alla laurea Y.Tali dati sono riportati di seguito:Tali dati sono riportati di seguito:

Y X 66 --| 75 75 --| 90 90 --| 100 100 --| 111

0 --| 5 0 10 35 55

5 --| 15 2 15 21 40

15 --| 24 42 23 5 0

1. Determinare il grado di dipendenza lineare;2. Calcolare i coefficienti della retta di regressione, scegliendo opportunamente lag , g pp

variabile dipendente, e commentarne il significato;3. Valutare la bontà di adattamento del modello ai dati.


( ) ( ) ( ) 055.65256.92657.9248

2048201,3

1

4

1

−=⋅−=⋅−⋅= ∑∑= =i j

ijji YMXMnyxN

YXCov1.

( ) ( )( ) ( )

717.0441.171038.48

055.65,, −=⋅

−=

⋅=

YVarXVarYXCovYXr

( )( ) 379.0

441.171055.65,

−=−

==YVar

YXCovb2.

( ) ( ) 665.44256.92379.0657.9 =⋅+=⋅−= YMbXMa

X=44.665-0.379Y

( )[ ] 514.0, 22 == YXrR3.

Interpretare, commentare, disegnare i dati e la retta!


Esempio 2Si pensa che esista una relazione lineare tra la cifra spesa per S.Valentino ed il numero di anni di durata della relazione nella coppia. I dati seguenti sono riferiti a 9 coppie di innamorati

Esempio 2

innamorati

Durata rapporto4 15 8 6 5 2 1 14 22

Durata rapporto (anni)

4 15 8 6 5 2 1 14 22

Cifra spesa per S. Valentino

(i i li i di )0.23 0.03 0.08 0.15 0.12 1.2 1.5 0.028 0.85

1 Utili i di t f h i t di d t i d tt i

(in migliaia di euro)

1. Utilizzare un indice opportuno per confermare che esiste discordanza tra i due caratteri;2. Determinare i parametri della retta di regressione assumendo come variabile dipendente la

cifra spesa;3 Secondo il modello del punto 1 a quanto ammonterà la spesa di una coppia nel critico3. Secondo il modello del punto 1, a quanto ammonterà la spesa di una coppia nel critico

settimo anno di relazione? 4. Valutare la bontà di adattamento della retta ai dati.


U ’ di l li

TotX 4 15 8 6 5 2 1 14 2 57

Un po’ di calcoli

X 4 15 8 6 5 2 1 14 2 57Y 0.23 0.03 0.08 0.15 0.12 1.2 1.5 0.028 0.85 4.188

X·Y 0.92 0.45 0.64 0.9 0.6 2.4 1.5 0.392 1.7 9.502X2 16 225 64 36 25 4 1 196 4 571Y2 0.0529 0.0009 0.0064 0.0225 0.0144 1.44 2.25 0.00078 0.7225 4.51

( ) 33.6571 9=== ∑ ixXM ( ) 465.0188.41 9

=== ∑ iyYM ( ) ( ) 33.2333.65711 29

22 =−=−= ∑ i XMxXVar1 ( )99 1

∑=i

i ( )99 1

∑=i

iy ( ) ( )99 1

∑=i

i

( ) ( ) 284.0465.09510.4

91 2

9

1

22 =−=−= ∑=i

i YMyYVar ( ) ( ) ( ) 89.1465.033.69502.9

91,

9

1−=⋅−=⋅−⋅= ∑

=YMXMyxYXCov

iii

1.

( )( ) 081.0

33.2389.1,

−=−

==XVar

YXCovb ( ) ( ) 979.033.6081.0465.0 =⋅+=−= XbMYMa Y=0.979-0.081X

412.07081.0979.0 =⋅−=y

2.

3.

( ) ( )( ) ( )

734.0284.033.23

89.1., −=⋅

−=

⋅=

YVarXVarYXCovYXr ( )[ ] 539.0, 22 == YXrR4.

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