Varianza y covarianza armónica - Econometria … · Varianza y covarianza armónica Francisco...
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Varianza y covarianza armónica Francisco Parra Rodriguez Doctor en Ciencias Económicas. UNED. Series temporales estacionarias. Sea ) (t x un conjunto de observaciones de una variable aleatoria x , en distintos momentos del tiempo. Consideramos ) (t x como una realización de un proceso estocástico ergódico, ya que solo disponemos de una realización del proceso estocástico que ha generado la serie de datos, dada la imposibilidad de observar distintas realizaciones de ) (t x a lo largo de un periodo de tiempo. Un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto, cuando para todo 0 > n la función de distribución conjunta de k x x x F x x x F k n t k t k t n t t t 2200 = + + + + + + + + + ); ,..., , ( ) ,..., , ( 2 1 2 1 . Es decir, la función de distribución conjunta es independiente de t, invariante ante traslaciones de tiempo. En un sentido amplio, para que un proceso sea estacionario es suficiente que su esperanza y su función de autocovarianza sea independiente de t. Es decir, k x E x E k t t 2200 = + ); ( ) ( . Si un proceso es estacionario en media, entonces ∑ = = n i i x n 1 1 ˆ μ es un estimador insesgado y consistente de ) ( t x E . Si un proceso es estacionario en covarianza, se cumple la siguiente igualdad [ ] { } [ ] { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( τ γ τ τ τ γ = + - + ⋅ - = t x E t x t x E t x E t , lo que significa que la función de autocovarianza no depende de t, ) ( ) ( τ γ τ γ - = , y el estimador
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Varianza y covarianza armónica Francisco Parra Rodriguez
Doctor en Ciencias Económicas. UNED.
Series temporales estacionarias.
Sea )(tx un conjunto de observaciones de una variable aleatoria x , en distintos
momentos del tiempo. Consideramos )(tx como una realización de un proceso
estocástico ergódico, ya que solo disponemos de una realización del proceso
estocástico que ha generado la serie de datos, dada la imposibilidad de
observar distintas realizaciones de )(tx a lo largo de un periodo de tiempo.
Un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto, cuando para
todo 0>n la función de distribución conjunta de
kxxxFxxxF kntktktnttt ∀= +++++++++ );,...,,(),...,,( 2121 .
Es decir, la función de distribución conjunta es independiente de t, invariante
ante traslaciones de tiempo.
En un sentido amplio, para que un proceso sea estacionario es suficiente que
su esperanza y su función de autocovarianza sea independiente de t.
Es decir, kxExE ktt ∀= + );()( .
Si un proceso es estacionario en media, entonces ∑=
=n
iix
n 1
1µ̂ es un estimador
insesgado y consistente de )( txE .
Si un proceso es estacionario en covarianza, se cumple la siguiente
igualdad [ ]{ } [ ]{ }( ) )()()()()(),( τγτττγ =+−+⋅−= txEtxtxEtxEt , lo que significa
que la función de autocovarianza no depende de t, )()( τγτγ −= , y el estimador
de )(τγ viene dado por ∑−
=+ −−=
kn
tktt xx
nKC
1
)ˆ)(ˆ(1
)( µµ . La varianza, )0(γ , se
estimaría a partir de ∑=
−−=n
ttt xx
nC
1
)ˆ)(ˆ(1
)0( µµ .
Ejemplo 1
Generamos una serie aleatoria de 100 datos, con media 0 y desviación tipica 1,
que representamos en la figura nº1.
Tabla nº1 100 datos generados aleatoriamente
t x(t) t x(t) t x(t) t x(t)
1 -0,30023216 26 -0,5132074 51 -2,57758074 76 1,11118879
2 -1,27768317 27 1,97221198 52 1,44767 77 -1,20117875
3 0,24425731 28 0,86567297 53 -1,27976364 78 -1,55889211
4 1,27647354 29 2,37565473 54 -0,65357995 79 0,7113249
5 1,19835022 30 -0,65490667 55 0,75771368 80 0,63840616
6 1,7331331 31 1,66145583 56 0,46671175 81 2,20568836
7 -2,18358764 32 -1,61239768 57 0,87460876 82 1,44375463
8 -0,23418124 33 0,53894837 58 0,59574177 83 1,3039039
9 1,09502253 34 0,90219146 59 -1,37184998 84 0,11296038
10 -1,08670065 35 1,91891559 60 -1,11573854 85 0,00195087
11 -0,69020416 36 -0,08451707 61 0,69399448 86 0,45370143
12 -1,69043233 37 -0,52379505 62 0,32263642 87 -0,02551474
13 -1,84691089 38 0,67513838 63 -0,93983772 88 -1,05467507
14 -0,9776295 39 -0,38132384 64 -0,24094788 89 -1,77480615
15 -0,77350705 40 0,75761136 65 0,13153567 90 0,82833139
16 -2,11793122 41 -1,44418664 66 0,55779765 91 0,4442245
17 -0,56792487 42 -0,84723752 67 0,138715 92 0,61790615
18 -0,40404757 43 -1,52157099 68 -0,91096126 93 0,21347319
19 0,13485305 44 -0,36287702 69 1,88484591 94 -1,02693093
20 -0,36549295 45 -0,03247919 70 0,48719812 95 1,23819518
21 -0,32699063 46 0,02811703 71 0,07223889 96 -0,31121317
22 -0,37024051 47 -0,32271601 72 0,82984116 97 -0,83992177
23 1,34264155 48 2,19450158 73 0,86200771 98 -0,8211282
24 -0,08528446 49 -1,74248271 74 -0,63653147 99 -0,42899273
25 -0,18615765 50 -0,73647698 75 -0,92319169 100 -0,45336151
Se comprueba que se trata de una serie estacionaria en media, ya que
cualquier promedio que calculemos con dichos datos dará un resultado cercano
a cero:
promedio t=1 a t=25 -0,338416294 promedio t=30 a t=50 -0,075718466 promedio t=40 a t=80 -0,118431073 promedio t=50 a t=100 0,011082193
Dado que la media es cero, el estimador de la función de autocovarianza será
∑−
=+=
kn
tktt xx
nKC
1
))((1
)(
Que calculado para diferentes valores de k, ofrece los siguientes resultados:
K C(K) 1 0,104229 2 0,14519783 3 -0,05630359 4 0,14891627 5 -0,01897189 6 -0,02496519 7 -0,15232997 8 -0,02821422 8 0,05472689
10 0,10613953 11 -0,00643896 12 -0,02514981
Como se puede apreciar el valor de C(K) es independiente de K, tanto en su
valor como en su signo.
De esta forma que el proceso aleatorio que ha generado nuestros datos es
estacionario.
Si generamos a partir de estos datos una serie del tipo
ttt uYY ++= −15,0
Yt=0,5+Yt-1+ut
-10
0
10
20
30
40
50
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
Obtenemos una serie que no es estacionaria, ya que los promedios que
obtenemos son diferentes
promedio t=1 a t=25 2,09588358 promedio t=30 a t=50 16,3471842 promedio t=40 a t=80 23,4497493 promedio t=50 a t=100 32,0157185
Y una función ∑−
−+ −−=
kn
nktt xx
nKC
1
)ˆ)(ˆ(1
)( µµ dependiente del tiempo:
Análisis espectral
La idea básica del análisis espectral es que todo proceso estocástico
estacionario admite una descomposición única de su varianza, en la aportación
que a la misma realizan armónicos de diferentes frecuencias. Un armónico de
frecuencia ω es una función de la forma:
)sin()cos( tbta ⋅+⋅ ωω ωω1
1 La expresión )sin()cos( tbta ⋅+⋅ ωω ωω da lugar a una función periódica de periodo ωπ2
En el análisis armónico, las series temporales no son consideradas funciones
continuas como tal, sino que se obtienen a partir de una suma de n ciclos con
una amplitud y un periodo determinado, o lo que es lo mismo n de diferentes
armónicos:
πωωωωω ≤<<<<⋅+⋅=∑=
n
n
iiiii tbtatx ...0;)sin()cos()( 21
1
(1)
Siendo ia y ib variables aleatorias con2
jibaE
jisi
jisibbEaaE
bEaE
ji
jiji
ii
,0)(
;0
;)()(
0)()(2
∀=
≠=
==
==
σ
En este tipo de procesos la función de autocovarianza )(τγ se obtiene:
)cos()(1
2 τωστγ ⋅=∑=
i
n
ii
En donde iσ es la varianza del armónico i-esimo, de manera que en
∑=
=n
ii
1
2)0( σγ se muestra que la varianza total del proceso es la suma de las
varianzas de cada armónico.
2 La estacionariedad de este proceso aleatorio puede seguirse en Contreras, D y Escolano J (1984): http://www.ine.es/revistas/estaespa/104_6.pdf
Series de Fourier 3
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una
función continua y periódica.
∑∞
=
⋅+⋅+=1
00 )sin()cos(21)(
nonn tnbtnaatf ωω
Donde T
πω 20 = se denomina frecuencia fundamental; na y nb se denominan
coeficientes de Fourier .
Los coeficientes de una serie de fourier pueden calcularse gracias a la
ortogonalidad de las funciones seno y coseno.
Una manera alternativa de presentar una la serie de Fourier
es ∑∞
=
−+=1
00 )cos()(n
nn tnCCtf θω
Siendo, 20aCo = , 22
nnn baC += y
=
n
nn a
barctanθ
Ya que cada par de términos:
)()cos( 0 tnsenbtna onn ωω +
se pueden expresar como:
++
++ )()cos( 022022
22 tnsenba
btn
ba
aba
nn
n
nn
nnn ωω
haciendo
3 Se puede seguir en "Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",Genaro González, disponible en www.dmae.upm.es/WebpersonalBartolo/VariableCompleja/VCParteI/9_Series_de_Fourier.ppt
=+
=+
n
nn
n
n
nn
n
senba
b
ba
a
θ
θ
22
22cos
y
=
n
nn a
barctanθ
la suma puede expresarse solo en función del coseno:
[ ] )cos()()cos(cos 000 nnnnn tnCtnsensentnC θωωθωθ −=+
Ortogonalidad
Se dice que las funciones del conjunto { })(tf k son ortogonales en el intervalo
bta << si dos funciones cualesquiera )(tfm , )(tf n de dicho conjunto cumplen:
=≠
=∫ nmparar
nmparadt(t)(t)ff
n
b
a
nm
0
Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo ptp <<− , ya que:
02
cos2
==−−
∫π
ππ
π
tsentdtsent
Las funciones del conjunto
{ }),...3sin(),2sin(),sin(),...,3cos(),2cos(),cos(,1 tttttt oooooo ωωωωωω , donde T
πω 20 =
son ortogonales en el intervalo 22
Tt
T <<− :
Se verifica probándolo a pares:
a) 1)( =tf n y . )cos()( 0tmtfm ω= :
0)222
cos1
00
0
2
2
0
02
2
0
===
==−−
∫
mω
sen(mπ
mω
)T/sen(mω
mω
t)sen(mωt)dt(mω
T/
T/T/
T/
b) 1)( =tf n y . )()( 0tmsentfm ω= :
02cos2cos1
cos1
000
2
2
0
02
2
0
=−=
=−=−−
∫
)]T/(mω)-T/(mω[mω
mω
t)(mωt)dtsen(mω
T/
T/T/
T/
c) )cos()( 0tntf n ω= y )cos()( 0tmtfm ω= :
≠=≠
=∫− 02/
0t)dtt)cos(ncos(m
2/
2/
00 nmparaT
nmparaT
T
ωω
utilizando las identidades trigonométricas
[ ])cos()cos(21coscos BABABA +++= y ( )θθ 2cos12
1cos2 += .
d) )()( 0tnsentf n ω= y )()( 0tmsentfm ω= :
≠=≠
=∫− 02
02
2
00 nmparaT/
nmparat)dtt)sen(nωsen(mω
T/
T/
utilizando las identidades trigonométricas
[ ])cos()cos(21 BABAsenAsenB −++−= y ( )θθ 2cos12
12 −=sen .
d) )()( 0tnsentf n ω= y )cos()( 0tmtfm ω= :
m,ncualquierparat)dt(nωt)sen(mωT/
T/
0cos2
2
00 =∫−
utilizando la identidades trigonométricas
[ ])()(21cos bAsenBAsenBsenA −++= .
Calculo de los coeficientes Fourier
Los coeficientes de fourier se calculan multiplicando )(tf por )cos( 0tmω e
integrando de –T/2 a T/2:
∑ ∫
∑ ∫∫∫∞
= −
∞
= −−−
++=
1
2/
2/
00
1
2/
2/
00
2/
2/
0021
2/
2/
0
cos
coscoscos)cos()(
n
T
T
n
n
T
T
n
T
T
T
T
t)dt(mωt)sen(nωb
t)dt(mωt)(nωat)dt(mωadttmtf ω
Que dada la ortogonalidad de las funciones de seno y coseno implica que:
∫−
=2/
2/
0 )(2 T
T
dttfT
a
,...3,2,1)cos()(2/
2/
02 == ∫
−
mdttmtfaT
TTm ω
,...3,2,1)()(2/
2/
02 == ∫
−
mdttmsentfbT
TTm ω
Forma compleja de la serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una función periódica )(tf , con periodo
0
2
ωπ=T :
∑∞
=
⋅+⋅+=1
00 )sin()cos(21)(
nonn tnbtnaatf ωω
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:
sustituyendo:
dado que ii −=1
definiendo
quedaría como:
expresión que se conoce como forma compleja de fourier.
y sus coeficientes nc pueden obtenerse a partir de los coeficientes na , nb como
ya se dijo, o bien:
Transformada de Fourier.
La Transformada de Fourier, )(uF , se define para una función continua de
variable real, )(tf , mediante la siguiente formula:
dtf(t)eF(u) itu2∫∞
∞−= − π
siendo i = − 1 , )uisen(2)ucos(2e iu2 ttt πππ += y u una variable que representa
las distintas frecuencias.
)()(
)()cos(00
00
21
0
21
0
tintini
tintin
eetnsen
eetnωω
ωω
ωω
−
−
−=
+=
])()([)(1
21
21
021 0000∑
∞
=
−− −+++=n
tintinin
tintinn eebeeaatf ωωωω
])()([)(1
21
21
021 00∑
∞
=
−++−+=n
tinnn
tinnn eibaeibaatf ωω
)(),(, 21
21
021
0 nnnnnn ibacibacac +≡−≡≡ −
∑∞
−∞==
n
tinnectf 0)( ω
∫−=
Ttin
Tn dtetfc0
1 0)( ω
La Transformada de Fourier es una función compleja con una parte real y otra
parte imaginaria, es decir:
F u R u I u( ) ( ) ( )= +
donde )(uR es la parte real y )(uI es la parte imaginaria.
La representación gráfica de la función de magnitud )(uF se le denomina
Espectro de Fourier y se expresa en términos del modulo del número complejo:
F u R u I u( ) ( ) ( )= +2 2
y al cuadrado de dicha función 2
)(uF se le denomina Espectro de potencias.
El gráfico de los módulos al cuadrado frente a la frecuencia es el periodograma
o espectro empírico de la sucesión )(xf .
El periodograma recoge la contribución que tiene cada armónico a la hora de
explicar la varianza de cada serie, y cada armónico esta caracterizado por la
frecuencia en que tienen lugar los ciclos. Los ciclos que tienen un elevado
periodo (desde que tiene lugar un máximo al siguiente máximo) tendrán una
baja frecuencia y viceversa.
Estimación del periodograma.
Consideremos la serie temporal tX de la que disponemos de un conjunto
discreto y finito de observaciones T observaciones, generadas por un proceso
aleatorio )(tx como el descrito en (1). Dado que se busca una representación
de tX que se ajuste a T observaciones, ajustamos los datos a un polígono
trigonométrico que se asemeje a (1), escogiendo iω como
T
ii
⋅= πω 2
es decir
( ) ( )∑=
⋅⋅+⋅⋅=k
iiit T
tibTtiaX
1
2sin2cos ππ
La forma habitual de obtener el periodograma, es estimar por mínimos
cuadrados los coeficientes ia y ib para cada 2Tk = armónicos si el número de
observaciones es par T o ( )2
1−= Tk si es impar, en un modelo especificado
de la siguiente forma:
tt vtbtaX +⋅+⋅= ωω sincos
En la que tX sería la serie armónica; Tp
p⋅== πωω 2 ;T es el tamaño de la
serie y coincide con el periodo de mayor ciclo que es posible estimar con el
tamaño de la serie; p indica el orden del armónico de los 2
Tciclos; tv es un
residuo no explicado al que se puede considerar irrelevante (caso
determinístico) o que verifica las propiedades clásicas de la perturbación de los
modelos econométricos.
El periodograma o estimador del espectro se obtendría entonces a partir de la
representación de ( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+= frente a los p armónicos, en tanto que la
contribución de la varianza por cada armónico, sería ( )
2
22pp ba +
.
Si una serie temporal de ciclos empíricos presenta en su periodograma unos
pocos ciclos que explican un porcentaje significativo de su varianza e incluye
algún picos en el periodograma, se puede obtener el ciclo teórico de dicha serie
temporal a partir de los iω y de los armónicos correspondientes a dichos
ciclos.
Teorema de Paserval
Sea f una función continua en el intervalo [ ]ππ ,− de periodo π2 ; con
desarrollo de Fourier de f :
∑∞
−∞=
=x
inxnecxf )(
donde los coeficientes nc han sido obtenidos a partir de los coeficientes na , nb .
Entonces se verifica que:
( ) dxxfan
n ∫∑ −
∞
−∞=
=π
ππ22
2
1
Particularizando a la serie función periódica )(tf , con periodo 0
2
ωπ=T :
∑∞
=
⋅+⋅+=1
00 )sin()cos(21)(
nonn tnbtnaatf ωω
La identidad de Paaserval quedaría:
[ ] ∑∫∞
=
−++=
1
2222
2
1)(
1
nnno baatf
π
ππ
Las series temporales no son consideradas funciones continuas como tal; sino
muestras de señales continuas tomadas a una misma distancia temporal a
partir de un valor inicial oY y siendo T el tamaño de la serie. De acuerdo a lo
anterior; en la función periódica )(tf la potencia promedio está dada por:
[ ] ( )∑∫=
−++=
2
1
2222
2
2
2
1
4
1)(
1T
nnno
T
Tbaatf
T
que muestra así que el periodograma estudia de hecho la distribución de la
varianza o potencia de la serie en función de los diversos armónicos:
( ) 2,2
1 2
2
1
1
222 Tqaba T
q
nnn =++= ∑
−
=
σ
Test sobre el periodograma
Una forma de contrastar la existencia de algún ciclo en el periodograma de una
serie temporal es el test de Fisher; estadístico g (Fisher; 1929) o relación entre
la mayor varianza asociada a una determinada frecuencia ( iω ); y la varianza
total de la serie.
∑=
=2
1
2
2
2
maxn
Pp
p
wn
wg
Para probar la significación del periodo p se contrasta el estadístico g contra la
z de una distribución normal (0;1); siendo la regla de decisión rechazar la
hipótesis nula sobre un componente periódico en tY si la g calculada excede de
la z de tabla en un nivel de significación del 100α%.
La manera habitual de contrastar la existencia de algún ciclo en el
periodograma de una serie temporal a través del estadístico es calculando:
2
2
2
max
S
SG =
El ciclo es significativo si el valor G de esta relación es igual al valor crítico
calculado según la siguiente fórmula:
1)ln()ln(
1 −−
−= mmp
eGc
Siendo ln(p) el logaritmo neperiano del nivel de probabilidad elegido y m el
número total de datos de la serie (en series de más de 30 datos).
Una prueba para estudiar la dependencia serial (Durbin; 1969) en series de
observaciones estacionarias Tyy ,...,1 se realiza sobre la grafica del
periodograma acumulado:
∑∑=
=
=j
rm
rr
rj
p
ps1
1
donde mr ,...,1= es el periodograma ordinario:
( )2
1
22∑
=
=T
t
Tirttr ey
Tp π
El periodograma jp calculado para series Tyy ,...,1 de variables independientes
),( 2σµN ; se calcula:
∑=
=T
tij T
jty
Ta
1
2cos
2 π; ∑
=
=T
tij T
jty
Tb
1
2sin
2 π; ,
2
1,...,1,22
=+= Tjbap jjj
donde TT2
1
2
1 =
para T y 2
1
2
1 −T para el extremo de T; por simplicidad
asumimos que el extremo de T es 12 += mT .
Y su representación gráfica de jp contra j presenta una alta apariencia de
irregularidad en su inspección visual. Por ello; una mejor manera de presentar
la información de los sp j ' es hacerlo a través del gráfico del periodograma
acumulado; js .
Se presupone que cuando Tyy ,...,1 esta independientemente y normalmente
distribuida; 11,..., −mss se distribuye igual que el orden estadístico de 1−m
muestras independientes de la distribución uniforme (0;1). Bartlett’s
(1954;1966; p 361) sugiere para probar la independencia serial; probar la
máxima discrepancia entre js y su expectativa; ie. mj / . Para una probar un
exceso de bajas frecuencias relativas frente a altas frecuencias; que
equivaldría a la expectativa de presencia de correlación serial positiva este
enfoque conduce al estadistico:
−=+
m
jsc j
jmax
Por el contrario un test contra excesos de variaciones de alta frecuencia el
estadístico apropiado es:
−=−j
js
m
jc max
El estadístico que corresponde a las dos partes de la prueba sería:
( )−+=−= ccm
jsc j
j,maxmax
Este estadístico esta estrechamente relacionado con el de Kolmogoroiv-
Smirnov nnn DDD ,, −+ y su forma modificada nnn CCC ,, −+ considerado por Pyke
(1959) y Brunk (1962). Por ejemplo; { })1()1(max −−−=− mjsD jj
n y +− = cCn .
Los valores críticos para estos estadísticos están dado en la Tabla nº1; y el
procedimiento para utilizar estos valores es como sigue. Si deseamos probar el
test de un exceso de bajas frecuencias frente a las altas frecuencias; entonces
el valor obtenido en la tabla 0c es el valor crítico apropiado al valor de +c ;se
dibujaría en el gráfico la línea; mjcy o += y la trayectoria que muestra js ;
obteniendo los valores que sobrepasan la línea ( )jsmj , . Si js cruza la línea;
se rechaza la hipótesis de independencia serial. De igual manera; un test
sobre al exceso de altas frecuencias frente a las bajas frecuencias se rechaza
si el trayectoria de js cruza la línea mjcy o +−= .
Ejemplo 2
Partimos de una serie temporal generada a partir de un paseo aleatorio o
random walk: ttt uYY ++= −15,0 (Ejemplo 1).
La serie tY presenta una tendencia estocástica; y vamos a descomponerla
utilizando un modelo armónico; partiendo de una representación de la
tendencia ó movimiento relevante de la serie temporal obtenida a partir de una
tendencia cuadrática; 2T ciclos armónicos ( k ) y un residuo aleatorio tv :
( ) t
k
poppt vtpbtpactbtaY +++++= ∑ ωω sincos 0
2
de manera que
( ) t
k
popptt vtpbtpaXctbtaY ++==−−− ∑ ωω sincos 0
2
En las figuras siguientes se representa la serie de tendencia y la serie de ciclo
en la que se va a estimar un modelo de regresión armónica:
-10
0
10
20
30
40
50
60
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99
serie
tendencia
El armónico de periodo 100 se elabora a partir de ( )1002cos t⋅π y
( )1002sin t⋅π para t=1;….;100. La representación gráfica de ambas series
aparece en la figura siguiente:
La regresión minimo cuadrática entre ambas series y la serie libre de tendencia
( tX ); ofrece el siguiente resultado:
( ) ( ) tt vttX +⋅+⋅= 1002sin1982775,0100
2cos9645989,1 ππ
El armónico de periodo 100 tendrá la apariencia de la figura siguiente:
Este proceso repetido para los 50 periodos permite obtener los coeficientes con
los que elaborar el peridograma (Tabla nº2) y obtener la contribución de cada
armónico a la varianza de la serie:
Tabla nº2 Peridograma de ttt uXX ++= −15,0
Frecuencia
Periodo
pa
pb ( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+=
( )2
22pp ba +
1
100;0 1;9645989 0;1982775 31;0269598 1;94948138
2 50;0 -4;5393342 -1;2467640 176;3434804 11;0799877
3 33;3 -0;8601427 0;9799692 13;5296423 0;8500925
4 25;0 0;0835776 0;8487047 5;7875496 0;36364247
5 20;0 0;4166653 -0;3232265 2;2129323 0;13904264
6 16;7 -0;2059344 -0;3631882 1;3871519 0;08715732
7 14;3 0;4043324 -0;6204093 4;3639683 0;27419622
8 12;5 0;9442994 0;2493234 7;5906052 0;47693179
9 11;1 0;3926785 -0;0310192 1;2347129 0;0775793
10 10;0 0;1283672 -0;0894678 0;1948265 0;01224131
11 9;1 0;5348622 -0;1026948 2;3604572 0;1483119
12 8;3 0;4157705 -0;6015541 4;2552659 0;26736624
13 7;7 -0;0913588 -0;1203558 0;1816908 0;01141597
14 7;1 -0;3283259 -0;6568280 4;2909838 0;26961046
15 6;7 0;2314942 -0;3688880 1;5093294 0;09483396
16 6;3 0;0228915 -0;5384152 2;3110490 0;14520749
17 5;9 0;6861954 0;2823306 4;3813344 0;27528736
18 5;6 -0;0680460 0;2345241 0;4745347 0;02981589
19 5;3 0;3848785 -0;1703442 1;4097036 0;08857429
20 5;0 0;0347357 0;6665654 3;5453033 0;22275798
21 4;8 0;1779031 -0;4472488 1;8436590 0;11584051
22 4;5 -0;4350383 0;1164205 1;6139270 0;10140602
23 4;3 0;1130713 -0;3521380 1;0885109 0;06839315
24 4;2 0;1497142 -0;0947065 0;2497433 0;01569184
25 4;0 -0;0408499 -0;2790311 0;6328565 0;03976354
26 3;8 0;4000049 -0;0587758 1;3007618 0;08172927
27 3;7 -0;1788847 0;1668144 0;4760862 0;02991338
28 3;6 0;0722675 -0;0849189 0;0989451 0;0062169
29 3;4 0;3224180 -0;0273876 0;8332036 0;05235173
30 3;3 -0;2087289 0;0631024 0;3783880 0;02377482
31 3;2 0;1048227 -0;2653191 0;6476174 0;040691
32 3;1 0;1786666 -0;3176133 1;0567885 0;06639998
33 3;0 -0;1230019 -0;1984293 0;4337265 0;02725184
34 2;9 -0;0622384 0;0264338 0;0363857 0;00228618
Frecuencia
Periodo
pa
pb ( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+=
( )2
22pp ba +
35 2;9 -0;1590939 -0;1623496 0;4111630 0;02583413
36 2;8 0;1014609 -0;1111765 0;1802790 0;01132727
37 2;7 0;2002842 -0;1353838 0;4650711 0;02922128
38 2;6 0;0203165 -0;3006128 0;7224110 0;04539042
39 2;6 -0;1624371 -0;1121361 0;3100362 0;01948015
40 2;5 0;0803258 -0;0195769 0;0543950 0;00341774
41 2;4 0;2538179 -0;0592717 0;5406229 0;03396834
42 2;4 0;1153917 0;0975809 0;1817332 0;01141864
43 2;3 0;0424267 -0;0466046 0;0316083 0;00198601
44 2;3 -0;1812651 0;0086732 0;2620665 0;01646612
45 2;2 0;1713397 -0;1175139 0;3435104 0;0215834
46 2;2 0;1209881 0;0456828 0;1330937 0;00836253
47 2;1 0;2881007 -0;3457646 1;6118830 0;1012776
48 2;1 0;0070527 0;0817615 0;0535929 0;00336734
49 2;0 0;0804486 -0;1183934 0;1630461 0;01024449
50 2;0 0;0000000 -0;0938575 0;0701016 0;00440461
Como vemos es el segundo armónico; el ciclo de periodo 50; el que más
contribuye a la varianza de la serie.
La representación gráfica del periodograma de la serie de ciclo sería entonces
el siguiente:
Para comprobar la significación estadística del ciclo de o periodo 50;
calculamos es estadístico 37605,00681,182
07999,11
2
max2
2
=×
==S
SG
El ciclo es significativo para un nivel de probabilidad del 95% ya que el valor G
de esta relación superior al valor crítico calculado 1315,01 49)50ln()05,0ln(
=−=−
eGc .
La representación gráfica del test sobre el periodograma acumulado:
-0,2000000
0,0000000
0,2000000
0,4000000
0,6000000
0,8000000
1,0000000
1,2000000
1,40000000,
02
0,08
0,14 0,2
0,26
0,32
0,38
0,44 0,5
0,56
0,62
0,68
0,74 0,8
0,86
0,92
0,98
Contrastar la presencia de ciclos de baja frecuencia frente a los ciclos de alta
frecuencia; al cruzar la trayectoria de js ; la banda superior de los valores
críticos del test.
Proceso bivariante
Un proceso bivariante )(tz es un par formado por dos procesos univariantes,
)(tx y )(ty , donde [ ] )()( ttxE xµ= y [ ] )()( ttyE yµ= .
La función de autocovarianza de )(tx será:
( )( ){ })()()()(),( τµτµτγ +−+−= ttxttxEt xxx
en tanto que la función de autocovarianza de )(ty será:
( )( ){ })()()()(),( τµτµτγ +−+−= ttyttyEt yyy
Se denomina función de cross-varianza o covarianza cruzada a:
( )( ){ })()()()(),( τµτµτγ +−+−= ttyttxEt yxxy
Hay que señalar que ),( τγ txy no es igual a ),( τγ tyx , pero existe una relación
entre las dos funciones, ya que
),(),( ττγτγ −+= tt yxxy
Señalar, por último, que la covarianza entre )(tx y )(ty sería )0,(tyxγ .
Si se asume la estacionariedad de )(tx y )(ty , entonces [ ] xtxE µ=)( y
[ ] ytyE µ=)( , y la función de cross-varianza no dependerá más que del retardo
τ .
Suponiendo que 0== yx µµ , se comprueba que ),( τγ txy , no depende más que
del retardo τ , es decir ).(),( τγτγ xyxy t =
( )( ){ } ( )( ){ } tsstystxEtytxEtxy ,,)()()()(),( ∀+++=+= τττγ
La función de correlación cruzada se define como:
)0()0(
)()(
yx
xyxy γγ
τγτρ =
Cuando 0=τ , )0(xyγ es la covarianza habitual y
)0()0(
)0()0(
yx
xyxy γγ
γρ =
el coeficiente de correlación de Pearson entre )(tx y )(ty .
Los estimadores de )(τγ xy y )(τρ xy se calculan así:
( )( )
( )( )
−−−−=−+−
−=−+−=
∑
∑−
=
−
=
)1(,...,2,1;)()(1
1,...,1,0;)()(1
)(
1
1
TkyktyxtxT
TkyktyxtxTkC kT
t
kT
txy
)0()0(
)()(
yx
xyxy
CC
kCkr
⋅=
Análisis armónico de un proceso bivariante.
La función de autocovarianza que obtenemos en el dominio temporal, tiene
también su correspondiente representación en el dominio frecuencial, esta es el
cross-espectro o espectro cruzado. Así, si partimos de dos procesos
estacionarios )(tx y )(ty , con la siguiente representación espectral:
∫∫ ⋅+⋅=ππ
ωωωω00
)()(cos)( xx dVtsendUttx
∫∫ ⋅+⋅=ππ
ωωωω00
)()(cos)( yy dVtsendUtty
Donde )(ωiU e )(ωiV , yxi ,= son procesos estocásticos con dominio definido
en ),0( π , con media 0 y de incrementos incorrelacionados. Dado que dichos
procesos son conjuntamente estacionarios en covarianza, se demuestra que :
[ ] [ ] [ ] [ ] 0)'()()'()()'()()'()( =⋅=⋅=⋅=⋅ ωωωωωωωω yxyxyxyx dUdVEdVdUEdVdVEdUdUE
si 'ωω ≠
[ ] [ ] ωωωωωω dCdVdVEdUdUE yxyx )()()()()( =⋅=⋅
[ ] [ ] ωωωωωω dqdUdVEdVdUE yxyx )()()()()( =⋅−=⋅
Funciones que permiten expresar la cross-varianza como:
∫∫ ⋅+⋅=ππ
ωωωωωωτγ00
)()(cos)( dqtsendCtxy
Que implica que la covarianza entre )(tx y )(ty sea:
∫=π
ωωγ0
)()0( dCxy
Dado que podemos definir el cross-espectro como:
∑∞
−∞=
−⋅=τ
ωττγπ
ω ixyxy ef )(
1)( ; πω ≤≤0
Dado que en general el cross-espectro es complejo, se define el coespectro (C)
como la parte real de croos-espectro y el espectro de cuadratura (Q) como la
parte imaginaria, que además coinciden con )(ωC y )(ωq :
)()()( ωωω iqCf xy −=
Entonces se deduce que:
∑∞
−∞=
⋅=τ
ωττγπ
ω cos)(1
)( xyC
∑∞
−∞=
⋅=τ
ωττγπ
ω senq xy )(1
)(
El Coespectro especifica la contribución de cada frecuencia f a la covarianza
cruzada total de las series )(tx e )(ty para un desplazamiento temporal nulo.
La Cuadratura mide la contribución a la covarianza total cuando una de las
series se desplaza temporalmente para dar un desplazamiento de 90° en la
fase para una frecuencia dada
Otra forma de presentar las funciones )(ωC y )(ωq , sería la siguiente:
∑∞
−∞=
⋅=τ
ωττγπ
ω cos)(2
1)( xyC
∑∞
−∞=
⋅=τ
ωττγπ
ω cos)(2
1)( xyC ; πωπ ≤≤−
La representación trigonometrica del cross-espectro es:
)()()( ωφωαω xyixyxy ef ⋅=
donde
)()()( 22 ωωωα qCxy +=
Se conoce como espectro de cross-amplitud.
Y
−=)(
)()(
ωωωφ
C
qarctgxy
Llamado espectro de fase.
Del coespectro y de la función de densidad espectral individual de las dos
series )(tx e )(ty se obtiene la función de coherencia:
)()(
)()()(
22
ωωωωω
yx ff
qCR
⋅+= .
El cross-espectro representa la aportación a la covarizanza entre )(tx y )(ty de
sus diversos componentes armónicos. Como su interpretación no es simple, se
utilizan las funciones de espectro de fase y coherencia, ya que el especto de
fase revela el desfase o retardo que en el comportamiento cíclico sigue una
serie repecto a la otra, y el análisis de la función de coherencia permite
identificar si la correlación que se da entre las dos series se debe a que ambas
siguen un comportamiento cíclico en determinados periodos, permitiendo
identificar la duración o periodo de los armónicos que domianan en ambas
series a la vez y que producen una alta correlación.
La construcción del cross-espectro cuando 0=τ , y )0(xyγ es la covarianza
habitual, da lugar a las siguientes funciones )(ωC y )(ωq :
πγ
ω2
)0()( xyC =
0)( =ωq
Ya que el coseno de 0=ωτ , es uno, y su seno es cero.
Si además [ ] 0)( == xtxE µ y [ ] 0)( == ytyE µ , es decir las dos series tienen un
valor medio igual a cero, la expresión ∑=
⋅=T
ttt yxC
12
1)(
πω .
Teorema de Plancharel
Sean A(x) y B(X) dos funciones continuas de periodo π2 cuyos desarrollos de
Fourier son
∑∞
−∞=
=x
inxneaxA )(
y
∑∞
−∞=
=x
inxnebxB )(
Entonces se verifica la relación de Plancharel entre los correspondientes
productos escalares:
( ) ( )dxxBxAban
nn ∫∑ −
∞
−∞=
=π
ππ2
1
Si )()( xBxA = se obtiene la identidad de Parseval
( ) dxxAan
n ∫∑ −
∞
−∞=
=π
ππ22
2
1
De igual manera que la identidad de Parseval estudia la distribución de la
varianza de una serie desarrollada en sus armónicos, la de Plancharel estudia
la covarianza entre dos series desarrolladas en sus armónicos.
Partiendo de una serie armónica ( )∑=
+=k
poppt tpbtpax
10 sincos ωϖ y otra
definida como ( )∑=
+=k
poppt tpbtpay
1
*0
* sincos ωϖ , en donde 2Tk = armónicos si
el número de observaciones es par T o ( )2
1−= Tk si es impar, la expresión de
la igualdad de Plancharel sería:
( )∑∫=
−+=
2
1
**2
2 2
11T
nnnnnt
T
T t bbaaxyT
El producto escalar de tx por ty
( )( )∑ ∑∑= ==
++=⋅
T
t
k
poppopp
T
ttt tpbtpatpbtpayx
1 1
*0
*0
1
sincossincos ϖϖϖϖ
equivale a ( )
∑=
+2
1
**
22
T
t
pppp bbaaT , gracias a la ortogonalidad de las funciones seno
y coseno4 .
4 Dado que 0)cos(1
0 =∑=
T
t
tpϖ y 0)(1
0 =∑=
T
t
tpsen ϖ siendo T
πω 20 = .
Utilizando las identidades trigonométricas [ ])cos()cos(21coscos BABABA +++= ,
[ ])cos()cos(21 BABAsenAsenB −++−= , [ ])()(2
1cos bAsenBAsenBsenA −++= ,
( )θθ 2cos1212 −=sen y ( )θθ 2cos12
1cos2 +=
Se llega a que
2cos1
02 Ttp
T
t
=∑=
ϖ , 2sin1
02 Ttp
T
t
=∑=
ϖ , y 0sincos1
00 =∑=
T
t
tntm ϖϖ y
0sinsin1
00 =∑=
T
t
tntm ϖϖ y 0coscos1
00 =∑=
T
t
ttm ϖϖ
La multiplicación punto a punto de series armónicas tx e ty da lugar al
siguiente resultado (ver anexo).
( ) t
k
popptt ztpbtpaxy +=++=⋅ ∑
=
µωϖµ1
'0
' sincos
donde ∑=2
1
**
2
T
=p
pppp b+baaµ , en tanto que '
pa y 'pb son combinaciones lineales de
las coeficientes de Fourier de tx e ty .
La covarianza muestral entre tx e ty es:
T
zzT
Tyx
T
T
ttT
ttt
T
ttyx tt
∑∑∑ =
==
+=
+=⋅= 0
01
11 µµσ
que coincidirá exactamente con µ dado que se verifica que 01 =∑
=
T
zT
tt
.
Coeficiente de correlación de Pearson
Dado que la covarianza entre las series armónicas tx e ty se desarrolla a partir
de los coeficientes de Fourier;
( )∑=
2
1
**
2
T
=p
ppppyx
b+baarr
σ
cabe considerar a cada expresión ( )
2
**pppp bbaa +
como la contribución del
armónico p a la formación de la covarianza, de manera que la representación
de ( ) ( )π4
**pppp
pxz
bbaaTwC
+= frente a los p armónicos permite apreciar las
frecuencias entre las que las series tx y ty covarían y su sentido positivo o
negativo. Se puede observar que un ciclo relevante en ambas series originará
un valor alto en ( )pxz wC , en tanto que un ciclo poco relevante en alguna de las
dos series dará lugar a un valor bajo en ( )pxz wC .
En tanto que el coeficiente de correlación de pearson se obtendría a partir de:
( )
( ) ( )
+⋅
+
+≈
∑∑
∑
==
=
k
ppp
k
ppp
k
ppppp
xy
baba
bbaa
1
2*2*
1
22
1
**
)0(ρ
Por otro lado, si utilizamos la definición alternativa de las series de fourier:
∑∞
=
−+=1
00 )cos()(n
nn tnCCtf θω , tenemos que ∑=
−+=k
ppp tpCCtx
100 )cos()( θω e
∑=
−+=k
pkn tpCCty
1
*0
**0 )cos()( θω , en donde 2
0aCo = , 22ppp baC += y,
=
p
pp a
barctanθ , 2
**0
0a
C = , ( ) ( )2*2**pp baC
n+= y,
=
*
** arctan
p
pp
a
bθ .
Se aprecia entonces que en cada armónico p , pθ determinara el ángulo de
desfase en radianes de cada serie de fourier, si queremos obtener el desfase
en unidades de tiempo, hay que dividirlo por la frecuencia fundamental ,
oω :0ω
θ p . Entonces la diferencia o
pppp
ωθθ
ωθ
ωθ *
0
*
0
−=− , determinara el desfase entre
los armónicos p de las dos series.
Ejemplo 3
Utilizando los coeficientes de Fourier de los peridogramas calculados en las
tablas nº2 y nº3, se comprueba que la covarianza de los ciclos obtenidos en las
dos series de paseos aleatorios, se puede obtener a partir de :
( )2
**pppp bbaa +
Tabla nº3
Tabla nº3. Peridograma de ttt uXX ++= −17,0
Frecuencia Periodo pa pb
( ) ( )π
ω4
22pp
i
baTI
+=
2
)( 22pp ba +
1 100,0 -0,2110003 0,0378442 0,3656849 0,02297666 2 50,0 1,1666539 -1,8327001 37,5595401 2,35993551 3 33,3 0,4941013 -0,2110003 22,1396831 1,39107732 4 25,0 -1,2791003 1,1666539 19,8601863 1,24785231 5 20,0 -0,8240684 0,1411294 5,5625155 0,34950316 6 16,7 -0,4265556 0,2616019 1,9925024 0,12519262 7 14,3 0,0437887 -0,1344344 0,1590759 0,00999503 8 12,5 -0,0367961 -0,6671780 3,5529780 0,22324019 9 11,1 -0,6165606 -0,1009724 3,1062465 0,19517122
10 10,0 -0,0586220 -0,0322621 0,0356299 0,00223869 11 9,1 -0,1445715 0,5501268 2,5746528 0,1617702 12 8,3 0,0186580 -0,1595283 0,2052891 0,01289869 13 7,7 -0,0575354 0,0127058 0,0276274 0,00173588 14 7,1 0,0572704 -0,0427442 0,0406400 0,00255348 15 6,7 -0,1272382 0,1242391 0,2516629 0,01581245 16 6,3 0,0088206 -0,1076772 0,0928843 0,00583609 17 5,9 0,2229230 -0,0498500 0,4152326 0,02608983 18 5,6 -0,0960159 0,0846063 0,1303262 0,00818863 19 5,3 -0,0797698 -0,0534037 0,0733320 0,00460758 20 5,0 0,0093360 0,1377675 0,1517308 0,00953353 21 4,8 0,1882444 0,3271687 1,1337825 0,07123765 22 4,5 0,0061163 0,0851154 0,0579486 0,00364102 23 4,3 0,0606271 0,2789904 0,6486464 0,04075565 24 4,2 -0,1135872 -0,0739005 0,1461307 0,00918166 25 4,0 -0,0068206 0,0668464 0,0359289 0,00225748 26 3,8 0,0334680 0,0218973 0,0127292 0,0007998 27 3,7 -0,1061454 -0,0313270 0,0974683 0,00612412 28 3,6 -0,2058317 0,0025358 0,3371945 0,02118655 29 3,4 0,0968601 0,1045979 0,1617221 0,0101613 30 3,3 -0,0731819 -0,0683325 0,0797758 0,00501246 31 3,2 -0,0284913 -0,0618409 0,0368925 0,00231803 32 3,1 -0,0830430 -0,0209601 0,0583738 0,00366773 33 3,0 0,0538377 0,0500945 0,0430352 0,00270398 34 2,9 0,0214412 -0,0774227 0,0513593 0,003227 35 2,9 -0,0529943 0,1100899 0,1187947 0,00746409 36 2,8 -0,0487378 0,1341554 0,1621235 0,01018652 37 2,7 -0,1062800 0,0886027 0,1523580 0,00957294 38 2,6 -0,0132742 0,1171787 0,1106688 0,00695353 39 2,6 -0,0816537 0,0276254 0,0591299 0,00371524 40 2,5 -0,0455215 0,0436664 0,0316636 0,00198948 41 2,4 -0,1219242 0,0316829 0,1262841 0,00793466 42 2,4 0,1114522 0,0067912 0,0992150 0,00623386 43 2,3 -0,1221094 -0,0583505 0,1457501 0,00915775 44 2,3 -0,0587289 -0,1022749 0,1106862 0,00695462 45 2,2 -0,0335511 -0,0321636 0,0171901 0,00108008 46 2,2 -0,0319621 0,0526254 0,0301679 0,0018955 47 2,1 -0,1472337 -0,1079590 0,2652549 0,01666646 48 2,1 0,1568000 0,0140684 0,1972261 0,01239208 49 2,0 -0,1331254 0,0702469 0,1802987 0,0113285 50 2,0 -0,0357171 0,0000000 0,0101518 0,00063786
Tabla nº4. Aproximación de la covarianza a partir de los coeficientes de
Fourier.
Frecuencia Periodo ( )2
**pppp bbaa +
1 100,0 0,01625604 2 50,0 3,432348057 3 33,3 -0,443051466 4 25,0 -0,50404475 5 20,0 0,162582224 6 16,7 0,050523557 7 14,3 -0,040761565 8 12,5 -0,319594953 9 11,1 -0,010262224
10 10,0 0,000551692 11 9,1 0,154544388 12 8,3 -0,038775457 13 7,7 0,00288197 14 7,1 -0,011791378 15 6,7 0,037848627 16 6,3 -0,003607017 17 5,9 0,014365564 18 5,6 -0,014137574 19 5,3 -0,003482801 20 5,0 0,005504241 21 4,8 -0,012993884 22 4,5 -0,018158192 23 4,3 0,005098359 24 4,2 -0,000153256 25 4,0 -0,000413749 26 3,8 0,003395964 27 3,7 -0,00605133 28 3,6 0,00883113 29 3,4 0,01553574 30 3,3 0,00482251 31 3,2 0,000538483 32 3,1 0,011315354 33 3,0 -0,008422354 34 2,9 0,002692719 35 2,9 -0,004455511 36 2,8 0,009515013 37 2,7 0,016067157 38 2,6 0,003185531 39 2,6 0,002334467 40 2,5 0,002199355 41 2,4 0,007634174 42 2,4 0,005829628 43 2,3 0,001607622 44 2,3 0,009014749 45 2,2 -0,000784088 46 2,2 0,002453462
(2
2ppa+
47 2,1 0,009902558 48 2,1 0,006459713 49 2,0 0,010706219 50 2,0 0,001676157
La covarianza de ambas series de ciclo es 5789,2)0( =xyC , en tanto que
( )4789,2
21
**
≈+
∑=
k
p
pppp bbaay se comprueba que el ciclo de periodo 2 es el ciclo
más relevante para analizar dicha covarianza.
Obtenemos ahora el ciclo determinante del paseo aleatorio utilizado en el
ejemplo 1
−
− tsent100
22539,4
100
22cos2467,1
ππ y del paseo aleatorio utilizado
en el ejemplo 3:
−
tsent
100
225393,4
100
22cos1666,1
ππ, y los representamos en
el gráfico adjunto:
-6
-4
-2
0
2
4
6
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97
Segundo armónico del paseo aleatorio ejemplo 1
Segundo armónico del paseo aleatorio ejemplo 3
Utilizando la denominación alternativa )cos( 0 nn tnC θω − , el segundo armónico
del ejemplo 1 se obtendría a partir de:
− 3027,1100
22cos7074,4 t
πy el del
ejemplo 3 a partir de:
+ 0039,1100
22cos1725,2 t
π. Se comprueba, entonces, que
el segundo armónico del ejemplo 1 esta en retrasado 1,3027 radianes, si
queremos obtener el retardo en unidades de tiempo, hay que dividirlo por la
frecuencia fundamental :
1002
307,1
0πω
θ=n , es decir dicho armónico estaría retrasado
20,73 unidades de tiempo, en tanto que el segundo armónico del ejemplo 3
esta adelantado 15,98 unidades de tiempo (
1002
003,1
0πω
θ −=n ). En consecuencia
entre el segundo armónico del ejemplo 1 y el del ejemplo 3 median 4,75
unidades de tiempo.
Varianza y Covarianza de Procesos Estacionarios
Se define un proceso es estacionario coma aquel que su media es constante e
independiente del tiempo, su varianza es finita y constante, y el valor de la
covarianza entre dos periodos no depende del tiempo en el cual se ha
calculado, sino de la distancia o desfase entre aquellos. En el ejemplo 1, se
muestra un tipo de proceso estacionario particular es el denominado ruido
blanco, formado por una sucesión de variables aleatorias con distribución
Normal, esperanza cero, varianza constante e incorrelacionadas entre sí.
Pero, ¿por qué resulta importante para el investigador que el proceso analizado
sea estacionario? La razón fundamental es que el modelos de regresión de
series temporales están diseñados para ser utilizados con procesos
estacionarios. Si las características del proceso cambian a lo largo del tiempo,
resultará difícil representar la serie para intervalos de tiempo pasados y futuros
mediante un modelo lineal sencillo. Sin embargo, por regla general, las series
económicas no son series que procedan de procesos estacionarios, sino que
suelen tener una tendencia, ya sea creciente o decreciente, y variabilidad no
constante. Dicha limitación en la práctica no es tan importante porque las series
no estacionarias se pueden transformar en otras que sí lo son, ya que la mayor
parte de las series económicas se convierten en aproximadamente
estacionarias después de aplicar diferencias en una ó más etapas.
Tanto la varianza muestral como la covarianza muestral, se desarrollan según
los teoremas de Parseval y Plancharel, en:
( )∑
=
+=
2
1
222
2
T
n
nn baσ y ( )
∑=2
1
**
2
T
=p
ppppyx
b+baatt
σ ,
La multiplicación punto a punto de tx e ty da lugar a la serie :
( ) ( )t
T
p
pppp
T
popptt z
bbaatpbtpaxy +
+=++=⋅ ∑∑
==
2
1
**2
1
'0
'
2sincos ωϖµ
de igual manera que el cuadrado de tx da lugar a la serie :
( ) ( )t
T
p
pp
T
popptt z
batpbtpaxx +
+=++=⋅ ∑∑
==
2
1
222
1
'0
'
2sincos ωϖµ
Dado que 01 =∑
=
T
zT
tt
, entonces el producto escalar de de tx e ty y tx de tx , da
lugar a la covarianza muestral y la varianza muestral.
Cuando los procesos son estacionarios, las covarianzas y varianzas muestrales
han de coincidir con la poblacional, dado que ambas se consideran finitas y
constantes, e independientes de los periodos de tiempo utilizados en su
cálculo. En cuyo caso el coeficiente de correlación de Pearson es un estimador
eficiente en la regresión de una serie sobre la otra.
La coincidencia entre las covarianzas y varianzas muestrales con la
poblacional, implica que el proceso de fourier ( )∑=
+=2
1
'0
' sincosT
poppt tpbtpaz ωϖ
de la covarianza y de la varianza de lugar a un conjunto de observaciones
estacionarias Tzz ,...,1 , de media cero, y una manera de testearlo es utilizando
el test de Durbin que se explicó más arriba.
Ejemplo 4
Partimos de los datos de la tabla nº5.
Tabla nº5 Consumo de Energía Final Eléctrica (TEP) y PIB (Mill de euros
constantes) de España correspondientes al periodo 1992-2010
Consumo de Energía Final Eléctrica (TEP)
PIB (Mill euros año 2000)
Xt=Ln(TEP) Yt=Ln(PIB) xt yt
1992 11244 484581 9,3276 13,0910 -0,3311 -0,2293
1993 11237 479583 9,3270 13,0807 -0,3317 -0,2397
1994 11777 491012 9,3739 13,1042 -0,2848 -0,2162
1995 12116 515405 9,4023 13,1527 -0,2564 -0,1677
1996 12655 527862 9,4458 13,1766 -0,2129 -0,1438
1997 13672 548284 9,5231 13,2145 -0,1356 -0,1058
1998 14202 572782 9,5611 13,2583 -0,0975 -0,0621
1999 15241 599966 9,6317 13,3046 -0,0269 -0,0158
2000 16205 630263 9,6931 13,3539 0,0344 0,0335
2001 17279 653255 9,7572 13,3897 0,0986 0,0693
2002 17759 670920 9,7846 13,4164 0,1260 0,0960
2003 18916 691695 9,8478 13,4469 0,1891 0,1265
2004 19834 714291 9,8952 13,4790 0,2365 0,1587
2005 20827 740108 9,9440 13,5146 0,2853 0,1942
2006 22052 769850 10,0012 13,5540 0,3425 0,2336
2007 22548 797367 10,0234 13,5891 0,3647 0,2687
El desarrollo de Fourier del logaritmo ambas series es el que figura en la tabla
adjunta:
Frecuencia Periodo ap bp Periodograma
1 16 0,0381 -0,1883 0,4638 2 8 0,0439 -0,0767 0,0982 3 5,3333 0,0390 -0,0522 0,0534 4 4 0,0367 -0,0290 0,0275 5 3,2 0,0337 -0,0180 0,0183 6 2,6667 0,0296 -0,0121 0,0128 7 2,2857 0,0314 -0,0071 0,0130 8 2 0,0162 0,0000 0,0033
Frecuencia Periodo ap bp Periodograma
1 16 0,0586 -0,2688 0,9509
2 8 0,0580 -0,1119 0,1995
3 5,3333 0,0489 -0,0714 0,0942
4 4 0,0442 -0,0449 0,0499
5 3,2 0,0507 -0,0323 0,0454
6 2,6667 0,0433 -0,0161 0,0268
7 2,2857 0,0377 -0,0069 0,0184
8 2 0,0234 0,0000 0,0069
Los desarrollos de las covarianzas y varianzas de dichas series en coeficientes
de fourier se muestran a continuación:
Covarianza Varianza ln(PIB)
Varianza ln(TEP)
ap bp ap bp ap bp 0 0,0391 0,0586 0,0276 0,0000 0,0557 0,0000 1 0,0421 0,0580 0,0298 0,0077 0,0596 0,0134 2 0,0058 0,0489 0,0045 0,0021 0,0075 0,0007 3 0,0027 0,0442 0,0020 -0,0007 0,0037 -0,0030 4 0,0012 0,0507 0,0007 -0,0018 0,0020 -0,0015 5 0,0015 0,0433 0,0020 -0,0023 0,0005 -0,0021 6 0,0021 0,0377 0,0026 -0,0012 0,0005 -0,0043 7 0,0024 0,0234 0,0022 0,0000 0,0024 -0,0007 8 0,0010 0,0000 0,0009 -0,0125 0,0012 -0,0235
La covarianza de las dos series sería en consecuencia 039147043,0=tt yxσ , la
varianza de ln(PIB) sería 02760399,0=txσ y 05566181,0=
tyσ sería la varianza
de ln(TEP).
La serie armónica asociada a las multiplicaciones y cuadrados ambas series en
diferencias sobre sus medias, tiene en todos los casos un periodograma en
donde sobresalen los ciclos da baja frecuencia, tal y como muestra el test de
Durbín que se representa de forma gráfica junto a la serie:
Covarianza
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8
Banda superior
covarianza
Banda inferior
Varianza ln(PIB)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8
Banda superior
varianza ln(PIB)
Banda inferior
Varianza (TEP)
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8
Banda superior
varianza ln(TEP)
Banda inferior
Dado que no se trata de series estacionarias el coeficiente de correlación de
correlación de Pearson calculado con los datos muestrales no asegura la
estabilidad de la estimación eficiente a través del coeficiente de correlación. Sin
embargo, esta regresión planteada en primeras diferencias logarítmicas, o
tasas de crecimiento si que garantiza una regresión estable, ya que tanto las
varianzas como las covarianzas de las series son estacionarias:
Tabla nº6 Consumo de Energía Final Eléctrica (TEP) y PIB (Mill de euros
constantes) de España correspondientes al periodo 1992-2010, en diferencias
logarítmicas.
Consumo de Energía Final Eléctrica (TEP)
PIB (Mill euros año 2000)
Xt=Ln(TEP)-Lm(TEP)-1
Yt=Ln(PIB)-ln(PIB)-1
xt yt
1992 11244 484581 -0,0006 -0,0104 -0,0449 -0,0420
1993 11237 479583 0,0469 0,0236 0,0027 -0,0081
1994 11777 491012 0,0284 0,0485 -0,0159 0,0168
1995 12116 515405 0,0435 0,0239 -0,0007 -0,0078
1996 12655 527862 0,0773 0,0380 0,0331 0,0063
1997 13672 548284 0,0380 0,0437 -0,0062 0,0121
1998 14202 572782 0,0706 0,0464 0,0264 0,0147
1999 15241 599966 0,0613 0,0493 0,0171 0,0176
2000 16205 630263 0,0642 0,0358 0,0199 0,0042
2001 17279 653255 0,0274 0,0267 -0,0168 -0,0050
2002 17759 670920 0,0631 0,0305 0,0189 -0,0012
2003 18916 691695 0,0474 0,0321 0,0032 0,0005
2004 19834 714291 0,0489 0,0355 0,0046 0,0038
2005 20827 740108 0,0572 0,0394 0,0129 0,0077
2006 22052 769850 0,0222 0,0351 -0,0220 0,0035
2007 22548 797367 0,0119 0,0086 -0,0324 -0,0231
Frecuencia Periodo ap bp Periodograma
1 16 -0,0116 -0,0002 0,0017
2 8 -0,0038 -0,0086 0,0011
3 5,3333 -0,0090 -0,0039 0,0012
4 4 -0,0024 -0,0077 0,0008
5 3,2 0,0001 -0,0062 0,0005
6 2,6667 0,0042 -0,0004 0,0002
7 2,2857 0,0001 0,0016 0,0000
8 2 -0,0008 0,0000 0,0000
Frecuencia Periodo ap bp Periodograma
1 16 -0,0189 -0,0020 0,0045 2 8 -0,0076 -0,0083 0,0016 3 5,3333 -0,0077 -0,0011 0,0008 4 4 -0,0007 0,0007 0,0000 5 3,2 -0,0115 -0,0021 0,0017 6 2,6667 0,0032 -0,0030 0,0002 7 2,2857 0,0133 -0,0011 0,0022 8 2 -0,0025 0,0000 0,0001
Covarianza Varianza (1-L)ln(PIB)
Varianza (1-L)ln(TEP)
ap bp ap bp ap bp 0 0,0391 0,0586 0,0276 0,0000 0,0557 0,0000 1 0,0421 0,0580 0,0298 0,0077 0,0596 0,0134 2 0,0058 0,0489 0,0045 0,0021 0,0075 0,0007 3 0,0027 0,0442 0,0020 -0,0007 0,0037 -0,0030 4 0,0012 0,0507 0,0007 -0,0018 0,0020 -0,0015 5 0,0015 0,0433 0,0020 -0,0023 0,0005 -0,0021 6 0,0021 0,0377 0,0026 -0,0012 0,0005 -0,0043 7 0,0024 0,0234 0,0022 0,0000 0,0024 -0,0007 8 0,0010 0,0000 0,0009 -0,0125 0,0012 -0,0235
Covarianza
-0,0005
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8
Banda superior
covarianza
Banda inferior
Varianza (1-L)ln(PIB)
00,0002
0,00040,0006
0,00080,001
0,0012
0,00140,0016
0,00180,002
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8
Banda superior
varianza (1-L)ln(PIB)Banda inferior
Varianza (1-L)ln(TEP)
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8
Banda superior
varianza (1-L)ln(TEP)Banda inferior
Anexo: Multiplicación de series armónicas.
a) Multiplicación de dos armómicos con diferente frecuencia.
La multiplicación de dos armónicos de diferente frecuencia,
[ ] [ ])sin()cos()sin()cos( tbtatbta mk
mk
nj
nj ⋅+⋅×⋅+⋅ ωωωω
da luagar a la siguiente suma:
)sin()sin()cos()sin(
)sin()cos()cos()cos(
ttbbttab
ttbattaa
mnkj
mnkj
mnkj
mnkj
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
ωωωωωωωω
que utilizando la identidad del producto5:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]ttttbb
ttttab
ttttba
ttttaa
mnmn
kj
mnmn
kj
mnmn
kj
mnmn
kj
⋅+⋅−⋅−⋅+
+⋅−⋅+⋅+⋅+
+⋅−⋅−⋅+⋅+
+⋅−⋅+⋅+⋅
ωωωω
ωωωω
ωωωω
ωωωω
coscos2
sinsin2
sinsin2
coscos2
da como resultado:
5
2
)cos()cos(coscos
βαβαβα −++=⋅
2
)cos()cos(sinsin
βαβαβα +−−=⋅
2
)sin()sin(cossin
βαβαβα −++=⋅
2
)sin()sin(sincos
βαβαβα −−+=⋅
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )t)(ωt)(ωbaab
t)(ωt)(ωbbaa
t)(ωt)(ωbaab
t)(ωt)(ωbbaa
mn
kjkj
mn
kjkj
mn
kjkj
mn
kjkj
⋅+⋅⋅++⋅+⋅⋅−+
+⋅−⋅⋅−+⋅−⋅⋅+
sin2
cos2
sin2
cos2
una serie armómica con frecuencias angulares que se obtienen a partir de la
suma y diferencia de las frecuencias angulares de los armónicos múltiplos, con
coeficientes de Fourier obtenidos a partir de los coeficientes de los armónicos
múltiplos.
b) Multiplicación de series armónicas de dos o mas armónicos.
La obtención del término i-esimo del periodograma resultante de multiplicar
dos funciones periódicas con dos o más armónicos, es algo más complejo ya
que el resultado de la multiplicación es una suma de productos de armónicos,
que dan lugar a una suma de armónicos con diferentes frecuencias angulares
como consecuencia de las sumas y diferencias de las frecuencias angulares de
cada producto de armónicos, algunas de las cuales aparecen asociadas a
diferentes coeficientes.
Por ejemplo, el producto de dos series obtenidas a partir de dos armónicos:
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatf ⋅⋅+⋅⋅= 1111
110
100
10 sincossincos)(
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatg ⋅⋅+⋅⋅= 1211
210
200
20 sincossincos)(
Se obtendría la siguiente secuencia de funciones de seno y coseno y
coeficientes de Fourier:
Coeficientes de Fourier
Funciones coseno
Coeficientes de Fourier
Funciones seno
( )2
20
10
20
10 bbaa +
1)cos( =⋅−⋅ tt oo ωω ( )
2
20
10
20
10 baab −
0)sin( =⋅−⋅ tt oo ωω
( )2
20
10
20
10 bbaa −
)2cos(
)cos(
t
tt
o
oo
⋅==⋅+⋅
ωωω ( )
2
20
10
20
10 baab +
)2sin(
)sin(
t
tt
o
oo
⋅==⋅+⋅
ωωω
( )2
20
11
20
11 bbaa +
)cos( 1 tt o ⋅−⋅ ωω ( )
2
20
11
20
11 baab −
)sin( 1 tt o ⋅−⋅ ωω
( )2
20
11
20
11 aaaa −
)cos( 1 tt o ⋅+⋅ ωω ( )
2
20
11
20
11 baab +
)sin( 1 tt o ⋅+⋅ ωω
( )2
21
10
21
10 bbaa +
)cos(
)cos(
01
10
tt
tt
⋅−⋅==⋅−⋅
ωωωω ( )
2
21
10
21
10 baab −
)sin(
)sin(
01
10
tt
tt
⋅−⋅−==⋅−⋅
ωωωω
( )2
21
10
21
10 bbaa −
)cos( 10 tt ⋅+⋅ ωω ( )
2
21
10
21
10 baab +
)sin( 10 tt ⋅+⋅ ωω
( )2
21
11
21
11 bbaa +
1)cos( 11 =⋅−⋅ tt ωω ( )
2
21
11
21
11 baab −
0)sin( 11 =⋅−⋅ tt ωω
( )2
21
11
21
11 bbaa −
)2cos(
)cos(
1
11
t
tt
⋅==⋅+⋅
ωωω ( )
2
21
11
21
11 baab +
)2sin(
)sin(
1
11
t
tt
⋅==⋅+⋅
ωωω
Que daría lugar a la siguiente serie de Fourier:
t)t(ωb+t)t(ωat)ω(b+t)ω(a
t)t(ωb+t)t(ωat)ω(b+t)ω(atgtf
⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅+
+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+=×
0120131212
1011010000
sincos2sin2cos
sincos2sin2cos)()(
ωωωωα
Donde:
( ) ( )2
21
11
21
11
20
10
20
10 bbaabbaa +++
=α
( )2
20
10
20
10
0
bbaaa
−=
( )2
20
10
20
10 baab
bo
+=
( ) ( )2
20
11
20
11
21
10
21
10
1
bbaabbaaa
−+−=
( ) ( )2
20
11
20
11
21
10
21
10
1
baabbaabb
+++=
( )2
21
11
21
11
2
bbaaa
−=
( )2
21
11
21
11
2
baabb
+=
( ) ( )2
21
10
21
10
20
11
20
11
3
bbaabbaaa
+++=
( ) ( )2
21
10
21
10
20
11
20
11
3
baabbaabb
−−−=
Ejemplo 1
⋅⋅
⋅⋅+
⋅⋅
⋅⋅=50
2sin2,0
50
2cos8,0
100
2sin5,0
100
2cos5,0)(
t+
tt+
ttf
ππππ
f(t)
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
⋅⋅
⋅⋅+
⋅⋅
⋅⋅=50
2sin7,0
50
2cos3,0
100
2sin1,0
100
2cos9,0)(
t+
tt+
ttg
ππππ
g(t)
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
Daría lugar a los siguientes coeficientes de fourier:
( ) ( )44,0
2
8,03,02,07,09,05,01,05,0 =⋅+⋅+⋅+⋅=α
( )2,0
2
1,05,09,05,00 =⋅−⋅=a
( )25,0
2
9,05,01,05,0 =⋅+⋅=ob
( ) ( )25,0
2
7,05,03,05,01,02,09,08,01 =⋅−⋅+⋅−⋅=a
( ) ( )38,0
2
3,05,07,05,09,02,01,08,01 =⋅+⋅+⋅+⋅=b
( )05,0
2
7,02,03,08,02 =⋅−⋅=a
( )31,0
2
3,02,07,08,02 =⋅+⋅=b
( ) ( )62,0
2
7,05,03,05,01,02,09,08,03 =⋅+⋅+⋅+⋅=a
( ) ( )15,0
2
7,05,03,05,01,08,09,02,03 =⋅−⋅−⋅−⋅=b
De la que resulta la siguiente serie armónica:
t)t(ω+t)t(ωt)ω(+t)ω(
t)t(ω+t)t(ωt)ω(+t)ω(tgtf
⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+
+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+=×
010111
101000
sin15,0cos62,02sin31,02cos05,0
sin36,0cos25,02sin25,02cos2,044,0)()(
ωωωω
Que se desarrollaría según la siguiente tabla:
coef 0,44 0,62 0,15 0,2 0,25 0,25 0,38 0,05 0,31
w(i) 100 100 armónico 50 50 armónico 33,33333333 33,33333333 armónico 25 25 armónico f(t)*g(t)
1 0,44 1,00 0,06 0,63 0,99 0,13 0,23 0,98 0,19 0,32 0,97 0,25 0,13 1,74
2 0,44 0,99 0,13 0,63 0,97 0,25 0,26 0,93 0,37 0,37 0,88 0,48 0,19 1,90
3 0,44 0,98 0,19 0,64 0,93 0,37 0,28 0,84 0,54 0,41 0,73 0,68 0,25 2,02
4 0,44 0,97 0,25 0,64 0,88 0,48 0,30 0,73 0,68 0,44 0,54 0,84 0,29 2,10
5 0,44 0,95 0,31 0,64 0,81 0,59 0,31 0,59 0,81 0,45 0,31 0,95 0,31 2,15
6 0,44 0,93 0,37 0,63 0,73 0,68 0,32 0,43 0,90 0,45 0,06 1,00 0,31 2,15
7 0,44 0,90 0,43 0,62 0,64 0,77 0,32 0,25 0,97 0,43 -0,19 0,98 0,30 2,11
8 0,44 0,88 0,48 0,62 0,54 0,84 0,32 0,06 1,00 0,39 -0,43 0,90 0,26 2,03
9 0,44 0,84 0,54 0,60 0,43 0,90 0,31 -0,13 0,99 0,35 -0,64 0,77 0,21 1,91
10 0,44 0,81 0,59 0,59 0,31 0,95 0,30 -0,31 0,95 0,28 -0,81 0,59 0,14 1,76
11 0,44 0,77 0,64 0,57 0,19 0,98 0,28 -0,48 0,88 0,21 -0,93 0,37 0,07 1,58
12 0,44 0,73 0,68 0,55 0,06 1,00 0,26 -0,64 0,77 0,13 -0,99 0,13 -0,01 1,38
13 0,44 0,68 0,73 0,53 -0,06 1,00 0,24 -0,77 0,64 0,05 -0,99 -0,13 -0,09 1,17
14 0,44 0,64 0,77 0,51 -0,19 0,98 0,21 -0,88 0,48 -0,04 -0,93 -0,37 -0,16 0,96
15 0,44 0,59 0,81 0,49 -0,31 0,95 0,18 -0,95 0,31 -0,12 -0,81 -0,59 -0,22 0,76
16 0,44 0,54 0,84 0,46 -0,43 0,90 0,14 -0,99 0,13 -0,20 -0,64 -0,77 -0,27 0,57
17 0,44 0,48 0,88 0,43 -0,54 0,84 0,10 -1,00 -0,06 -0,27 -0,43 -0,90 -0,30 0,40
18 0,44 0,43 0,90 0,40 -0,64 0,77 0,07 -0,97 -0,25 -0,34 -0,19 -0,98 -0,31 0,25
19 0,44 0,37 0,93 0,37 -0,73 0,68 0,03 -0,90 -0,43 -0,39 0,06 -1,00 -0,31 0,14
20 0,44 0,31 0,95 0,33 -0,81 0,59 -0,01 -0,81 -0,59 -0,43 0,31 -0,95 -0,28 0,05
21 0,44 0,25 0,97 0,30 -0,88 0,48 -0,05 -0,68 -0,73 -0,45 0,54 -0,84 -0,23 0,00
22 0,44 0,19 0,98 0,26 -0,93 0,37 -0,09 -0,54 -0,84 -0,45 0,73 -0,68 -0,18 -0,02
23 0,44 0,13 0,99 0,23 -0,97 0,25 -0,13 -0,37 -0,93 -0,45 0,88 -0,48 -0,11 -0,02
24 0,44 0,06 1,00 0,19 -0,99 0,13 -0,17 -0,19 -0,98 -0,42 0,97 -0,25 -0,03 0,01
25 0,44 0,00 1,00 0,15 -1,00 0,00 -0,20 0,00 -1,00 -0,38 1,00 0,00 0,05 0,06
26 0,44 -0,06 1,00 0,11 -0,99 -0,13 -0,23 0,19 -0,98 -0,33 0,97 0,25 0,13 0,12
27 0,44 -0,13 0,99 0,07 -0,97 -0,25 -0,26 0,37 -0,93 -0,26 0,88 0,48 0,19 0,19
28 0,44 -0,19 0,98 0,03 -0,93 -0,37 -0,28 0,54 -0,84 -0,19 0,73 0,68 0,25 0,25
29 0,44 -0,25 0,97 -0,01 -0,88 -0,48 -0,30 0,68 -0,73 -0,11 0,54 0,84 0,29 0,32
30 0,44 -0,31 0,95 -0,05 -0,81 -0,59 -0,31 0,81 -0,59 -0,02 0,31 0,95 0,31 0,37
31 0,44 -0,37 0,93 -0,09 -0,73 -0,68 -0,32 0,90 -0,43 0,06 0,06 1,00 0,31 0,41
32 0,44 -0,43 0,90 -0,13 -0,64 -0,77 -0,32 0,97 -0,25 0,15 -0,19 0,98 0,30 0,43
33 0,44 -0,48 0,88 -0,17 -0,54 -0,84 -0,32 1,00 -0,06 0,23 -0,43 0,90 0,26 0,44
34 0,44 -0,54 0,84 -0,21 -0,43 -0,90 -0,31 0,99 0,13 0,30 -0,64 0,77 0,21 0,43
35 0,44 -0,59 0,81 -0,24 -0,31 -0,95 -0,30 0,95 0,31 0,36 -0,81 0,59 0,14 0,39
36 0,44 -0,64 0,77 -0,28 -0,19 -0,98 -0,28 0,88 0,48 0,40 -0,93 0,37 0,07 0,35
37 0,44 -0,68 0,73 -0,32 -0,06 -1,00 -0,26 0,77 0,64 0,43 -0,99 0,13 -0,01 0,29
38 0,44 -0,73 0,68 -0,35 0,06 -1,00 -0,24 0,64 0,77 0,45 -0,99 -0,13 -0,09 0,22
39 0,44 -0,77 0,64 -0,38 0,19 -0,98 -0,21 0,48 0,88 0,45 -0,93 -0,37 -0,16 0,14
40 0,44 -0,81 0,59 -0,41 0,31 -0,95 -0,18 0,31 0,95 0,44 -0,81 -0,59 -0,22 0,07
41 0,44 -0,84 0,54 -0,44 0,43 -0,90 -0,14 0,13 0,99 0,41 -0,64 -0,77 -0,27 -0,01
42 0,44 -0,88 0,48 -0,47 0,54 -0,84 -0,10 -0,06 1,00 0,36 -0,43 -0,90 -0,30 -0,07
43 0,44 -0,90 0,43 -0,50 0,64 -0,77 -0,07 -0,25 0,97 0,31 -0,19 -0,98 -0,31 -0,13
44 0,44 -0,93 0,37 -0,52 0,73 -0,68 -0,03 -0,43 0,90 0,24 0,06 -1,00 -0,31 -0,18
45 0,44 -0,95 0,31 -0,54 0,81 -0,59 0,01 -0,59 0,81 0,16 0,31 -0,95 -0,28 -0,21
46 0,44 -0,97 0,25 -0,56 0,88 -0,48 0,05 -0,73 0,68 0,08 0,54 -0,84 -0,23 -0,23
47 0,44 -0,98 0,19 -0,58 0,93 -0,37 0,09 -0,84 0,54 -0,01 0,73 -0,68 -0,18 -0,23
48 0,44 -0,99 0,13 -0,60 0,97 -0,25 0,13 -0,93 0,37 -0,09 0,88 -0,48 -0,11 -0,22
49 0,44 -1,00 0,06 -0,61 0,99 -0,13 0,17 -0,98 0,19 -0,17 0,97 -0,25 -0,03 -0,21
50 0,44 -1,00 0,00 -0,62 1,00 0,00 0,20 -1,00 0,00 -0,25 1,00 0,00 0,05 -0,18
51 0,44 -1,00 -0,06 -0,63 0,99 0,13 0,23 -0,98 -0,19 -0,32 0,97 0,25 0,13 -0,15
52 0,44 -0,99 -0,13 -0,63 0,97 0,25 0,26 -0,93 -0,37 -0,37 0,88 0,48 0,19 -0,12
53 0,44 -0,98 -0,19 -0,64 0,93 0,37 0,28 -0,84 -0,54 -0,41 0,73 0,68 0,25 -0,09
54 0,44 -0,97 -0,25 -0,64 0,88 0,48 0,30 -0,73 -0,68 -0,44 0,54 0,84 0,29 -0,06
55 0,44 -0,95 -0,31 -0,64 0,81 0,59 0,31 -0,59 -0,81 -0,45 0,31 0,95 0,31 -0,03
56 0,44 -0,93 -0,37 -0,63 0,73 0,68 0,32 -0,43 -0,90 -0,45 0,06 1,00 0,31 -0,01
57 0,44 -0,90 -0,43 -0,62 0,64 0,77 0,32 -0,25 -0,97 -0,43 -0,19 0,98 0,30 0,00
58 0,44 -0,88 -0,48 -0,62 0,54 0,84 0,32 -0,06 -1,00 -0,39 -0,43 0,90 0,26 0,01
59 0,44 -0,84 -0,54 -0,60 0,43 0,90 0,31 0,13 -0,99 -0,35 -0,64 0,77 0,21 0,01
60 0,44 -0,81 -0,59 -0,59 0,31 0,95 0,30 0,31 -0,95 -0,28 -0,81 0,59 0,14 0,01
61 0,44 -0,77 -0,64 -0,57 0,19 0,98 0,28 0,48 -0,88 -0,21 -0,93 0,37 0,07 0,00
62 0,44 -0,73 -0,68 -0,55 0,06 1,00 0,26 0,64 -0,77 -0,13 -0,99 0,13 -0,01 0,00
63 0,44 -0,68 -0,73 -0,53 -0,06 1,00 0,24 0,77 -0,64 -0,05 -0,99 -0,13 -0,09 0,01
64 0,44 -0,64 -0,77 -0,51 -0,19 0,98 0,21 0,88 -0,48 0,04 -0,93 -0,37 -0,16 0,01
65 0,44 -0,59 -0,81 -0,49 -0,31 0,95 0,18 0,95 -0,31 0,12 -0,81 -0,59 -0,22 0,03
66 0,44 -0,54 -0,84 -0,46 -0,43 0,90 0,14 0,99 -0,13 0,20 -0,64 -0,77 -0,27 0,05
67 0,44 -0,48 -0,88 -0,43 -0,54 0,84 0,10 1,00 0,06 0,27 -0,43 -0,90 -0,30 0,09
68 0,44 -0,43 -0,90 -0,40 -0,64 0,77 0,07 0,97 0,25 0,34 -0,19 -0,98 -0,31 0,13
69 0,44 -0,37 -0,93 -0,37 -0,73 0,68 0,03 0,90 0,43 0,39 0,06 -1,00 -0,31 0,18
70 0,44 -0,31 -0,95 -0,33 -0,81 0,59 -0,01 0,81 0,59 0,43 0,31 -0,95 -0,28 0,24
71 0,44 -0,25 -0,97 -0,30 -0,88 0,48 -0,05 0,68 0,73 0,45 0,54 -0,84 -0,23 0,30
72 0,44 -0,19 -0,98 -0,26 -0,93 0,37 -0,09 0,54 0,84 0,45 0,73 -0,68 -0,18 0,36
73 0,44 -0,13 -0,99 -0,23 -0,97 0,25 -0,13 0,37 0,93 0,45 0,88 -0,48 -0,11 0,42
74 0,44 -0,06 -1,00 -0,19 -0,99 0,13 -0,17 0,19 0,98 0,42 0,97 -0,25 -0,03 0,48
75 0,44 0,00 -1,00 -0,15 -1,00 0,00 -0,20 0,00 1,00 0,38 1,00 0,00 0,05 0,52
76 0,44 0,06 -1,00 -0,11 -0,99 -0,13 -0,23 -0,19 0,98 0,33 0,97 0,25 0,13 0,55
77 0,44 0,13 -0,99 -0,07 -0,97 -0,25 -0,26 -0,37 0,93 0,26 0,88 0,48 0,19 0,57
78 0,44 0,19 -0,98 -0,03 -0,93 -0,37 -0,28 -0,54 0,84 0,19 0,73 0,68 0,25 0,57
79 0,44 0,25 -0,97 0,01 -0,88 -0,48 -0,30 -0,68 0,73 0,11 0,54 0,84 0,29 0,55
80 0,44 0,31 -0,95 0,05 -0,81 -0,59 -0,31 -0,81 0,59 0,02 0,31 0,95 0,31 0,51
81 0,44 0,37 -0,93 0,09 -0,73 -0,68 -0,32 -0,90 0,43 -0,06 0,06 1,00 0,31 0,46
82 0,44 0,43 -0,90 0,13 -0,64 -0,77 -0,32 -0,97 0,25 -0,15 -0,19 0,98 0,30 0,40
83 0,44 0,48 -0,88 0,17 -0,54 -0,84 -0,32 -1,00 0,06 -0,23 -0,43 0,90 0,26 0,32
84 0,44 0,54 -0,84 0,21 -0,43 -0,90 -0,31 -0,99 -0,13 -0,30 -0,64 0,77 0,21 0,25
85 0,44 0,59 -0,81 0,24 -0,31 -0,95 -0,30 -0,95 -0,31 -0,36 -0,81 0,59 0,14 0,17
86 0,44 0,64 -0,77 0,28 -0,19 -0,98 -0,28 -0,88 -0,48 -0,40 -0,93 0,37 0,07 0,10
87 0,44 0,68 -0,73 0,32 -0,06 -1,00 -0,26 -0,77 -0,64 -0,43 -0,99 0,13 -0,01 0,05
88 0,44 0,73 -0,68 0,35 0,06 -1,00 -0,24 -0,64 -0,77 -0,45 -0,99 -0,13 -0,09 0,01
89 0,44 0,77 -0,64 0,38 0,19 -0,98 -0,21 -0,48 -0,88 -0,45 -0,93 -0,37 -0,16 0,00
90 0,44 0,81 -0,59 0,41 0,31 -0,95 -0,18 -0,31 -0,95 -0,44 -0,81 -0,59 -0,22 0,02
91 0,44 0,84 -0,54 0,44 0,43 -0,90 -0,14 -0,13 -0,99 -0,41 -0,64 -0,77 -0,27 0,06
92 0,44 0,88 -0,48 0,47 0,54 -0,84 -0,10 0,06 -1,00 -0,36 -0,43 -0,90 -0,30 0,14
93 0,44 0,90 -0,43 0,50 0,64 -0,77 -0,07 0,25 -0,97 -0,31 -0,19 -0,98 -0,31 0,25
94 0,44 0,93 -0,37 0,52 0,73 -0,68 -0,03 0,43 -0,90 -0,24 0,06 -1,00 -0,31 0,39
95 0,44 0,95 -0,31 0,54 0,81 -0,59 0,01 0,59 -0,81 -0,16 0,31 -0,95 -0,28 0,56
96 0,44 0,97 -0,25 0,56 0,88 -0,48 0,05 0,73 -0,68 -0,08 0,54 -0,84 -0,23 0,75
97 0,44 0,98 -0,19 0,58 0,93 -0,37 0,09 0,84 -0,54 0,01 0,73 -0,68 -0,18 0,95
98 0,44 0,99 -0,13 0,60 0,97 -0,25 0,13 0,93 -0,37 0,09 0,88 -0,48 -0,11 1,15
99 0,44 1,00 -0,06 0,61 0,99 -0,13 0,17 0,98 -0,19 0,17 0,97 -0,25 -0,03 1,36
100 0,44 1,00 0,00 0,62 1,00 0,00 0,20 1,00 0,00 0,25 1,00 0,00 0,05 1,56
f(t)*g(t)
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97
c) Desarrollo matricial de la multiplicación de series con 2
T=k armónicos.
La multiplicación de dos series de longitud T obtenidas como sumas de
k armónicos, cuyas frecuencias angulares son obtenidas a partir de
T
ii
⋅= πω 2
es decir
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅k
=iii T
tb+Tta=tg
1
11 2πisin2πicos)(
e
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅k
=iii T
tb+Tta=tf
1
22 2πisin2πicos)(
da como resultado una nueva serie armónica de T/2 periodos
( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅+⋅k
=iii T
tib+Ttia=tgtf
10
2πsin2πcos)()( µ
En donde6
∑=k
=i
iiii b+baa
1
2121
2µ
Partiendo de dos series armónicas de T=8, lo que da lugar a las dos series de
Fourier que se presentan a continuación:
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωa
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatf
⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅+⋅⋅=
3133
132
122
12
1111
110
100
10
sincossincos
sincossincos)(
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωa
t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatg
⋅⋅+⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅=
3233
232
222
22
1211
210
200
20
sincossincos
sincossincos)(
6 Notese que µ es la covarianza armónica, y coincidirá con la covarianza muestral entre )(tf y )(tg cuando
( ) ( ) 02πsin2πcos1
=⋅⋅⋅⋅∑k
=iii T
tib+Ttia , lo que ocurre cuando la serie armónica se muestran sin desfase,
en cuyo caso, µ=+⋅+ )()( nTgnTf . En general se puede asumir que a medida que es mayor el tamaño
de la serie la covarianza muestral se acercará a la covarianza armónica.
Donde
141,38
24
356,28
23
571,18
22
785,08
21
3
2
1
=⋅=
=⋅=
=⋅=
=⋅=
πω
πω
πω
πωo
La multiplicación sucesiva de los cuatro armómicos de )(tf por el primer
armónico de )(tg daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
230
12
010
0
8
23
8
24
8
218
22
8
23
8
218
21
8
22
8
21
08
21
8
21
ωπππωω
ωπππωω
ωπππωω
ππωω
−=⋅−=⋅−⋅=−
−=⋅−=⋅−⋅=−
−=⋅−=⋅−⋅=−
=⋅−⋅=−
o
o
πππωω
ωππππωω
ωπππωω
ωπππωω
+=⋅+⋅=+
==⋅=⋅+⋅=+
=⋅=⋅+⋅=+
=⋅=⋅+⋅=+
785,08
24
8
218
24
8
23
8
218
23
8
22
8
218
22
8
21
8
21
30
320
210
100
de forma que7
)cos()cos( 00 ωπω −−=+
7
)sin()sin(
)cos()cos(
ππ
+=−+−=−
xx
xx
)sin()sin( 00 ωπω −=+
La multiplicación sucesiva de los cuatro armómicos de )(tf por el segundo
armónico de )(tg daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
131
021
11
001
8
22
8
24
8
228
21
8
23
8
22
08
22
8
228
21
8
21
8
22
ωπππωω
ωπππωω
ππωω
ωπππωω
−=⋅−=⋅−⋅=−
−==⋅−=⋅−⋅=−
=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
πωππωω
πωππππωω
ωππππωω
ωπππωω
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
==⋅=⋅+⋅=+
=⋅=⋅+⋅=+
131
021
311
201
8
24
8
228
24
8
21
8
23
8
228
24
8
22
8
228
23
8
21
8
22
de forma que
)cos()cos( 11 ωπω −−=+
)sin()sin( 11 ωπω −=+
La multiplicación sucesiva de los cuatro armómicos de )(tf por el tercer
armónico de )(tg daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
132
22
012
102
8
21
8
24
8
23
08
23
8
238
21
8
22
8
238
22
8
21
8
23
ωπππωω
ππωω
ωπππωω
ωπππωω
−=⋅−=⋅−⋅=−
=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
πωππωω
πωππππωω
πωππππωω
ωππππωω
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
==⋅=⋅+⋅=+
232
122
012
302
8
24
8
238
24
8
22
8
23
8
238
24
8
21
8
22
8
238
24
8
21
8
23
de forma que
)cos()cos( 22 ωπω −−=+
)sin()sin( 22 ωπω −=+
La multiplicación sucesiva de los cuatro armómicos de )(tf por el cuarto
armónico de )(tg daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:
08
24
8
248
21
8
23
8
248
22
8
22
8
248
23
8
21
8
24
33
023
113
203
=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
=⋅=⋅−⋅=−
ππωω
ωπππωω
ωπππωω
ωπππωω
πππωω
ωπππωω
ωπππωω
ωπππωω
28
24
8
248
23
8
248
22
8
248
21
8
24
33
223
113
003
=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=+
+=⋅+⋅=+
Teniendo presente que:
1)2cos(
0)2sin(
1)cos(
0)sin(
1)0cos(
0)0sin(
==−=
===
ππ
ππ
se obtienen los coeficientes de fourier de la serie resultante de la multiplicación
de )()( tgtf ⋅ a partir del siguiente sistema matricial:
−−−−−−−−−
−−−+−+−−−−−−−+
−++−+−−−−+−−
+++−−−−
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
22
22
220
202
22
22
2
2
20
20
21
21
22
22
20
20
21
21
22
22
20
21
21
22
20
22
20
23
21
21
20
21
21
22
20
22
20
21
23
21
21
22
20
22
20
23
22
20
22
20
21
22
20
22
20
23
22
20
22
20
22
23
21
21
22
20
22
20
21
21
22
21
23
21
22
20
22
20
21
21
23
22
22
21
21
20
20
23
22
20
21
21
20
20
ababab
bababa
babaabbaab
ababbaabaa
baabbaabba
abbaaabbaa
baabaabbab
abaabbaaba
bababab
abababa
A
=
13
12
12
11
11
10
10
a
b
a
b
a
b
a
B
BA
b
a
ba
b
a
b
a
C ×=
=2
1
3
3
2
2
1
1
0
0
βµ
Ejemplo 2
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
8
22cos2,0
8
21sin2,1
8
21cos4,0
8
22sin2,0
8
22cos8,0
8
21sin5,0
8
21cos5,0)(
tt+
t
t+
tt+
ttf
πππ
ππππ
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
8
22cos2
8
21sin05,0
8
21cos6,0
8
22sin7,0
8
22cos3,0
8
21sin1,0
8
21cos9,0)(
tt+
t
t+
tt+
ttg
πππ
ππππ
el producto )()( tgtf ⋅ da como resultado8:
−
−
−
=
×
−−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−
0325,1
3075,0
04,1
305,1
2775,0
3525,2
26,2
265,2
3,0
99,0
2,0
2,1
4,0
2,0
8,0
5,0
5,0
09,01,03,07,06,005,0
01,09,07,03,005,06,0
2,03,07,03,005,07,37,0
8,17,03,015,05,17,03,4
4,13,015,0403,015,0
6,005,05,10405,05,1
1,07,37,03,005,03,07,0
2,17,03,415,05,17,03,0
06,005,03,07,09,01,0
405,06,07,03,01,09,0
2
1
Que da lugar a la siguiente serie:
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+=
8
24cos3075,0
8
23sin04,1
8
23cos305,1
8
22sin2775,0
8
22cos3525,2
8
21sin26,2
8
21cos265,299.0)(
ttt
tttttg
πππ
ππππ
8 Dado que 013 =b en el ejemplo, se puede simplificar la multiplicación en el modo expuesto.
La matriz A puede descomponerse en varias matrices, unas serviran para
calcular los coeficientes asociados a los cosenos y otros los asociados a los
senos. Estas matrices serían:
=
0000
000
00
0
23
23
12
23
22
21
23
22
21
20
12
a
aa
aaa
aaaa
A ,
=
0000
000
00
0
23
23
12
23
22
21
23
22
21
20
12
b
bb
bbb
bbbb
B ,
=
0000
0
00
000
20
21
22
23
21
22
23
22
23
23
22
aaaa
aaa
aa
a
A ,
=
0000
0
00
000
20
21
22
23
21
22
23
22
23
23
22
bbbb
bbb
bb
b
B ,
=
0
0
0
0
0000
02
12
22
02
02
12
12
02
02
22
12
02
32
aaa
aaa
aaa
aaa
A ,
=
0
0
0
0
0000
02
12
22
02
02
12
12
02
02
22
12
02
32
bbb
bbb
bbb
bbb
B ,
−−−−−
−=+−
0111
1011
1101
1110
0000
I
Considerando los siguientes vectores:
=
31
21
11
01
1
a
a
a
a
A ,
=
31
21
11
01
1
b
b
b
b
B
La solución matricial a los coeficientes de los senos es
( ) ( )[ ]132
22
121
32
22
12
1
2
1BBIBBAAAAC ××+−+×++= +
−
La solución matricial a los coeficientes de los senos es
( ) ( )[ ]132
22
121
32
22
12
2
2
1ABIBBBAAAC ××−−+×+−−= +
−
Ejemplo 2
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
8
22cos2,0
8
21sin2,1
8
21cos4,0
8
22sin2,0
8
22cos8,0
8
21sin5,0
8
21cos5,0)(
tt+
t
t+
tt+
ttf
πππ
ππππ
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
8
22cos2
8
21sin05,0
8
21cos6,0
8
22sin7,0
8
22cos3,0
8
21sin1,0
8
21cos9,0)(
tt+
t
t+
tt+
ttg
πππ
ππππ
=
0000
0002
0026,0
026,03,0
26,03,09,0
12A ,
=
0000
0000
00005,0
0005,07,0
005,07,01,0
12B ,
=
0000
9,03,06,02
3,06,020
6,0200
2000
22A ,
=
0000
1,07,005,00
7,005,000
05,0000
0000
22B ,
=
09,03,06,0
9,009,03,0
3,09,009,0
6,03,09,00
0000
32A ,
=
01,07,005,0
1,001,07,0
7,01,001,0
05,07,01,00
0000
32B ,
−−−−−
−=+−
0111
1011
1101
1110
0000
I
=
2,0
4,0
8,0
5,0
1A ,
=
0
2,1
2,0
5,0
1B
