LA RELATIVITÀ DEL TEMPO E DELLO SPAZIOromano/5GL/esercizi_vari/... · 2019-04-07 · Amaldi,...

CAPITOLO 29

LA RELATIVITÀ DEL TEMPO E DELLO SPAZIO

1

1 VELOCITÀ DELLA LUCE E SISTEMI DI RIFERIMENTO 1 I due lampi sono rilevati contemporaneamente, poiché entrambi viaggiano a velocità c, indipendentemente dalla velocità della sorgente emittente. 2 Quello che osservi è la luce emessa dalle due stelle, che ha impiegato tempi diversi per percorrere la distanza che le separa dalla Terra: più di 4 anni da Alpha Centauri, il doppio da Sirio. Le immagini delle due stelle appartengono a istanti di tempo diversi e non attuali. 3★ d = c� t = 3,0 ×108 m/s( ) 6,944 × 3600 s( ) = 7,5 ×1012 m 4★

� t1 =d1

c= 5,5 ×107 km

3,0 ×105 km/s= 1,8 ×102 s

� t2 =d2

c= 4,01×108 km

3,0 ×105 km/s= 1,3×103 s

5★ La distanza di Andromeda è 2,13 milioni di anni-luce, oppure

d = c� t = 3,0 ×105 km/s( ) 2,13×106 × 3600 × 24 × 365 s( ) = 2,0 ×1019 km 6★ d = c� t = 3,0 ×105 km/s( ) 4,2 × 3600 × 24 × 365 s( ) = 4,0 ×1013 km 7★ Il tempo impiegato dalla luce a percorrere la distanza data è

� t = dc= 5,7 ×108 km

3,0 ×105 km/s= 1,9 ×103 s

Quindi la distanza è 1,9 ×103 secondi-luce. 8★ d1 = c� t1 = 3,0 ×108 m/s( ) 60 s( ) = 1,8 ×1010 m

Amaldi, L’Amaldi per i licei scientifici.blu CAPITOLO 29 • LA RELATIVITÀ DEL TEMPO E DELLO SPAZIO

2

d2 = c� t2 = 3,0 ×108 m/s( ) 3600 × 24 s( ) = 2,6 ×1013 m

d3 = c� t3 = 3,0 ×108 m/s( ) 3600 × 24 × 365 s( ) = 9,5 ×1015 m 9★

� t = dc= 1,5 ×108 km

3,0 ×105 km/s= 5,0 ×102 s

10★★ Il primo lampo di luce viene registrato 8,6 ns dopo l’emissione; il secondo 5,2 ns + 7,8 ns = 13 ns dopo la prima collisione. L’intervallo di tempo tra le due collisioni è �t = 13 ns – 8,6 ns = 4,4 ns. 11★★ La velocità dello sciame, in unità di c, è

v = 6,0 ×104 km/s = 6,0 ×104 km/s3,0 ×105 km/s

c = 0,20 c

La distanza percorsa è

d = v� t = 0,20 c( ) 1,5 ×103 s( ) = 3,0 ×102 secondi luce 2 L’ESPERIMENTO DI MICHELSON-MORLEY 12 Non cambierebbe affatto, poiché non dipende da tale valore. L’esperimento mira a rilevare un movimento della Terra rispetto all’etere, non a misurare la velocità della luce o effetti dipendenti dal suo valore. 13 Non potendo conoscere la direzione del vento d’etere, Michelson e Morley montarono l’interferometro su una vasca contenente mercurio, in modo da poterlo ruotare facilmente. Inoltre ripeterono le misure in diversi momenti del giorno e nel corso di alcuni mesi, durante i quali la Terra si era spostata lungo la sua orbita. In questo modo poterono confrontare figure di interferenza prese in varie condizioni di allineamento, che sarebbero risultate diverse se il vento d’etere fosse esistito. 14 No: due raggi di luce monocromatici emessi in fase danno luogo a interferenza costruttiva quando la differenza dei due cammini è un multiplo intero della lunghezza d’onda dei due raggi. 15 Due raggi di luce monocromatici emessi in fase danno luogo a interferenza distruttiva quando la differenza dei due cammini è un multiplo dispari di metà della lunghezza d’onda dei due raggi. 16★ Adattando la formula presente nel testo al caso in esame, il tempo impiegato dal cane è

� t = � t testa-coda + � tritorno =L

V + v+ L

V − v= 2LV

V 2 − v2

Se si usa un segnale di luce, il tempo impiegato è

� t = 2Lcc2 − v2


3

Per c≫ v si ha

� t = 2Lc

17★

� t1 − � t2 = 2lc

c2 − v2 −1

c2 − v2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

= 2 4,2 m( ) 3×108 m/s

3×108 m/s( )2− 320 m/s( )2

− 1

3×108 m/s( )2− 320 m/s( )2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟= 1,6 ×10−20 s

18★ l = � t1 − � t2

2c

c2 − v2 −1

c2 − v2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

= 1,5 ×10−19 s

23×108 m/s

3×108 m/s( )2− 350 m/s( )2

− 1

3×108 m/s( )2− 350 m/s( )2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

= 33 m

19★★ Pedice 1 = braccio parallelo al vento d’etere; pedice 2 = braccio perpendicolare al vento d’etere. I tempi di percorrenza dei due bracci sono:

� t1 =4lc

c2 − v2 = 4lc

1

1− v2

c2

� t2 =2l

c2 − v2= 2l

c1

1− v2

c2

Usando le approssimazioni indicate

� t1 − � t2 = 2l2c

c2 − v2 −1

c2 − v2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2l

c2

1− v2

c2

− 1

1− v2

c2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟≈

≈ 2lc

2 1+ v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 1+ 1

2v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 2l 1+ 3

2v2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2l

c1+1,5 ×10−6( )

20★★ Impongo che la differenza dei tempi di percorrenza dei bracci sia uguale a mezzo periodo di oscillazione della luce. Si ricava l’espressione


4

� t1 − � t2 = 2lc

c2 − v2 −1

c2 − v2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2l

c2

1− v2

c2

− 1

1− v2

c2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟= T

2= 1

2 f= λ

2c

Ponendo

x = 1

1− v2

c2

la relazione precedente porta all’equazione

x2 − x − λ4l

= 0

la cui unica soluzione accettabile è

x =1+ 1+ λ

l2

Da questa si ricava

1− v2

c2 = 2

1+ 1+ λl

e infine si giunge al valore richiesto:

v = c 1− 4

1+ 1+ λl

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 = 3,00 ×105 km/s( ) 1− 4

1+ 1+ 5,00 ×10−7 m2,25 m

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 = 1,0 ×102 km/s

21★★ Indichiamo con L = 6 ×108( )λ la distanza percorsa dai due raggi nei bracci dell’interferometro. La distanza percorsa dalla luce nell’intervallo di tempo indicato è

d = c � t1 − � t2( ) = cLc

c2 − v2 −1

c2 − v2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= c 6,0 ×108( )λ c

c2 − v2 −1

c2 − v2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Questa distanza corrisponde a un numero di lunghezze d’onda pari a

dλ= 6,0 ×108( ) c2

c2 − v2 −c

c2 − v2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 6,0 ×108( ) 1

1− v2

c2

− 1

1− v2

c2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

= 6,0 ×108( ) 1

1− 15 km/s300 000 km/s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 −1

1− 15 km/s300 000 km/s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= 6,0 ×108( ) 1,25 ×10−9( ) = 0,75


5

3 GLI ASSIOMI DELLA TEORIA DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA 22 Einstein estende il principio di relatività galileiana, formulato da Galilei per i fenomeni meccanici e i sistemi di riferimento inerziali, a tutti i fenomeni fisici, in particolare a quelli elettromagnetici (sempre per i sistemi di riferimento inerziali). 23 Ristretta, cioè limitata, ai sistemi di riferimento inerziali. La teoria della relatività generale vale per tutti i sistemi di riferimento. 4 LA SIMULTANEITÀ 24 La risposta dipende dal sistema di riferimento dell’osservatore; secondo un osservatore sul treno i due raggi di luce giungono contemporaneamente alle pareti, mentre secondo un osservatore fermo a terra no. 25 No, nel sistema del capostazione il passeggero va incontro alla luce che proviene dalla testa del treno, mentre si allontana da quella emessa in coda. La luce emessa dalla testa del treno percorre quindi una distanza inferiore per raggiungere il passeggero. Poiché i segnali luminosi raggiungono il passeggero contemporaneamente, quello in testa è stato emesso dopo quello in coda. 26 Sì: se due eventi avvengono nello stesso punto allo stesso istante in un sistema di riferimento inerziale, allora avvengono contemporaneamente nello stesso punto anche in qualsiasi altro sistema di riferimento inerziale. 27★★ Le equazioni del moto dei due raggi di luce 1 e 2 e del passeggero P sono:

x1 = ct

x2 = L − ct

xP = L2+ vt

I tempi di arrivo dei due segnali sono ottenuti ponendo x1 = xP e x2 = xP :

ct1 =L2+ vt1 ⇒ t1 =

L2 c − v( )

L − ct2 =L2+ vt2 ⇒ t2 =

L2 c + v( )

I due eventi sono separati temporalmente dall’intervallo

� t = t1 − t2 =L

2 c − v( ) −L

2 c + v( ) =Lv

c2 − v2 =


6

=70 m( ) 800 ×103

3600 m/s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3,00 ×108 m/s( )2− 800 ×103

3600 m/s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 = 1,7 ×10−13 s

28★★ Poiché il passeggero va incontro al lampo emesso dalla testa, questo lo raggiungerebbe prima se il passeggero si trovasse nel centro, quindi il passeggero è più indietro di un tratto d. Poniamo in coda la posizione x = 0. Le equazioni del moto del passeggero P e dei due raggi di luce 1 e 2 sono:

x1 = ct

x2 = L − ct

xP = L2− d + vt


ct1 =L2− d + vt1 ⇒ t1 =

L2− d

c − v

L − ct2 =L2− d + vt2 ⇒ t2 =

L2+ d

c + v

Uguagliando le due espressioni per i due istanti di tempo si ottiene:

d = Lv2c

=350 m( ) 400 ×103

3600 m/s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 3,00 ×108 m/s( ) = 6,5 ×10−5 m

29★★ Poniamo in coda all’astronave la posizione x = 0. Le equazioni del moto del centro dell’astronave e dei due raggi di luce sono:

x1 = ct

x2 = L − ct

xC = L2+ vt

I tempi di arrivo dei due segnali sono ottenuti ponendo x1 = xC e x2 = xC :

ct1 =L2+ vt1 ⇒ t1 =

L2 c − v( )

L − ct2 =L2+ vt2 ⇒ t2 =

L2 c + v( )



7

� t = t1 − t2 =L

2 c − v( ) −L

2 c + v( ) =Lv

c2 − v2 =

Da quest’ultima relazione, ponendo � t = 1,0 ×10−9 s , si ottiene

v = − L2� t

+ L2� t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ c2 =

= − 1,2 ×103 m2 1,0 ×10−9 s( ) +

1,2 ×103 m2 1,0 ×10−9 s( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

+ 3,00 ×108 m/s( )2= 7,5 ×104 m/s

30★★ Le equazioni del moto del passeggero P e dei due raggi di luce 1 e 2 sono:

x1 = ct

x2 = L − ct

xP = L − d + vt


ct1 = L − d + vt1 ⇒ t1 =L − dc − v

L − ct2 = L − d + vt2 ⇒ t2 =d

c + v


� t = t1 − t2 =L − dc − v

− dc + v

=

= 304 m

3,00 ×108 m/s( )− 3003,6

m/s⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 50 m

3,00 ×108 m/s( ) + 3003,6

m/s⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 8,5 ×10−7 s

5 DILATAZIONE DEI TEMPI 31 Falso, la dilatazione dei tempi riguarda tutti i fenomeni: se così non fosse, un osservatore in moto potrebbe dedurre la velocità del proprio moto, violando il principio di relatività. 32 No, perché la velocità dell’oggetto è diversa secondo i due osservatori, mentre quella della luce è la stessa secondo entrambi. 33 Anche per l’osservatore B l’orologio di A va più lentamente. 34 No, chi è in moto rispetto a un osservatore ha un tempo rallentato (dilatato) secondo un fattore di dilatazione che dipende dal modulo della velocità, non dal suo segno, ed è sempre maggiore di 1.


8

35 No. È importante sottolineare che la dilatazione dei tempi riguarda gli intervalli di tempi misurati, non quelli osservati. Nell’osservazione va anche tenuto conto del ritardo dovuto alla velocità finita di propagazione della luce. 36★ β = v

c= 0,56 c

c= 0,56

γ = 1

1−β2= 1

1− 0,56( )2= 1,2

37★ L’intervallo di tempo � t = 10 a è il tempo proprio del fenomeno, perché è misurato nel sistema di riferimento in cui l’astronave è ferma. Pertanto

� ′t = γ � t = 1

1−β2� t = 1

1− 0,99( )212 a( ) = 85 a

38★ • Il tempo impiegato dai raggi di luce per giungere sulla Terra è

� t = � xc

=15 1,496 ×1011 m( )

3,00 ×108 m/s= 7480 s = 2 h 4 min 40 s

quindi i raggi luminosi arrivano sulla Terra alle ore 12. • Dalla legge della dilatazione dei tempi si ricava

� ′t = � t

1− v2

c2

= 30�min1− 0,49

= 42�min

39★★ � ′t = � t

1− v2

c2

= 2� t

1− v2

c2 = 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 14

v = 32

c = 0,87 c

40★★ � ′t = � t

1− v2

c2

= 30� t


9

1− v2

c2 = 130

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 1900

v = 89930

c

c − v = 1− 89930

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟c = 1, 7 ×102 km/s

41★★ � ′t = � t

1− v2

c2

= 1,15� t

1− v2

c2 = 11,15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

v = 1− 11,15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

c = 0,49 c

42★★ Nel primo caso:

� t1 =� t0

1− v12

c2

= 1,3� t0

v1

c= 0,69

1,3

Nel secondo caso:

� t2 =� t0

1− v22

c2

= 1,6� t0

v2

c= 1,56

1,6

Da queste relazioni si ottiene l’aumento percentuale richiesto:

v2 − v1

v1

= v2

v1

−1= 1,560,69

1,31,6

−1= 0,22

43★★ Il fattore di dilatazione temporale è

γ = 1

1−β2

Il tempo trascorso secondo l’orologio A è


10

� t = γ � τ = 1

1− 0,22( )246 s( ) = 47 s

6 LA CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE 44 No, anche per l’osservatore O2 la sbarra dell’altro osservatore, in moto rispetto a lui, è più corta. 45 No; il modo in cui l’abbiamo dimostrata non usa concetti di ottica (a parte la velocità della luce), ma si basa su un’analisi critica del concetto di misurazione della lunghezza di un oggetto in movimento. 46 Entrambi i ragionamenti sono corretti. La chiave della spiegazione sta nelle tre parole «nello stesso istante». La simultaneità è un concetto relativo, quindi la chiusura delle due porte, che sono due eventi simultanei secondo la persona accanto al garage, non avviene allo stesso istante per l’autista dell’auto. 47★

L = L0 1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= L0

2

v = 32

c = 0,87 c

48★

L = L0 1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 23

L0

v = 53

c = 53

3,0 ×108 m/s( ) = 2,2 ×108 m/s = 0,75 c

49★

� ′x = 1−β2 � x = 1− 8,7 ×107 m/s3,0 ×108 m/s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

4,0 m( ) = 3,8 m

50★★

• L = L0 1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 50 m( ) 1− 3,0 ×105 m/s3,0 ×108 m/s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 50 m

• L = L0 1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 50 m( ) 1− 0,999( )2 = 2,2 m

51★★ Indichiamo con L0 la lunghezza a riposo della sbarra, con L e ′L le lunghezze della sbarra prima e


11

dopo l’aumento di velocità, con e con β e ′β i fattori v/c prima e dopo. Le relazioni tra questi valori sono:

′L = 0, 7�L

′β = 1,2�β

′L = 1− ′β 2 L0

L = 1−β2 L0

Da queste relazioni si ricava

1−1,44�β2 = 0, 7 1−β2

β = 0,510,95

= 0, 73

quindi v = 0,73�c . 52★★ • Il raggio di luce impiega 4,2 anni a raggiungere la Terra. Nel sistema di riferimento

dell’astronauta la Terra viene incontro all’astronave a velocità c/2. La distanza tra la Terra e Proxima Centauri appare contratta:

d = 1− v2

c2 d0 = 1− 14

d0 =3

2d0

• Con d0 = 4,2 anni-luce , il tempo impiegato dall’astronave è

� t = dv= 2d

c= 3

cd0 =

3c

4,2 a-l( ) = 3 4,2 a-l( ) = 7, 3 a-l

7 L’INVARIANZA DELLE LUNGHEZZE PERPENDICOLARI AL MOTO RELATIVO 53 No, la componente verticale della sua lunghezza resta invariata, ma quella longitudinale si contrae. La lunghezza dell’asta quindi risulta minore di L0. 54 Dal momento che l’altezza è perpendicolare alla base, la sua lunghezza non varia quando è in moto. Pertanto anche l’area del triangolo si riduce di un fattore

γ = 1−β2 55 Poiché gli altri due spigoli sono perpendicolari al primo, la loro lunghezza non varia quando il parallelepipedo è in moto. Pertanto anche il volume del parallelepipedo si riduce di un fattore

γ = 1−β2 56 La base del cono è identica, solo l’altezza si contrae.


12

57★★ • Il lato del quadrato è

L0 = A = 20,0 cm

Nel sistema di riferimento dell’elettrone, il lato parallelo alla sua direzione di moto è più corto:

L = 1− v2

c2 L0 = 1− 0,80( )2 L0 = 0,60�L0 = 0,60 20,0 cm( ) = 12 cm

Nel sistema di riferimento dell’elettrone, l’area della piastra vale

′A = L0L = 20 cm( ) 12 cm( ) = 3,2 ×102 cm2

• Uno degli angoli acuti vale

α = arctgL0

L= arctg

20 cm12 cm

= 59°

L’altro angolo acuto è complementare al primo e misura quindi 31°. 58★★ Tutti e tre i lati del triangolo subiscono contrazione, ma in modo diverso. L’altezza del triangolo rimane invariata:

h = 32

L0 = 2,8 cm

La base, parallela alla velocità del fascio, subisce la contrazione delle lunghezze:

b = 1− v2

c2 L0 = 1− 0,95( )2 3,2 cm( ) = 1,0 cm

Ciascuno degli angoli alla base misura

α = arctgh

b / 2= arctg

2,8 cm0,50 cm

= arctg 5,6( ) = 80°

Ciascun lato obliquo misura

L = b / 2cosα

= 2,9 cm

Infine, il perimetro è

P = b + 2L = 6,8 cm 59★★ Indichiamo con a la lunghezza della base e del lato obliquo (poiché è imposto che abbiano la stessa lunghezza) nel sistema di riferimento richiesto. Il lato obliquo è legato alla base dalla legge della contrazione

a = 1−β2 b

Solo «la componente» orizzontale lx del lato obliquo subisce analoga contrazione:

lx = 1−β2 lx0 = 1−β2 l cos 75°

mentre resta invariata «la componente» verticale (cioè l’altezza del parallelogramma):


13

ly = l sen 75°

Imponendo la condizione richiesta

a = lx2 + ly

2

1−β2 b = 1−β2( ) l cos 75°( )2 − l sen 75°( )2

si ottiene:

1−β2( )b2 = 1−β2( ) l cos 75°( )2 + l sen 75°( )2

1−β2( ) = l sen 75°( )2

b2 − l cos 75°( )2

β = b2 − l2

b2 − l2 cos2 75°=

5,0 cm( )2 − 3,0 cm( )2

5,0 cm( )2 − 3,0 cm( )2 cos2 75°= 0,81

quindi v = 0,81�c . 60★★ L’altezza del triangolo si contrae di un fattore 1−β2 , mentre la base è perpendicolare al moto dell’elettrone e non subisce variazioni.

Pertanto, anche l’area del triangolo si contrae di un fattore 1−β2 e risulta:

A = 1−β2 A0 = 1−β2 12

l2 sen60° = 1− 0,98( )2 12

4,0 cm( )2 sen60° = 1, 4 cm2

61★★ L’altezza del triangolo si contrae di un fattore 1−β2 , mentre la base è perpendicolare al moto dell’elettrone e non subisce variazioni.

Pertanto, anche l’area del triangolo si contrae di un fattore 1−β2 e risulta:

A = 1−β2 A0 =12

A0

Quindi

1−β2 = 14

β = 32

e la velocità risulta

v = 32

c = 32

3,0 ×108 m/s( ) = 2,6 ×108 m/s


14

8 LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ 62 ′x = x

′y = y

′z = γ z − vt( )

′t = γ t − vc2 z⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

63★ Il fattore γ è

γ = 1

1−β2= 1

1− 0,702= 1

0,51

Le trasformazioni di Lorentz danno i seguenti risultati:

′x = γ x − vt( ) = 10,51

1,0 ×105 m( ) + 0,7( ) 3,0 ×108 m/s( ) 5,0 ×10−4 s( )⎡⎣ ⎤⎦ = 2,9 ×102 km

′t = γ t − vxc2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

10,51

5,0 ×10−4 s( ) + 0,70( ) 1,0 ×105 m( )3,0 ×108 m/s

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= 1,0 ×10−3 s

64★★

β = vc= 2

3

γ = 1

1−β2= 3

5

′x = γ x − vt( ) = 35

40 m( )− 2,0 ×108 m/s( ) 0,1×10−6 s( )⎡⎣ ⎤⎦ = 27 m

′t = γ t − vc2 x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

35

0,1×10−6 s( )− 2,0 ×108 m/s3,0 ×108 m/s

40 m( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 1,5 ×10−8 s

65★★ γ = 1

1−β2= 1

1− 0,60( )2= 1

0,64= 1

0,8= 1,25

Le trasformazioni di Lorentz danno i seguenti risultati:

′x = γ x1 − vt1( ) = 1,25 0,8 m( ) + 0,60( ) 3,0 ×108 m/s( ) 15 ×10−9 s( )⎡⎣ ⎤⎦ = 4,4 m

′t = γ t1 −vx1

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1,25 15 ×10−9 s( ) + 0,60( ) 0,80 m( )

3,0 ×108 m/s⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 2,1×10−8 s


15

66★★ Imponendo ′t2 < ′t1 , con le trasformazioni di Lorentz si ottiene:

γ t2 −vx2

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ < γ t1 −

vx1

c2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

da cui risulta

v > t2 − t1

x2 − x1

c2

v > 1,0 ns3,0 m

3,0 ×108 m/s( )2= 1

10c

67★★ β = − 1

4

γ = 1

1− v2

c2

= 1

1− − 14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2= 1

1516

= 415

Con le trasformazioni di Lorentz si ottiene:

′x1 = γ x1 − vt1( ) = 415

3,0 m( ) + 14

3,0 ×108 m/s( ) 1,0 ×10−9 s( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 3,2 m

′t1 = γ t1 −βc

x1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

415

1,0 ×10−9 s( ) + 14 3,0 ×108 m/s( ) 3,0 m( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= 3,6 ns

′x2 = γ x2 − vt2( ) = 415

8,2 m( ) + 14

3,0 ×108 m/s( ) 2,0 ×10−9 s( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 8,6 m 68

′t2 = γ t2 −βc

x2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

415

2,0 ×10−9 s( ) + 14 3,0 ×108 m/s( ) 8,2 m( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= 9,1 ns

68★★ • β = − 3

4

γ = 1

1−β2= 1

1− 916

= 47

Dalle trasformazioni di Lorentz si ricava:

′x1 = γ x1 − vt1( ) = 47

3,0 m( ) = 4,5 m

′t1 = γ t1 −βc

x1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

47

34c

3,0 m( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 1,1×10−8 s


16

′x2 = γ x2 − vt2( ) = 47

45

ct2 − − 34

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ t2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 31

5 73,0 ×108 m/s( ) 0,30 ×10−6 s( ) = 210 m

′t2 = γ t2 −βc

x2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

47

t2 − − 34c

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

45

ct2

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 4

785

t2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 32

5 70,30 ×10−6 s( ) = 7,3×10−7 s

• La velocità del robot rispetto alla base spaziale è

u = x2 − x1

t2 − t1

=

45

3,0 ×108 m/s( ) 0,30 ×10−6 s( )− 3,0 m( )0,30 ×10−6 s

= 2,3×108 m/s

La velocità del robot rispetto alla Terra è

′u = ′x2 − ′x1

′t2 − ′t1

= 210 m� −�3,0 m7,3×10−7 s� −�1,1×10−8 s

= 2,9 ×108 m/s

• L’aereo di linea vola a velocità non relativistica, quindi sono più opportune le trasformazioni di Galileo.

9 L’EFFETTO DOPPLER RELATIVISTICO 69 Poiché la luce appare spostata verso il rosso, la stella si allontana da noi. 70 Nel moto di avvicinamento, le frequenza aumentano, quindi le lunghezze d’onda diminuiscono. 71★ β = v

c= 1

10

′f = f1−β1+β

= 3,1×1015 Hz( ) 0,91,1

= 2,8 ×1015 Hz

72★ Poiché la frequenza aumenta, il sistema di riferimento deve avvicinarsi alla sorgente. Dalla formula dell’effetto Doppler relativistico si ricava

β =

′ff

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

−1

′ff

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+1

= 0,442,44

= 0,18

Quindi la velocità è

v = βc = 0,18( ) 3,0 ×108 m/s( ) = 5, 4 ×107 m/s 73★ β = v

c= 1

6


17

Dalla formula dell’effetto Doppler relativistico e dalla definizione del redshift si ottiene:

z = f′f−1= 1+β

1−β−1= 7

5−1= 0,18

74★★ La frequenza diminuisce (la lunghezza d’onda aumenta), quindi sorgente e ricevitore si stanno allontanando. Poiché

λ = cf

dalla formula dell’effetto Doppler si ricava

′λ = λ 1+β1−β

1+β1−β

= ′λλ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 520 nm500 nm

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 1,04( )2

quindi

β =

′λλ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

−1

′λλ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+1

= 0,039

La velocità della sorgente è

v = βc = 0,039( ) 3,0 ×108 m/s( ) = 1,2 ×107 m/s 75★★

′λ = c′f= c

f1+β1−β

= λ 1−β1+β

= 520 nm( ) 15= 233 nm

76★★ La frequenza della luce della stella che si allontana, osservata dall’astronomo è

f = f11−β1+β

Quella della stella che si avvicina, sempre osservata dall’astronomo è

f = f2

1+β1−β


f2 = f1−β1+β

= f11−β1+β

= 5,2 ×1014 Hz( )1− 0,0501+ 0,050

= 4,7 ×1014 Hz


18

77★★ Dalle formule del redshift e dell’effetto Doppler relativistico si ricava

zA = f′f−1= 1+βA

1−βA

−1

1+βA

1−βA

= zA +1( )2 = 4

βA = 35

zB = f′f−1= 1+βB

1−βB

−1

1+βB

1−βB

= zB +1( )2 = 9

βB = 45

zC = f′f−1= 1+βC

1−βC

−1

1+βC

1−βC

= zC +1( )2 = 16

βC = 1517


vA = 35

c

vB = 45

c

vC = 1517

c

78★★

β =1− ′f

f⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

1+ ′ff

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 = 725

v = βc = 725

3,0 ×108 m/s( ) = 8,4 ×107 m/s


19

PROBLEMI GENERALI 1★★ Il problema è svolto nel sistema di riferimento dell’astronomo e le stelle sono considerate fisse. L’aumento di intensità luminosa nelle due stelle avviene a distanza di 0,2 anni. Quando si verifica il secondo aumento di intensità (quello della stella più vicina), il raggio di luce del primo aumento (quello della stella più lontana) ha già percorso 0,2 anni-luce. I due raggi devono ancora coprire una distanza di 2,0 anni luce, dunque si incontrano a 1 anno-luce dalla stella più vicina e a 1,2 anni-luce dalla stella più lontana. 2★★ Nell’istante in cui viene emesso il secondo lampo, il primo ha percorso 35,7 nanosecondi-luce, quindi la distanza tra i due lampi di luce è 43,9 nanosecondi-luce – 35,7 nanosecondi-luce = 8,2 nanosecondi-luce Il rivelatore è posto a metà di questa distanza, cioè a 4,1 nanosecondi-luce dal punto della seconda collisione. 3★★ β = v

c= 30 km/s

3,0 ×105 km/s= 1,0 ×10−4

• La differenza � t è

� t1 − � t2 = 2Lc

c2 − v2 −1

c2 − v2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2L

c1

1−β2 −1

1−β2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

= 2 1,1 m( ) 1

1− 10−4( )2 −1

1− 10−4( )2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 3,7 ×10−17 s

• La distanza percorsa dalla luce nell’intervallo di tempo � t i può esprimere come

r = c� tλ

=3,0 ×108 m/s( ) 3, 7 ×10−17 s( )

5,89 ×10−7 m= 0,019

4★★ Dalle equazioni di Lorentz si ha:

′t1 = γ t1 −vc2 x1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′t2 = γ t2 −vc2 x2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Imponendo la simultaneità in ′S si ha

′t1 = ′t2 ⇒ γ t1 −vc2 x1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = γ t2 −

vc2 x2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

da cui si ricava

v = c2 t2 − t1

x2 − x1

= 3,0 ×108 m/s( ) −0,10 s6,0 ×1010 m

= −1,5 ×102 km/s


20

5★★ Indichiamo con � tA l’intervallo di tempo misurato da A e con � tB l’intervallo di tempo misurato da B. Secondo la formula della dilatazione dei tempi si ha

� tB = 1γ

� tA = 0,9� tA

e quindi

v = βc = 1− 1γ 2 c = 1− 0,81 c = 0,44 c

6★★ Nel sistema di riferimento dell’automobile, il tunnel ha velocità

vt = − 32

c

e la sua lunghezza ′L è contratta:

′L = 1−β2 L = 1− 34

L = L2

e il tempo necessario a percorrerlo è

� t = ′Lv= L / 2

v= 25 m

32

3,0 ×108 m/s( )= 9,6 ×10−8 s

7★★ Nel sistema solidale con l’asta le «componenti» verticale e orizzontale dell’asta sono uguali:

Lx0 = Ly0 =2

2L0

La «componente» verticale dell’asta perpendicolare alla direzione del moto è

Ly =2

2L0

e rimane invariata, mentre la «componente» orizzontale si contrae:

Lx = 1−β2 22

L0

L’angolo ϕ formato con la direzione orizzontale è dato da

ϕ = arctgLy

Lx

= arctg1

1−β2= arctg

1

1− 0,60( )2= 51°

8★★ • Nel sistema di riferimento del razzo la luce impiega un tempo pari a

t0 =Lc= 150 m

3,0 ×108 m/s= 5,0 ×10−7 s


21

• Nel sistema di riferimento della stazione spaziale il razzo è contratto:

′L = 1−β2 L = 1− 0,60( )2 L = 0,80 L = 1,2 ×102 m

(abbiamo fissato x = 0 m nel punto in cui la luce viene emessa). Questa è anche la coordinata x0 della prua del razzo all’istante iniziale. Le leggi del moto del raggio di luce (L) e della prua del razzo (R) sono

XL = ct

XR = x0 + vt = ′L + vt

Uguagliando le due posizioni si ottiene

t1 =′L

c − v= ′L

0,40 c= 120 m

0,40( ) 3,0 ×108 m/s( ) = 1,0 ×10−6 s

cioè il tempo t1 impiegato dalla luce a raggiungere la prua nel sistema di riferimento della stazione spaziale. • Il raggio luminoso raggiunge la prua del razzo alla distanza

xL t1( ) = ct1 =′L

0,4= 1,2 ×102 m

0,40= 3,0 ×102 m

9★★ Con sorgente e ricevitore in allontanamento si ha

β =1− ′f

f⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

1+ ′ff

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 =1− 120 MHz

180 MHz⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

1+ 120 MHz180 MHz

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 = 513

= 0, 38

10★★ • Il diametro lungo la direzione di moto si accorcia, il diametro perpendicolare no, il cerchio si

deforma in un’ellisse. • Gli assi dell’ellisse sono

a = 2r = 64 cm

b = 2r 1−β2 = 64 cm( ) 1− 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 48 cm

11★★ Nel sistema di riferimento solidale con il fascio di elettroni, una diagonale di base e l’altezza sono invariate, mentre l’altra diagonale di base è contratta. I valori delle due diagonali sono

d1 = a 2

d2 = 1−β2 d1 = 1− 0,90( )2 d1

Il volume del parallelepipedo diventa

V = d1d2b2

=1− 0,90( )2 d1b

2= 1− 0,90( )2 a2b = 1− 0,90( )2 4,6 cm( )2 1,2 cm( ) = 11 cm3


22

12★★ Dalla formula dell’effetto Doppler relativistico si ha

β =

′ff

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

−1

′ff

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+1

=

λ′λ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

−1

λ′λ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+1

Il minimo valore della velocità si ricava con la lunghezza d’onda maggiore:

βmin ==

λλmax

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

−1

λλmax

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+1

=

700 nm570 nm

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

−1

700 nm570 nm

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+1

= 0,20

Il massimo valore della velocità si ricava con la lunghezza d’onda minore:

βmax ==

λλmin

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

−1

λλmin

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+1

=

700 nm470 nm

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

−1

700 nm470 nm

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+1

= 0,38

13★★★ Le equazioni delle trasformazioni di Lorentz per le coordinate x e t sono:

′x = γ x −βct( )

′t = γ t − βc

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′′x = ′γ ′x − ′β c ′t( )

′′t = ′γ ′t − ′βc

′x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Sostituendo si ricava

′′x = γ ′γ 1+β ′β( )x − v + ′v( )t⎡⎣ ⎤⎦

′′t = γ ′γ 1+β ′β( )t − β + ′βc

x⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

14★★★ I parametri β e γ delle equazioni relative a S e ′S sono:

β = 34

γ = 1

1−β2= 1

1− 916

= 47


23

e quelli delle equazioni relative a ′S e ′′S sono:

′β = 25

′γ = 1

1− ′β 2= 1

1− 425

= 521

Le equazioni delle trasformazioni di Lorentz da S a ′′S sono:

′′x = γ ′γ 1+β ′β( )x − v + ′v( )t⎡⎣ ⎤⎦ =20147

1310

x − 2320

ct⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1147

26x − 23ct( )

′′t = γ ′γ 1+β ′β( )t − β + ′βc

x⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 20

1471310

t − 2320c

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1147

26t − 23c

x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

L’elettrone, negli istanti t1 e t2, occupa la posizione x1 = x2 = x0. Le componenti coordinate in ′′S sono:

′′x1 =1147

26x0 − 23ct1( )

′′t1 =1147

26t1 −23c

x0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′′x2 =1147

26x0 − 23ct2( )

′′t2 =1147

26t2 −23c

x0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

La velocità dell’elettrone in ′′S quindi è

′′u = ′′x2 − ′′x1

′′t2 − ′′t1

=− 23

147c t2 − t1( )

26147

t2 − t1( )= − 23

26c = −0,88 c

15★★★ La dilatazione dei tempi non riguarda i tempi osservati (che hanno un ritardo temporale dovuto alla velocità finita della luce) ma i tempi misurati. Per risolvere il problema, pensiamo che la distanza percorsa dall’orologio (xO) nel tempo incognito ′t rispetto all’origine deve essere uguale alla distanza percorsa dalla luce (xL) nel tempo t − ′t ,

muovendosi però all’indietro, per tornare all’origine del sistema S, dove si trova l’osservatore A. Quindi possiamo scrivere:

xO = 12

c ′t

che è la distanza percorsa dall’orologio in moto nel tempo ′t a partire da ′t = 0 ;

xL = −c ′t − t( )

che è la distanza percorsa dalla luce nel tempo t − ′t . La luce emessa dall’orologio di B, che viene osservata al tempo t1 = 6,0 s, è stata emessa al tempo


24

′t1 < t1 ; analogamente, la luce emessa dall’orologio di B, che viene osservata al tempo t2 = 15 s, è stata emessa al tempo ′t2 < t2 . Uguagliando le distanze (considerando i due istanti t1 = 6,0 s e t2 = 15 s) si ricava:

12

c ′t1 = −c ′t1 − t1( ) ⇒ ′t1 =23

t1

12

c ′t2 = −c ′t2 − t2( ) ⇒ ′t2 =23

t2

Quindi:

′t2 − ′t1 =23

t2 − t1( ) = 23

9 s( ) = 6 s

16★★★ • Secondo la fisica classica:

dC = vτ = 0,98 cτ = 0,98 3,0 ×108 m/s( ) 2,20 ×10−6 s( ) = 6,5 ×102 m

• Secondo la teoria della relatività ristretta:

dC = vγτ = 0,98 cγτ = 0,981

1− 0,9823,0 ×108 m/s( ) 2,20 ×10−6 s( ) = 3,3×103 m

Quindi in questo caso, a causa della dilatazione dei tempi, il muone percorre una distanza maggiore. 17★★★ Nel sistema di riferimento del muone, a causa della contrazione delle lunghezze, si ha:

• distanza del muone dal suolo

dT = 1− 0,98( )2 h = 1− 0,98( )2 12 km( ) = 2, 4 km

• distanza del muone dal rilevatore

dR = 1− 0,98( )2 h − ′h( ) = 1− 0,98( )2 2 km( ) = 4,0 ×102 m

Il suolo e il rivelatore vanno incontro al muone a velocità

v = 0,98 c

Quindi prima che il muone decada, percorrono una distanza

d = vτ = 0,98 cτ = 0,98 3,0 ×108 m/s( ) 2,20 ×10−6 s( ) = 6,5 ×102 m

Il muone è quindi rivelato dal rivelatore.


25

TEST 1 B 2 C 3 B 4 C 5 D 6 B 7 D 8 D 9 C 10 A 11 A 12 B 13 C

LA RELATIVITÀ DEL TEMPO E DELLO SPAZIOromano/5GL/esercizi_vari/... · 2019-04-07 · Amaldi,...

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