Cap 30 - Istituto d'istruzione superiore J.M. Keynesromano/5GL/esercizi_vari/...Amaldi, L’Amaldi...

CAPITOLO 30

LA RELATIVITÀ RISTRETTA

1

1 L’INTERVALLO INVARIANTE 1 Negli intervalli di tipo tempo, la distanza spaziale tra gli eventi è minore della distanza percorsa dalla luce nell’intervallo di tempo tra i due eventi. Pertanto, dal punto nello spazio dell’evento E1 può partire una particella materiale, che raggiunge il punto dell’evento E2 quando si verifica. 2 Quando l’intervallo tra i due eventi è di tipo spazio, il quadrato dell’intervallo invariante è negativo, quindi �x non può essere nullo, ma �t sì. 3 Sì, poiché i due eventi sono causalmente indipendenti, non c’è alcun motivo perché l’uno preceda temporalmente l’altro. 4 Nel sistema di riferimento desiderato deve essere �x = 0 per cui l’intervallo invariante è di tipo tempo. 5★

� σ = c� t( )2 − � x( )2 = 3,0 ×108 m/s( )214,6 ns�−�3, 4 ns( )2 − 4,1 m�−�2,1 m( )2 = 2, 7 m

6★ Invertendo la formula dell’intervallo invariante si ricava

� t =� σ( )2 − � x( )2

c=

3,3 m( )2 + 3,5 m( )2

3,0 ×108 m/s= 16 ns

7★ c� t = 3,00 ×108 m/s( ) 7,44 µs�−�1, 31 µs( ) = 1839 m

� x = 880 m�−�250 m = 630 m

� y = 790 m

� z = 450 m

L’intervallo invariante è

� σ = c� t( )2 − � x( )2 − � y( )2 − � z( )2 =

= 1839 m( )2 − 630 m( )2 − 790 m( )2 − 450 m( )2 = 1,47 ×103 m

Amaldi, L’Amaldi per i licei scientifici.blu CAPITOLO 30 • LA RELATIVITÀ RISTRETTA

2

8★ Indichiamo con d e ′d la distanza spaziale tra i due eventi nei due sistemi. Imponendo che i due intervalli invarianti nei due sistemi di riferimento siano uguali si ottiene:

c� t( )2 − d 2 = c� ′t( )2 − ′d 2

′d = d 2 + c� ′t( )2 − c� t( )2 = c� ′t( )2 − c� t( )2 = c � ′t( )2 − � t( )2 =

= 3,0 ×108 m/s( ) 2,1 s( )2 − 2,0 s( )2 = 1,9 ×108 m 9★ Usando l’intervallo invariante si ottiene:

� ′t = � t 2 − � xc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 6,2 ×10−6 s( )2− 1,5 ×103 m

3,0 ×108 m/s⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 3,7 ×10−6 s

10★★ Indichiamo con d la distanza percorsa dalla particella. Uguagliando gli intervalli invarianti dei due sistemi di riferimento si ha

2c� τ( )2 − d 2 = c� τ( )2

Da qui si ottiene l’espressione della distanza percorsa:

d = 3c� τ

e quindi la velocità

v = d2� τ

= 3c� τ2� τ

= 32

c = 0,87 c

11★★ • L’evento A ha coordinate

tA , xA , yA( ) = 0 s,�1,0 m,�0 m( )

Dalla formula del moto circolare uniforme, si ricava il periodo:

T = 2πrv

= 4πrc

=4π 1,0 m( )

3,0 ×108 m/s= 4,2 ×10−8 s

• L’evento B ha coordinate

tB , xB , yB( ) = T4

,�0,0 m,� ±1,0 m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

πrc

,�1,0 m,�0�m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

L’intervallo invariante è

� σ = c� t( )2 − � x( )2 − � y( )2 − � z( )2 =

= πr( )2 − � x( )2 − � y( )2 = π m( )2 − 2 1,0 m( )2 = 2,8 m


3

12★★ • L’intervallo invariante è

� σ = c� t( )2 − � x( )2 = 3,0 ×108 m/s( ) 1,2 ×10−8 s( )⎡⎣ ⎤⎦2− 3,5 m( )2 = 0,84 m

Poiché l’intervallo invariante è di tipo tempo, i due eventi possono avvenire nello stesso posto. • In tal caso, l’intervallo di tempo che li separa è

� t =� σ( )2

c= 0,84 m

3,0 ×108 m/s= 2,8 ns

13★★ • Il quadrato dell’intervallo invariante è

� σ( )2 = c� t( )2 − � x( )2 = 3,0 ×108 m/s( ) 0,4 ×10−8 s( )⎡⎣ ⎤⎦2− 8,1 m( )2 = −6 ×10 m2

Poiché l’intervallo invariante è di tipo spazio, i due eventi possono avvenire contemporaneamente. • In tal caso, la distanza spaziale che li separa è

� x = − � σ( )2 = 6 ×10 m2 = 8 m 14★★ • La velocità dell’astronave è

v = d� t

= 25 a-l28 a

= 0,89 c

• La durata del viaggio secondo gli orologi a bordo dell’astronave è

c� τ = c� t( )2 − d 2 = c 28 a( )⎡⎣ ⎤⎦2 − 25 a.l.( )2 =

= 28 a-l( )2 − 25 a-l( )2 = 13 a.l.

Quindi gli orologi a bordo segnano che sono trascorsi 13 anni. 15★★ • Uguagliando gli intervalli invarianti dei due sistemi di riferimento si ottiene:

� t = � τ( )2 + d2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 2,20 ×10−6 s( )2+ 6,40 ×103 m

3,00 ×108 m/s⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2

= 2,14 ×10−5 s

• La velocità del mesone è

v = dc� t

c = 6, 40 ×103 m3,00 ×10−8 m/s( ) 2,14 ×10−5 s( ) c = 0,99 c

16★★ • L’asse ′x è rappresentato dall’equazione c ′t = 0 . Analogamente l’asse c ′t è rappresentato

dall’equazione ′x = 0 . Dalle trasformazioni di Lorentz si ricavano le equazioni degli assi del sistema di riferimento ′S nel sistema di riferimento S.


4

• Asse c ′t :

′x = γ x −βct( ) = 0 ⇒ x = βct = 12

ct ⇒ ct = 2x

• Asse ′x :

c ′t = γ ct −βx( ) = 0 ⇒ ct = βx = 12

x

La figura mostra gli assi del sistema ′S nel sistema S:

ct (m)

x (m)0

1

1–1

–1

2

2

–2

–2

–3

–3

–4

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8 9

ct'

x'

• Gli eventi simultanei ad A nel sistema ′S sono i punti di rette parallele all’asse ′x . Poiché A è sull’asse ′x , tutti gli eventi dell’asse ′x sono simultanei ad A. Tracciando le rette per i punti A, B, C parallele all’asse ′x si ottengono gli eventi simultanei a ciascuno dei tre eventi.


5

ct (m)

x (m)0

1

1–1

–1

2

2

–2

–2

–3

–3

–4

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8 9

AB C

ct'

x'

• Nel sistema di riferimento ′S la sequenza temporale dei tre eventi è C, A, B. 2 LO SPAZIO-TEMPO 17 Gli intervalli di tipo luce hanno intervallo invariante nullo:

c2t 2 = x2 per cui

ct ± x = 0 Questa equazione rappresenta le rette bisettrici dei quadranti del piano (le linee tratteggiate nella figura). Gli intervalli di tipo tempo hanno

c2t 2 > x2 quindi gli eventi richiesti sono quelli dell’area verde. Infine, per esclusione, gli eventi separati dall’origine da intervalli di tipo spazio sono i punti dell’area bianca.


6

ct (m)

x (m)0

1

1

–1

–1

2

2

–2

–2

–3

–3–4–5–6

–4

–5

–6

3

3

4

4

5

5

6

6

18 Tutte le coppie di punti su ciascuna bisettrice del piano (ct, x) sono separate da intervalli di tipo luce. Inoltre, l’equazione dell’intervallo invariante di tipo luce è l’equazione di un cono infinito nello spazio di Minkowski. Per comprendere questa proprietà, si può aggiungere una seconda coordinata spaziale, per esempio y, allo spazio di Minkowski (vedi figura).


7

19 La figura mostra i coni di luce relativi ai punti A, B e C (linee rosse, azzurre e verdi): i punti interni a entrambi i coni di B e C, con tempi maggiori di tB e tC, indicati con il fondo arancio, sono gli eventi che hanno distanza di tipo tempo da B e C. Dalla figura è evidente che questi eventi sono anche successivi ad A e all’interno del suo cono di luce (linee rosse).

ct (m)

A

C

B

x (m)0

1

1

–1

–1

2

2

–2

–2

–3

–3–4–5–6–7

–4

–5

–6

3

3

4

4

5

5

6

6 7 8 9

20★★ • � σ( )2 = c� t( )2 − � x( )2 = 1,0 m( )2 − 3,0 m( )2 = −8,0 m2

• I punti che hanno lo stesso intervallo invariante rispetto a O, soddisfano l’equazione

c2t 2 − x2 = −8,0 m2

Questi punti P(x, y) nel piano di Minkowski giacciono su un’iperbole.


8

21★★ • Il moto del protone è rettilineo:

ct (μs-luce)

x (μs-luce)0

1

1–1

–1

2

2

–2

–2

–3

–3

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

• Gli assi c ′t e ′x sono definiti rispettivamente dalle equazioni:

′x = 0 m

c ′t = 0 s Dalle trasformazioni di Lorentz si ricava:

′x = 0 ⇒ x − vt = 0 ⇒ x − 12

ct = 0 ⇒ ct = 2x

c ′t = 0 ⇒ c ′t = ct − vc

x = ct − 12

x = 0 ⇒ ct = 12

x

Nel grafico sono mostrati solo i semiassi positivi:


9

ct (μs-luce)

x (μs-luce)0

1

1–1

–1

2

2

–2

–2

–3

–3

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

assect'

assex'

• Rispetto al sistema ′S solidale con i protoni, il laboratorio ha velocità

v = − c2

Gli assi ct e x sono definiti rispettivamente dalle equazioni

x = 0 m

ct = 0 s Dalle trasformazioni inverse di Lorentz si ricava:

x = 0 ⇒ ′x − v ′t = 0 ⇒ ′x + 12

c ′t = 0 ⇒ c ′t = −2 ′x

ct = 0 ⇒ ct = c ′t − vc

′x = c ′t + 12

′x = 0 ⇒ c ′t = − 12

′x

Nel grafico sono mostrati solo i semiassi positivi:


10

ct' (μs-luce)

x' (μs-luce)0

1

1

–1

–1

2

2

–2

–2

–3

–3–4–5

–5

–4

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

assect

assex

22★★

• Il diagramma del moto dell’astronave è riportato di seguito.

Il punto A rappresenta l’evento «il capitano controlla il tempo trascorso quando sulla Terra sono passati 4 giorni». Il tempo trascorso si può ricavare con la formula della dilatazione dei tempi, oppure con l’intervallo invariante. Qui usiamo la seconda strategia. Il quadrato dell’intervallo invariante è

� σ( )2 = c� t( )2 − � x( )2 = c� ′t( )2

(le coordinate primate sono quelle del sistema di riferimento dell’astronave). Da questa relazione ricaviamo

� ′t = � t( )2 −� x( )2

c2 = 4 giorni( )2 −3 giorni-luce( )2

c2 = 7 giorni = 2,6 giorni


11

ct

x0

1

1–1

–1

2

2

–2

–2

–3

–3

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

A

• L’evento «sull’astronave sono trascorsi 4 giorni dalla partenza» si trova sulla retta di equazione

ct = 43

x

La relazione tra i tempi trascorsi nei due sistemi di riferimento (usiamo l’intervallo invariante) è

c ′t( )2 = ct( )2 − x2 = ct( )2 − 916

ct( )2 = 716

ct( )2

quindi il tempo trascorso sulla Terra è

t = 47

′t = 47

4 giorni( ) = 6,0 giorni

23★★ • Il diagramma del viaggio di Samantha è il seguente. Gli eventi indicati sono: O (partenza dalla Terra), A (arrivo alla stazione), B (partenza dalla stazione) e C (ritorno sulla Terra). Samantha impiega 6,0 anni per il viaggio di andata, rimane 2,0 anni sulla stazione spaziale, infine impiega 8,0 anni per tornare sulla Terra. Quindi torna sulla terra 16 anni dopo essere partita.


12

ct (anni-luce)

x (anni-luce)0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

A

O

B

C

• Durante i viaggi di andata e di ritorno, per Samantha si verifica la dilatazione dei tempi. La durata del viaggio di andata, per Samantha, è

� ′tOA = 1− v1

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

� tOA = 1− 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

6,0 anni( ) = 4,5 anni

(le grandezze primate sono riferite al sistema solidale con Samantha, mentre quelle non primate sono riferite alla Terra). Quindi all’arrivo alla stazione spaziale, Samantha ha

6,0 anni – 4,5 anni = 1,5 anni

meno di Roberta. Al ritorno sulla Terra, il tempo trascorso per Samantha è


13

� ′t tot = � ′tOA + � ′tAB + � ′tBC = 4,5 anni+ � tAB + 1− v2

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

� tBC =

= 4,5 anni+ 2,0 anni+ 1− 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

8,0 anni( ) = 13 anni

Quindi al ritorno Samantha ha 3 anni meno di Roberta. 24★★★ • L’intervallo invariante è

� σ( )2 = c� t( )2 − � x( )2 = 1,0 m( )2 − 3,0 m( )2 = −8,0 m2

e quindi l’intervallo è di tipo spazio. • Gli eventi P, separati da A da intervalli di tipo tempo, soddisfano la relazione:

� σ( )2 > 0 ⇒ c� t( )2 > � x( )2 ⇒ c tP − tA > xP − xA

Tenendo anche conto delle coordinate di A, questa disequazione è equivalente a quattro sistemi di disequazioni, che corrispondono alle regioni del piano evidenziate nel grafico che segue. Tali sistemi di disequazioni sono:

ctP > xP +1

xP ≥ xA

tP > tA

⎧

⎨⎪

⎩⎪

ctP > −xP + 5

xP < xA

tP > tA

⎧

⎨⎪

⎩⎪

ctP < xP +1

xP < xA

tP < tA

⎧

⎨⎪

⎩⎪

ctP > −xP + 5

xP ≥ xA

tP < tA

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Il grafico è


14

ct (m)

x (m)0

1

1

–1

–1

2

2

–2

–2–3–4

3

3

4

4

5

5

6

7

6 7

A

B

3 LA COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ 25 Sì: sostituendo u = c nella formula della composizione delle velocità si ottiene ′u = c . 26 Seguendo il suggerimento, si ottiene:

′u = u − v

1− uvc2

= α −β

1− αcβcc2

c = α1− β

α1−αβ

c

Dati i valori iniziali di α e β, si ricava:

βα> β ⇒ αβ < β

quindi

1− βα<1−αβ ⇒

1− βα

1−αβ<1

da cui segue:


15

′u = α1− β

α1−αβ

c < αc < c

27★ Chiamiamo S il sistema di riferimento del laboratorio, ′S quello della prima particella (assunta in moto verso sinistra) e ′′S quello della seconda particella (assunta in moto verso destra). Allora le velocità delle due particelle in S sono:

u1 = −0,80 c

u2 = 0,80 c

La velocità ′u2 della seconda particella nel sistema ′S è

′u2 =u2 − u1

1− u2u1

c2

= 0,80 c + 0,80 c

1+0,80 c( )2

c2

= 1,6 c1+ 0,64

= 0,98 c

Il valore che si ottiene con la meccanica classica è molto differente:

′u2 = u2 − u1 = 0,80 c + 0,80 c = 1,6 c 28★ Usando la regola di composizione delle velocità relativistiche si ottiene

′u = u + v

1+ uvc2

= v + v

1+ v2

c2

= 2v

1+ v2

c2

29★ Dalla formula di composizione delle velocità relativistiche si ha

u = ′v − v

1− ′v vc2

Ricaviamo la velocità u del proiettile rispetto al sistema di riferimento dell’astronave:

u = ′v − v

1− ′v vc2

=

12

c

1− 316

= 1613

12

c = 813

c

30★ Usando la regola di composizione delle velocità relativistiche, si ottiene

′v = c − v

1− vcc2

= c − v

1− vc

= c


16

31★ v = 1,2 ×108 m/s = 2

5c

u = 2v = 2,4 ×108 m/s = 45

c

Dalla formula di composizione delle velocità si ricava la velocità della sonda rispetto alla navetta:

′u = u − v

1− uvc2

= v

1− 2v2

c2

=

25

c

1− 2425

= 2517

25

c = 1017

c = 1,8 ×108 m/s

32★★ Indichiamo con L0 = 48 minuti-luce la distanza tra le due stazioni spaziali, con � tA = 80�min il tempo impiegato dall’astronave A e con τBA = 12�min il ritardo di B nel sistema di riferimento di A. La velocità dell’astronave A rispetto alle stazioni spaziali è

vA = L0

� tA

= 48 minuti-luce80�min

=48�min( )c80�min

= 35

c

Il ritardo dell’astronave B rispetto all’astronave A, nel sistema di riferimento delle stazioni, è

τB = τBA

1− vA

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2= 12�min

1− 35

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2= 5

412�min( ) = 15�min

Quindi per andare da una stazione all’altra, l’astronave B impiega

� tB = � tA + τB = 95�min

La velocità dell’astronave B rispetto al sistema delle stazioni spaziali è

vB = L0

� tB

= 48 minuti-luce95�min

=48�min( )c95�min

= 4895

c

La velocità di A rispetto a B è

vAB = vA − vB

1− vAvB

c2

=

35

c − 4895

c

1− 35

4895

= 45331

c

33★★ La velocità del secondo fascio rispetto al laboratorio è

v2 =v23 + v3

1+ v23v3

c2

=

c2+ c

2

1+ 14

= 45

c

Quindi la velocità del primo fascio rispetto al laboratorio è


17

v1 =v12 + v2

1+ v12v2

c2

=

c2+ 4

5c

1+ 25

= 1314

c

34★★ La velocità del primo fascio rispetto al laboratorio è

v1 =v12 + v2

1+ v12v2

c2

=

c3+ c

2

1+ 16

= 57

c

La velocità del primo fascio rispetto al terzo fascio di particelle è

v13 =v1 − v3

1− v1v3

c2

=

57

c − − 34

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1+ 1528

= 4143

c

4 L’EQUIVALENZA TRA MASSA ED ENERGIA 35 L’equivalenza massa-energia consente la conversione dell’energia delle particelle che si scontrano in altre particelle, a patto che l’energia iniziale sia almeno uguale alla massa a riposo delle particelle prodotte moltiplicata per il quadrato della velocità della luce. Inoltre la creazione delle nuove particelle deve rispettare i principi di conservazione della quantità di moto e della carica elettrica. 36 La differenza di massa dovuta alla conversione di parte di essa in energia è così piccola da richiedere strumenti molto sensibili, che nell’epoca di Lavoisier e per molti anni a seguire non esistevano. 37★

� m = Ec2 = 2,0 ×108 J

3,0 ×108 m/s( )2 = 2,2 ×10−9 kg

38★

p = Ec= 1,3×10−18 J

3,0 ×108 m/s= 4,3×10−27 kg ⋅m/s

39★ La massa mancante è

� m = m − 2 × 0,45 m = 0,10 m

Questa massa viene convertita in energia:

E = � m c2 = 0,10 mc2 = 0,10 1,0 ×10−26 kg( ) 3,0 ×108 m/s( )2= 9,0 ×10−11 J

40★ Dalla relazione di Einstein si ottiene


18

� m = Ec2 = 100 J

3,0 ×108 m/s( )2 = 1,1×10−15 kg

41★★

� m = Ec2 = 105 J

3,0 ×108 m/s( )2 = 10−12 kg

42★★ La minima energia rilasciata è la somma delle energie a riposo delle due particelle:

Emin = 2mc2 = 2 207( ) 9,11×10−31 �kg( ) 3,0 ×108 m/s( )2= 3,4 ×10−11 J

Il modulo della quantità di moto di ciascuna onda è

p = 12

Ec= mc = 207( ) 9,11×10−31 �kg( ) 3,0 ×108 m/s( ) = 5,6 ×10−20 kg/(m ⋅s)

43★★ Dalla relazione di Einstein si ricava

� mm

= � Emc2 = csm� T

mc2 = cs � Tc2 =

0,90 ×103 J/(kg ⋅K)( ) 550 K( )3,0 ×108 m/s( )2 = 5,5 ×10−12

corrispondente al 5,5 ×10−10% . No, la risposta non dipende dalla massa dell’oggetto. 44★★ La quantità di energia liberata nel processo è

E = � m c2 = mPo − mPb − mHe( )c2 =

= 209,9829 − 205,9745 − 4,0026( ) 1,6605 ×10−27 kg( ) 3,0 ×108 m/s( )2= 8, 7 ×10−13 J

45★★ La quantità di energia che verrebbe liberata nel processo è

E = � m c2 = mHe − 2mD( )c2 =

= 4,0026 − 2 × 2,0141( ) 1,6605 ×10−27 kg( ) 3,0 ×108 m/s( )2= −3,8 ×10−12 J

Poiché è negativa, il processo non può avvenire spontaneamente, cioè senza apporto di energia dall’esterno. 46★★ L’irradiamento è

ER = EA� t

= pRc

L’irradiamento solare nei pressi di Marte vale:

ER = pRc = 2,0 ×10−6 Pa( ) 3,0 ×108 m/s( ) = 6,0 ×102 W/m2


19

La forza sulla vela è

F = ApR = 200 m2( ) 2,0 ×10−6 Pa( ) = 4,0 ×10−4 N 5 LA DINAMICA RELATIVISTICA 47 Sì, dal momento che varia con la velocità dell’oggetto. 48 In fisica classica, il moto della particella è uniformemente accelerato. Gli effetti relativistici si manifestano nel cambiamento della massa relativistica a velocità vicine a quelle della luce e il moto non sarà uniformemente accelerato. 49 In un campo magnetico perpendicolare alla velocità, la particella compie un moto circolare uniforme. Il raggio della circonferenza percorsa dipende dalla massa relativistica, che aumenta a velocità elevate, pertanto anche il raggio della traiettoria aumenta, rispetto al caso classico. Gli effetti relativistici si manifestano nella dipendenza della massa relativistica dalla velocità, e nella dipendenza del periodo del moto circolare dalla velocità della particella. 50 Minore, perché al crescere della velocità cresce anche la massa relativistica dell’elettrone. 51★

• Energia dell’elettrone a riposo:

E0 = m0c2 = 9,1×10−31 �kg( ) 3,0 ×108 m/s( )2

= 8,2 ×10−14 J

• Energia dell’elettrone in moto con velocità v:

E = mc2 = m0c2

1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2=

9,1×10−31 �kg( ) 3,0 ×108 m/s( )2

1− 0,80( )2= 1,4 ×10−13 J

52★ Secondo la meccanica classica l’energia cinetica dell’elettrone è

Kc =12

m0v2 = 1

29,1×10−31 �kg( ) 2,67 ×108 m/s( )2

= 3,2 ×10−14 J

L’energia cinetica relativistica dell’elettrone è

Kr = γ −1( )m0c2 = 1

1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2−1⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

m0c2 =

= 1

1− 2,673

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2−1⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

9,1×10−31 �kg( ) 3,0 ×108 m/s( )2= 9,8 ×10−14 J


20

53★

v = pcE

c =21,3×10−17 kg ⋅m/s( ) 3,0 ×108 m/s( )

6,45 ×10−8 Jc = 0,99 c

54★ Nel sistema di riferimento del neutrone, la differenza delle masse dà luogo a una differenza di energie a riposo, che è uguale all’energia cinetica complessiva delle particelle prodotte. Quindi avremo:

� E = mn − mp − me( )c2 =

= 1,675 ×10−27 kg� −�1,673×10−27 kg� −�9,11×10−31 �kg( ) 3,0 ×108 m/s( )2= 9,8 ×10−14 J

55★ Dall’invarianza del quadrato del modulo del quadrivettore energia-quantità di moto, si ha

E0

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= Ec

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

− p2

da cui si ottiene

p = Ec

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

− E0

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

=E2 − E0

2

c=

0,645 MeV( )2 − 0,511 MeV( )2

3,0 ×108 m/s= 2,1×10−22 kg ⋅m/s

56★ Poiché

m = γ m0

si ha

m = m0 1+ 0,05( ) = 1,05 m0 = γ m0 ⇒ γ = 1,05

Essendo quindi

γ = 1

1−β2= 1,05

si ricava

β = 1− 1γ 2 = 1− 1

1,05( )2 = 0,0930

cioè

v = βc = 0,0930 3,0 ×108 m/s( ) = 2,8 ×107 m/s

Il risultato è indipendente dalla massa della particella. 57★★ Secondo la fisica classica:

� Vc =

12

m v12 − v0

2( )e

=


21

= 12

9,11×10−31 �kg( ) 1,4 ×108 m/s( )2− 7,6 ×107 m/s( )2⎡

⎣⎤⎦

1,6 ×10−19 C= 3,9 ×104 V

Secondo la fisica relativistica:

� Vr = γ1 − γ 0( )mc2

e=

= 1

1− 1,4 ×108 m/s3,0 ×108 m/s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2− 1

1− 7,6 ×107 m/s3,0 ×108 m/s

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

9,11×10−31 �kg( ) 3,0 ×108 m/s( )2

1,6 ×10−19 C=

= 5,0 ×104 V 58★★ • La formula classica del raggio della traiettoria è

rc =m0veB

=9,1×10−31 �kg( ) 0,90( ) 3,0 ×108 m/s( )

1,6 ×10−19 �C( ) 2,5 T( ) = 6,1×10−4 m

Secondo la fisica relativistica, la massa non è più quella a riposo:

rr =m0v

1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

eB

=9,1×10−31 �kg( ) 0,90( ) 3,0 ×108 m/s( )

1− 0,90( )2 1,6 ×10−19 �C( ) 2,5 T( )= 1, 4 ×10−3 m

• La variazione percentuale è

rr − rc

rc

= rr

rc

−1= 1

1− vc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2−1= 1,3

cioè pari al 1,3×102% . 59★★ • L’energia totale della prima particella prima dell’urto è

E1 = m0c2 + 4m0c

2 = 5m0c2

mentre l’energia della seconda particella è

E2 = 2m0c2

La quantità di moto della prima particella prima dell’urto coincide con la quantità di moto totale del sistema e si ricava dal quadrivettore energia-quantità di moto. Quindi abbiamo:

pr =E1

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

− m02c2 = 25 m0

2c2 − m02c2 = 24 m0c

• Dal valore


22

E1 = γ m0c2

vediamo che vale γ = 5 . Allora da

pr = γ m0vi

otteniamo

vi =pr

γ m0

= 24 m0c5m0

= 245

c

• La quantità di moto totale si conserva, quindi pr è anche la quantità di moto del sistema delle due particelle attaccate. Indicata con M la loro massa invariante, dal quadrivettore energia-quantità di moto (ma dell’intero sistema) ricaviamo la massa M.

Quindi abbiamo:

M 2c2 = E1 + E2

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

− pr2

da cui

M = 1c

E1 + E2

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

− pr2 =

= 1c

7 m0c( )2 − 24 m02c2 = 5 m0

60★★

c − v = c −βc = c 1−β( ) = c 1− 1− 1γ 2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= c 1− 1− m0c

2

E⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

= 3,0 ×108 m/s( ) 1− 1−1,673×10−27 kg( ) 3,0 ×108 m/s( )2

7,2 ×10−8 J

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= 6,6 ×102 m/s

PROBLEMI GENERALI 1★★ Dall’intervallo invariante

c� t( )2 − d 2 = c� ′t( )2 − ′d 2 = − ′d 2

si ricava

′d = d 2 − c� t( )2 = 0,2 ×103 m( )2− 3,0 ×108 m/s( ) 0,23×10−6 s( )⎡⎣ ⎤⎦

2= 2 ×102 m


23

2★★ • Gli assi ′x e c ′t del sistema di riferimento ′S si ottengono dalle trasformazioni di Lorentz:

′x = γ x − vt( )

c ′t = γ ct −βx( )

Poiché gli assi sono individuati dalle equazioni

′x = 0

c ′t = 0

risulta che l’asse ′x e l’asse c ′t sono rappresentati rispettivamente dalle rette di equazione

ct −βx = 0 ⇒ ct = βx

x − vt = 0 ⇒ ct = xβ

Poiché β = 0,2 , gli assi sono le rette rappresentate in figura (sono rappresentati solo i semiassi positivi):

ct

x0

1

1–1

2

2–2–3

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8 9

assect'

assex'

• Per ottenere le coordinate dell’evento A rispetto al sistema di riferimento ′S , si conducono da A

le parallele a ciascuno degli assi di ′S e si trovano le intersezioni B e C con l’altro asse.


24

ct

x0

1

1–1

2

2–2–3

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8 9

assect'

assex'

A

C

B

Le distanze invarianti da O di questi punti sono:

OB2 = 25 −1= 24

OC 2 = 1− 25 = −24

Queste sono anche le distanze invarianti da O nel sistema di riferimento ′S , dove

OB2 = ctB( )2 = 24

OC 2 = − xC( )2 = −24

per cui le coordinate di A nel sistema ′S sono 24,� 24( ) .


25

3★★

A

B

ct (μs-luce)

x (μs-luce)

0

1

1–1

2

2–2–3

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8 • Il punto A è l’evento «il primo impulso raggiunge gli elettroni» e l’evento B è l’analogo per il

secondo impulso. Nel sistema di riferimento degli elettroni, l’intervallo invariante è proporzionale all’intervallo di tempo.

Quindi posso scrivere:

c� ′t( )2 = c� t( )2 − � x( )2 = 2,0 ×10−6 s-l( )2− 1,0 ×10−6 s-l( )2

= 3,0 ×10−12 s-l2

Da questa equazione si ricava

� ′t = 3 ×10−6 s = 1,7 ×10−6 s 4★★ Il diagramma spazio tempo, con i moti dell’astronave e della nave cargo, è il seguente. Nel diagramma, è adottato il «giorno luce» come unità di misura. Il punto A rappresenta l’evento «la nave cargo ha un guasto».


26

ct

x0

1

1–1

2

2–2–3

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8 9

9

A

Il segnale radio emesso dalla nave cargo viaggia alla velocità della luce (quindi, è sul cono di luce di A), sia verso la Terra che verso l’astronave. Il diagramma spazio-tempo con i segnali radio è il seguente:

ct

x0

1

1–1

2

2–2–3

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

9

98

A

C

B

Il punto B è l’evento «il segnale radio arriva sulla Terra» mentre il punto C rappresenta l’evento «il segnale radio raggiunge l’astronave». Dalle coordinate dei punti, si vede che il segnale radio raggiunge la Terra 6 giorni dopo la partenza della nave cargo e l’astronave 8 giorni dopo la partenza


27

della nave cargo. 5★★ Dalla relazione di Einstein si ha

m = Ec2 =

2664 kg × 42 ×106 J/kg( ) 59,54 ×106( )3,0 ×108 m/s( )2 = 74 kg

6★★ Nel sistema di riferimento del mesone π+ la quantità di moto iniziale è nulla. Per il principio di conservazione della quantità di moto risulta

pµ = pv = p

Dalla conservazione dell’energia

Eπ = Eµ + Ev

segue (ricordiamo che la massa del neutrino è trascurabile, quindi Ev = cpv ):

mπc2 = mµ

2c4 + c2 pµ2 + cpv = mµ

2c4 + c2 p2 + cp

Con alcuni passaggi algebrici si ottiene la quantità di moto del muone:

p =c mπ

2 − mµ2( )

2mπ

= 12c

mπ2c4 − mµ

2c4

mπc2 =

= 12 3,0 ×108 m/s( )

139,6 MeV( )2 − 105, 7 MeV( )2

139,6 MeV= 1,6 ×10−20 kg ⋅m/s

L’energia del muone

Eµ = mµ2c4 + c2 p2 =

= 105,7 MeV( )2 + 3,0 ×108 m/s( )21,6 ×10−20 kg ⋅m/s( )2

= 1,8 ×10−11 J 7★★ Dal bilancio energetico

e� V = γ f − γ i( )mpc2

si ottiene la differenza di potenziale elettrico:

� V =γ f − γ i( )mpc

2

e=

= 1

1− 0,903,0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2− 1

1− 0,803,0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1,673×10−27 kg( ) 3,0 ×108 m/s( )2

1,6 ×10−19 �C= 10 MV

Nel tratto curvo la forza di Lorentz è la forza centripeta, per cui


28

B =γ fmpv2

er= 1

1− 0,903,0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

1,673×10−27 kg( ) 0,90 ×108 m/s( )1,6 ×10−19 �C( ) 1,4 m( ) = 0, 70 T

8★★ La potenza irradiata dal quasar è

P = � E� t

= � m c2

� t=

1,9 ×1027 kg( ) 3,0 ×108 m/s( )2

1,0 ×105 a( ) 24 × 365 × 3600 s/a( ) = 5, 4 ×1031 W

9★★

• E0 = m0c2 = 105, 7 MeV/c2( )c2 = 105,7 MeV = 105, 7 1,6 ×10−13 �J( ) = 1,7 ×10−11 J

• E = γm0c2 = 1

1− 0,982105,7 MeV/c2( )c2 = 1

1− 0,9821,7 ×10−11 J( ) = 8,5 ×10−11 J

10★★ Velocità classica:

vc =2Km0

Velocità relativistica:

vr = βc = c 1− 1γ 2 = c 1− 1

Km0c

2 +1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

La differenza tra i due valori è

vc − vr =2 4,6 ×10−15 J( )9,1×10−31 kg

− 3,0 ×108 m/s( ) 1− 1

4,6 ×10−15 J

9,1×10−31 �kg( ) 3,0 ×108 m/s( )2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2 =

= 4,0 ×106 m/s 11★★★ • Lo spostamento dell’asta nel diagramma spazio-tempo è il seguente:


29

ct (m)

x (m)0

1

1–1

2

2–2–3

3

3

4

4

5

5 6 7 8

La linea tratteggiata indica il moto dei due estremi. • Ponendo ′t = 0 e ′x = 0 nelle trasformazioni di Lorentz si trovano le equazioni degli assi di ′S

riferiti a S. Si ha

ct = 2x

ct = 12

x

che sono rappresentati nel diagramma seguente:

ct (m)

x (m)0

1

1–1

2

2–2–3

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

assect'

assex'

B

O

• Gli eventi O e B hanno uguale coordinata temporale in ′S e la loro distanza spaziale è la

lunghezza dell’asta in ′S . Il quadrato dell’intervallo invariante OB è


30

� ′x( )2 = � x( )2 − � c t( )2 = 42 − 22 = 12 m2

e quindi l’asta in ′S misura

L0 = � ′x( )2 = 12 m2 = 2 3 m

I valori ottenuti sono identici a quelli previsti dalla formula della contrazione delle lunghezze. 12★★★ • Il diagramma spazio-tempo delle due astronavi è

ct

x0

1

1–1

2

2–2–3

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

9

10

11

12

13

8

Le distanze sono misurate in ore-luce. La distanza tra le astronavi si ottiene considerando due punti, uno su ciascuna traiettoria, con la stessa coordinata temporale. La distanza è la differenza tra le coordinate temporali, cioè 3 ore-luce. • Il punto-evento «il telescopio fa la foto» ha coordinata spaziale x = 0 e t = 12 ore: C(0,12). Ciò

che compare sulla fotografia è la luce emessa da ogni oggetto e quindi da tutti gli eventi che stanno sul passato del cono di luce di C:


31

ct

x0

1

1–1

2

2–2–3

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

9

10

11

12

13

8

D

C

E

L’immagine della prima astronave registrata dal telescopio è stata emessa quando l’astronave era a 4 ore-luce dalla Terra (evento E) mentre quello della seconda quando quest’ultima era a 2 ore-luce dalla Terra (evento D). La distanza delle astronavi sulla foto è quindi di 2 ore-luce.


32

13★★★ • Gli assi del sistema di riferimento ′S sono rappresentati nel diagramma che segue:

ct (μs-luce)

x (μs-luce)0

1

1

–1

–1

2

2

–2

–2

–3

–3–4–5

–5

–4

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

assect'

assex'


33

Per ottenere le coordinate di E in ′S è sufficiente «proiettare» E sugli assi di ′S :

ct (μs-luce)

x (μs-luce)0

1

1

–1

–1

2

2

–2

–2

–3

–3–4–5

–5

–4

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

assect'

assex'

E

B

A

O

• Le coordinate di A e B nel sistema di riferimento S, in microsecondi-luce, sono A −2,�8( ) e

B 4,�−1( ) . Nel sistema ′S sono A 0,�c ′tA( ) e B ′xB ,�0( ) . I valori delle coordinate non note si possono ricavare dall’intervallo invariante di AO e BO:

c ′tA = c2tA2 − xA

2 = 8,0 µs-luce( )2 − −2,0 µs-luce( )2 = 7,7 µs-luce

′xB = xB2 − c2tB

2 = 4,0 µs-luce( )2 − −1,0 µs-luce( )2 = 3,9 µs-luce

Le coordinate di E nel sistema ′S sono quindi 7,7 µs-luce, 3,9 µs-luce( ) .


34

14★★★ • Dal quadrivettore energia-quantità di moto si ricava la quantità di moto dell’elettrone:

pr =Ee

c⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

− m02c2 = m0c +

Kc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

− m02c2 = 1

cK K + 2m0c

2( ) =

= 13,00 ×108 m/s

2,0 MeV( ) 2,0 MeV+1,022 MeV( ) =

= 13,00 ×108 m/s

2,0 J( ) 2,0 J +1,022 J( ) = 1,3×10−21 kg ⋅m/s

• L’energia totale prima della collisione è

Etot = 2m0c2 + K

Dal principio di conservazione dell’energia si ricava l’energia di ciascun fotone:

Ef =Etot

2= m0c

2 + K2= 0,511 MeV+1,0 MeV = 1,5 MeV = 2, 4 ×10−13 J

• La quantità di moto di ciascun fotone è

pf =Ef

c= m0c +

K2c

= 1,60 ×10−13 J( ) 0,5113,00 ×108 m/s

+ 2,02 3,00 ×108 m/s( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

= 8,1×10−22 kg ⋅m/s

Quindi la quantità di moto finale dei due fotoni è

ptot = 2 pf cosθ

e dal principio di conservazione della quantità di moto si ricava:

ptot = 2 pf cosθ = pr

da cui

cosθ = pr

2 pf

= 1,3×10−21 kg ⋅m/s2 8,1×10−22 kg ⋅m/s( ) = 0,80

e quindi

θ = arccos 0,80( ) = 37°


35

TEST

1 B 2 A 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 C 9 A 10 B

Cap 30 - Istituto d'istruzione superiore J.M. Keynesromano/5GL/esercizi_vari/...Amaldi, L’Amaldi...

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