15. Le onde elastiche - Sito...

1Idee per insegnare la fisica conAmaldi L’Amaldi per i licei scientifici.blu © Zanichelli 2012

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le onde elastiche 15

La riproduzione di questa pagina tramite fotocopia è autorizzata ai soli fini dell’utilizzo nell’attività didattica degli alunni delle classi che hanno adottato il testo

DomanDe sui concetti

1 Un’onda è una perturbazione che si propaga trasportando energia. Un impulso sonoro, per esempio dovuto a uno sparo, produce un’onda sonora che propagandosi attraverso l’aria, raggiunge la neve: l’impatto su que-sta può determinare il distacco di lastroni di ghiaccio e produrre una valanga.

2 Si tratta di un impulso longitudinale poiché le persone si spostano nella stessa direzione di propagazione dell’impulso. La velocità dell’impulso è determinata dai tempi di re-azione delle persone e dalla velocità con cui esse si muovono.

3 Lungo gli spalti. Il «mezzo» è l’insieme degli spettatori. Ognuno si muove prima verso l’alto e poi

verso il basso. L’onda è trasversale.

4 L’onda è longitudinale.

5 Si tratta di onde trasversali.

6 Circonferenze concentriche.

7 Hanno forma sferica.

8 I fronti d’onda sono porzioni di piano.

9 La frequenza di un’onda periodica è sempre uguale a quella della sorgente. Può cambiare, a seconda del mezzo, la velocità e dunque la lunghezza d’onda.

10 Poiché la velocità di propagazione è costante, per aumentare la lunghezza d’onda è neces-sario ridurre la frequenza.

11 Le due onde hanno la stessa lunghezza d’on-da ma la velocità di propagazione di un’onda elettromagnetica nell’aria è molto più elevata di quella del suono, dunque poiché v = lf, la frequenza delle onde elettromagnetiche è più elevata di quelle sonore.

15. Le onde elastiche12 Le oscillazioni delle boe sono in fase dato che

la distanza che le separa è il doppio della lun-ghezza d’onda.

13 Si ha interferenza costruttiva quando si in-contrano linee dello stesso colore.

14 Costruttiva perché i punti di a sono equidi-stanti dalle sorgenti S

1 e S

2.

probLemi

1 , ,f T1

6 01 0 17s Hz= = =

,vT v T 6 090 15sm m/s"

mm = = = =

2 ,14100 7 14m mm = =

3 ( ) ( )v f 662 10 500

331

m Hzm/s

3# #m= = =

=

-

4 Il periodo delle onde è 2,0 s, la lunghezza d’onda è pari a 6,5 m, dunque la velocità del-le onde sarà:

,,

,v T 2 06 5

3 3sm m/sm= = =

5 1 cm; 2 cm 2 cm; 1 cm La lunghezza d’onda.

6 ,v ts

tL2

4 902 840 343s

m m/s#D= = = =

,f v0 800343 429m

m/s Hzm

= = =

,

,T v 3430 800

2 33 10m/sm s3#

m= = = -

7 ,fv

2 2 2 0 1818 50Hzm/s m

#m = = =

( ) ( )

( )

v f f f v3 3 3

3 18 54m/s m/s2 2 1 1 1

#

m m m= = = = =

= =

8 Combinando la v fm= con la t vsD D= si ot-

tiene:

( , ) ( ),

,t fs

2 82 54635 8

0 0233m Hzm s#m

D D= = =


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9 La velocità di propagazione delle onde è sempre la stessa in una stessa molla, essa dipende solo dalle caratteristiche fisiche e geometriche della molla.

mezzo Diametro delle spire Lunghezza d’onda Frequenza VelocitàZinco 2,5 cm 1,75 m 2,0 Hz 3,5 m/s

Zinco 2,5 cm 0,90 m 3,9 Hz 3,5 m/s

Rame 2,5 cm 1,19 m 2,1 Hz 2,5 m/s

Rame 2,5 cm 0,60 m 4,2 Hz 2,5 m/s

Zinco 7,5 cm 0,95 m 2,2 Hz 2,1 m/s

Zinco 7,5 cm 1,82 m 1,2 Hz 2,2 m/s

10 La velocità delle onde è data da: v = lf da cui v = 0,050 m × 10 Hz = 0,50 m/s.

La profondità del liquido è data da: h gv2

= da cui ,

( , ),h

9 80

2 650m/sm/s cm2

2

= = .

11 Scegliamo in modo comodo il sistema di riferimentoo necessa-rio per risolvere il problema. Quindi poniamo in x = 0 il punto di massimo dell’onda e poniamo y = 0 a metà altezza tra il massimo dell’onda e il minomo, in modo da usare la formula (5) con ϕ

0 =

0. In questo modo il punto P di cui dobbiamo trovare l’altezza ha x = 0,500 m.

Ora sostituiamo nella (5) i valori numerici del problema e, usando una calcolatrice scientifica, troviamo:

( , ) ,

,, ( , ) ( , )

( , ) , , .

cos cos cosy a x2 1 73 4 226 28

0 500 0 1 73 0 744

1 73 0 736 1 27

m m m m

m m0 # # #

#

mr

{= + = + = =

= =

a ck m

12 ( , ) ,cos cosy a T t t2 0 15 1 82m s

r r= =a ak k ( , ) , ,cosy 0 15 1 8

2 22 0 026m s s m#r= =a k

13 T t t T2 2 s"r

r= =a k 0 rad L’ampiezza dell’oscillazione.

14 T t t T2 2 1 s"r

r= =a k ( , ) ( ) ,vT 0 040 1 0 040m/s s m#m = = =

15 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,cos cos cosy a x a vT x2 2 1 40 1 88 2 132 40 0 10 1 13m m/s s m m2

## #

mr r r= = = =-a ak k : D

( , ) ( , )

,cos x x x vT2 0 22 4 4 4

1 88 2 131 00

m/s s m" "#

mr

mr r m= = = = = =a k

16 Il punto O è in ritardo rispetto al punto A di un quarto di un intero ciclo, dunque la differenza di

fase tra i due punti è: 41 2 2{ r

rD = = .

Il punto O è in fase con il punto D. Il punto E è in fase con il punto B.

x

P

50,0 cm

y


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Il punto C è in anticipo rispetto al punto O di 3/4 di un intero ciclo, dunque la differenza di fase

tra i due punti è: 43 2 2

3{ r

rD = = .

Il punto C, poiché la differenza di fase tra il punto A e il punto C è: 21 2{ r rD = = .

La differenza di fase tra i punti B e D è: 21 2{ r rD = = .

17 Con 20{r= si ottiene:

cos cosA a a a a2 2 42 2 22

20{ r= = = =a `k j .

19 °cos cosA a a a2 2 2 2 2 2 41 151arcos0 0

0" "{ {

{= = = =a a ak k k

21

,

,

,

f

f

f

f

2

2 21 0 16

2 2 0

2 2 0

50

2 32

Hz

Hz

Hz

11

2

3

2

3

r~

r

~

r

r

~

rr

r

~

r

=

= = =

= = =

= = =

a1 = 2,0 m

a2 = 0,50 m

a3 = 1,0 m

22

x

y

π 2π−4

4

23 Dopo 1 s gli impulsi si sono spostati di 2 m, in questa situazione si sovrappongono e la corda si posta verso il basso di 2,5 m (spostamento massimo) rispetto all’asse x. Dopo 2 s gli impulsi si sono spostati di 4 m e non interferiscono.

24

( , ) ( , ) ( , )

L fv

fL

v

d D

v

D

2 21

2 2 2 2 10 2 80340 243

2 80m mm/s Hz

m

s

s s2 2 2 2"

#

mD

D

= =

= =+

=+

=- -^ h 6 @

25

d

P

B

A

x

x

λ


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La differenza dei cammini D delle due onde è: D BP AP x d x k 212 2 m= - = + - = +a k , con

k = 0, 1, 2, ...

( )x x k x x k x k x k

k

k

16 21 16 2 2

121

2 1

16 21

0

21 16

2 2 22 2

2

22

22

" "

"

$

#

m m mm

m

m

+ = + + + = + + + + = +

- +

+

a a aa

ak k k

k

k

cioè , , , ,k 421 3 5 0 1 2 3"#

mm- = = .

Con questi valori di k si ricavano le posizioni dei minimi: k x0 16 m0"= = ,k x1 4 6 m1"= = ,k x2 2 0 m2"= = ,k x3 0 54 m3"= =

26 La posizione utile è quella in cui la differenza di cammino delle due onde sonore è uguale a mezza lunghezza d’onda. Di posizioni ce ne sono anche altre tali che la differenza di cammino è un nume-ro intero di lunghezza d’onda più mezza lunghezza d’onda.

PA1 A2

La lunghezza d’onda delle onde sonore è ,fv

170340 2 00Hz

m/s mm = = = .

Poni ,A P x5 0 m1 = - e ,A P x5 0 m2 = + ; per avere interferenza distruttiva la differenza tra le di-

stanze deve essere: A P A P x2 21 2

m- = = , da cui ,

,x a42 00

0 500m mm= = = . Giulia si deve spo-

stare dunque di mezzo metro o a destra o a sinistra dalla posizione centrale prima occupata.

probLemi generaLi

1 , ( , ) ( , ) ,T vT v T4 0 30 4 4 4 4 0 0 30 4 8s m/s s m" # #m= = = = =

2 ,,

,( , ) ,vT v T f

2008 40

4 20 10

2008 40

50 0 2 10

m m

m Hz m/s

2

"

#

#

m

mm

m

= =

= = = = =

-

a k La cosy a T t2

0

r{= +a k per t = 0 s, quando y = – 28,2 cm e a = 28,2 cm diventa:

, ( , ) ( )cos cos28 2 28 2 0 1cm cm 0 0 0""{ { { r- = + =- = .

Quindi ( , ),

( , ) ( ) .

cos cos

cos

y a x x

x

2 0 2824 20 10

2

0 282 48

m mm m

0 2

1

#mr

{r

r

r r

= + = + =

= +

-

-

a ak k

3 Al tempo iniziale t = 0 s il profilo dell’onda è dato da: cosy a x2mr= a k: D.

In un punto a distanza x dalla sorgente dell’onda, con la velocità di propagazione dell’onda pari

a v, il moto della sorgente è riprodotto con un ritardo di tempo pari a vx , quindi, in un generico

istante di tempo t, l’argomento della funzione y dovrà essere x vt-^ h: ( )cos cos cosy a x Tx vt a x vt a t2 2 22 2

mr

mr r

mr

mr= -- = - =a a a ak k k k: :D D

dato che vT1

m= .


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( , ) [( , ) ( , ) ]

( , ) , ,cos

cos

cosy a

x t

Tx t x t2 2

0 32 1 8 2 6

0 32 3 52

2 42

m rad/m rad/s

m mrad

srad

mr r r r=

= -

- = - =a a a ak k k k: :D D

4 ,8 0 10 m2#m = -

,a 8 0 10 m2#= -

,

,T v 108 0 10

8 0 10m/sm s

23#

#m= = =

--

,

,f T fv1

8 0 1010 1 3 10mm/s Hz2

2

##= = = =-

5 ,1 2 mm =

, ,vts

0 2010 10 0 50s

m m/s2#

DD= = =

-

,,

,T v 0 501 20

2 4m/sm sm= = =

,, ,f T f

v1 0 501 20 0 42m

m/s Hz= = = =

6 vs = velocità di propagazione del suono nel suolo

v = velocità di propagazione del suono nell’aria s = distanza indiani-bufali t

2 = tempo impiegato dal suono a percorrere nel suolo la distanza indiani-bufali

t1 = tempo impiegato dal suono a percorrere nell’aria la distanza indiani-bufali

t vs

2s

= e t vs

1 = ; sottraendo membro a membro si ha: ,t t s v v1 1

s12 - = -c m

da cui ( )

,s v vt t v v

vv

910 10 3 8 10s m2 1

23

s

s $ ##= -

-= -- =

7 Detta D la distanza dell’epicentro dalla stazione sismografica, ts il tempo di arrivo delle onde S, t

p il

tempo di arrivo delle onde P, si ha:

t vD t v

Dess

pp

= = , da cui t t D v v1 1

s ps p

- = -c m e dunque ( )D t t v v

v vs p

p s

s p= - - .

8 ,, °cosA a a

A2 2 2 2 2 2 0 210 36

62arcos arcos mm0

0"#

{{= = = =a a ck k m

( , ) ( )

( , ) ( )

cos cos cos cos

cos

y a t t

t

2 2 2 2 0 21 262 10 2

62

0 36 10 18031

m ° rad/s °

m rad/s rad

0 0 #{

~{

r

r r

= + = + =

= +

a a ak k k :

:

D

D

9 Confrontiamo la ( ) ( )cos cos cos cosy a t a t a t3 4 23

2 4 2 6 4~r

~r r

~r= + = + = +` c ` ` `j m j j j

con la relazione suggerita, nella forma: ( ) ( )cos cos cos cos2 a b a b a b= + + - ; poniamo

t 4a ~r= + e 6b

r= e otteniamo:

t t4 6 125

a b ~r r

~ r+ = + + = +` j

t t4 6 121

a b ~r r

~ r- = + = +-` j


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e, di conseguenza:

;cos cosy a t y a t125

121 2~ r ~r= + = +a `k j

125

12 3{ rr rD = - =

cosA a a a2 2 2 21arcos" "

{ {D D= = =c am k e quindi:

k3

2 4!{ r rD = + , con k numero intero relativo arbitrario.

10 Nella figura viene mostrato un tratto di corda Ds sottoposto a una tensione F sul quale viaggia un impulso con la velocità indicata nel disegno. Il tratto di corda può essere considerato come un arco appartenente alla circonferenza di raggio R. Le componenti orizzontali delle due forze F si annul-lano, le componenti verticali di modulo F senq si sommano dando luogo a una forza radiale totale pari a F

r = 2F senq.

Poiché l’angolo q è piccolo, si può considerare valida l’approssimazione: senq ≈ q e scrivere per Fr

la relazione: F

r = 2F q (1).

Dalla seconda legge della dinamica si ha che: F Rmv

r

2

= (2).

Uguagliando la (1) e la (2) e tenendo conto che m snD= e che s R2 iD = si ha:

F RR v

22 2

in i

= , da cui semplificando si ottiene: v Fn

= .

11 La forza a cui è soggetta la corda è data da: ( , ) ( , ) ,F mg 1 5 9 8 14 7kg m/s N2#= = = . La massa per

unità di lunghezza è data da ,

,lm

100 400

0 040mkg

kg/mn = = = . Quindi:

,,

v F0 040

14 719kg/m

N m/sn

= = = .

12 La lunghezza d’onda del segnale è: ,fv

200340 1 70s

m/s m1m = = =- .

La differenza di fase tra due punti dell’onda distanti Dx, allo stesso istante di tempo, è data da:

x2{

mrD D= , da cui si ha: , ,x 2 2

3 1 70 0 283m m#r

{m

r

r

DD

= = = .

Fissato il punto x, la differenza di fase corrispondente all’intervallo di tempo assegnato è:

( ) ( , ) ,T t f t2 2 2 200 1 0 10 1 3s s rad1 3# # #{r

r rD D D= = = =- -

Nel primo caso la distanza tra le due sorgenti che emettono in fase è Dx = 0,283 m; le onde arriva-

no sul ricevitore con una differenza di fase 3 rad{rD = .

Nel secondo caso, se raddoppia la distanza tra le sorgenti, raddoppia anche la differenza di fase: x2

{mrD D= e dinque 3

2 rad{rD = .

Nel terzo caso la differenza di fase sarà tripla ( rad{ rD = ), le onde arrivano in opposizione di fase e si avrà interferenza distruttiva.

13 Il periodo di rotazione del disco è:

,min

T33

133

60 1 8s s1= = =-

e dunque la velocità con cui si sposta un punto alla distanza dal centro assegnata è:

,( , )

,v Tr2

1 82 0 10

0 35sm m/s#r r

= = = .


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Il disco scorre con questa velocità rispetto alla puntina e così anche le onde sul solco. La puntina viene sollecitata alla frequenza f data da:

,

,,f v

1 50 100 35

2 3 10mm/s Hz3

2

##

m= = =- .

14 Poiché le due sorgenti sono in fase, lo sfasamento Dϕ con cui le onde arrivano nel punto P è solo quello introdotto dalla differenza di cammino:

k r r vf

r2 23 rad{

mr r

rD D D D= = = =

Le onde arrivano in P in opposizione di fase: in P avremo quindi un minimo. Per la precisione si tratta di un minimo del secondo ordine (quello del primo ordine si ha per Dϕ = p rad).

L’intensità delle onde è direttamente proporzionale al quadrato dell’ampiezza e, dato che la po-tenza delle due sorgenti è la stessa, avremo:

II

A

A

2

1

2212

=

Poiché l’intensità, nelle onde in tre dimensioni, è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla sorgente, risulta:

II

r

r

2

1

1222

=

Dalle formule precedenti si ricava immediatamente:

,AA

rr

A rr

A A1 52

1

1

21

1

22 2"= = =

In P le onde arrivano in opposizione di fase, dunque l’ampiezza dell’onda risultante sarà pari al valore assoluto della differenza delle ampiezze:

,A A A A0 5ris 2 1 2= - = Se si spegnesse S

2, l’ampiezza diventerebbe A

1 = 1,5A

2, e dunque triplicherebbe. L’intensità diven-

terebbe nove volte più grande e cioè ,A 1 8 10 W/m15 2#= - .

15 Le onde riflesse interferiscono con quelle che provengono direttamente dalla sorgente. L’interferenza è costruttiva se la differenza di cammino è pari a un numero intero di lunghezze

d’onda. La differenza di cammino è data dal doppio della distanza del riflettore dal rilevatore. Dette l

1 e l

2 le

due distanze misurate, si ha:

( ) ( )l n l n l l2 2 10 2 10e1 2 2 1"m m m= = + - = , da cui ,l l

5 2 8 cm2 1m =

-=

test per L’uniVersità

1 D 2 B

stuDy abroaD

1 E

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