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1 Amaldi, L’Amaldi per i licei scientifici.blu, Zanichelli editore 2017

Capitolo 2

La misura

Amaldi, L’Amaldi per i licei scientifici.blu, Zanichelli editore 2017


Gli strumenti di misura

Possono essere digitali o analogici:

la risposta di uno strumento

digitale varia con discontinuità

(a scatti) al variare della

grandezza misurata e appare

sul display come una sequenza

di cifre:

la risposta di uno strumento

analogico varia con continuità

al variare della grandezza

misurata e in genere si legge

su una scala graduata:



La precisione di uno strumento

La precisione di uno strumento di misura è un indice

della qualità dello strumento.

Uno strumento è preciso se:

misurando più volte la stessa grandezza, fornisce

sempre lo stesso risultato;

le sue misure sono in accordo con quelle di altri

strumenti, noti come affidabili e presi come

riferimento.



Il campo di misura di uno strumento

Il campo di misura di uno strumento è l’insieme dei valori

che esso è in grado di misurare.

La portata è il valore massimo

che può essere misurato da uno

strumento il cui campo di misura

comincia dal valore zero.



La sensibilità di uno strumento

La sensibilità di uno strumento è la minima variazione

che può rilevare tra i valori della grandezza in esame

N.B.: non è detto che lo strumento più sensibile sia anche

il più preciso!



La prontezza di uno strumento

La prontezza di uno strumento indica la rapidità con cui

esso risponde a una variazione della grandezza misurata.



L’incertezza delle misure

E’ impossibile ottenere una misura esatta: a ogni misura

è associata un’incertezza.

L’incertezza ha due cause:

la sensibilità limitata dello strumento di misura

gli errori inevitabili del processo di misurazione



L’incertezza dovuta allo strumento

Se la sensibilità del righello

è un millimetro, i decimi di

millimetro sono incerti.

Se la sensibilità del calibro è

un decimo di millimetro, i

centesimi di millimetro

restano incerti.



Gli errori casuali

Gli errori casuali variano in modo imprevedibile da una

misurazione all’altra e influenzano il risultato a volte per

eccesso, altre per difetto.

Errori casuali tipici sono:

start/stop del cronometro in

ritardo/anticipo;

l’allineamento dell’oggetto da

misurare con lo zero dello

strumento;

l’errore di parallasse, causato

dal disallineamento tra gli

occhi e l’indice dello

strumento (analogico).



Gli errori sistematici

Gli errori sistematici alterano le misure sempre per

eccesso o sempre per difetto.

Possono essere dovuti a:

malfunzionamento dello strumento

(es.: cronometro o bilancia tarati

male);

processo di misurazione (es.: starter

con pistola a salve invece che pistola

elettronica).



Come esprimere una misura

Per tener conto dell’incertezza della misura, il risultato di

una misurazione deve sempre essere espresso nella forma:



L’incertezza di una misura singola

Quando si misura una grandezza una sola volta:

il valore della grandezza è la risposta fornita dallo

strumento;

l’incertezza della misura è la sensibilità dello

strumento stesso.

x

x

x

Esempio:

indica che una massa m è compresa tra:

e

0,18 0,01 kgm

0,18 0,01 kg = 0,17 kgm 0,18 0,01 kg = 0,19 kgm



L’incertezza di una misura ripetuta

Quando si misura una grandezza per n volte nelle

medesime condizioni e si ottengono i valori :

come valore della grandezza si deve scegliere il

valore medio, definito come: x

x

1 2, ,...., nx x x

Il valore medio



L’incertezza di una misura ripetuta

Di solito, in una misura ripetuta, si assume come

incertezza il valore più grande tra:

la sensibilità dello strumento e

la semidispersione massima, definita come:

La semidispersione massima

x



Il risultato di una misura ripetuta

Esprimiamo correttamente il risultato della

misura sperimentale della durata di cinque

oscillazioni di un pendolo:

valore medio:

14,5 14,7 14,4 14,6 14,5 14,3 s14,5 s

6t

semidispersione massima: 14,7 14,3 s

0,2 s2

e

Poiché e è maggiore della sensibilità del cronometro (0,1 s)

l’incertezza Quindi:

t t t

.t e 14,5 s 0,2 st t t



L’analisi statistica dei dati sperimentali

Per ridurre l’incertezza di una misura soggetta a errori

casuali è necessario raccogliere un numero elevato di dati.

All’aumentare dei dati a disposizione,

l’istogramma tende ad assumere la

forma a campana descritta

matematicamente dalla curva di

Gauss:



La curva di Gauss

La curva di Gauss ha le seguenti proprietà:

è simmetrica;

è centrata nel valor medio della

grandezza ;

contiene oltre i 2/3 dei valori di

nell’intervallo tra e , dove:

xx

xx x

(«sigma») è lo scarto quadratico medio:



Il risultato di una misura sperimentale

Dati raccolti

nell’esperimento di

caduta di una pallina:

valore medio: 1,35 st

semidispersione massima: max min1,59 1,15 s

0,22 s2 2

t te

Scegliendo anzichè e (entrambi maggiori della sensibilità del

cronometro) si riduce l’incertezza della misura. Quindi il risultato

espresso nella forma corretta è:

0,09 s

1,35 s 0,09 st t t

La sensibilità del cronometro usato è 0,01 s.

scarto quadratico medio:



L’incertezza relativa

L’incertezza relativa è un indice della precisione della misura:

più è piccola, più la misura è precisa.

Si definisce incertezza relativa il rapporto er tra incertezza

e valore:



L’incertezza relativa - esempio

Quale delle due

misure è più

precisa?

5 kg 10,004

1250 kg 250

auto

r

me

m

0,1 hg 10,02

5,0 hg 50

pasta

r

me

m

La misura della massa dell’automobile è più precisa, anche

se ha un’incertezza più grande.



L’incertezza percentuale

L’incertezza percentuale e% è l’incertezza relativa

espressa in forma percentuale:

Esempio:

% 0,004 100 % 0,4%autoe

% 0,02 100 % 2%pastae



L’incertezza di una misura indiretta

Date due misure:

valgono le seguenti formule:

, a a a b b b



Le cifre significative

Per la cifra 0 valgono le seguenti regole:

è significativa quando è compresa tra cifre diverse da 0,

quando è alla fine del numero, quando è dopo la virgola

(es.: 32,0 ha tre cifre significative);

non è significativa quando è all’inizio del numero

(es.: 0,032 ha due cifre significative).

Le cifre significative di una

misura sono le cifre certe e la

prima cifra incerta.

914 4 mm

cifre certe

cifra incerta



L’arrotondamento

L’approssimazione può essere:

per difetto quando la prima delle cifre eliminate è 0,1, 2,

3, o 4 (es.: da 12,436 a 12,4);

per eccesso quando la prima delle cifre eliminate è 5, 6,

7, 8 o 9. In questo caso si aumenta di una unità la cifra

che la precedeva (es.: da 2,625 a 2,63).

Se le cifre eliminate sono prima della virgola, devono

essere sostituite con degli zeri (es.: da 11035,3 a 11040)

Arrotondare un numero significa sostituirlo con un altro che

abbia meno cifre significative e che meglio approssimi il

numero originale.



Le cifre significative di una misura

Per scrivere la misura di una grandezza, valgono le

seguenti regole:

l’incertezza della misura si arrotonda di solito a una cifra

significativa;

il valore della grandezza si arrotonda in modo che la sua

ultima cifra significativa sia nella stessa posizione di

quella dell’incertezza.

Esempio: se t = 18,26 s con incertezza pari a 0,2 s, si

arrotonda il suo valore in modo che abbia una

sola cifra dopo la virgola:

18,3 0,2 st



Le cifre significative nelle operazioni

Eseguendo operazioni sulle misure, occorre considerare le

rispettive incertezze, che si riflettono nelle cifre significative

dei dati e del risultato.

Valgono le seguenti regole:

moltiplicazione e divisione di una misura per un

numero: il risultato ha lo stesso numero di cifre

significative della misura (es.: );

moltiplicazione e divisione di misure: il risultato ha lo

stesso numero di cifre significative della misura meno

precisa (es.: ).

Moltiplicazione e divisione

5,87 s 4 23,5 s

48,2 km : 3,7524 h 12,8 km/h



Le cifre significative nelle operazioni

addizione e sottrazione di misure: sono significative

solo le cifre che si ottengono come somma o differenza

di cifre significative

Addizione e sottrazione

1, 1 3 kg +

0, 5 2 8 kg =

1, 6 5 8 kg

?Esempio: La terza cifra decimale del risultato

non è significativa perché il primo

addendo non ha una cifra

significativa in corrispondenza.

Il risultato deve essere arrotondato a tre cifre significative:

1,13 kg + 0,528 kg = 1,66 kg



Le misure in un esperimento

Una legge fisica è una relazione matematica che lega due

o più grandezze e che descrive un fenomeno.

Ogni legge fisica deve essere verificata con esperimenti.

I dati

sperimentali

sono

costituiti da

misure e

incertezze.

I dati sperimentali



Il grafico sperimentale

Partendo dal valore del punto sperimentale, in

orizzontale si riportano le incertezze della

grandezza indicata in ascissa, in verticale

quelle della grandezza in ordinata.

In un grafico sperimentale una coppia di dati è

rappresentata da un rettangolo.

I dati sperimentali possono

essere rappresentati in un

grafico in cui si evidenziano le

barre di errore, che indicano le

incertezze di ogni misura.



L’analisi del grafico sperimentale

Mediante procedimenti

matematici, si traccia la curva

che meglio approssima i dati

sperimentali. Tale curva indica

la tipologia di relazione che

lega le due variabili.

Nell’esempio, la curva che taglia tutti i rettangoli che rappresentano

le coppie di dati è una retta passante per l’origine.

Poiché la retta passante per l’origine è il grafico che descrive una

relazione di proporzionalità diretta, ciò significa che i dati

sperimentali dimostrano che la grandezza riportata in ordinata è

direttamente proporzionale a quella in ascissa.

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