INTRODUZIONE ALLA TEORIA INTRODUZIONE ALLA TEORIA DELLA RELATIVITÀ DELLA RELATIVITÀ

RISTRETTARISTRETTA

1. ESEMPIO INTRODUTTIVO.1. ESEMPIO INTRODUTTIVO.

Consideriamo un oggetto di massa 1 Kg che viene sottoposto ad una forza costante di valore 1 N. Al tempo t = 0 s l’oggetto si trova nel punto xo = 0 m e si muove alla velocità vo = 0 m/s. Che cosa osserviamo ?

Accelerazione (costante) :

2

2

s

m 1

Kg

m/s Kg 1

Kg 1

N 1

m

F a

Velocità :

t t . 1 0 t a v (t) v o

Posizione :

222 oo t 0.5 t 1

2

1 t 0 0 t a

2

1 tv x x(t)

Che cosa si vede se si osserva questa fenomeno da un Che cosa si vede se si osserva questa fenomeno da un sistema di riferimento in movimento alla velocità costante disistema di riferimento in movimento alla velocità costante di

2 m/s per rapporto al primo ? 2 m/s per rapporto al primo ? Si vede l’oggetto con una velocità aggiuntiva di 2 m/s.Si vede l’oggetto con una velocità aggiuntiva di 2 m/s.

Posizione :

t v x(t) t 2 t 0.5 (t)x' r2

Velocità :

rv v(t) 2 t (t) v'

Accelerazione :

1 (t)a'

Forza :

N 1 s

m 1 Kg 1 a m F'

2

2. TRASFORMAZIONI DI 2. TRASFORMAZIONI DI

COORDINATE GALILEIANE.COORDINATE GALILEIANE.

Consideriamo un sistema di coordinate O’x’y’ e Consideriamo un sistema di coordinate O’x’y’ e un sistema di coordinate Oxy in movimento per un sistema di coordinate Oxy in movimento per rapporto al primo nella direzione x con una rapporto al primo nella direzione x con una velocità costante vvelocità costante vrr..

Se nel sistema di riferimento Oxy si Se nel sistema di riferimento Oxy si misurano i valori di x(t), v(t), a(t) e F(t), nel misurano i valori di x(t), v(t), a(t) e F(t), nel sistema di riferimento O’x’y’ i valori misurati sistema di riferimento O’x’y’ i valori misurati saranno correlati da queste trasformazioni :saranno correlati da queste trasformazioni :

F(t) (t)F'

a(t) (t)a'

v(t) v (t)v'

x(t) t v x (t)x'

r

ro

3. PRINCIPIO DI RELATIVITÀ GALILEIANO3. PRINCIPIO DI RELATIVITÀ GALILEIANO

Da un punto di vista della dinamica è impossibile Da un punto di vista della dinamica è impossibile distinguere con degli esperimenti tra dei sistemi di distinguere con degli esperimenti tra dei sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme tra di loro.riferimento in moto rettilineo uniforme tra di loro.

In concreto :In concreto : Se siamo nello spazio e osserviamo degli esperimenti di Se siamo nello spazio e osserviamo degli esperimenti di

meccanica da due astronavi in moto rettilineo con velocità meccanica da due astronavi in moto rettilineo con velocità costante, osserviamo esattamente le stesse cose (ad costante, osserviamo esattamente le stesse cose (ad esempio moto uniformante accelerato con la stessa esempio moto uniformante accelerato con la stessa accelerazione e la stessa forza). accelerazione e la stessa forza).

Ad esempio è impossibile capire se un’astronave e ferma e Ad esempio è impossibile capire se un’astronave e ferma e l’altra in movimento.l’altra in movimento.

Le leggi della meccanica sono le stesse per tutti i sistemi Le leggi della meccanica sono le stesse per tutti i sistemi di riferimento inerziali.di riferimento inerziali.

Definizione :Definizione : Chiamiamo sistema di riferimento Chiamiamo sistema di riferimento inerziale un sistema di coordinate per rapporto al inerziale un sistema di coordinate per rapporto al quale valgono le tre leggi di Newton.quale valgono le tre leggi di Newton.

Se vogliamo descrivere la meccanica per rapporto Se vogliamo descrivere la meccanica per rapporto a dei sistemi di riferimento non inerziali ci a dei sistemi di riferimento non inerziali ci imbattiamo in leggi molto più complicate : si pensi imbattiamo in leggi molto più complicate : si pensi ad esempio alla descrizione del movimento dei ad esempio alla descrizione del movimento dei pianeti per rapporto a un sistema eliocentrico e pianeti per rapporto a un sistema eliocentrico e uno geocentrico.uno geocentrico.

4. DATO SPERIMENTALE 4. DATO SPERIMENTALE

DISCORDANTI CON LA TEORIA.DISCORDANTI CON LA TEORIA. La velocità della luce appare uguale La velocità della luce appare uguale

misurata da qualsiasi sistema di misurata da qualsiasi sistema di riferimento.riferimento.

Esperienza di Michelson e MorleyEsperienza di Michelson e Morley Considerazioni teoriche sulle leggi di Considerazioni teoriche sulle leggi di

Maxwell che descrivono i fenomeni Maxwell che descrivono i fenomeni elettromagnetici.elettromagnetici.

Esperienza di Michelson e Morley.Esperienza di Michelson e Morley.

Si misura la velocità della luce proveniente da Giove a Si misura la velocità della luce proveniente da Giove a distanza di circa 6 mesi, mentre la Terra si muove verso distanza di circa 6 mesi, mentre la Terra si muove verso Giove e mentre si muove nella direzione opposta.Giove e mentre si muove nella direzione opposta.

Chiamando vChiamando vluceluce la velocità della luce per rapporto la velocità della luce per rapporto

all’etere e v la velocità della Terra per rapporto all’etere si all’etere e v la velocità della Terra per rapporto all’etere si dovrebbe misurare :dovrebbe misurare :

v - v v

v - v v

luce2

luce1

Invece si misura :

v1 = v2

4.4. PROBLEMA 1 : IL VALORE DEL TEMPO PROBLEMA 1 : IL VALORE DEL TEMPO DIPENDE DAL SISTEMA DI DIPENDE DAL SISTEMA DI RIFERIMENTO.RIFERIMENTO.

Origine del problema : critica al concetto di Origine del problema : critica al concetto di simultaneità.simultaneità.

Orologi sincronizzati per l’osservatore in Oxy non lo sono Orologi sincronizzati per l’osservatore in Oxy non lo sono per l’osservatore in O’x’y’per l’osservatore in O’x’y’

Non si riesce a mettersi d’accordo su quando Non si riesce a mettersi d’accordo su quando succedono le cose !succedono le cose !

Un dato fenomeno che viene misurato Un dato fenomeno che viene misurato (succede !) ad un dato tempo per un sistema di (succede !) ad un dato tempo per un sistema di riferimento viene misurato (succede !) ad un riferimento viene misurato (succede !) ad un altro tempo per un altro sistema di riferimento.altro tempo per un altro sistema di riferimento.

Trasformazione dei valori del tempo per due Trasformazione dei valori del tempo per due sistemi di riferimento.sistemi di riferimento.

Consideriamo due sistemi di riferimento (due Consideriamo due sistemi di riferimento (due astronavi) in moto relativo alla velocità rettilinea astronavi) in moto relativo alla velocità rettilinea costante v uno per rapporto all’altro.costante v uno per rapporto all’altro.Supponiamo che ad un certo istante di tempo le Supponiamo che ad un certo istante di tempo le origini dei due sistemi di riferimento (dove sono origini dei due sistemi di riferimento (dove sono situati gli orologi) coincidano, questo ci permette di situati gli orologi) coincidano, questo ci permette di sincronizzare gli orologi ponendo t = 0 s.sincronizzare gli orologi ponendo t = 0 s.

Esperimento :Esperimento :

Sull’astronave 1 lanciamo un impulso luminoso Sull’astronave 1 lanciamo un impulso luminoso verso uno specchio alla distanza L e misuriamo il verso uno specchio alla distanza L e misuriamo il valore del tempo quando torna al punto di valore del tempo quando torna al punto di partenza.partenza.

Sistema di riferimento 1 :Sistema di riferimento 1 :

Il fascio di luce percorre una distanza 2 L alla velocità Il fascio di luce percorre una distanza 2 L alla velocità c e quindi impiega il tempo :c e quindi impiega il tempo :

c

L 2 t

Sistema di riferimento 2 :Sistema di riferimento 2 : Osservando dall’astronave 2, a causa del movimento Osservando dall’astronave 2, a causa del movimento

relativo, il fascio di luce appare compiere un percorro relativo, il fascio di luce appare compiere un percorro più lungo.più lungo.

Però la velocità con la quale si muove appare la Però la velocità con la quale si muove appare la stessa !stessa !

Quindi per il sistema di riferimento 2 il tempo al Quindi per il sistema di riferimento 2 il tempo al momento in cui fascio di luce ritorna è :momento in cui fascio di luce ritorna è :

c

SA 2 t'

Che relazione c’è tra il tempo misurato da Che relazione c’è tra il tempo misurato da 1 e quello misurato da 2 ?1 e quello misurato da 2 ?

)c

v( - 1

1t

v - c

c t t'

tc t' )v - (c

t c t' v t' c

) 2

t c ( )

2

t' v ( )

2

t' c (

L SB SA

222

2

22222

222222

222

2 22

Si pone di solito :Si pone di solito :

)c

v( - 1

1

2