La teoria della Relatività Ristretta

Liceo Classico “Seneca”

Prof. E. Modica

DOMANDE

Come misurereste la durata dell’oscillazione di un pendolo?

Cosa intendete per “intervallo di tempo”?

Cosa intendete per sistema di riferimento assoluto? Sapreste darne alcuni esempi?

Vi è stato riferito che il treno diretto per Roma parte alle ore 20 dalla stazione centraledi Palermo. Come potete verificarlo? E come può verificare ciò un vostro compagno chesi trova a Roma?

Supponete che un treno oltrepassi un marciapiedi ad una certa velocità e che uno di voisi trovi sul treno. Come si può misurare la lunghezza del marciapiede dal treno? Se unaltro vostro compagno misura tale lunghezza da terra, cosa vi aspettate in merito ai duevalori misurati?

Un capotreno accende una lampadina posta al centro di un vagone ferroviario. Comepercepisce l’arrivo della luce su due passeggeri seduti alle estremità opposte delsuddetto vagone? Se il treno sta passando da una stazione, cosa può dire ilcapostazione?

Un aeroplano viaggia a una velocità di 800 km/h circa e invia verso la torre di controlloun segnale luminoso. Con che velocità viaggia tale segnale?

Alcune domande…

Sul concetto di etere…

L’etere secondo Aristotele

Secondo il filosofo greco l'etere eral'essenza del mondo celeste,diversa dalle quattro essenze (oelementi) di cui si riteneva composto ilmondo terrestre: terra,aria, fuoco e acqua.

Aristotele credeva che l'etere fosseeterno, immutabile, senza peso etrasparente. Proprio per l'eternità el'immutabilità dell'etere, il cosmo eraun luogo immutabile, incontrapposizione alla Terra, luogo dicambiamento.

L’etere secondo Giordano Bruno

Propone una nuova cosmologiain cui l’Universo è ritenutoinfinito e scrive: “Oltre gli quaiquattro elementi che vegnonoin composizion di questi, è unaeterea regione, come abbiamdetto, immensa, nella qual simuove, vive e vegeta iltutto. Questo è l’etere checontiene e penetra ognicosa”.

L’etere secondo Newton (1643-1727)

Mentre nei suoi Principia(1687) dimostra rigorosamentequanto afferma, nella sua operaOpticks (1704) il fisico ponedelle domande (query) al lettoresu ipotesi non dimostrate,alcune di esse riguardanoproprio l’etere.

L’etere secondo Newton - OpticksQuery Contenuto

n.18

Il calore della stanza calda non è trasportato nel vuoto dalle vibrazioni diun qualche mezzo più sottile dell’aria, il quale, dopo che l’aria è statapompata fuori, rimane vuoto? […] E questo mezzo non èestremamente più raro e sottile dell’aria, ed è più elastico edattivo? E non penetra facilmente in tutti i corpi? E non è sparso(a causa della sua forza elastica) in tutti i cieli?

n.19La rifrazione della luce non procede dalla diversa densità diquesto mezzo etereo nei diversi luoghi, allontanandosi semprela luce dalle parti più dense del mezzo?

n.20Col passare dall'acqua, dal vetro, dal cristallo e da altri corpicompatti e densi nello spazio vuoto, non diventa, questo mezzoetereo, gradualmente sempre più denso […]?

n.21

Questo mezzo, non è molto più raro dentro i corpi densi del sole,delle stelle, dei pianeti e delle comete che nel vuoto spazioceleste esistente tra essi? E nel passare da quelli a distanzemolto maggiori, non diventa continuamente sempre più denso,e causa per ciò stesso la gravitazione di questi grandi corpi l'unoverso l'altro e delle loro parti verso i corpi: ogni corpocompiendo uno sforzo per andare dalle parti più dense delmezzo verso quelle più rare?

“ […] Il tempo assoluto, vero, matematico, in sé e persua natura senza relazione ad alcunché diesterno, scorre uniformemente, e con altro nome èchiamato durata; quello relativo, apparente evolgare, è una misura (esatta o inesatta) sensibile edesterna della durata per mezzo del moto, checomunemente viene impiegata al posto del verotempo: tali sono l'ora, il giorno, il mese, l'anno […]Tutti i movimenti possono essere accelerati oritardati, ma il flusso del tempo assoluto non puòessere mutato [...] “

Newton – Tempo assoluto

“ […] Lo spazio assoluto, per sua natura senzarelazione ad alcunché d'esterno, rimanesempre uguale e immobile; lo spazio relativo èuna dimensione mobile o misura dello spazioassoluto, che i nostri sensi definiscono inrelazione alla sua posizione rispetto ai corpi, ed ècomunemente preso al posto dello spazioimmobile [...] Così, invece dei luoghi e dei motiassoluti usiamo i relativi [...] “

Newton – Spazio assoluto

L’etere secondo Young e Fresnel

I due fisici si occuparono di otticanella prima metà del XIX secolo.

L'idea di Young a Fresnel fuche l'etere si comportasse piùcome un solido elastico chepermeava tutto l'universo mache, tuttavia, non opponevaresistenza al moto dei corpicelesti!

L’etere secondo Maxwell (1831-1879)

I lavori del fisico portano ariconoscere la natura ondulatoriadella luce.L'etere luminifero,considerato una necessitànell'ambito dell'otticaondulatoria, divenne anche ilmezzo attraverso cuipotevano propagarsi leperturbazionielettromagnetiche.L’etere diventa quindi un sistemadi riferimento assoluto.

Le equazioni di Maxwellcontenevano l'informazione che lavelocità di propagazione delle ondeelettromagnetiche, e dunque anchedella luce, avesse un valore bendefinito e pari a c=300.000 km/s.Ma c rispetto a che cosa?

Esperimento di Michelson e Morley

Poiché la Terra ruota intorno alSole, essa doveva essere inmoto rispetto all’etere e pertale ragione doveva esseresoggetta alle trasformazioni diGalileo.

Michelson e Morley, tra il1881 e il 1887, vollero metterein evidenza questo fatto, main realtà pervennero ad unrisultato differente.

L’interferometroUna sorgente di luce S monocromatica

emette un raggio di luce nelladirezione SP.

P è uno specchio semitrasparente,disposto ad un angolo di 45° rispettoal raggio luminoso: di quest’ultimouna parte r1 viene riflessa verso lospecchio S1 e una parte r2 vienetrasmessa verso lo specchio S2.

Del primo raggio r1, riflesso da S1, unaparte attraversa P e viene raccoltadal cannocchiale C e così pure delsecondo raggio r2, riflesso da S2, unaparte viene riflessa da P verso ilcannocchiale C che riceve così dueraggi luminosi fra di loro coerenti(cioè hanno stessa intensità, stessaampiezza e stessa lunghezzad’onda).

L’interferometro

Secondo l’ipotesi dell’etere…ma…

Se supponiamo che valga l’ipotesi dell’etere e che questo sia fermo rispettoal sistema solare, la velocità della luce sarebbe allora pari a c rispetto alsistema solare ma non rispetto a un sistema di riferimento terrestre: laTerra si muove infatti intorno al sole in un moto praticamente circolarecon velocità v.

Supponiamo che inizialmente l’apparato sperimentale sia orientato inmodo che il braccio SS1 sia parallelo alla velocità v della Terra. Rispettoall’apparato, il raggio r1 si muove, nell’ipotesi dell’etere, con velocità c+vmentre esso viaggia da S a S1; e con velocità c-v mentre esso viaggia da S1a S.

Se ruotiamo l'interferometro di 90°, anziché al raggio orizzontale la velocitàorbitale della Terra si sommerà al raggio verticale, e dunque la differenzadi cammino ottico fra i due raggi varierà; si dovrà quindi avere unospostamento nelle frange di interferenza.

In realtà non venne osservato nessuno spostamento, sebbene gli strumentiutilizzati fossero molto sensibili ed alla stessa conclusione giunsero tutticoloro che, con tecniche più o meno perfezionate, ripeterono lo stessoesperimento.

Conclusioni dedotte dall’esperimento

L'esperienza di Michelson e Morley voleva mettere in luce l’esistenzadi una sorta di « vento d'etere » ed il moto relativo rispetto dellaTerra rispetto all’etere, assumento valide le trasformazioni diGalileo.

Il fallimento di tale esperienza smentì gli assunti di partenza,mostrando una volta per tutte che la luce ha sempre la stessavelocità per tutti gli osservatori e che evidentemente letrasformazioni di Galileo NON sono valide per tutti i sistemi diriferimento in moto relativo l'uno rispetto all'altro.

Alcune delle possibili spiegazioni sono le seguenti:

la terra è solidale all'etere;

la terra trascina parzialmente l'etere, come trascina l'aria;

le equazioni di Maxwell sono errate.

L’ultima possibilità, già alla fine del secolo scorso, era da ritenersiinaccettabile, soprattutto per le verifiche sull'esistenza delle ondeelettromagnetiche.

I principi della Relatività Ristretta

La velocità della luce nel vuoto è sempre la stessa

indipendentemente dal moto della sorgente o

dell’osservatore.

Le leggi della natura sono identiche in tutti i sistemi

di riferimento inerziali e tutti i moti sono relativi.

Vale la trasformazione galileiana delle velocità.

Dati in possesso di Einstein (1905)

“Un aeroplano viaggia a una velocità di 800 km/h circa e inviaverso la torre di controllo un segnale luminoso. Con che velocitàviaggia tale segnale?”

Contraddizione tra: costanza della velocità della luce legge di addizione delle velocità.

Da un lato la velocità della luce deve essere costante e indipendentedal sistema di riferimento, dall’altro, in base al principio direlatività galileiana, il segnale luminoso dovrebbe viaggiare aduna velocità superiore rispetto a quella della luce.

Infatti, sommando la velocità dell’aeroplano alla velocità delsegnale luminoso risulterebbe:

cioè :

vsegnale > c.

Contraddizione

skmvsegnale

/2000,300

I dati sperimentali confermavano la costanza della velocitàdella luce e non rimaneva che abbandonare letrasformazioni galileiane e sottoporre a revisione i concettidi spazio e di tempo.

Fu proprio quello che fece Einstein, basando la sua teoria sui due postulati: non esiste alcun sistema di riferimento privilegiato e le leggi della

fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali (invarianza delle leggi della fisica);

la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali (costanza della velocità della luce).

Postulati della relatività ristretta

Dal momento che per descrivere un qualsiasifenomeno fisico è necessario considerare ilfatto che esso sia avvenuto: ad un certo istante,

in un dato punto dello spazio,

è necessario aggiungere un’ulterioreinformazione al sistema di coordinate (x, y, z),ovvero la coordinata temporale,pervenendo alla quaterna (x, y, z, t) cheprende il nome di evento.

Cosa s’intende col termine evento?

“Vi è stato riferito che il treno diretto per Roma parte alle ore 20 dallastazione centrale di Palermo. Come potete verificarlo? E come puòverificare ciò un vostro compagno che si trova a Roma?”

Per accertare l’effettiva partenza del treno alle 20, occorre che il nostroorologio segni le ore 20 nell’istante in cui il treno si mette inmovimento. Tuttavia per l’amico che si trova a Roma non è affattosemplice decidere se i due eventi “partenza del treno” e“puntamento delle lancette dell’orologio alle 20” sonosimultanei.

Fu proprio questo il problema sul quale si soffermò Einstein: comepossiamo essere sicuri della simultaneità di due eventi che accadonoin punti dello stesso sistema di riferimento posti a notevole distanzafra loro o che si muovono a velocità vicine a quelle della luce?

Concetto di simultaneità

Considerando come fenomeni due corpi che emettono luce:“due fenomeni F1 e F2, che avvengono nei punti P1 e P2, sonosimultanei se la luce che essi emettono giunge nello stesso istantein un punto P equidistante da P1 e P2 ”.

Se le distanze P1P e P2P sono eguali, i raggi di luce (che hanno la stessavelocità a prescindere dal tipo di moto del sistema al qualeappartengono i punti suddetti) impiegano intervalli di tempo ugualiper percorrerle, di conseguenza se i due segnali luminosi arrivano inP nello stesso istante, devono essere partiti simultaneamente.

Definizione di simultaneità

Primo procedimento:due ragazzi, muniti di

orologi si trovano in duepunti A e B dello stessosistema di riferimento.Quando il ragazzo in Avede l’orologio del ragazzoin B, sincronizza il suo allastessa ora.

Secondo procedimento:due ragazzi si incontrano

nello stesso luogo persincronizzare i loroorologi e,successivamente,ritornano nei punti A e B.

COMMENTO

Primo caso: l’inesattezza è dovuta al fattoche l’orologio di B è in anticipo rispetto aquello di A del tempo impiegato dal segnaleluminoso per andare da B ad A

Secondo caso: Durante il moto i due orologipotrebbero non marciare con lo stesso ritmo.

Procedure di sincronizzazione

Procedure di sincronizzazioneMetodo proposto

Misurata la distanza AB = d , ilragazzo in A, all’istante t = 0,invia un segnale luminoso e,quando B riceve il segnale, poneil suo orologio al tempo t = d/c .Questo metodo tiene conto deltempo impiegato dal segnaleluminoso a percorrere il trattoAB.

Analogamente si potrebbe collocareun terzo osservatore nel puntomedio di AB il quale comunicacontemporaneamente ad A e B inquale istante debba avvenire lasincronizzazione.

“Un capotreno accende unalampadina posta al centro di unvagone ferroviario. Comepercepisce l’arrivo della luce sudue passeggeri seduti alleestremità opposte del suddettovagone? Se il treno sta passandoda una stazione, cosa può dire ilcapostazione?”

Evento = “arrivo del segnale luminoso a ciascun passeggero”

Punto di vista 1: capotreno

Punto di vista 2: capostazione

Seguendo il senso comune i dueosservatori devono essere senz’altrod’accordo nel giudicare gli eventisimultanei.

E invece non è così!

Punto di vista 1: la luce giungecontemporaneamente sui duepasseggeri;Punto di vista 2: la luce illuminaprima il passeggero che sta alla codadel treno, se quest’ultimo viaggia dasinistra verso destra.

Simultaneità degli eventi

Non è possibile dare una risposta assoluta!!

Nonostante i due osservatori si siano attenuti alla definizione operativadi simultaneità, le risposte sono diverse. Il giudizio di simultaneità èrelativo!

Quindi il tempo assoluto non ha significato fisico, lo avrebbe soltanto sela luce si propagasse a velocità infinita: soltanto in quel caso il giudizio disimultaneità sarebbe assoluto!

«Se, in un sistema inerziale, due eventi avvengonocontemporaneamente in due posti diversi, rispetto a un altrosistema inerziale, in moto relativo rispetto al primo, essisono giudicati accadere in tempi diversi ».

“I due eventi sono stati simultanei o no?”

“[…] Non vi è infatti dubbio che, se si potesse trasmettereistantaneamente in tutti i punti dello spazio l’informazionedell’avvenuta esplosione di due stelle lontanissime l’una dall’altra,sarebbe chiaro a tutti i possibili sperimentatori, qualunque sia lo statodi moto del loro sistema di riferimento, che cosa si intende con la frase“le due stelle sono esplose nello stesso istante”; avrebbe cioè uneguale senso per tutti il concetto di simultaneità di due eventi cheaccadono in punti lontani dello spazio. Ma, se esistesse la simultaneitàassoluta, sarebbe possibile sincronizzare tutti gli orologi dell’universo,per quanto in moto relativo e lontani l’uno dall’altro, e quindiesisterebbe un tempo assoluto che “scorrerebbe” uguale per tutti gliosservatori, sia fermi che in moto. Poiché la possibilità di trasmetteresegnali con velocità infinita non esiste, capovolgendo il ragionamento,si rende plausibile il fatto che il tempo non “scorre” ugualmente insistemi di riferimento in moto l’uno rispetto all’altro [...]”

Einstein - Zur Elektrodynamik Bewegter Körper

La dilatazione dei tempi

Esperimento

La posizione degli eventi “influenza” l’intervallo di tempo

Osservatore 1 Alfredo (Treno)

Osservatore 2 Marika (Terra)

Evento 1accensione dellampeggiatore

Evento 2

arrivo allasorgente dellaluce di ritornodopo unariflessione suuno specchioancorato alsoffitto

Alfredo

Per Alfredo i due eventiavvengono nello stesso luogo equindi può misurare l’intervallodi tempo con il medesimoorologio collocato sul posto.

Se D è l’altezza del vagone,allora Alfredo misureràl’intervallo di tempo tra i dueeventi secondo la relazione:

c

Dt

20

MarikaMarika vede il raggio di luce come

in figura, poiché l’apparatosperimentale si muove col trenodurante l’intervallo di tempotra i suddetti eventi.

c

Lt

2

2

2

2

1DtvL

.

2

2

0

1c

v

tt

Per lei i due eventi accadono in luoghi diversi nel suo sistema di riferimento,quindi deve utilizzare due orologi sincronizzati, uno per ciascun evento.Poiché il raggio luminoso percorre una distanza 2L , calcola che l’intervallo ditempo è:

dove:

da cui, essendo D = c∆t0/2, si ha:

L’intervallo di tempo misurato da Marika è maggiore diquello misurato da Alfredo

“Cos’è il tempo proprio?”

E’ l’intervallo di tempo misurato nel sistema di riferimento incui due eventi accadono nello stesso luogo.

L’intervallo di tempo misurato in qualsiasi altro sistemainerziale è sempre maggiore del tempo proprio.

L’aumento dell’intervallo temporale tra due eventi per unosservatore che non misuri il tempo proprio è dettodilatazione del tempo.

Conclusioni

Paradosso dei gemelliÈ un esperimento mentale pensato per mettere in

luce una contraddizione nella teoria dellarelatività ristretta.

In realtà tale contraddizione non esiste!

“Ci sono due gemelli A e B. A rimane fermosulla Terra, mentre B si dirige verso unastella lontana viaggiando su unanavicella che si muove alla velocità dellaluce. Supponiamo che B torni sulla Terradopo 5 anni. Data la legge delladilatazione dei tempi, A è invecchiato,invece B no”.

Dove sta il paradosso?Uno dei postulati della Relatività Ristretta di Einstein ci dice che non esiste un sistema di

riferimento privilegiato. Dunque un osservatore solidale con della Terra vedràchiaramente quest’ultima ferma e la navicella muoversi alla velocità della luce. (Questo èquello che vede il gemello A)

Se scegliamo un sistema di riferimento diverso, ad esempio solidale con la navicella, inquesto caso la navicella sarebbe ferma e sarebbe la Terra a muoversi alla velocità dellaLuce rispetto all’ osservatore. (Questo è quello che vede il gemello B)

Tra i due sistemi di riferimento nessuno è privilegiato!

Il paradosso è dunque il seguente: il gemello B potrebbe ragionare come A e arrivare allestesse conclusioni del Fratello. B si aspetterebbe di trovare, nel momento dell’incontro, ilfratello A più giovane di lui ed invece ciò non accade .

C’è dunque una asimmetria qualcosa che non quadra. A fa i calcoli e quando incontra Bquesti si dimostrano corretti, mentre quelli di B sono sbagliati: eccolo il Paradosso!

Il paradosso è dunque questa asimmetria!

Il paradosso si spiega considerando che in realtà l’asimmetria degli avvenimenti siconcretizza perché il gemello sulla navicella deve far effettuare all’astronave manovre diaccelerazione e decelerare per rincontrare il fratello, mentre quello sulla Terra èfermo (o comunque viaggia ad una velocità costante).

Quando nella relatività einsteiniana si ha a che fare con decelerazioni la Relatività Ristretta(che i gemelli userebbero per effettuare i calcoli ) non è sufficiente, si ha bisogno dellaRelatività Generale un modello in cui sono inclusi i fenomeni di accelerazione e gravità.

La contrazione delle lunghezze

“Supponete che un treno oltrepassi un marciapiedi ad una certa velocità

e che uno di voi si trovi sul treno. Come si può misurare la lunghezza

del marciapiede dal treno? Se un altro vostro compagno misura tale

lunghezza da terra, cosa vi aspettate in merito ai due valori

misurati?”

Per effettuare la misura della lunghezza del marciapiede dal treno, si

incontra la difficoltà di dover annotare le posizioni delle sue estremità

simultaneamente.

Relatività della simultaneità ⇒ la lunghezza è pure una quantità

relativa.

Contrazione delle lunghezze

Esperimento

Marika misura la lunghezza del marciapiede con un metro a nastroe trova L0 che rappresenta la lunghezza propria perché è fermarispetto al marciapiede.

Un segno di riferimento sul treno percorre questa lunghezza in untempo ∆t=L0/v , se v è la velocità del treno:

“Ma ∆t è un tempo proprio?”

No, perché i due eventi che lo delimitano (il segno passa incorrispondenza dell’inizio del marciapiede; il segno passa incorrispondenza della fine del marciapiede) avvengono in due luoghidiversi.

Misura della lunghezza di un marciapiede

tvLo

Esperimento

Per Alfredo il marciapiede è in movimento, per cui i due eventimisurati da Marika accadono nello stesso luogo nel suo – diAlfredo – sistema di riferimento.

Lunghezza misurata da Alfredo:

L = v∆t0

con ∆t0 tempo proprio.

“La lunghezza misurata da Alfredo è la stessa di quella misurata da Marika?”

Dividendo membro a membro le espressioni di L ed Lo si ha:

0L

L

Misura della lunghezza di un marciapiede

Essendo γ>1, la lunghezza del marciapiede perl’osservatore in moto risulta sempreinferiore alla lunghezza del marciapiede perl’osservatore fermo.

Il moto relativo, pertanto, provoca unacontrazione della lunghezza ed prende ilnome di lunghezza contratta.

Poiché γ aumenta con la velocità v, lacontrazione della lunghezza si accentua conl’aumentare della velocità relativa.

Conclusioni

La realtà si basa sulle osservazioni e sullemisurazioni; se i risultati sono sempre coerenti ese non si riscontra nessun errore, ciò che siosserva e si misura è reale. In tal senso lacontrazione dell’oggetto è reale. Tuttavia si è piùprecisi affermando che la misurazione dellacontrazione dell’oggetto è reale: ilmovimento influenza tale misurazione e,pertanto, la realtà.

“Ma l’oggetto si contrae davvero?”

Un treno è in moto rispetto al suolo con velocità v e sudi esso un passeggero si muove con velocità v’rispetto al treno.

Composizione delle velocità

“Qual è la velocità vs del passeggero rispetto al suolo?”

Si dimostra che:

Composizione delle velocità

2

'1

'

c

vv

vvv

s

La precedente relazione:• contiene la legge classica di composizione delle velocità come casolimite quando le velocità v e v’ sono sufficientemente piccole rispettoalla velocità della luce;• nell’ipotesi che v e v’ siano uguali alla velocità della luce, conduce a:

in accordo con il postulato che la velocità della luce sia unavelocità limite e che abbia lo stesso valore in tutti i sistemi diriferimento.

c

c

cc

ccv

s

21

permette

tramite la quale si

def iniscono modif icano il concetto

di

da cui deriv ano

Trasformazioni di Einstein -

Lorentz

Relatività Ristretta

Costanza della

velocità di

propagazione

della luce

Invarianza delle

leggi della fisica

nei sistemi

inerziali

si basa su

sincronizzazione degli orologi

eventi simultanei

contrazione delle

lunghezze

dilatazione dei tempi

nuova legge di composizione delle velocità