I modelli matematici

Il rapporto tra la realtà concreta e la realtà astratta

3° incontro

Determinismo e meccanicismo

(Lettura pg. 9)

«…La regolarità che l’Astronomia ci mostra nel moto delle comete, ha luogo,

senza dubbio, in tutti i fenomeni. La curva descritta da una semplice molecola

d’aria o di vapori, è determinata in modo altrettanto certo delle orbite

planetarie: non vi è altra differenza tra esse che quella dovuta alla nostra

ignoranza.»

(Laplace, 1825)

E’ proprio così?

E’ così per tutti i fenomeni della meccanica?

E per gli altri?

La critica di Fourier (1822)

«… quale che sia l’estensione delle teorie meccaniche, esse non si applicano agli effetti del calore. Questi formano un ordine speciale di fenomeni che non possono essere spiegati con i principi del moto e dell’equilibrio.

Secondo Fourier …si tratta di seguire il modello di prassi scientifica offerto dalla meccanica, adattando caso per caso i metodi sperimentali e le tecniche matematiche, e mantenendo fermo il principio generale di una spiegazione di tipo deterministico dei fenomeni.»

Il progetto, eccessivamente rigido, di ricondurre tutta la scienza alla meccanica fu perciò pian paino soppiantato dall’analogia meccanica

Esempi di analogia meccanicaFisica

(moto uniforme)

s= spaziov= velocitàt= tempo

s(t)=s0 + vt

Economia(incremento capitale)

c= capitalei= tasso interesse

t= tempo

c(t)=c0 + it

Esempios0=20 km

v= 100 km/ht= 4 ore

s(4)= 20 + 400= 420 km

Esempioc0= 1000 €

i= 2,5% annuot= 1 anno

c(1)= 1000 + 0,025*1000= 1025 €

Metereologia(variazione temp con altitudine)

T= temperaturai= incremento ogni 1000 m

h= altitudine

T(h)=T0 + ih

EsempioT0= 20 °C

i= -5h= 2500 m

T(2500)= 20 + (-5)*2,5= 7,5 °C

MODELLO

y = ax + b

Le nuove scoperte del XX secolo

I primi decenni del nostro secolo videro crisi e svolte drammatiche nella

scienza, legate soprattutto all’affacciarsi della teoria della relatività che mette in crisi i concetti di spazio e tempo assoluti, di etere, di eventi

simultanei, e della teoria dei quanti, che mette in discussione la rappresentazione continua dei fenomeni, ipotizzando che l’energia vari in modo discontinuo.

La meccanica quantistica mostrò poi che, al livello microscopico, posizione evelocità di una particella non possono essere determinate simultaneamente. E cosi colpì la validità generale del principio secondo cui la conoscenza di posizione e velocità di un corpo in moto ne determina l’evoluzione futura (cioèdello stesso principio del determinismo).

Le nuove scoperte del XX secolo

(Lettura pg. 10)

«Forse agli occhi dei nostri posteri il momento storico attuale apparirà come a noi quello del Rinascimento, in cui il concetto del sistema del mondo cambiò la base stessa su cui era poggiata.»

(Vito Volterra – matematico e fisico italiano -1907)

Un nuovo concetto di modello

Si cominciò a pensare a costruire, mediante il linguaggio matematico, descrizioni

astratte, valide per molti casi diversi e quindi capaci di unificarli sul piano

dell’analogia della forma descrittiva.

I nuovi modelli matematici furono cioè schemi astratti di contenuti possibili da

riempire di volta in volta di reali contenuti diversi. Modelli capaci, quindi, di

produrre un’unificazione nella descrizione dei fenomeni, ma soltanto sul piano

linguistico-formale.

Il modello degli elementi finiti

Ponte Musmeci - Potenza

Boeing 747

Il modello degli elementi finiti

La definizione di modello«Per modello s’intende un costrutto matematico che, con l’aggiunta di certe interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati. La giustificazione di un siffatto costrutto matematico è soltanto e precisamente che ci si aspetta che funzioni – cioè descriva correttamente i fenomeni in un’area ragionevolmente ampia. Inoltre esso deve soddisfare certi criteri estetici – cioè, in relazione con la quantità di descrizione che fornisce, deve essere piuttosto semplice».

John Von Neumann - 1950

La definizione di modello

NB.

• Caratteristica e valore di un modello non è la sua verità ma la sua «efficacia»

• «criteri estetici», ovvero deve soddisfare quel che potremmo chiamare un buon rapporto costi-benefici tra la semplicità del modello e la sua efficacia descrittiva.

La definizione di modello

Un modello matematico è la rappresentazione formale di idee o conoscenze relative a un fenomeno

Edmond Malinvaud - Méthodes statistiques de l’économetrie - 1964

NB.

• è la rappresentazione di un fenomeno

• non discorsiva ma formale, espressa cioè in linguaggio matematico

• di idee o conoscenze relative a un fenomeno*

*di idee o conoscenze relative a un fenomenoLa realtà è costituita da un intrico complesso e inestricabile di fenomeni, da impedire una descrizione semplice e schematica, qual è quella matematica.

Occorre individuare l’oggetto della nostra indagine.

Esempio: il moto di un proiettile lanciato da un fucile

ASPETTI DINAMICI• la velocità del proiettile, • la sua traiettoria, • l’attrito dell’aria, • la forma del proiettile, • la forza impressa al momento del lancio, • l’effetto del vento

ALTRI ASPETTI• le deformazioni• le modificazioni chimiche• le variazioni di temperatura• gli effetti acustici• lo spostamento d’aria• gli effetti ottici

Per descrivere un fenomeno dobbiamo quindi fare delle scelte, selezionarne degli aspetti: “difalcare gli impedimenti”

Modelli matematici in ambiti diversiGià nel 1700 vista l’efficacia dei modelli matematici, si è pensato di estendere la loro applicazione ad ambiti non matematici. Il primo caso importante: l’inoculazione del vaiolo.

Nel 1753, a Parigi, morirono di vaiolo 20.000 persone, a Napoli nel 1768 in poche settimane 60.000, a Berlino, nel 1766, 1077 e ad Amsterdam, nel 1784, 2000 persone.A seguito di alcuni esperimenti parve che l’inoculazione preventiva del siero infetto aumentava le aspettative di vita.

Al matematico Daniel Bernoulli parve che il modo migliore per convincere dell’efficacia del vaccino fosse quello di dimostrare in termini matematici esatti i vantaggi dell’inoculazione.

In una memoria presentata all’Accademia delle Scienze di Parigi nel 1765, egli derivò da alcune ipotesi semplificatrici il numero di persone che sarebbero dovute morire in un dato periodo e il guadagno medio nell’aspettativa di vita per gli inoculati.

Il confronto con le tavole di mortalità disponibili convalidava il risultato matematico di Bernoulli, e suggeriva che l’inoculazione era vantaggiosa.

L’irragionevole efficacia della matematica

La persistente efficacia della matematica nel descrivere e prevedere l’andamento di

tanti fenomeni era un dato che non poteva essere ignorato, tuttavia esso diventava un

enigma, non potendosi più dire che il mondo era stato strutturato in modo matematico

ma solo che la matematica era un linguaggio estremamente efficace per analizzarlo,

niente più che un linguaggio. Quel che per Galileo era un’evidenza sorretta da una

credenza metafisica – “il mondo è stato scritto da Dio in lingua matematica” –

diventava un mistero e l’efficacia della matematica qualcosa che non poteva essere

spiegato razionalmente.

(Giorgio Israel – epistemologo italiano 2° metà XX sec.)

Letture pag. 11

L’irragionevole efficacia della matematica

«L’efficacia della matematica è un fatto addirittura irragionevole, incomprensibile. I concetti della matematica conducono a connessioni del tutto inattese che spesso permettono una descrizione inaspettatamente precisa e accurata dei fenomeni. Siccome non capiamole ragioni di tale utilità, non possiamo sapere se una teoria formulata in termini di concetti matematici sia univocamente appropriata. [...] L’enorme utilità della matematica nelle scienze naturali è qualcosa che sconfina nel mistero e non esiste alcuna spiegazione razionale di essa».

«Il miracolo dell’appropriatezza del linguaggio matematico per la formulazione delle leggi della fisica e di altre discipline è un dono meraviglioso che noi né comprendiamo né meritiamo.Dovremmo essere grati per questo dono e sperare che rimanga valido nella ricerca futura e che si estenda a sempre più vasti rami della conoscenza.»

(Eugene Wigner – fisico e matematico ungherese - XX sec)

EFFICACIA DELL’IDEA DI MODELLO IN AMBITI DIVERSI

Musica

Prof. Moreno Andreatta docente di matematica all’università P.&M. Curie di Parigi – cattedra di modelli matematici nella musica

EFFICACIA DELL’IDEA DI MODELLO IN AMBITI DIVERSITerremoti

emedicina

Prof. Alfio Quarteroni docente di analisi numerica Politecnico di Milano

La “ragionevole inefficacia” della matematica«È questa una situazione del tutto diversa da quella che si presenta nellescienze fisiche, dove piccole differenze permettono spesso di scegliere fra diverse teorie in competizione. La situazione è talmente difficile che molti ecologisti mettono seriamente in dubbio la possibilità che la matematica possa giocare un ruolo qualsiasi che possa essere utile in biologia.»

Letture pag 12

Biologia

«Basti pensare alla vastissima modellistica consacrata alla diffusione dell’AIDS:

centinaia e centinaia di articoli che non hanno permesso di avanzare di un solo passo

nella direzione di una comprensione della dinamica della malattia e non hanno fornito

attendibili strumenti di previsione delle modalità della sua diffusione.»(George Oster – biologo americano -1976)

La “ragionevole inefficacia” della matematicaNell’estate del 1998, pochi mesi dopo l’assegnazione del premio Nobel a due dei suoi fondatori (Merton e Scholes), il fondo d’investimento Ltcm collassa rovinosamente. La crisi finanziaria russa non era stata prevista dal suo modello di funzionamento. Per un momento, la crisi minaccia di far crollare l’insieme delle complesse architetture fondate sulle

nuove teorie matematiche. Ma poi tutto riprende a procedere come se nulla fosse.

Letture pag. 12

Economia

All’inizio degli anni novanta la banca JP Morgan elabora un modello chiamato Value at Risk (VaR) con il quale si illude di aver scoperto la formula per calcolare con precisione matematica il rischio di qualsiasi investimento. [...] Per un breve momento, gli analisti quantitativi delle banche d’affari realizzano il sogno degli ignoranti istruiti di tutti i tempi. Partendo dalla loro padronanza di una ristretta nicchia del sapere, arrivano a dominare il mondo, accumulando immense fortune e lasciando attoniti i plebei che non hanno la più pallida idea di cosa stiano combinando. [...] Peccato che, nel 2008, la realtà s’immischi nuovamente della teoria. E che stavolta,anziché trattarsi di un mero incidente di percorso, si tratti di un cataclisma difficile da ignorare. Tanto più imbarazzante in quanto le formule degli analisti di Wall Street lo ritenevano impossibile.

Efficacia e incertezza dei modelli matematici in ambiti diversi

Una sintesi

Potremmo sintetizzare la situazione dicendo che la matematica,

di fronte alle problematiche sollevate dallo studio dei fenomeni in cui

intervengono fattori di libera scelta, offre un menu povero,

composto di due soli ingredienti – quello determinista e quello

probabilista – che appaiono insufficienti a rappresentare la complessità

dei comportamenti soggettivi.

Conclusione

«…l’invito a coltivare l’umanesimo – a fondare un umanesimo postdigitale – è di

grande valore. Ed è anche un modo per nobilitare la matematica più di quanto lo

sia agitare la formula “il mondo è matematico” in modo mistico e acritico,

occultandone gli insuccessi. Una matematica che pretendesse di riassorbire

tutto esprimerebbe la tentazione puerile di ridurre ogni aspetto della realtà a

fattori quantitativi, che debbono invece esser lasciati convivere armoniosamente

con gli aspetti irriducibilmente qualitativi.

Pertanto, un approccio umanistico significa anche salvare la specificità della

ricchezza concettuale della matematica nelle sue relazioni con tutte le altre

attività conoscitive umane, anziché impoverirla nel tentativo fallimentare di farle

assorbire ogni aspetto della realtà.»(Giorgio Israel – epistemologo italiano 2° metà XX sec.)