Relatività Ristretta

1Prof Giovanni Ianne

1. L’invarianza della velocità della luce

4. Relatività della simultaneità

5. La contrazione delle lunghezze

6. La dilatazione dei tempi

8. Relazione fra massa, velocità ed energia

2. L’esperimento di Michelson Morley

3. Gli assiomi della teoria della relatività ristretta

7. Il paradosso dei gemelli

Relatività Ristretta

La luce è un’ onda elettromagnetica, cioè un’ onda trasversale

che si propaga anche nel vuoto.

Dalla teoria di Maxwell dell’ elettromagnetismo si deduce per

via teorica il valore numerico della velocità della luce nel vuoto,

che risulta lo stesso in tutti i sistemi di riferimento, qualunque sia

la loro velocità relativa. Quindi la velocità della luce è un’

invariante, cioè una grandezza fisica che non dipende dal

sistema di riferimento in cui è prodotta o misurata.

La teoria di Maxwell risulta in apparente disaccordo con la

meccanica Newtoniana, in particolare, con le trasformazioni di

Galileo.

L’invarianza della velocità della luce

2Prof Giovanni Ianne

Relatività Ristretta

Newton

• Un sistema di riferimento si dice inerziale se in esso sono

soddisfatte le tre leggi della dinamica di Newton.

• Secondo la meccanica classica: dato un sistema di riferimento

inerziale, sono inerziali tutti i sistemi di riferimento che si

muovono con velocità costante rispetto al sistema dato.

• Le leggi del moto sono sempre le stesse in ogni sistema di

riferimento inerziale.

• La velocità di un corpo rispetto ad un altro obbedisce alla

legge di composizione delle velocità.

• Le leggi della meccanica sono invarianti rispetto alle

trasformazioni di Galileo. 3

Relatività Ristretta

Tutte le leggi della meccanica sono invarianti rispetto alle

trasformazioni di Galileo.

x, x’

y y’

z’z

O O’

V

x

P

vt x’

Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali in moto rettilineo

uniforme l’ uno rispetto all’ altro con velocità v.

4Prof Giovanni Ianne

Relatività Ristretta

Tutte le leggi della meccanica sono invarianti rispetto alle

trasformazioni di Galileo

x, x’

y y’

z’z

O O’

V

x

P

vt x’

Consideriamo un evento

qualsiasi che accade in un

punto P le cui coordinate

spazio-temporali vengono

valutate in entrambi i

sistemi di riferimento.

Un osservatore solidale con il primo sistema di riferimento

inerziale e un secondo osservatore solidale con il secondo sistema

di riferimento inerziale, identificano entrambi lo stesso evento P.

Relatività Ristretta

Trasformazioni di Galileo

x, x’

yy’

z’z

O O’

V

x

P

vt x’

x’ = x – v t

y’ = y

z’ = z

t’ = t

Le trasformazioni di Galileo legano i valori di x, y, z, t a x’, y’, z’, t’.

Le trasformazioni di Galileo consentono di trasformare le coordinate

spazio-temporali di un evento che avviene in un sistema di riferimento

inerziale K nelle coordinate di quello stesso evento relative a un

sistema di riferimento inerziale K’, in moto rettilineo uniforme

rispetto a K.

K K’

Relatività Ristretta

L’invarianza della velocità della luce

Le leggi di Newton sono valide solamente in sistemi di

riferimento inerziali, ossia sistemi di riferimento animati da un

moto relativo rettilineo ed uniforme.

In base alla meccanica la velocità della luce cambia da un

sistema di riferimento ad un’ altro come tutte le altre velocità.

La contraddizione tra meccanica ed elettromagnetismo viene ben

sottolineata dall’ esperimento di Michelson e Morley.

7Prof Giovanni Ianne

Relatività Ristretta

A metà dell’ Ottocento gli esperimenti sull’ interferenza e la

diffrazione della luce avevano convinto i fisici della natura

ondulatoria della luce, ma non era ancora chiaro di quale onda si

trattasse.

Si pensò che la luce fosse, come tutte le altre onde, una

pertubazione che si propaga in un particolare mezzo materiale,

chiamato etere luminifero, che riempie tutto l’ Universo.

L’esperimento di Michelson Morley

8Prof Giovanni Ianne

Relatività RistrettaL’esperimento di Michelson Morley

L’esperimento si basava sulla considerazione che, se il Sole era

fermo nello spazio, e dunque costituiva il sistema di riferimento

privilegiato a riposo rispetto all’etere, la Terra avrebbe dovuto avere,

a causa del suo moto di rivoluzione, una velocità costante di 29 km/s

nell’etere; se viceversa il Sole e l’intero sistema solare erano in

moto nello spazio, la variazione della direzione del moto orbitale

della Terra avrebbe dovuto modificare la velocità apparente della

Terra rispetto al Sole, con un contributo positivo in certe stagioni

dell’anno e negativo in altre. Il risultato dell’esperimento di

Michelson e Morley fu che la velocità della Terra rispetto all’etere

era nulla in qualsiasi periodo dell’anno, confutando l’esistenza del

mezzo cosmico ipotizzato.9Prof Giovanni Ianne

Relatività RistrettaL’esperimento di Michelson Morley

Nella pratica, la realizzazione dell’esperimento consisteva nella

rilevazione di una differenza di velocità di propagazione della luce

fra due raggi luminosi perpendicolari. Infatti, secondo la legge di

composizione delle velocità, se un raggio di luce e un osservatore si

muovono nello spazio nella stessa direzione, in particolare

rispettivamente alle velocità di 300.000 km/s e 29 km/s, la luce

dovrebbe superare l’osservatore con una velocità apparente data

dalla differenza fra le due; viceversa, se l’osservatore si muove in

direzione opposta, la velocità apparente della luce dovrebbe essere

la somma delle due velocità (analogamente si può dire se il moto

relativo dell’osservatore e del raggio di luce sono perpendicolari).

10Prof Giovanni Ianne

Relatività RistrettaL’esperimento di Michelson Morley

L’esperimento di Michelson e Morley, pur utilizzando un sofisticato

strumento di misura – un interferometro – sensibile a differenze di

velocità piccolissime, non riuscì a misurare alcuna discrepanza fra le

velocità dei due raggi di luce.

L’esperimento dimostrò così l’indipendenza della velocità della luce

dalla direzione di propagazione e il risultato, interpretato come

prova dell’inesistenza dell’etere, fu una conferma del principio di

relatività galileiano ed escluse la possibilità di un sistema di

riferimento privilegiato.

11Prof Giovanni Ianne

Primo postulato: Le leggi

della fisica sono le stesse

per TUTTI gli osservatori

INERZIALI.

Secondo postulato: La velocità

della luce c nel vuoto è

costante (3 · 108 m/s) per tutti

gli osservatori INERZIALI.

Relatività RistrettaPer risolvere la contraddizione tra meccanica ed

elettromagnetismo, Einstein propose di rifondare da capo la fisica

partendo da due assiomi (o principi).

12

Relatività RistrettaConsiderazioni sui postulati di Einstein

Il primo postulato estende a tutte le leggi

della fisica il principio di relatività, che

nella formulazione di Galileo riguardava

solo la meccanica.

Il secondo postulato o principio di invarianza di c spiega il

risultato negativo dell’ esperimento di Michelson – Morley.

Il secondo postulato è coerente con il primo. Se infatti la velocità

della luce non fosse una costante universale, le equazioni di

Maxwell dell’ elettromagnetismo non potrebbero avere la stessa

forma rispetto a tutti i sistemi di riferimento inerziali.

13Prof Giovanni Ianne

Nel 1904 Lorentz modificò le trasformazioni di Galileo per

ottenere un insieme di equazioni, note oggi come trasformazioni

di Lorentz, rispetto alle quali fossero invarianti le leggi

dell’elettromagnetismo.

Relatività Ristretta

I postulati della relatività ristretta conducono alle trasformazioni

di Lorentz

Dalle trasformazioni di Lorentz si deducono:

• Una nuova legge di composizione delle velocità;

• La modificazione del concetto di simultaneità;

• La contrazione delle lunghezze;

• La dilatazione dei tempi.

14Prof Giovanni Ianne

Relatività RistrettaTrasformazioni di Lorentz

Nel limite di c tendente ad infinito si riducono alle

trasformazioni della meccanica classica.

Nuova legge di composizione delle velocità:

V V ' v

1V 'v

c2

K e K’ sono i sistemi di

riferimento inerziali.

15Prof Giovanni Ianne

Simultaneità

I due eventi sono simultanei se la luce che emettono giunge nello

stesso istante in un punto equidistante.

Relatività Ristretta

16Prof Giovanni Ianne

Relatività della simultaneità

I segnali luminosi arrivano simultaneamente per Sig. Smile ma

non per il Sig. Smith che nel frattempo si muove verso una delle

due sorgenti.

Relatività Ristretta

17Prof Giovanni Ianne

La simultaneità è relativa

Due eventi che sono simultanei rispetto a un sistema di

riferimento non lo sono rispetto a un altro sistema in moto

rispetto al primo. Ciò dipende dal fatto che ogni osservatore,

indipendentemente dal moto della sorgente luminosa, vede la

luce propagarsi nel vuoto sempre alla stessa velocità in tutte le

direzioni.

Relatività Ristretta

18Prof Giovanni Ianne

x, x’

y

z’z

O O’

V

P

Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali in moto rettilineo

uniforme l’ uno rispetto all’ altro con velocità v.Supponiamo per semplicità che gli assi x e x’ siano sovrapposti e

gli assi y-y’ e z-z’ paralleli.

∙

y’

Consideriamo un’ asta a riposo

nel sistema inerziale O’x’y’z’

disposta parallelamente all’

asse x’.

Per l’ osservatore O’ non esistono problemi

di determinazione simultanea della posizione

degli estremi dell’ asta in quanto questa è

ferma rispetto al suo sistema di riferimento.

Per l’ osservatore O l’ asta è in moto rettilineo ed uniforme con

velocità v.

Relatività ristretta - La contrazione delle lunghezze

19Prof Giovanni Ianne

Relatività Ristretta – La contrazione delle lunghezze

Contrazione delle

lunghezze

xx

'

cv

2

2

1

1

Se indichiamo la misura della lunghezza dell’ asta con Δx nel

sistema Oxyz e con Δx’ nel sistema O’x’y’z’.

La lunghezza dell’ asta misurata nel sistema di riferimento in cui

essa è in quiete si chiama lunghezza propria dell’ asta.

Partendo dalle trasformazioni di Lorentz, si può dimostrare che la

lunghezza dell’ asta Δx, in moto relativo con velocità v rispetto all’

osservatore O, risulta minore della lunghezza propria Δx’. La

relazione tra le due lunghezze è:

20

Relatività Ristretta – La contrazione delle lunghezze

Δx è la lunghezza dell’ asta (m)

per l’ osservatore che la vede in

movimento.

v è la velocità relativa dei

due osservatori (m/s).

Δx’ è la lunghezza dell’ asta (m)

per l’ osservatore che la vede in

quiete.

21Prof Giovanni Ianne

Relatività RistrettaLa dilatazione dei tempi

y

z’z

O O’

V

P∙

y’

Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali in moto

rettilineo uniforme l’ uno rispetto all’ altro con velocità di

modulo v.Supponiamo per semplicità

che gli assi x e x’ siano

sovrapposti e gli assi y-y’ e

z-z’ paralleli.

x, x’

Consideriamo un orologio in quiete nel

sistema inerziale O’x’y’z’ che valuta

la durata di un qualsiasi evento.

L’ osservatore O’ si muove di moto rettilineo uniforme rispetto

all’ osservatore O con velocità di modulo v. 22

Relatività RistrettaLa dilatazione dei tempi

y

z’z

O O’

V

P∙

y’

x, x’

L’ intervallo di tempo fra due eventi misurato da un osservatore O’

che vede gli eventi verificarsi in uno stesso punto P si chiama tempo

proprio.

Prof Giovanni Ianne 23

Dilatazione dei

tempi

tt '

cv

2

2

1

1

La dilatazione dei tempi

Relatività Ristretta

La relazione tra i due intervalli di tempo è:

24Prof Giovanni Ianne

Relatività Ristretta – La dilatazione dei tempi

Δt è l’ intervallo di tempo

(s) per chi vede gli eventi in

punti diversi.

v è la velocità relativa dei

due osservatori (m/s).

Δt’ è l’ intervallo di tempo (s)

per chi vede gli eventi in uno

stesso punto.

L’ equazione indica come il tempo misurato dall’ osservatore O’ sia

più lungo rispetto a quello misurato dall’ osservatore O.

Possiamo quindi affermare che ogni orologio in movimento rispetto

a noi marcia con un ritmo più lento, cioè per un orologio in

movimento il tempo si dilata.25Prof Giovanni Ianne

Relatività Ristretta

Paradosso dei gemelli

Contraddizione nella teoria

della Relatività Ristretta?

Situazione simmetrica

26Prof Giovanni Ianne

Relatività Ristretta

Paradosso dei gemelli

Il paradosso dei gemelli è un esperimento mentale che sembra

rivelare una contraddizione nella teoria della relatività ristretta.

L'analisi che porta a tale conclusione è però scorretta: un'analisi

corretta mostra che non vi è alcuna contraddizione.

Un esperimento mentale, o esperimento concettuale, è un

esperimento che non si intende realizzare nella pratica, ma viene

solo immaginato: i suoi risultati non vengono, quindi, misurati

sulla base di un esperimento fisico in laboratorio, ma calcolati

teoricamente applicando le leggi della fisica.

27Prof Giovanni Ianne

Paradosso dei gemelli

Relatività Ristretta

Astronave a velocità v

vicina a quella della

luce

Esempio: v = 0.8 c 1/ = 0.6

Sul sistema in movimento il tempo scorre al

60% del tempo nel sistema in quiete

28Prof Giovanni Ianne

Paradosso dei gemelli

Relatività Ristretta

Sistema in quiete: Terra. Dilatazione dei

tempi il fratello rimasto sulla Terra è più

vecchio del suo gemello

Sistema in quiete: astronave. Dilatazione

dei tempi + contrazione delle lunghezze il

fratello a bordo dell’astronave è più vecchio del

suo gemello

Paradosso? 29

Paradosso dei gemelli

Relatività Ristretta

L’astronave non è un sistema di

riferimento inerziale

Risultato finale

Il gemello sulla Terra è più vecchio di

quello sull’astronave30

Relatività Ristretta

m0: massa (Kg) per l’ osservatore

che vede il corpo in quiete.

Equivalenza tra massa

ed energia

0mm

2mcE

m: massa (kg) per l’ osservatore

che vede il corpo a velocità v.

La relazione della massa relativistica

evidenzia che m cresce con il crescere della

velocità v del corpo, per tendere a infinito

quando v tende alla velocità della luce c.

31Prof Giovanni Ianne