Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare

A.A. 2007/8

Il corso, inizialmente, riprende brevemente alcuni argomenti sviluppati nel corso di IFNS, che sono alla base delle molteplici applicazioni che hanno beneficiato delle ricerche della Fisica Nucleare. Gli argomenti trattati verteranno principalmemte su: I)Fondamenti di Fisica Nucleare sperimenale.II) Radioattivita’ e radiazioni nucleari III) Energia Nucleare (reattori a fissione e fusione)IV) Applicazioni industriali di radioisotopi e radiazioneV) Tecnologie nucleari nell’industria e ricerca

Testi di riferimento:- Introductory Nuclear Physics - Kenneth S. Krane, Wiley- Nuclear Physics (Principles and Applications) - John Lilley, Wiley- Nuclear Methods in Science and Technology - Y.M.Tsipenyuk, IoP- Fundamentals of Nuclear Science and Engineering- J.K.Shultis,CRC

Proprieta’ del nucleo, Tecniche nucleari, Acceleratori, Sensori

Modelli nucleari

Nucleo atomico e’ un esempio di sistema quantistico a molticorpi.Impossibile sviluppare teoria esatta della struttura nucleare.

Sono due i tipi base di modello nucleare semplice:

1. Un sistema collettivo senza stati di particella individuale. Un esempio e’ il Liquid Drop Model che e’ alla base della formula semiempirica.

2.Un modello a particella individuale con i nucleoni in stati di energia discreta, per es. il Fermi Gas Model o Shell Model.

Modello a goccia:* per spiegare la stabilita’ della materia nucleare, * perche’ i nuclei stabili hanno un certo numero di protoni e neutroni,* per calcolare la energia di legame dei nuclei stabili ed instabili

Modello a shell:* per tener conto della struttura dei livelli energetici, * per permettere di calcolare la istemazione dei livelli e la loro densita’,* per fornire una descizione dlle proprieta’ dinamiche del nucleo.

Modello a gocciaSperimentalmente e non Weizsaecker(1935), propose il modello di nucleo come una goccia di liquido carico incompressibile, la cui massa si calcola come

€

V ∝A

€

V ∝A2

La formula e’ uno strumentoindispensabile per studiare le proprieta’ di stabilita’ dei nuclidi artificiali sconosciuti e di ottenere chiare indicazioni dei processidi decadimento dei nuclei

€

m(ZAX) = Zmp + (A − Z)m n−

1c2 {av A− asA

2/ 3 − acZ2

A1/3 −aa(A− 2Z)2

A−

ap

A}

€

av = 15.835MeV , as =18.33MeV , ac = 0.741MeV,aa = 23.20MeV , e ap = +11.2MeV ,0,−11.2MeV

Linea di stabilita’Il modello a goccia non dice nulla sulla struttura del nucleo, utile per predire la variazione di massa nucleare al variare di A e Z. Per un dato numero di massa A il nuclide piu’ stabile dell’isobaro e’ quello con massa piu’ piccola

€

∂m( ZAX)

∂Z

A

= m p −mn +1c2 2ac

ZA1/2 − 4aa

(A− 2Z )A

= 0

€

Z(A) = ( A2

)1+ (mn −mp )c 2 / (4aa )

1+ ac A2/3 / (4aa )

~3200 nuclidi di cui 266 nuclidi stabili,il resto nuclidi radioattivi

Tutti gli atomi a Z>83sono radioattivi

Numero di isotopi stabili per ciascun elemento o numero di protoni Z

Numero di isotopi stabili in funzione nel numero di neutroni N

Se Z o N sono in un numero pari a 8,20,28, 50, 82,126 ( num.magici)un nucleo e’ PIU’ stabile.

Modello a ShellBasato sul modello a shell atomico che spiega le proprieta’ periodiche degli atomi in termini di occupazione dei livelli energetici elettronici.

Quando il gruppo di livelli energeticiassociati con una shell sono tutti occupati si hanno atomi particolarmente stabili (chimicamente)-i gas nobili.

Nel caso nucleare ci sono particolari valori di Z e N ( cosidetti numeri magici) che sono significativi per quantoriguarda la struttura dei nuclei.

1. C’e’ un gran numero di isotopi, isotoni a quei particolari valori. Evidenziatodall’abbondanza degli elementi

2. Gli elementi stabili al termine delle principali serie radioattive hanno un numero magico di neutroni e/o protoni

3. La sez.d’urto dei nuclei con numero magico N di neutroni e’ due ordini di grandezza inferiore a quella degli altri.Indice che il nucleo e’ molto legato

4. I momenti di quadrupolo elettrico debbono essere zero per nuclei con shell complete perche’ essi hanno simmetria sferica

5. Nuclei con shell chiuse sono relativamente stabili e richiedono una considerevole energia per portarli fuori dallo stato fondamentale.

La lista di numeri magici per Z o N 2,8,(14),20,28.50,82,126

Un modello dellla struttura del nucleo deve includere la spiegazione dei numeri magici.

Il modello a shell e’ quello piu’ accreditato.Si basa sull’approssimazione di singola particellain cui l’effetto di tutti gli altri nucleoni e’ rappresentato da un potenziale.

€

V (r) = −V (0) /(1+ e( r−b )/a )con V(0)≈60 MeV,b≈1.25 A1/3fm, a≈0.65fm da exp. di scattering

€

Ψ(r) = Rnl (r)Υlm (θ,φ)

Le

€

Ψlm sono le stesse armoniche sferiche delle funzioni d’ondadell’atomo di idrogeno mentre la funzione radiale

€

Rnl

deve soddisfare all’equazione

Per un potenziale centrale le variabili si possono separare e lafunzione d’onda prende forma

€

d2(rRnl) / dr2 +2mh-2[E - V(r) - l(l -1)h2 (2mr2)−1](rRnl) = 0

Il termine rappresenta l’effetto centrifugo del momento angolare

Per momento angolare zero un’approssimazione semplice per una buca quadrata finita

V(r)=-V(0) per r<bV(r)= 0 per r>b

ha forma rRnl=Asin(kr) per r<b rRnl=Bexp(-Kr) per r>b

dove k=nπ/b,

€

K = (-2mR)1/2 / h A,B ed E si ricavano imponendola continuita’ per r=b.

N.B. per E solo certi valori permessi.

€

l(l -1)h2 (2mr2)−1

Con accoppiamento spin-orbita si ha lo splittingV(r)l•s ----> attrattivo per j=l+1/2

repulsivo per j=l-1/2

Lo splitting dei livelli energetici per l’accoppiamento spin-orbita cresce con l, importante per nuclei pesanti dove l grande.

€

ΔEls = (l + 1/ 2)h2Cls

Col modello a shell si spiegano :- i momenti angolari,- i Momenti magnetici,- i Momenti di quadrupolo elettrico- gli stati rotazionali del nucleo

deformato.

Predizione del modella a shella. Momenti angolari

Nuclei E-E monento angolare nulloNuclei E-O momento angolare del nucleone ONuclei O-O no predizione

b. Momenti magnetici Nuclei O hanno MM del nucleone O

µ/µN = (j-1/2)gl+gs se l=j-1/2 per nucleone Oµ/µN={(j+3/2)gl-gs}[j/(j+1)] se l=j+1/2 per nucleone O

c. Momenti di quadrupolo elettrico gl=1 per p, 0 per n, gs=2.79 per p, -1.91 per n

Per solo protone O Qp~-R2(2j-1)/2(j+1) --->Qnper Nuclei E-E Q--->0

In buono accordo

Il modello non spiega i momenti di quadrupolo elettrico, molto grandi, per i nucleicon A compreso tra 150-190 e >200. spiegati da modello collettivo

Stati nucleari eccitatiCome risultato di reazioni nucleari e/o trasformazioni nucleari un nucleopuo’ anche occupare stati di energia al di sopra dello stato fondamentale,tutti questi stati eccitati formano lo spettro di eccitazione del nucleo atomico.

Livelli eccitati Singola particellaMoto collettivo rotazionale del nucleo Stati vibrazionali della superficie nucleare

Il modell a shell di singola particella descrive bene gli stati eccitati solo per shell chiuse, lontano dei nuclei magici effetti cooperativi tra nucleonidiventano dominanti e si hanno fenomeni di moto coordinato di nucleon-many-particle motion.

Nuclei con shell chiuse -->nuclei sferici-->moti vibrazionali della superficieNuclei deformati--> moti rotazionali

Modello a goccia descrive bene moti rotazionali e vibrazionali e stati eccitati nucleari

Schema di vibrazioni nucleari ottupolo l=3quadrupolo l=2

Frequenza delle vibrazioni superficiali

€

ω l = (k + kC ) /µ

€

k =12

4παD2 R2Termine di superficie

con α coefficiente di tensione superficiale

€

kC = −3Z 2e 2 / R3

Coefficiente di variazione dell’energia Coulombiana con la deformazione

da cui l’energia vibrazionale di quadrupolo

€

hωquad ≅ (2− γ) / A MeV

€

µ ≅3D

Rm massa in vibrazione

del nucleo

La relazione fornisce stime dei livelli vibrazionali in buon accordo con i valori misurati, es. per il Nickel da’ un valore del primo livello eccitato di circa 3.5MeV

€

γ = 0.047Z 2 / A

Ec/ Es nucleo sferico

Il nucleo deformato presenta anche stati eccitati di bassa energia dovuti alla rotazione

€

Erot = E 0 +h2

2ℑJ(J +1)

Livelli rotazionali per 167Er Livelli rotazionali per 166Er

Momento d’Inerzia

Eo --> Energia dello stato base della banda rotazionale J=l+s

Le bande rotazionali si aggiungono allo stato fondamentale ed a ciascun stato eccitato

Nei nuclei e-e per simmetria la differenza di momento angolaretra livelli rotazionali successivi e’ la stessa ed e’ uguale a 2

I=0+,2+,4+,...

Vibrazioni di dipolo nucleare

Nel nucleo esiste un particolare moto collettivo: vibrazione della massa neutronica relativa alla massa protonica: vibrazioni di dipolo nucleare.Conseguenza: separazione parziale dei protoni dai neutroni. Le energie di queste vibrazioni sono alte, circa 15-20 MeV, risonanze giganti.

Energia delle risonanze giganti dipende da A.

In un oscillatore la frequenza di risonanza

€

ω0 = k / mcon k = rigidita’ dell’oscillatore e m=massa vibrante

Nel caso di vibrazioni di dipolo k e’ proporzionale alla frazione di nucleoni shiftati, quindi alla superficie.

€

ω0 = k / m ∝ R2 / R3 ∝ R−1/2 ∝ A−1/6

Ad energie di eccitazione attorno a 5-6 MeV il numero dei livelli nucleari e’ molto grande, specie per nuclei pesanti, e quindi la separazione e’ molto piccola. Difficile definire gli stati quantici dei livelli.Importante e’ la densita’ dei livelli e la loro dipendenza dall’energia: modello statistico del nucleo

Sperimentalmente si e’ visto che la densita’ dei livelli e’ esprimibile come

€

ρ(E) = Ce2 αE

con a e C calcolate derivate da considerazionistatistiche del modello.

In particolare per energie tra 3-5Mev la relazionediventa

€

ρ(E)∝ 1T

exp( E − E0

T)

e

€

ΔE =1/ ρ(E)Temperatura del nucleo

Tipica struttura dello spettro dei livellidi energia degli stati nucleari eccitati (sinistra) e dipendenza dall’energia della sezione d’urto (destra).

Energetica nucleare

€

ΔE = ΔMc 2

In ogni reazione (nucleare, atomica, chimica,..) l’energia emessa puo’ essere computata come

Una generica reazione si scrive come

€

A + B → C + D+ ...

€

ΔM = (MA + MB ) − (MC + MD + ...)

da cui si ricava l’energia emessa.

Realisticamente solo per le reazioni nucleari e’ possibile calcolarela energia dalla differenza di massa, perche’ le energie in giocosono molto grandi e quindi la variazione di massa dei costituenti e’ apprezzabile con una risoluzione di 5-6 ordini di grandezza inferioriraggiungibile dalla tecnologia corrente.

Unita’ di massa atomica, u= m(12C)/12

Dove va a finire la massa mancante?

Binding Energy , B/c2 = Zmp + Nmn - m(A,Z)

Mass Excess (amu), Δ = m(Α,Ζ) − Α

Δ < 0 , 20 < Α < 180, nuclidi stabili

Δ > 0 , 20 > Α > 180, nuclidi instabili

€

BA

= Mn −ZA

Mn − M H( ) − MA

L’energia media per nucleone

€

= Mn −1( )− ZA

Mn − M H( ) −Δ

dominante

€

BA≅ 0.008982 − 0.46(0.000840) + 0.0006

= 0.0092amu /nucleone= 8.5MeV / nucleone

Per 40Ca<A<120Sn, <Z/A> = 0.46

amu/nucleon

Energia di separazione dei nucleoni

Energia di Separazione Energia di legame per un singolo nucleone separato dal nucleo

Last neutron binding energy €

ZA−1X+0

1n→ZA XEnergia rilasciata nella reazione

= last neutron separation energy

€

Sn (ZAX) = m( z

A−1X) + mn − m( xAX)[ ]c2 ≅ M( z

A−1X) + mn − M(ZAX)[ ]c 2

€

Sp ( ZAY ) = m( z−1

A−1X )+ mp −m( xAY )[ ]c2 ≅ M( z−1

A−1X ) + M(11H)− M( Z

AY )[ ]c 2

€

Sp ( ZAY ) = BE ( z

AY)− BE( x−1A−1X )[ ]

€

Sn(ZA X) = BE( z

AX )− BE( xA−1X )[ ]

Last proton binding energy

€

Z−1A−1X+1

1p→ZAY

Last proton separation energy

Per il protone

Reazioni Nucleari

Due principali tipi di reazioni:

€

X →Y1 + Y2 + ⋅ ⋅ ⋅

€

x + X →Y + y

radioactive decay

binary reaction

€

X(x,y)Yscritta come

In generale in reazioni tipo X(x,y)Y si possono avere:

reazioni elastiche

reazioni inelastiche€

01n+16

32S→1632S+ 0

1n

€

01n+16

32S →(1632S)*+ 0

1n'€

(n,n)

€

(n,n' )

€

01n+16

32S→1632S + γ

€

01n+16

32S→1632S+1

1H

€

(n, p)

€

(n,γ)

Esempi di reazioni nucleari binarie

€

(α, p)reazioni Rutherford, bombardando con nuclei di elio ( alfa) l’azotodell’aria osservo’ la produzione di nuclei di H ( protoni)

€

24He+ 7

14N→ 817O+1

1H o 714N(α, p) 8

17O

€

(α, p)

€

(α,n) Chadwick nel 1032 scopre il neutrone

€

24He+4

9Be→ 612C+ 0

1n o 49Be(α, n) 6

12C

€

(γ,n)

€

γ+ 12H→1

1H+ 01n o 1

2(γ,n)11H

€

(p,γ)

€

γ+ 817O→ 6

12C+24He+ 0

1n o 817O(γ,nα) 6

12C

€

11H+ 3

7Li→48Be + γ o 3

7LI( p,γ )48Be

€

(n, p)

€

(γ,αn)

€

01n+ 8

16O→ 817N+1

1p o 816Li(n,p) 8

16N€

48Be→2

4He+ 24 He

Q-value per una reazione

Conservazione Energia

€

E i + mic2[ ]

i∑ = ′ E i + ′ m ic

2[ ]i∑

€

Q = KE f −KEi = mic2 −mf c

2

€

i + I → f + F + Q

Q ≡ Mi + MI( ) − M f + MF( )[ ]c 2

Q = Tf + TF − Ti + TI( ) = B f( ) + B F( ) − B i( ) − B I( )

Reazione binaria

Ogni reazione nucleare ha un caratteristico Q-valueQ>0 reazione esotermicaQ<0 reazione endotermica

Reazioni di decadimento radioattivo

€

X → Y + y

€

Q = (E y + EY ) = mX − my + mY( )[ ]c 2 > 0

Conservazione di carica e calcolo di Q-value

Le reazioni nucleari conservano la carica

€

01n+ 8

16O→ 716N+1

1pNella reazione bisogna tener conto dell’elettrone che viene espulso insieme al protone

€

01n+ 8

16O→ 716N+1

1p+−10e

nel calcolo del Q-value

€

Q = {mn + M( 816O)− M( 7

16N) − M(11H)}c2

la massa di atomo neutro con nucleo eccitato vale

€

M(ZAX *) = M(Z

AX ) + E* / c 2

€

10B(n,α)7Li*

€

Q = mn + M( 510B) − M(2

4He) − M(37Li* )[ ]c2

Es. il calcolo del Q-value della reazione

con

€

M(37Li*) = M(3

7Li) + 0.48MeV / c2

Radioattivita’

Radioattivita’ indica il fenomeno per cui nuclei a seguito dell’instabilita’nucleare emettono particelle.

€

alpha (α ) ZAP→Z−2

A−4 D +α

€

gamma (γ) ZAP∗→Z

A P + γ

€

beta meno (β−) ZAP→Z +1

AD + β− + ν

€

beta piu' (β +) ZAP→Z−1

AD + β + +ν

€

ElectronCapture (EC) ZAP + e−→Z−1

A D∗ +ν

€

neutron (n) ZAP→ Z

A−1 D+ n

€

proton (p) ZAP→Z−1

A−1D+ p

€

InternalConversion (IC) ZAP∗ →[Z

AD]+ + e−

In tutte le reazioni nucleari, compresi i decadimenti radioattivi,le quantita’ piu’ importanti conservate sono:carica,numero di nucleoni, Etot,momento lineare, momento angolare

Nucleo eccitato decade al livello fondamentale

Elettrone orbitale assorbito dal nucleo,converte protone nucleare in neutrone e neutrino, lascia nucleo eccitato

un protone nucleare e’ espulso dal nucleo

un neutrone nucleare e’ espulso dal nucleo

Energia di eccitazione del nucleo e’ usataper espellere elettrone orbitale ( tipico K-shell)

Diagramma decadimento radioattivo

Quantificare il decadimento di un radionuclide significa:- definire il tipo di decadimento- la probabilita’ di ciascun possibile modo di decadimento- il tempo di dimezzamento del radionuclide- l’eccitazione nucleare del nuclide figlio- la vita media dei nuclidi figli con stati di eccitazione- frequenza di emissione di radiazione secondaria quando i figlisi portano a livelli energetici di minor eccitazione - energia della radiazione secondaria emessa dai figli

Vari tipi di decadimenti

€

1532P

€

918 F

€

4399m Tc

€

1328 Al

€

2964Cu

€

2760Co

non e’ indicato il beta decay in 99Ru44

Decadimento alpha

€

α decay: ZA P → Z-2

A-4 D[ ]2-+2

4α→ Z-2A-4 D+2

4α nel nucleo i 4 nucleoni (2p+2n) sono indistinguibili, ma esiste una probabilita’ (~ 10-6) che i 4 nucleoni in un certo breve tempo sitrovino in prossimita’ FORMARE un gruppo di 4 nucleoni.La particella alpha pero’ e’ distinguibile solo separata dal nucleo ed a grande distanza ( su scala nucleare).

Energetica del decadimento

€

Qα / c2 = M(ZA P)− [M( Z-2

A-4D[ ]2-) +m(2

4α)]

≅ M(ZA P)−[M( Z-2

A-4D[ ]2-

) + 2me +m(24α)]

≅ M(ZA P)− [M ( Z-2

A-4 D[ ] ) + +M(24He)]

Energia Cinetica del decadimento

€

Qα = ED + Eα =12

MDv D2 +

12

Mαvα2

€

MDvD = Mαvα

€

Qα ==12

Mα2

MD

vα2 +

12

Mαvα2 =

12

Mαvα2 Mα

MD

+1

ma

€

Eα = Qα

MD

MD + Mα

≡Qα

AD

AD + Aα

€

ED = Qα

Mα

MD + Mα

≡ Qα

Aα

AD + Aα

Da cui

€

Q = B 4He( ) + B Z −2, A − 4( ) −B Z, A( )

≅ 28.3− 4av + 8 3( )asA−1 3 + 4acZA−1 3 1− Z 3A( ) − 4aa 1− 2Z A( )2

+ 3ap A−7 4

La dipendenza di Q da A ha un andamento sistematicoben rappresentato dalle predizioni della formula semiempirica

La Formula semiempirica permette di calcolare conbuona precisione la Q dei decadimenti e da’ un correttoQ>0 per nuclei pesanti e predice bene la decrescita di Q alcrescere di A nella sequenza di isotopi di un nuclide.

Tempo di dimezzamento nuclide alpha attivoPer nuclei alpha-attivi vale la relazione empirica , Geiger-Nuttal

€

lnT1/2 = a + b / E

con T (sec), E energia della alpha emessa (MeV) Z n.Atomico nucleo figlio e a, b costanti

€

a ≈ −1.6Z 2/3 − 21.4, b ≈1.6Z

Eb di una particella α e’ ~ 28 MeV, ~ 7 MeV/nucleone, il decadimento possibile solo per nuclei con energia di legame media inferiore a ~7 MeV/nucleone.

Nuclei pesanti, 82<Z<92 e quelli transuranici artificiali, Z>92, decadono per emissione α

Decadimento beta

I radionuclidi con Z<92 decadono principalmente via decadimento

€

β + o β -

secondo se sono piu’ ricchi in protoni o neutroni.

Energetica decdimento

€

β -

Energetica decdimento

€

β +

€

Q β + / c2 = M(ZAP) − [M([Z +1

AD]−) + mβ + + mν ]

≅M(ZAP) − [{M ([Z +1

AD] ) + me}+ mβ + + mν ]

= M(ZAP) −M(Z−1

AD) − 2me

€

Q β - / c2 = M(ZAP) − [M([Z +1

AD]+) + mβ − + mν ]

≅M(ZAP) − [{M ([Z +1

AD] ) −me} + mβ − + mν ]

= M(ZAP) −M(Z−1

AD)

€

Qβ + / c2 = M(Z

AP) −M (Z −1AD) − 2me − E∗ /c 2

€

Qβ − / c2 = M(Z

AP)− M(Z +1AD) − E∗ / c 2

€

(Eβ )max ≅ Qβ

Se il nucleo e’ lasciatoin uno stato eccitato E*il Q-value diventa:

Electron Capture

€

p+−10e→ n + ν

Elettrone shell interna viene catturato nel nucleo da protone che si trasforma in neutrone

€

EC decay ZAAD→Z −1

AD → +ν

Decay Energy

€

QEC / c 2 = M (ZA P)− [M (Z−1

A D) + mν ] ≅ M (ZA P) − M(Z−1

AD)

€

QEC / c2 = M(ZAP)− M(Z −1

A D)− E * / c 2

€

QEC / c2 = M(ZAP)− M(Z−1

AD)− E * / c2

La EC e’ in competizione Beta+, ma QBeta deve essere > 1022 KeV,mentre la EC puo’ avvenire per qualsiasi valore diQ-value >0.

Con nucleo non in ground state

Nella EC un elettrone della shell piu’ interna sparisce e viene occupato daelettrone di shell piu’ esterna con emissione di raggi X. Capita anche chel’energia della transizione venga trasferita ad un altro elettrone delle shellpiu’ esterne, che viene a sua volta emesso, Elettrone Auger. Questo fenomeno capita tutte le volte che si crea una vacanza nelle shell interne.

€

Electron Capture vs βdecay

€

t1 2 = 2.602y

€

90.4%€

9.5%

€

0.06%

€

β +

La misura del γ permette di identificare l’isotopo radiattivo con precisione; questa tecnica e’ molto piu’ efficace che la misura del βnelle applicazioni di tracciamento,irraggiamento o imaging medicale.

Gamma decayI nuclei in stato eccitato decadonorapidamente con tempi inferiori a10-9 s allo stato fondamentale.

Alcuni nuclei rimangono in stato eccitato per tempi molto lunghi,prima di decadere gamma, si chiamano nuclei metastabili o isomeri

€

γ decay ZAP*→Z

AP + γ

€

M( ZAP *)c2 ≡ M(Z

AP)c2 + E* = M(ZAP)c 2 − EP − Eγ

Energia rinculo nucleo

€

Qγ = E P + Eγ = E *

Conservazione del momento richiede, con nuclide parente a riposo

€

pγ = Eγ / c = pP = 2M PEP essendo MP = M(ZAP)

da cui

€

Eγ = Qγ 1+Eγ

2MPc 2

−1

≅Qγ = E*

Neutron DecayNuclidi ricchi di neutroni, possono decadere emettendo un neutronee dando luogo ad un diverso isotopo.

€

n decay ZAP→ Z

A−1P* + 01n

€

54138 Xe→ 54

137Xe + n

€

Qn / c 2 = M (ZA P)− M( Z

A−1P*) + mn[ ] = M (ZAP) −M( Z

A−1D) − Mn − E* / c 2

Proton decay

nelle reazioni di fissione, una piccola % di atomi radioattivi decdono per emissione di neutroni con tempi di minuti, permettendo cosi’ di controllare la reazione.

Nuclidi ricchi di protoni emettono protone, lasciando un atomo ionizzato con elettrone in piu’ che poi viene rilasciato.

€

p decay ZAP →[Z −1

A−1D*]−+11p

€

Qp /c 2 = M (ZA P) − [M([Z−1

A−1D* ]−) + mp ] ≅ M (ZA P)− [{M (Z−1

A−1D* ) + me}+ mp ]

≅ M (ZAP)− [{M (Z −1

A−1D) + E * / c 2 + me}+ mp ] ≅ M (ZA P)− [{M(Z−1

A−1D)−M (11H)− E * / c 2

Internal ConversionIl diseccitamento di un radionuclide, in seguito ad un decadimento del nucleo padre, avviene con emissione gamma, ma in certi casi l’energia di eccitazione viene trasferita ad un elettrone della shell piu’ interna, i.e. K, con eiezione dell’elettrone lasciando il nucleo nello stato fondamentale, ma l’atomo ionizzato.

€

IC decay ZAP* →[Z

AP]+ +−10e

In atomi pesanti la BE degli elettroni nella shell K e’ grande

€

QIC / c 2 = M (ZAP* )− [M ([Z

AP]+) + me ] ≅ {M(Z

AP) + E * /c 2}− [{M (ZAP)−me + BE e

K /c 2} + me ] = [E * - BEe

K ] /c2

L’energia di decadimento e’ suddivisa tra l’elettrone eiettato e lo ione in modo inverso alle masse

€

Ee =M(Z

AP)M(Z

AP) + me

[E * − BEe

K ] ≅ E * − BEeK

€

EP =me

M(ZAP) + me

[E * −BE e

K ]≅ 0

Assieme all’elettrone monoenergetico eiettato, vengono emessiraggi X e elettroni Auger nella fase di cascata di elettroni dalle shell esterne a quella interna rimasta incompleta.

Caratteristica del decadimento radioattivo

Il decadimento radioattivo e’ un processo casuale, con decay constant

€

λ = limΔt→0

(ΔN / N )Δt

costante piccola = tempo di decadimento lungo

Per N>>0, N(t) e’ il valore medio al tempo t

€

−dN = λN(t)dt

La probabilita’ di un nuclide di decadere nel tempo dt e’

€

λdt e per N nuclidi quindi

€

N(t) = N 0e−λt

La legge del decadimento radioattivo si applica a tutti i processi governatida una legge di cambiamento costante, es crescita della popolazione umana.

€

N(T1/2 ) ≡ N0

2= N0e

−λT1/2

€

T1/2 =ln2λ

≅0.693λ

€

N(nT1/2) =12n N0

€

ε ≡N(nT1/2 )

N0

=12n

€

n = −lnεln2

= −1.44 lnε

Il n. di nuclidi si dimezza in un tempo

Dopo nT1/2 il n. di nuclidi sara’

il n. di T1/2 perdecadere ad una frazione del suo n. iniziale

€

p(t)dt = {prob. di non decadere in (0,t)}x{prob. dec.in successivo dt} = {P (t)}{P(dt)} = {e−λt}{λdt} = λe-λt dt

La Prob. di NON decadere in un intervallo di tempo t

€

P (t) =N(t)N 0

= e−λt

€

P(t) = 1− e−λt

€

t →Δt <<1

€

P(Δt) =1−e−Δt =1− [1− Δt +12!

(λΔt)2 −+L]≅ λΔt

€

Tav = tp(t)dt = tλe−λt

0

∞

∫ dt = −te−λt0∞

0

∞

∫ + e−λtdt =1λ0

∞

∫

€

A(t) ≡ − dN (t)dt

= λN(t ) = λN0e−λt = A0e

− λt

Nel SI l’Attivita’ si misura in becquerel (Bq) = un decadimento/sec., mentre la vecchia unita’di Attivita’ e’ il curie (Ci)= 3.7 x1010 Bq.

Attivita’ specifica, per unita’ di massa

€

) A (t) =

A(t)m(t)

=λN (t)

N(t)M / Na

=λNa

M= costante

€

m(t) = N(t) M / Nadove con M massa atomica g/mol

Misura del tempo di dimezzamento Per determinare T1/2 o lambda e’ necessario costruire i grafici

E’ sufficiente un contatore, non necessario misurare l’attivita’, in quanto l’attivita’ e’ proporzionaleal counting rate.

€

log A(t) = log A0 − λt

€

A(t) = A0e−λt

Metodo non utilizzabile per radionuclidi con T1/2 molto lunghi, in tal caso si ricorre alla relazione

€

A0 = λN 0 ≅ costanteche richiede una determinazione PRECISA di N0

Decadimenti in competizione

€

3064Zn (β - 39.0%)

2964 Cu 28

64 Ni (β + 17.4%) 28

64 Ni (EC 43.6%)

€

dN(t)dt

= −λ1N(t)− λ2N(t)−LλnN(t) = − λiN(t) ≡ −λN(t)i=1∑

€

λ = λii=1

n

∑

€

f i =decay rate modo i - mo

decay rate in tutti i modi=λi

λ

Dinamica del processo di decadimento

La dinamica del numero di atomi di un particolare radionuclide dipende dalla rate di produzione e di decadimento

€

dN(t)dt

= −rate di decadimento + rate di produzione

€

dN(t )dt

= −λN(t) +Q(t)

€

N(t) = N0e−λt + d ′ t Q( ′ t )e−(t− ′ t )

0

t

∫

€

N(t) = N 0e−λy +

Q0

λ[1− e−λt ]e per PRODUZIONE costante

€

come t →∞ all'equilibrio N(t) → Ne =Q0

λ

Catena di tre decadimenti

€

3890Sr →

T1/2 = 29.1y

3990 Y →

T1/2= 64h

4090 Zn (stabile)

€

dN1( t)dt

= −λ1N1(t)

dN2 (t)dt

= −λ2N2( t) + λ1N1( t)

dN3 (t)dt

= λ2N2(t)

€

N3 (t) = N3(0) + λ2N2 (0) d ′ t e−λ2 ′ t

0

t

∫ +N1(0)λ1λ2

λ2 − λ1

d ′ t [e−λ1 ′ t −e−λ2 ′ t ]0

t

∫€

N1( t) = N1(0)e−λ1t

N2 (t) = N2(0)e−λt +λ1N1(0)λ2 − λ1

[e−λ1t −e−λ2t] essendo il termine di produzione Q(t) = λ1N1(t)

N3 (t) = N3(0) + λ2 d ′ t 0

t

∫ N2( ′ t )

€

N3 (t) = N3(0) + N2 (0)[1−e−λ2t] +N1(0)λ2 − λ1

[λ2(1− e− λ1t) − λ1(1−e−λ2t)]

Da qui si possono calcolare le attivita’ dei tre radionuclidi partendo dalle relative vite medie

Casi standardAttivita’ del primo figlio

L’attivita’ di un campione parente decade da attivita’ iniziale A1(0)

€

A1(t) = A1(0)e−λ1 t , t > 0

Attivita’ nuclide figlio

€

A1( t) = λ1N1( t)

€

A2( t) = λ2N2( t)

€

A2(t) = λ2N2(t ) = A2(0)e−λ 2t + A1(0) λ2

λ2 − λ1[e−λ1 t − e−λ 2t ]

€

Caso λ2 − λ1 > 0

€

A2(t) = A2 (0)e−λ2t + A1(0) λ2

λ2 − λ1

e−λ1 t[1−e−(λ2 −λ1 )t ]

L’andamento asintotico, in cui la rate di decadimento del figlio e’ limitata dalla attivita’ del padre, e’ detta equilibrio transiente, al limite si ha l’equilibrio secolare quando la rate di decadimento del figlio e’ pari a quella del padre.

€

Caso λ1 − λ2 > 0Il nuclide figlio decade seccondo la rate normale

Catena di decadimento generale

€

X1→λ1

X2→λ2

X3→λ3

LXi→λi

L→λn−1

Xn (stabile)

€

dN1( t)dt

= −λ1N1(t)

dN2 (t)dt

= λ1N1(t) − λ2N2( t)

dN3 (t)dt

= λ2N2(t) − λ3N3( t)

MdNn−1 (t)

dt= λn−2Nn− 2(t) − λn−1Nn−1( t)

MdNn ( t)

dt= λn−1Nn−1( t)

Per il caso con solo radionuclide parente inizialmente presente, X1 e condizioni iniziali

€

N1(0) ≠ 0 e Ni(0) = 0,i >1 la soluzione delle equazioni cosidette di Bateman sono

€

A j (t) = λ jN j (t) = N1(0) Cmm=1

j

∑ e−λmt

€

Cm =λ ji=1

j∏

(λi − λm )i=1i≠m

j∏=

λ1λ2λ3Lλ j

(λ1 − λm )(λ2 − λm )L(λ j − λm )

Radionuclidi presenti “naturalmente”I radionuclidi presenti sulla terra derivano da due sorgenti:

La prima sorgente sono i raggi cosmici, che provengono dal sole e dallo spazio galattico.Sono formati, principalmente da protoni e particelle alpha, mentre i nuclei piu’ pesanticontribuiscono solo per 1%.

La seconda sorgente sono i radionuclidi residui dopo il formarsi della terra. I radionuclidiprimordiali si sono formati nelle stelle da cui il sistema solare si e’ formato. Molti di questiradionuclidi sono decaduti durante i 4 109 anni dalla formazione della terra.

Radionuclidi cosmogenici I radionuclidi cosmogenici principali sono il Trizio 3H ( o T) ed il 14C.

Il Trizio e’ prodotto primariamente in reazioni

€

14N (n,T)12C e 16O(n,T)14NIl T decade beta meno, ha un T1/2 di 12.3 anni. Esiste in natura come HTO.

€

14 N(n, p)14C Il nuclide 14C si forma principalmente nella reazione

Esiste in atmosfera come C02 ma principalmente negli oceani. Ha T1/2 di 5730 anni e decade beta meno.

Radionuclidi primordiali singoliDi tutte le speci di radionuclidi presenti alla formazione del sistema solare rimangono solo 17 radionuclidi a vita media lunga, non appartenenti alle catene radioattive.

Di questi, quelli piu’ importanti per la vita umana sono il 40K ed il 87Rb, che si trovano nei tessutidel corpo umano.

Serie radioattive di origine primariaOgni radionuclide con Z>83 e’ un membro di una delle 3 serie radioattive primordiali.

Il numero di massa A per ciascun membro di questa serie puo’ essere espresso come 4n+i,con n un intero ed i=0,2 o 3.Le tre serie sono la Thorio (4n), la serie Uranio (4n+2) e la serie actinium (4n+3).

La serie (4n+1) Plutonium,

€

94241Pu , e’ stata creata artificialmente nei reattori nucleari,

il suo nuclide piu’ a lunga vita media e’ il

€

93237Np , che ha vita media solo di 2.14 MY.

Applicazione dell’equilibrio secolare

€

dN1

dt≅

dN2

dt=L =

dNn−1

dt≅ 0

€

A1( t) = λ1N1( t) ≅ A0 (costante)

Se il genitore ha vita media piu’ lunga del figlio, la sua attivita’ sara’ praticamente costante, come vista dal figlio, per cui

quindi

€

dN1( t)dt

≅ 0 per la generazione dopo sara’

€

A2N2( t) ≅ λ1N1 = A0 e cosi’ via

€

λ1N1 = λ2N2 =L= λn−1Nn−1

Ad es. da misure radiochimiche si conosce che il rapporto tra il numero di atomi di Uranio 238 e dil numero di atomi di

€

88226Ra vale 1/2.3 x106.

€

λ238N238 = λ226N226

€

λ = ln2 / T1/2

€

N238

T238

=N 226

T226

€

T238 = T226N226

N238

= (1.62 ×103 )(2.3×106) = 4.5×109 y

relazione usabile per determinare la costante di decadimento del genitore

Tre serie radioattive naturali (+1 esaurita), esistenti dalla formazione della terra 4.5 x 109 anni fa: U238,U235, Th232 (+ Np237)

The members of this series are not presently found in nature because the half-life of the longest lived isotope in the series is short compared to the age of the earth.

RadioDatazioneIl decadimento radioattivo di particolari nuclidi e’ utilizzato per datare reperti geologici e archeologici. Dalla misura delle concentrazioni di nuclidi genitori e figli e’ possibilerisalire all’eta’ del capione perche’ le rate di decadimento dei radionuclidi nel campione servono da orologi nucleari a rate costante.Diversi metodi di datazione sono impiegati, i piu’ conosciuti sono basati sul 14C ed il 40K.

Se si conosce la quantita’ del campione al tempo t=0 e t la soluzione e’ facile perche’

€

N(t) = N(0)e− λt

€

t = −1λ

ln( N (t)N(0)

)

se non si conosce N(0), si puo’ a volte conoscere il rapporto N(0)/Ns, tra il

radionuclide e un isotopo stabile dello stesso elemento per cui si puo’ ricavare t come

€

t = −1λ

ln(N (t) / N S

N (0) / N S)

Analogamente si puo’ misurare il tempo di formazione di un nuclide stabile, conoscendo il rapporto di concentrazione del nuclide genitore N1 e del nuclide figlio stabile N2.

€

t = −1λ1

ln 1+N2 (t)N1(t)

€

Datazione con 14CIl

€

14C ha T1/2 di 5730 anni ed e’ introdotto nell’ambiente dalle interazioni

€

14N(n,p) 14C

dei raggi cosmici nell’atmosfera e rimosso causa decadimento

€

β -, portando, se non pertrbato,

ad un equilibrio di concentrazione con gli atomi di carbonio dell’ambiente di

€

N14

NC

=1.23 ×10−12

In pratica si misura l’attivita’ A14 per grammo campion, cosi’ cosi’ questa specifica attivita’ e’

proporzionale al rapporto

€

N14

NC

€

A14

g(C)= ( N14

NC

) λ14NA

12= 0.237 Bq

g(C)= 6.4 pCi

g(C)

Tutti gli isotopi del carbonio sono fissati dagli organismi biologici viventi nello stesso

rapporto dell’ambiente paei a

€

6.4 pCig(C)

, per cui dopo la morte dell’organismo questo

rapporto diminuisce causa decadimento del 14C.

€

t =−1λ

ln N14 (t) / NC

N14 (0)NC

= −

1λ

ln A14 (t) / g(C)A14 (0) / g(C)

Negli ultimi secoli, il rapporto, e’ cambiato causa emissione di CO2 e test nucleari per e’ necessarioprocedere a calibrazioni per relazionare la concentrazione a quella “vera”, ante era industriale.