1

2

L’elasticità in un solido e la legge di Hooke

La lezione di oggi

Equilibrio statico e dinamico

Leve

3

Si definisce corpo rigido un corpo che non si può deformare,

qualunque sia l’entità delle forze

che agiscono su di esso.

Corpo rigido

4

!  Momento di una forza

!  Equilibrio statico

!  Le leve

!  L’elasticità

!  Sforzo e stiramento nelle ossa

5

Il momento di una forza

τ = r ×

F

Il momento di una forza mi permette di quantificare la

capacità di una forza di causare una rotazione

Il momento di una forza

6

τ = r ×

F

!  Il vettore τ ha: !  Modulo: r F sin θ#!  Direzione: perpendicolare al piano di r e F !  Verso: regola della mano destra (r: pollice, F: indice, τ: medio)

!  Unità di misura: N m (non Joule !)

!  Dimensionalmente: [L][MLT-2] = [M][L2][T-2]

!  τ > 0 se produce un’accelerazione angolare (a) in verso antiorario

!  τ < 0 se produce un’accelerazione angolare (a) in verso orario

7

Il momento di una forza

F e r

perpendicolari

rF )sen(90Fr τ o =⋅⋅=

8

Il momento di una forza

F e r

paralleli

0 )sen(0Fr τ o =⋅⋅=

9

Il momento di una forza

F e r

con angolo

qualunque

senθFr - θ) - sen(2πFr τ ⋅⋅=⋅⋅=

Nota. Il segno ‘-’ tiene conto del fatto che l’accelerazione è in verso orario

(ovvero, negativo)

2π-θ#

10

!  Momento di una forza

!  Equilibrio statico

!  Equilibrio dinamico

!  Le leve

!  L’elasticità

!  Sforzo e stiramento nelle ossa

!  Questo sistema (tavola+bambino) è ESTESO

!  Se la risultante delle forze esterne è nulla, come in questo caso: !  Il sistema nel suo insieme non accelera e si muove con moto

rettilineo uniforme (in particolare può stare fermo) !  MA, a seconda di come forze e masse sono distribuite, può

compiere dei movimenti di rotazione

11

Se F1 + F2 = mg

il sistema è in equilibrio ?

Momento ed equilibrio statico

12

Momento ed equilibrio statico

Condizione di equilibrio statico !  La risultante delle forze deve essere 0

!  La risultante dei momenti deve essere 0

Se F1 + F2 = mg

il sistema è in equilibrio?

0 F =∑

0 τ =∑

Per sapere se c’è equilibrio statico, non basta porre delle condizioni sulla risultante delle forze

13

Momento ed equilibrio statico

0 mg - F F 21 =+

Problema unidimensionale (y)

0 F =∑

0 τ =∑

0 senθF r senθmg r senθF r 222bb111 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

0 )sen(90F L )sen(270mg 4

3L senθF 0 o

2o

11 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

-1 1 mg

43L F L 2 ⋅=⋅

Calcoliamo F1 ed F2

14

Momento ed equilibrio statico

0 mg - F F 21 =+

mg 4

3L F L 2 ⋅=⋅

mg41 F1 =

mg43 F2 =

Condizione

di

equilibrio statico

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Centro di massa ed equilibrio

Condizione di equilibrio statico

0 τ =∑

0 )sen(270gm x )sen(90gmx o22

o11 =⋅⋅+⋅⋅

θ#

x1

w1

x2

w2

θ#

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Centro di massa ed equilibrio Condizione di equilibrio statico

0 τ =∑

0 )sen(270gm x )sen(90gmx o22

o11 =⋅⋅+⋅⋅

0 m x mx 2211 =⋅−⋅

Calcolo la xcentro di massa

M

xmx ii

CM ==∑i

Un sistema è in equilibrio quando il suo centro di massa è nel punto di sospensione

21

2211CM

2211CM21

CM221CM1

mmxmxm

x

xm xm x)mm(0)xg(xm)x-g(xm

+

+=

+=+

=−−

����

17

Il centro di massa Il centro di massa di un sistema è il punto di

equilibrio in un campo gravitazionale uniforme

M

xm

m...mmxm...xmxm

x ii

n21

nn2211CM

∑=

+++

+++= i

Mym

m...mmym...ymymy ii

n21

nn2211CM

∑=

+++

+++= i

18

Esercizio Calcolare il centro di massa del braccio in figura.

cm 9.5kg 0.64kg 1.6kg 2.5

kg)(0) (0.64 kg)(0) (1.6 cm) kg)(18 (2.5 yCM =++

++=

cm 9.5kg 0.64kg 1.6kg 2.5

cm) kg)(40 (0.64 cm) kg)(12 (1.6 kg)(0) (2.5 xCM =

++

++=

Nota: Il centro di massa non è nel braccio, ma al di fuori di questo

19

!  Momento di una forza

!  Equilibrio statico

!  Equilibrio dinamico

!  Le leve

!  L’elasticità

!  Sforzo e stiramento nelle ossa

20

Le leve La leva è una macchina semplice composta da

una forza motrice, una forze resistente e un fulcro

1o tipo

2o tipo

3o tipo

Fr

Fm

fulcro

Fr Fm

fulcro

Fr Fm fulcro

21

Le leve Leva Fulcro Forza resistente

Forza motrice

(applicata)

Tipo di leva

Forbici Cerniera Oggetto da tagliare impugnatura 1

Carrucola fissa Asse centrale Oggetto da

sollevare Forza fisica 1

Remo Pala immersa in acqua

Forza della barca applicato allo

scalmo

Forza fisica applicata sul

remo 2

Carriola Asse della ruota Peso da trasportare Manici 2

Pinza da ghiaccio Perno Cubetto di

ghiaccio Mano 3

Braccio umano Gomito Oggetto sorretto

dalla mano Muscoli del

braccio 3

22

Le leve nel

corpo umano

1o tipo

3o tipo

2o tipo

In punta di piedi

23

Le leve e il guadagno meccanico

0Fb - Fb mmrr =

r

m

m

r

bb

FF

G.M. ==

Guadagno meccanico è il rapporto tra le

forze motrice

resistente

FF

G.M.=

Vale per tutti i tipi di leva

Condizione di equilibrio statico

con forze perpendicolari alla leva

0 τ =∑

x

y

24

Le leve e il guadagno meccanico

Tipo di leva Guadagno meccanico

1o tipo Può essere

<1 o >1

2o tipo Sempre > 1

3o tipo Sempre <1

Fr

Fm

fulcro

Fr Fm

Fr Fm fulcro

25

!  Momento di una forza

!  Equilibrio statico

!  Equilibrio dinamico

!  Le leve

!  L’elasticità

!  Sforzo e stiramento nelle ossa

26

L’elasticità Corpo elastico

un corpo che riprende la sua forma originale una volta rimosse le cause della deformazione

l

F " modulo della forza applicata

A " area della sezione del corpo

Y " modulo di elasticità di Young

Corpi elastici Legge di Hooke

FA

= Y Δll

gm P =

Δl

Corpo plastico un corpo che rimane deformato, anche dopo aver rimosso le

cause della deformazione

27

La legge di Hooke e il modulo di Young

Legge di Hooke

ll Y

AF Δ=

Un campione lungo è

allungato più di uno corto

A parità di forza un

campione sottile è

allungato più di uno spesso

εσ Y =Se definisco

F/A = σ (sforzo) Δl/l = ε (stiramento)

�L / 1/A

�L / L

28

La legge di Hooke e il modulo di Young

Materiale Y (N m-2)

Acciao 2 1011

Ossa lungo l’asse (trazione) 1.8 1010

Ossa lungo l’asse (compressione) 0.9 1010

Vasi sanguigni 2 105

Esempio

Calcolare lo stiramento di un vaso sanguigno della sezione di 1 cm2 al quale sia applicata una forza di 10 N.

(ppm) milioneper parti 5.0105.0102

10 611

5

=×=×

= −ε

Quanto varrebbe lo stiramento se il materiale fosse acciaio ?

2-524-2 Nm 10

m10N 10

cm 1N 10 ===σ

% 505.0102

10 5

5

==×

==Yσ

ε

Sforzo

Stiramento

ovvero ½ µm su 1 m

29

Esercizio

Il femore di un adulto ha una sezione di circa 6 cm2

e la sostanza ossea di cui è composto ha un modulo di elasticità

in compressione di 9x109 Nm-2.

b) Qual è l’accorciamento relativo che esso subisce subito prima della rottura se assumiamo sempre valida una relazione di

proporzionalità fra il carico e la deformazione?

a)  Prima di rompersi può sopportare un carico Smax

pari a 1.7x108 Nm-2. Quanto vale l’intensità massima della forza che può essere

applicata ?

30

Esercizio

N101.0)Nm10(17)m 10(6 A F 5-272-4MaxMax ×=×××== σ

100 volte il peso corporeo

% 1.90.019Nm109Nm1017

Yll

2-9

-27Max ==

×

×==

Δ σ ~ 1 cm

Il femore di un adulto ha una sezione di circa 6 cm2 e la sostanza ossea di cui è composto ha un modulo di elasticità

in compressione di 9x109 Nm-2. Prima di rompersi può sopportare un carico Smax pari a 1.7x108

Nm-2. a) Quanto vale l’intensità massima della forza che può essere

applicata ?

b) Qual è l’accorciamento relativo che esso subisce subito prima della rottura se assumiamo sempre valida una relazione di

proporzionalità fra il carico e la deformazione?

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!  Momento di una forza

!  Equilibrio statico

!  Equilibrio dinamico

!  Le leve

!  L’elasticità

!  Sforzo e stiramento nelle ossa

32

Sforzo e stiramento nelle ossa

trazione

compressione

Sforzo terminale compressivo (Σ)

Sforzo terminale tensile (Σ)

σ (F/A) Nm-2 x 107

ε (Δl/l) x 10-3#

5

10

15

-15

-10

-5

-5 -10 -15 5 10 15

Le pendenze sono diverse (trazione ~

2x compressione)

I valori di Σ sono diversi tra compressione e

trazione

F = mg ~ 103 N

A~1 cm2 = 10-4 m2

Le ossa sono più deformabili in compressione che in trazione

33

N 2000 sm 9.8 kg 210 2 ≈⋅=F

Per ogni gamba F ~ 1000 N

A=10 cm2 l = 40 cm

Per le ossa: Y= 0.9·1010 N/m2 compressione

Y= 1.8·1010 N/m2 trazione

lΔlY

AF=

La gamba si accorcia di:

mN100.9

cm 40cm 10

N 1000 Yl

AF Δl

210

2⋅

⋅=⋅=cm 100.9

m 104 11

24

⋅

⋅=

m 100.9

104 9

4

⋅

⋅= m 10

0.94 94−⋅= m 10 4.4 -5⋅=m 10100.9

m 104 2-11

24

⋅⋅

⋅=

Elasticità delle ossa

F F

34 Prossima lezione: i fluidi

Riassumendo

La legge di Hooke è valida per molti casi reali

I momenti delle forze sono molto usati nel corpo umano (le leve).

Le ossa hanno valori diversi per lo stiramento

a seconda che lo sforzo sia in compressione o trazione