Modelli e indicatori Andrea Castelletti Politecnico di Milano MCSA 07/08 L12 Volga.
Modelli meccanicistici: il serbatoio Andrea Castelletti Politecnico di Milano MCSA 07/08 L08.
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Modelli meccanicistici:il serbatoio
Andrea CastellettiPolitecnico di Milano
MCSA 07/08MCSA 07/08L08L08
2
Lo sbarramento di Itaipu sul Parana
Sfioratore in azione
Corpo diga
Condotte forzate e sala macchina
3
La diga dell Tre Gole (Cina)
4
Localizzazione tipica
Clan canyon damColorado river
5
condotta adduttrice
Sezione trasversale di un serbatoio
diga di sbarramento
livello del pelo libero
invaso
opera di presa a torre
bocche di derivazione
quota minima di derivazione
sfioratore superficiale
quota di massimo invaso scarico
di fondo
6
Scaricatori superficiali in funzione
7
Scaricatore di fondo in funzione
Loch Lagghan damScozia
8
Sbarramento: componenti
Sfioratore superficiale Condotta forzata
9
Dispositivi di regolazione
Paratoie: a) a ventola b) verticale c) radiale
10
I serbatoi idroelettrici sono spesso interconnessi in gruppi
Planimetria generale e profilo schematico del sistema Piave - S.Croce
Gruppi di serbatoi Sistema Piave - S.Croce
11
Caratteristiche di un serbatoio
• dal volume utile di regolazione;
• dalla scala di deflusso complessiva degli sfioratori;
• dalla scala di deflusso dell’opera di presa.
Dal punto di vista gestionale un serbatoio è caratterizzato:
12
Scala di deflusso: sfioratore a calice
13
Rete causale
1ts 1t
r tu
1th
ts
1ta
st = volume invasato all’istante t
at+1 = volume di afflusso in [t ,t+1)
rt+1 = volume effettivamente erogato in [t , t+1)
14
Rete causale
tS
1tE1te
1ts 1t
a 1tr t
u
1th
ts
Cosa manca ?
- l’evaporazione
- r dipende da a ed e
15
Modello meccanicistico
tS
1tE1te
1ts 1t
a 1tr t
u
1th
ts
Cosa manca alla rete?
- l’evaporazione
- r dipende da a ed e
tt sSS superficie
16
Modello meccanicistico
1ts 1t
a 1tr t
u
1th
ts
tS
1tE1te
tt sSS superficie
ttt sSeE 11 evaporazione
17
Modello meccanicistico
1ts 1t
a 1tr t
u
1th
ts
tS
1tE1te
ttt sSeE 11 evaporazione
tt sSS superficie
1111 ttttt rEassinvaso
18
Modello meccanicistico
1ts 1t
a 1tr t
u
1th
ts
tS
1tE1te
ttt sSeE 11 evaporazione
tt sSS superficie
1111 ttttt rEassinvaso
tt shh livello
19
Modello meccanicistico
1ts 1t
a 1tr t
u
1th
ts
tS
1tE1te
ttt sSeE 11 evaporazione
tt sSS superficie
1111 ttttt rEassinvaso
tt shh livello
111 ,,, tttttt EausRrrilascio
11111 ,,, tttttttttt eausRsSeass
20
Equazione di bilancio
Sean ttt 111 afflusso netto
11111 ,,, tttttttttt eausRsSeassbilancio
111 ,, ttttttt nusRnssbilancio
111 ,, ttttttt nusRssnstimatore degli afflussi netti
Semplificazione: invaso cilindrico S(st) = S
Vantaggio
Attenzione Se usato quando l’invaso non è cilindrico si commette errore
21
Relazione invaso - livello
L’inversa di h(.) consente di determinare il valore dell’invaso misurando il livello: l’unica misura effettivamente eseguibile.
Esiste una relazione biunivoca tra il livello misurato in un punto e l’invaso.
tt shh Ipotesi implicita:
lo specchio liquido è in ogni istante orizzontale.
Ad esempio: nel caso di invaso cilindrico
costante arbitraria
Un invaso negativo esprime il volume mancante per portare lo specchio liquido al livello cui corrisponde invaso nullo.
infh s s S
infshSs
tt shh
22
Relazione invaso – livello
tt shh
Invaso non cilindrico
1. batimetria del serbatoio (DEM)
L’identificazione di h(.) segue vie diverse, a seconda che sia nota:calcolo numerico per puntiinterpolazione tt sh ,2. serie storica
Esiste una relazione biunivoca tra il livello misurato in un punto e l’invaso.
Ipotesi implicita:
lo specchio liquido è in ogni istante orizzontale.
tt shh
L’inversa di h(.) consente di determinare il valore dell’invaso misurando il livello : l’unica misura effettivamente eseguibile.
23
Ricostruzione della relazione tra quote ed invasi per il serbatoio di Campotosto
60,000
80,000
100,000
120,000
140,000
160,000
180,000
200,000
220,000
1304 1306 1308 1310 1312 1314 1316 1318Quote [m.s.l.m.]
Inva
si [
103 m
3]
Serie storiche Quote-Invasi
Retta di regressione
24
Ricostruzione della relazione Quote - Invasi per il serbatoio di Piaganini
0
100
200
300
400
500
600
700
800
387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397Quote [m.s.l.m.]
Inva
si [
103 m
3]
Serie storiche Quote-Invasi
25
Ricalibrazione della relazione Quote-Invasi per il serbatoio di Piaganini
0
100
200
300
400
500
600
700
800
387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397Quota [m.s.l.m.]
Inva
so [
103 m
3]
Dati dal 1988 al 1992
Dati dal 1993 al 2001
Dati del Febbraio 19933 Febbraio '93
26
Relazione invaso - superficie t tS S s
Si determina con le medesime tecniche.
27
Modello tempo-continuo del serbatoio
( ) , , ,ds t
a t i t s t e t S s t r t s t p tdt
s(t) = volume invasato all’istante t [m3]
a(t) = portata di afflusso all’istante t [m3/s]
e(t) = evaporazione per unità di superficie all’istante t [m/s]
i(t,s(t)) = infiltrazione [m3/s]
S(s(t)) = area dello specchio liquido [m2] r(t,s(t),p(t)) = rilascio quando l’apertura delle paratoie è p [m3/s]
28
dipende dalle scale di deflusso e dalla posizione p
degli organi di scarico
dipende dalle scale di deflusso e dalla posizione p
degli organi di scarico
( ) , , ,ds t
a t i t s t e t S s t r t s t p tdt
Semplificazioni
Invaso cilindrico n(t) = a(t)-e(t)S afflusso netto
i = 0 quasi sempre vera, perlomeno in serbatoi artificiali
n(t)
29
Scale di deflusso istantanee
• s min , s max : limiti fascia di regolazione• s* : invaso corrispondente alla quota dello sfioratore
s min s max s*
sfioratore
paratoie aperte
massimo rilascio
minimo rilascio
s(t)
è limitato
min,norN
maxN
max,norN
minN
max, massimo rilascio nel rispetto della normanorN min, minimo rilascio nel rispetto della normanorN
( )r t
30
Scale di deflusso di Campotosto
port
ata
[m3/s
]
invaso [m3]
N max (•)
N min (•)
~
~
31
Un modello per la gestione
Il modello tempo-continuo non serve per la gestione, perché:• le decisioni si assumono in istanti temporali discreti• non sempre possediamo dati tempo-continui
discretizzare
32
st+1 = st +nt+1 -rt+1
nt+1 = volume di afflusso netto in [t ,t+1)
+nt+1
Modello discreto del serbatoio
t t +1
nt+1= volume di afflusso netto in [t , t+1)
nt+1
lo supporremodistribuito uniformemente
st = volume invasato all’istante t
st
rt+1 = volume effettivamente erogato in [t , t+1)
-rt+1
( )n t
33
La funzione di rilascio
rt+1 = Rt (st ,nt+1 ,ut)
1
1max,, ,t t t
tnor
t
V s n N s d
Massimo volume erogabile in [t , t+1)
1
1min,, ,t t t
tnor
t
v s n N s d
Minimo volume erogabile in [t , t+1)
rt+1
nt+1
ut
ut
rt+1fissato st e ut
fissato st, nt+1
Vt
vt
45°
decisione di rilascio
con
min,( ) ( ) ( , ( ))
( ) [ , 1)
n r
t
os n s
s t s t t
N
max,( ) ( ) ( , ( ))
( ) [ , 1)
nor
t
s n s
s t s t t
N
con
34
Minimo e massimo rilascio di Campotosto
n = 50 m3/s
n = 0 m3/s
35
Insieme dei controlli ammissibili U(st)
controlli ammissibili
U(st)
dipendono dall’afflusso!
1 1min( ) : ( , ) ( ma, x )t t tt tt t t t tU n ns u v s u V s 1 1min( ) : ( , ) ( ma, x )t t tt tt t t t tU n ns u v s u V s
36
Insieme dei controlli ammissibili U(st)
ut
fissato st
Vt (st,min{nt+1})
vt(st,min{nt+1})
rt+1
45°
Vt (st,max{nt+1})
vt(st,max{nt+1})
U(st)
37
Commenti
Se nt+1 noto
Forme alternative dell’equazione di continuità
rt+1 = ut
1 1
1
t t
t t
n rh h
S S
ht = livello all’istante t rt+1 = Rt(st ,nt+1 ,ut) = Rt (ht ,nt+1 ,ut) rilascio effettivo in [t , t +1)
1 1 1t t t th h n r nt+1= afflusso netto espresso in livello
rt+1= rilascio effettivo espresso in livello
vt(st ,nt+1) rt+1 Vt(st ,nt+1)
vt(st ,nt+1) ut Vt(st ,n t+1)
vincolo ridondante incluso in Rt(•)
NO rilasci di interesse)( ttt sUu
38
CONCLUSIONE
1 1 1 1 1
1 1 1
1 1
( , , , )
( , , , )
( )
t t t t t t t t t t
t t t t t t
t t
t t
t t t
t t
s s a e S s R s u a e
r R s u a e
h h s
S S s
E e S s
u U s
Modello di un serbatoio in esercizio
uscite
controlli ammissibili
transizione di stato
39
CONCLUSIONE
1 1 1 11
1 1 1
1 1
( , , , , ) se
0 se
( , , , , )
( , )
>0
=0t t t t t t t t t
t
t t t t t t
t t
t t
t
p p
p
p
t t
tp
p
t
p
u u
u
u
u
u
s a e S s R s u a es
r R s u a e
h h s
S S s
E e S s
u U s
U
Modello di un serbatoio in progetto
1 1( , , , , )t t t tp
tR u a es u
40
Leggere
MODSS Cap. 5
VERBANO Cap. 6
41
Il passo temporale
La maggior parte delle variabili (livelli, disturbi, afflussi, ...) varia
nel tempo con continuità.
Solo le decisioni di gestione (i controlli) vengono assunte in istanti discreti (reti irrigue, centrali idroelettriche, ...).
L’intervallo di tempo che intercorre tra una decisione e la successiva è detto passo decisionale.
Si potrebbe credere che la sua durata dipenda dalla rapidità con cui varia lo stato del sistema, ma in realtà non è così!
o è uniforme o è periodico.
Il passo decisionale deve essere uguale al passo di modellizzazione.
42
Il passo temporale
Due opposte esigenze:
Come fissare la durata del passo temporale?
1. abbastanza breve da permettere il tempestivo adeguamento
della decisione alle variazioni del sistema.
2. abbastanza lungo da consentire che tutti i fenomeni fisici ed
economici che la decisione influenza si adattino a essa.
La decisione non si cambia in tempo nullo e comporta dei costi.
Rappresentabilità del sistema fisico
Accettabilità sociale della alternativa
43
Il passo temporale
Quando il sistema è già in esercizio
il passo temporale esistente è quasi sicuramente un buon compromesso tra le due esigenze; se così non fosse il regolatore farebbe fatica a gestire il sistema.
Quando il sistema è realizzato ex-novo è necessario considerare:
- i vincoli imposti dalla dinamica del sistema
- la frequenza con cui sono misurate le variabili idrologiche
- le esigenze di stabilità dei Portatori d’interesse
44
Il passo temporale
Quando assumere un passo temporale periodico?quando il passo che si vorrebbe adottare non è un sottomultiplo del periodo T del sistema.
Esempio: T = anno
= giorno: è un sottomultiplo, il passo può essere costante
= settimana: non è un sottomultiplo, passo non costante
Porre t uguale a 7 giorni per le prime 52 settimane e
a 1 o 2 giorni alla fine dell’anno
45
= decade: non è un sottomultiplo, passo non costante
Definire t uguale a 10 giorni, in corrispondenza del primo e dell’undicesimo giorno del mese, e di durata pari alla
restante parte del mese in corrispondenza del ventunesimo.
= mese: il passo è naturalmente periodico
Il passo temporale
46
Il passo temporale: due difficoltà
Spesso periodicità diverse agiscono sullo stesso sistema.
Esempio 1
In un distretto irriguo l’eliofania ha periodicità annuale, mentre le attività agricole settimanale.
Esempio 2
In un impianto idroelettrico la domanda ha una componente periodica annuale, a causa della temperatura, e una settimanale, a causa della distribuzione delle attività antropiche.
L’anno non è periodico per la presenza degli anni bisestili.
47
Soluzione: tempo naturale e antropico
Si definisce un ANNO STANDARD anno non-bisestile che inizia di lunedì
Al giorno corrente si associano due indici:
Tempo naturale: il numero ordinale che lo contraddistingue a partire dal primo giorno dell’anno corrente (giorno 0)
Tempo antropico: il tempo naturale del giorno più vicino nell’anno standard che ha lo stesso nome (Lunedì, Martedì, ...) del giorno corrente.
48
Un esempio
ANNO STANDARD
lunedì domenicasabatovenerdìgiovedìmercoledìmartedì
0 654321
domenicasabatovenerdìgiovedì
1gen04 4gen043gen042gen040 1 2 3 tempo naturale
3 4 5 6 tempo antropico3
49
MODSS Par. 4.8 e pag. 241
Leggere
50
Laghi in regime naturaleh
e
s
a r
hmin
n t a t e t
r
s
(s - smin)
0 se ssmin
N(s) =
s t n t r t
N(s(t))
afflusso netto o efficace
scala di deflusso( ) ( ( ))r t N s t
smin
51
min min
1 +
s s s s e n
t
e d
t
s t n t N s t (s - smin)
Nota: s(t+1) dipende da s(t) solo se = .
T è detta costante di tempo del serbatoio.
Linearizzazione e costante di tempo
r
ssmin
t t+1
Sistema lineare a tempo continuo
( )s t As t Bn t
0
(0) t
A tAts t e s n e d
Formula di Lagrange
52
min min
1 +
s s s s e n
t
e d
t
s t n t N s t (s - smin)
Nota: s(t+1) dipende da s(t) solo se = .
T è detta costante di tempo del serbatoio.
Linearizzazione e costante di tempo
r
ssmin
t t+1
Significato di T
Ponendo =T=1/ si ottiene
T è il tempo impiegato dall’invaso per portarsi a circa 1/3 del suo valore iniziale.
1min min1s t s s t s e
min min
1 +
s s s s e n
t
e d
t
53
min min
1 +
s s s s e n
t
e d
t
s t n t N s t (s - smin)
Nota: s(t+1) dipende da s(t) solo se = .
T è detta costante di tempo del serbatoio.
Linearizzazione e costante di tempo
r
ssmin
t t+1
Una buona modellizzazione richiede Teorema di Shannon o del campionamento
Una buona modellizzazione richiede Teorema di Shannon o del campionamento
54
LAGO S T=
[km2] [giorni]
Maggiore 212.0 7.4Lugano 48.9 8.7Varese 15.0 34.7Alserio 1.5 8.0Pusiano 5.2 15.0Como 146.0 7.7Iseo 61.0 7.8Garda 370.0 86.6
Il passo temporale di modellizzazione dei laghi con T = 8è di circa 1 giorno.
Sono tutti laghi con bacini imbriferi piccoli rispetto alla superficie del lago.
La loro bocca non ha ancora raggiunto la condizione di equilibrio.
Per la maggior parte dei laghi T è di circa 8 giorni.
Costanti di tempo dei laghi lombardi
55
dB1/T
• Le ampiezze di onde entranti con frequenza minore di 1/T non vengono attenuate.
Es.: onde di piena da scioglimento nivale.
• Onde con frequenza maggiore di 1/T vengono attenuate.
Es.: onde di piena prodotte da temporali.
Diagramma di Bode
Laminazione ossia smorzamento
56
Il passo temporale dipende dallo stato
Il modello non è lineare: T non definita.
Sarebbe quindi opportuno avere modelli con passo variante con s, ma gli algoritmi oggi disponibili non lo permettono
Unica possibilità: utilizzare modelli con diversi in momenti diversi
varia con s
T varia con il punto s in cui si linearizza
Linearizzare il sistema
Per la rappresentabilità del sistema fisico:
0,1* T
57
r
h
Confronto tra due laghi
min
nh h
2 >1 12h h
12h t h t
livello medio
2
2
1
10 0h h
.
min n t
h h hS S
1) ( )
2) 0
n t n.h
hmax
h
t
58
Comunità rivierasca
*
minmax 0t
n Ph t h h
S
Utenti di valle *
t
TPr t n e
S
più soddisfatta dal lago 2 ( T piccolo )
più soddisfatti dal lago 1 ( T grande )
Confronto tra i due laghi soggetti a una piena impulsiva
CONFLITTOCONFLITTOh
t
r
t
*
min 0t
Tn Ph t h e t
S
livello mediolivello medio*
min
nh
*
min
nh
risposta a una piena impulsivarisposta a una piena impulsiva
t
TPe
S
t
TPe
S
n
t
n*
P
59
Comunita’ rivierasche grande
Utenze di valle piccolo
Quale compromesso?
Lago naturale Lago regolato
Scale di deflusso diverse in tempi
diversi
Scala in regime libero
Scala naturale
Scale per diverse posizioni delle paratoie
r
h
Regolazione del lago
60
Utenti di valle
Mesi
t
t
Rivieraschi
h(t)
r
Regolazione del lago
t
t