L18 Scegliere tra infinite alternative Andrea Castelletti Modellistica e Controllo dei Sistemi...

L18Scegliere tra infinite

alternativeAndrea Castelletti

Modellistica e Controllo dei Sistemi Ambientali

2

Il Problema di ProgettoAnche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. L15):

1. infinite alternative

2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi

3. decisioni ricorsive

Esaminiamo dapprima il caso più semplice:

ipotesi A. i disturbi sono deterministici

ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie

Problema di pura pianificazione

3

Il modello del sistema

1 1

1

1 1

, , , ,

,

, , , ,

pt t t t t t

p p

pt t t

pt t

pt t t t t t

f

U

U

g g

x x u u w ε

u

u u x

ε u

x u u w ε

In pianificazione il modello si semplifica:

4

Il modello del sistema

1 1

1

1 1

, , , ,

,

, , , ,

pt t t t t t

p p

pt t t

pt t

pt t t t t t

f

U

U

g g

x x u u w ε

u

u u x

ε u

x u u w ε

In pianificazione il modello si semplifica:Il modello globale del sistema in pianificazione

1 , ,

, ,

pt t t t

p p

pt t t t

f

U

g g

x x u w

u

x u w

Assumiamo il sistema periodico di periodo T:

0 1 1 0 1 1

e con 1,2,...

, ,..., , , ,..., ,...t t kT t t kT

T T

f f g g k

w w w w w w

5

Il Problema di pura pianificazione

1

10

0

, , 0,..., -1

scenario dato

dato

eventuali altri vincoli 0,..., -1

pt t t t

p p

h

f t h

U

t h

x x u w

u

w

x

* 10 0( ) min ( , , )

p

p h p hJ i u

u x u w

Questa è la formulazione più generale: considera ciò che accade sia in transitorio, sia a regime.

Spesso il Decisore è interessato solo al regime.

* 10 0( ) min ( , , )

p

p h p hJ i u

u x u w* 10 0( ) min ( , , )

p

p p hJ i u

u x u w

6

Transitorio vs. regime

Israele ha proposto un Progetto per lo sfruttamento idroelettrico del Mar Morto (-400 m s.l.m.).

Denotiamo con up il diametro della condotta idraulica tra il Mar Mediterraneo e il Mar Morto.

Si assuma che la portata turbinata sia tempo-invariante.

Mar Morto

Mar Mediterraneo

Giordano

El Araba

Gerusalemme40 km

Mar Mediterraneo

Mar Morto

Israele Giordania

Esempio: Progetto Mar Morto

7


Ipotesi: gli afflussi sono deterministici e periodici.

Il lago non ha emissari.

L’invaso lacuale fluttua con periodo T :

Mar Morto

Mar Mediterraneo

Giordano

El Araba

Gerusalemme40 km


1 0 0 0

0 1 1 1

,0,

,0,T T T

s f s

s f s

w

w

Cosa accade quando si costruisce una condotta?

Il livello del lago sale fino a raggiungere un nuovo equilibrio.

8


Transitorio o regime?

La scelta dipende dal Decisore, ma questi sarà quasi sempre interessato alla condizione di regime.

- Quando l’indicatore è di forma TDC si attribuisce più importanza al transitorio che al regime


0

( , , )pT i gDC

x u w

- Per considerare il solo regime utilizzare la forma AEV, che ignora ciò che accade nel transitorio

o, in alternativa,

riformulare il problema di pianificazione.

0

1lim ( , )

1 ,

hp

hi gA

hEV

x u w

9

Il Problema di pura pianificazione

1

10

0

, , 0,..., -1

scenario dato

dato


pt t t t

p p

h

f t h

U

t h

x x u w

u

w

x

* 10 0( ) min ( , , )

p

p p hJ i u

u x u w

10

Il Problema di pianificazione del regime

1 0 0 0 0 1 1 1

10

, , , , , ,

scenario dato


p pT T T

p p

T

f f

U

t T

x x u w x x u w

u

w

* 10( ) min ( , )

p

p p TJ i u

u u w

Quando l’obiettivo è AEV, questa formulazione definisce la stessa alternativa ottima della precedente, ma per particolari forme dell’obiettivo e dei vincoli permette di individuarla più facilmente.

11

Lo scenario dei disturbiIn molti Progetti di pianificazione del regime si assume come scenario del disturbo deterministico la traiettoria dei disturbi casuali nell’anno medio o nell’anno peggiore

Ma l’uguaglianza è verificata solo se l’indicatore è lineare!!!

con l’idea di valutare la prestazione media (o peggiore)

0

per 1,...,1

nt kT

tk

w t Tn

anno medio

0,...,max per 1,...,t t kTk n

w t T anno peggiore

1,...,

1,...,

0 1

0 1

, ,

max , ,

t t T

t t T

p T

p T

E i

i

ε

ε

x u ε

x u ε

... calcolando la prestazione del sistema nella condizione media (o peggiore)

10 0

10 0

, ,

, ,

p T

p T

i

i

x u w

x u w

12

Algoritmo risolventeSe U p contiene pochi elementi: si valuta l’obiettivo per ogni alternativa e si sceglie quella cui corrisponde il valore migliore.

Orizzonte finito:

* 10 0arg min ( , , )

p

p p hi u

u x u w

10 0 , dati e , si simula il sistema su H con p p hU u w x

1 0, , si ottiene la traiettoria p ht t t tf x x u w x

10 0 e si calcola ( , , ).p hi x u w

13

Se U p contiene pochi elementi: si valuta l’obiettivo per ogni alternativa e si sceglie quella cui corrisponde il valore migliore.

Algoritmo risolvente

Orizzonte infinito: la simulazione non sembra adatta, perché continuerebbe all’infinito, ma ...

0

( , , )t pt t t

t

T

i g

DC

x u w

0

1lim ( , , )

1

hp

t t th

t

AEV

i gh

x u w

... sconta i costi tanto più quanto più sono lontani nel tempo, così che le variazioni del valore dell’indicatore diventano sempre più piccole al crescere di t;

... se il sistema possiede una condizione di regime ciclo-stazionaria le variazioni del valore dell’indicatore diventano sempre più piccole al crescere di t.

14

Algoritmo risolvente

Dal punto di vista pratico possiamo, quindi, arrestare la simulazione quando le variazioni del valore dell’indicatore diventano abbastanza piccole.

Condizione di terminazione: ( 1)| ( ) ( ) |k T kTi i

Al crescere di diminuisce il tempo richiesto dalla simulazione, ma aumenta l’approssimazione della soluzione.

Se U p contiene pochi elementi: si valuta l’obiettivo per ogni alternativa e si sceglie quella cui corrisponde il valore migliore.

Orizzonte infinito: la simulazione non sembra adatta, perché continuerebbe all’infinito, ma ...

15

Algoritmo risolventeSe U p contiene un numero molto elevato o infinito di elementi la

soluzione esaustiva non è più praticabile: ci si deve accontentare di una soluzione sub-ottima.

Si utilizzano per questo metodi evolutivi vincolati:

• viene calcolato il valore dell’indicatore, via simulazione, solo per di alcuni elementi di U p;

• l’algoritmo evolve in U p alla ricerca di una soluzione il più vicino possibile a quella ottima;

• quando il numero di componenti di up è elevato, anche questo approccio è computazionalmente molto oneroso.

16

Il Piano del Sinai

17

Il Piano del Sinai

Obiettivo: migliorare la qualità della vita in Egitto aumentando la superficie coltivata.Azioni: Bonifica di zone desertiche (reclaimed lands) nelle 7 aree Zj (j=1-7) sfruttando l’acqua dei 4 canali Ss (s=1-4)e scegliendo in ciascuna la rotazione colturale Ri (i=1-5) e la tecnica irrigua Ih (h=1-3) più appropriate.

Criterio di valutazione: beneficio netto a regime.

18

Il Piano del Sinai

j Zona bonificabile Zj Aj [feddan]

1 Costa Nord-Est del Sinai 515 000

2 Pianura di El Tina 135 000

3 Territori a Ovest del Canale di Suez 235 000

4 Territori a Nord del Canale di Salhia 102 000

5 Territori tra i Canali Ismailia e Salhia 120 000

6 Territori a sud del Canale di Ismailia 45 000

7 Territori a Sud del lago di Manzala 29 000

max area bonificabile nella zona Zj

4 212 m2

s Canale SS ws [109m3]

1 Ismailia 4.4

2 Bahr Hadous 2.4

3 Bahr El Baqar 1.4

4 Damietta-Salam 2.3

volume medio annuo derivabile da SS

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Il Piano del Sinai

j Zona bonificabile Zj Aj [feddan]

1 Costa Nord-Est del Sinai 515 000

2 Pianura di El Tina 135 000

3 Territori a Est del Canale di Suez 235 000

4 Territori a Nord del Canale di Salhia 102 000

5 Territori tra i Canali Ismailia e Salhia 120 000

6 Territori a sud del Canale di Ismailia 45 000

7 Territori a Sud del lago di Manzala 29 000

max area bonificabile nella zona Zj

4 212 m2

i Rotazione colturale Ri bi [LE/feddan]

1 Trifoglio-Riso 298

2 Trifoglio-Cotone 374

3 Trifoglio-Mais 152

4 Trifoglio-Soia 158

5 Grano-Mais 184

s Canale SS ws [109m3]

1 Ismailia 4.4

2 Bahr Hadous 2.4

3 Bahr El Baqar 1.4

4 Damietta-Salam 2.3

h Tecnica irrigua Ih Lh [LE/feddan]

1 A scorrimento 650

2 A pioggia 1500

3 A goccia 2500

volume medio annuo derivabile da SS

beneficio agricolo unitario prodotto dalla

rotazione Ri

costo di impianto unitario per la tecnica

irrigua Ih

20

Port

ato

ri

0. Ricognizione e obiettivi

1. Definizione delle azioni

2. Definizione di criteri e indicatori

3. Identificazione

del modello

4. Progetto delle alternative

6. Valutazione delle

alternative

5. Stima degli effetti

7. Comparazione e negoziazione

Alternative dicompromesso

8. Mitigazione e compensazione

Cercare ancora?

si

9. Scelta politica

no

PIANIFICAZIONE

Alternativa di miglior compromesso

MO

DS

S

21

Il Piano del Sinai: Fase 0 - ricognizione

Condizioni poste dal Ministero:

• il Piano deve essere elaborato in modo non-partecipato;

• il Decisore è lo stesso Ministero;

• il metodo di valutazione deve essere l’Analisi Costi-Benefici (ACB);

• il Piano deve essere valutato a regime.

Condizioni individuate dall’Analista:

• i Portatori d’interesse sono gli Agricoltori e gli attuali utilizzatori (industrie e idroelettrico) dei volumi idrici che verrebbero destinati all’irrigazione;

• è fondamentale considerare la qualità dell’acqua prelevata: in alcuni canali la salinità Qs [ppm] è tale da ridurre la produttività delle colture.

22

Port

ato

ri




3. Identificazione

del modello



alternative





Cercare ancora?

si

9. Scelta politica

no

PIANIFICAZIONE


MO

DS

S

23

Il Piano del Sinai:Fase1- definizione delle azioni

Le azioni proposte dal Ministero riguardano:

• superficie da bonificare in ogni zona

• rotazione colturale

• tecnica di irrigazione

area [feddan] da destinare alla rotazione Ri nella zona Zj con la tecnica irrigua Ih

1 :ijhu

volume idrico annuale [m3] da convogliare dal canale Ss alla zona Zj

2 :sju

• volume idrico da fornire

• sorgente da cui prelevarlo

Possiamo quantificarle con le seguenti variabili:

Non tutte le combinazioni sono possibili (ad es. non si può irrigare il riso a goccia)

Indichiamo con F l’insieme delle combinazioni ammissibili di i,j,h,s

Il vettore up delle decisioni di pianificazione è il seguente Il vettore up delle decisioni di pianificazione è il seguente 1 2

( , , ),( , )| |pijh sj i j h s j Fu u u

24

Port

ato

ri




3. Identificazione

del modello



alternative





Cercare ancora?

si

9. Scelta politica

no

PIANIFICAZIONE


MO

DS

S

25

Il Piano del Sinai: Fase2- definizione del criterio e dell’indicatore

L’obiettivo del Progetto è formulato con l’ACB (come richiesto)

max (Benefici_sociali - Costi_sociali)

1

( , , )

( ) agr i i j ijhi j h F

B b P Q u

beneficio agricolo specifico

coeff. di produttività [%]: tiene conto del fatto che la produttività decresce al crescere della salinità media Qj

i coltura

j superficie

h tecnica irrigua

26

Il Piano del Sinai: Fase2- definizione del criterio e dell’indicatore

L’obiettivo del Progetto è formulato con l’ACB (come richiesto)

max (Benefici_sociali - Costi_sociali)

• costi installazione impianti di irrigazione1

( , , )

irr h ijhi j h F

C L u

costo unitario di impianto della tecnica Ih

• costi di trasporto dell’acqua dai canali all’area bonificata

• costi opportunità

2

( , )

tr tr sj sjs j F

C c l u

costo specifico [LE /m3 km] costante su tutto il territorio

distanza [km] tra il canale Ss e la zona Zj

2

( , )

opp s sjs j F

C o u

costo opportunità [LE /feddan] dell’acqua del canale Ss

In conclusione l’indicatore di progetto è il seguenteIn conclusione l’indicatore di progetto è il seguente

( , )pagr irr tr oppi B C C C u w

vettore dei volumi idrici ws derivabili dai canali

27

Port

ato

ri




3. Identificazione

del modello



alternative





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si

9. Scelta politica

no

PIANIFICAZIONE


MO

DS

S

28

Il Piano del Sinai: Fase3- identificazione del modello

Si vuole valutare la situazione a regime (come richiesto dal Ministero) e sono noti i volumi annui ws derivabili dai canali, pertanto:

• Problema di Progetto = problema di pianificazione del regime;

• passo temporale = anno.

Il modello è pertanto

0 , ,

scenario dato

eventuali altri vincoli

p

p p

f

U

x x u w

u

w

lo stato è la salinità all’equilibrio:

2

: ( , )

2

: ( , )

[1 ]

[1 ]

sj sj ss s s j F

jsj sj

s s s j F

l u Q

Q jl u

distanza [km] tra la sorgente Ss e la zona Zj

perdita unitaria [m3/km]

Insieme delle azioni ammissibili. Vediamo come è definito.

29

Il Piano del Sinai: L’insieme

E’ definito da tre vincoli:

1. Il volume complessivamente derivato dal canale Ss non deve superare quello disponibile ws

2

: ( , )

sj sj j s j F

u w s

pU

2. L’area complessivamente bonificata nella zona Zj non deve superare la massima area bonificabile Aj

3. Le componenti del vettore up non possono assumere valori negativi, poiché privi di senso

(N.B. L’Alternativa zero corrisponde al vettore identicamente nullo.)

1

( , ) ( , ): ( , , )

ijh ji h i h i j h F

u A j

1 2( , , ),( , )| | 0 ijh sj i j h s j Fu u

30


Si vuole valutare la situazione a regime (come richiesto dal Ministero) e sono noti i volumi annui ws derivabili dai canali, pertanto:

• Problema di Progetto = problema di pianificazione del regime;

• passo temporale = anno.

Il modello è pertanto

0 , ,

scenario dato

eventuali altri vincoli

p

p p

f

U

x x u w

u

w

volumi ws derivabili dai canali

tutti i vincoli che non ricadono in quelli precedentemente considerati

precisamente

31


Il beneficio specifico bi è stato stimato in corrispondenza di una fornitura di acqua che soddisfi totalmente la domanda idrica delle colture. Pertanto affinché il Beneficio agricolo

sia stimato correttamente è necessario imporre che

il volume complessivamente fornito a una zona sia maggiore della domanda idrica della rotazione considerata

2 1

: ( , ) ( , ) ( , ): ( , , )

(1 ) 0 sj sj ih ijhs s s j F i h i h i j h F

l u W u j

domanda specifica [m3/feddan] della rotazione Ri irrigata con la tecnica Ih

1

( , , )

( ) agr i i j ijhi j h F

B b P Q u

32

Port

ato

ri




3. Identificazione

del modello



alternative





Cercare ancora?

si

9. Scelta politica

no

PIANIFICAZIONE


MO

DS

S

33

Il Piano del Sinai: Fase4 – progetto delle alternative

Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma

1 7

* 1irr tr opp

, ,..., ( , , )

( ) max ( ) - C - C - C p

p p p pi i j ijh

Q Q i j h F

J b P Q u

u

u u u u

soggetto ai vincoli Problema di Programmazione Matematica non-lineare

55 variabili di decisione

80 vincoli

2

: ( , )

2

: ( , )

[1 ]

[1 ]

sj sj ss s s j F

jsj sj

s s s j F

l u Q

Q jl u

2

: ( , )

sj sj j s j F

u w s

1

( , ) ( , ): ( , , )


u A j

1 2( , , ),( , )| | 0 ijh sj i j h s j Fu u

2 1

: ( , ) ( , ) ( , ): ( , , )


l u W u j

34

Il Piano del Sinai: Fase4 – progetto delle alternative

Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma

soggetto ai vincoli

2

: ( , )

2

: ( , )

[1 ]

[1 ]

sj sj ss s s j F

jsj sj

s s s j F

l u Q

Q jl u

2

: ( , )

sj sj j s j F

u w s

1

( , ) ( , ): ( , , )


u A j

1 2( , , ),( , )| | 0 ijh sj i j h s j Fu u

2 1

: ( , ) ( , ) ( , ): ( , , )


l u W u j

OSSERVAZIONE:

se i valori di Qj (j=1,...,7) fossero fissati il Problema sarebbe lineare

OSSERVAZIONE:

se i valori di Qj (j=1,...,7) fossero fissati il Problema sarebbe lineare

idea per la

soluzione

Un algoritmo evolutivo nello spazio Qj (j=1,...,7) che minimizza

1 7( ,..., ) max , p

pJ Q Q iu

u w

soggetto agli stessi vincoli della formulazione originale.

algoritmo del simplesso

1 7

* 1irr tr opp

, ,..., ( , , )

( ) max ( ) - C - C - C p

p p p pi i j ijh

Q Q i j h F

J b P Q u

u

u u u u

35

Il Piano del Sinai: l’Alternativa ottima

La soluzione del Problema fornisce l’Alternativa ottima (si è assunto os = 10 [LE/1000 m3])

Bonifica complessiva = 448 000 feddan

Beneficio annuo netto (obiettivo) = 80 000 000 LE

Zona Area bonificata

[feddan]

Canali

utilizzati

Rotazione Tecnica

irrigua

1 0 * * *

2 135 000 1 e 3 5 2

3 235 000 2 e 3 2 1

4 0 * * *

5 0 * * *

6 45 000 3 5 2

7 29 000 2 e 4 2 1

36

Port

ato

ri




3. Identificazione

del modello



alternative





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si

9. Scelta politica

no

PIANIFICAZIONE


MO

DS

S

37

Port

ato

ri




3. Identificazione

del modello


PIANIFICAZIONE

Alternativa ottima

MO

DS

S

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