A. Castelletti, MCSA, 2004/05 L12 Modelli empirici Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright 2004 ©...

A. Castelletti, MCSA, 2004/05

L12 Modelli empirici

Rodolfo Soncini Sessa

MODSSCopyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

A. Castelletti, MCSA, 2004/05 2

Mappa didattica

COMPONENTE Serbatoio Bacino imbrifero

TIPOLOGIE di MODELLI

Reti Bayesiane Meccanicistici

Empirici


Il bacino imbrifero

sezione di chiusura


t

P

impulso di pioggia unitario

Il metodo razionale (Mulvany, 1850)

d(t)

pioggia

P

t

scalino di pioggia unitario

t

A d

tc

ttc

dAd

dt

t+dtA(t)

dA

t


L’idrogramma unitario (Sherman, 1932)

Postulati

Per un dato bacino:

a) la durata del deflusso superficiale è uguale per precipitazioni di ugual durata, indipendentemente dal volume totale della stessa.

b) precipitazioni con ugual distribuzione temporale producono al tempo dal loro inizio, deflussi con rapporto pari al rapporto dei volumi totali delle precipitazioni.

c) la distribuzione temporale del deflusso è indipendente dalla storia precedente del bacino.


Integrale di convoluzione :

L’idrogramma unitario (Sherman, 1932)

d(t) = h(τ )

0

t

∫ P(t - τ )dτ

t

P

d

ttc

somma di idrogrammi successivisomma di idrogrammi successivi idrogrammaunitario

( )h τ

pioggia

( - )P t τ

Il bacinoè un sistema lineare.

Il bacinoè un sistema lineare.


Modello di Nash, 1957

PtPt

dtdt

Interpreta il bacino come una sequenza di serbatoi in cascata.

Equazione di transizione di stato

xt+11 =(1- k1)xt

1 +h1Pt

xt+12 =(1- k2 )xt

2 +k1xt1 +h2Pt

.....................xt+1

n =(1- kn)xtn+kn−1xt

n−1 +hnPt

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

h1Pt

k1xt1

x1

h2Pt

k2xt2

x2

h3Pt

k3xt3

x3

x4

h4Pt

k4xt4

= dtdt

Trasformazione di uscita

dt=knxt

n


Modello di Nash, 1957

Interpreta il bacino come una sequenza di serbatoi in cascata.

Equazione di transizione di stato

xt+11 =(1- k1)xt

1 +h1Pt

xt+12 =(1- k2 )xt

2 +k1xt1 +h2Pt

.....................xt+1

n =(1- kn)xtn+kn−1xt

n−1 +hnPt

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

Trasformazione di uscita

dt=knxt

n

1 2 1 21 1 1 1 1..... .....n n

t t t t n t t t nd a d a d a d b P b P b P

Sistema lineare Sistema lineare


Modelli ARX (anni 70)

dt+1 = dt ipotesi di persistenza

dt+1 = 2dt - dt-1 AR(2)

dt+1 = a1 dt +….+an

dt-n+1 AR(n)

ARX

dt+1 = Pt-n+1 n legato al tempo di corrivazione

dt+1 = b1Pt+ …+bnPt-n+1

3) modello completo:

1) previsione deflusso con dati di precipitazione :

2) previsione deflusso con dati di deflusso :

t

d

t-2 t-1 t t+1

misuratocalcolato

1 2 11 1 1 1 + n n

t t t t n t t nd a d a d a d b P b P 1 2 11 1 1 1 + n n

t t t t n t t nd a d a d a d b P b P


Considerazioni

•ARX Sherman : un modello lineare, descritto tramite la risposta all’impulso.

•ARX Mulvany : il bacino è un sistema lineare ( la risposta allo impulso è la derivata della risp. allo scalino).

I quattro modelli fin qui visti sono matematicamente identici.

Corrispondono tutti a una stessa equazione: un sistema lineare.

•ARX è la relazione ingresso-uscita di un modello discreto lineare

RX Nash

11 21 1 1 1 + n n

t t t t n t t nd a d a d a d b P b P


Considerazioni

I quattro approcci differiscono solo per il metodo di taratura dei parametri

Mulvany : effettua una stima qualitativa partendo da considerazioni topografiche.

Sherman : attribuisce all’ idrogramma unitario forme data a priori, oppure lo stima a partire da eventi impulsivi realmente accaduti.

Nash : classicamente stima i parametri per tentativi ed errori.

ARX : adotta algoritmi di stima parametrica ai minimi quadrati.


ma allora... Perchè non identificare direttamente la struttura del modello senza preoccuparsi di ricostruire le relazioni causali che caratterizzano il processo fisico?

Più precisamente, si potrebbe identificare la relazione che lega gli ingressi all’uscita senza preoccuparsi di cosa avviene all’interno del sistema!Si potrebbe ad esempio descrivere la dinamica

dell’uscita con una relazione della forma

yt1 y(yt,...,yt−(p−1),ut,...,ut−(r '−1),wt,...,wt−(r ''−1),εt1,...,εt−(q−1))

detta forma ingresso-uscita o rappresentazione esterna

modelli empirici


Modelli empirici

Si limitano a riprodurre il legame intercorrente tra ingressi e uscite del sistema.

Serie storica delle piogge

Modello empirico

Serie storica delle portate

non permettono di descrivere cambiamenti nella struttura del sistema idrico.

Svantaggi:


Modelli empirici

Siamo certi che esista sempre una rappresentazione esterna? La Teoria dà risposte, ma ... inutili. In pratica si procede così:• si assume “empiricamente” che esista;• si fissa a priori una struttura e l’ordine (p,r’,r’’,q) e si tarano

i parametri con opportuni algoritmi;• se l’aderenza alla realtà è buona si è trovata la forma

cercata; altrimenti si torna al passo precedente aumentando l’ordine e ...

• ... si continua fino a che la si trova o l’ordine raggiunto è “troppo” elevato.

ht=h(st)

st+1 = f (st,ut,wt,εt+1) rappresentazione interna del serbatoio

rappresentazione esterna ht1 h(ht,...,ht−(p−1),ut,...,ut−(r '−1),wt,...,wt−(r ''−1),εt1,...,εt−(q−1))

Esempio


Modelli empirici

Questi modelli non si propongono di capire come il sistema funzioni (scopo scientifico), ma solo di predire l’uscita che si otterrà in risposta a dati ingressi (scopo ingegneristico).

modelli a scatola nera (black-box models)Si cerca la forma esterna in una classe di funzioni fissata a priori

Se le variabili sono tutte scalari viene spesso adottata la forma lineare

yt1 αt

1yt ...αtpyt−(p−1) βt

1'ut ...βtr 'ut−(r '−1)

βt1''wt ...βt

r ''wt−(r ''−1) εt1 γt1εt ...γt

qεt−(q−1)

classe PARMAX


Modelli empiriciLa forma lineare è semplice ed esistono potenti algoritmi per la

stima dei suoi parametri, ma non è sempre la più adatta...

st1 αst −βut γ(wt εt1) ma...

s

t

N(g)

r

t+1

u

t

s

non-lineare!

NO!

Conviene utilizzare una classe di funzioni non-lineare, come le

RETI NEURALI ARTIFICIALI


Modelli empirici stocastici

Conviene, inoltre, considerare la forma stocastica

st1 αst −βut γ(wt εt1) νt1

O a volte

s

t1 αst −βut γ(wt εt1)νt1 δt1νt ...δt

qνt−(q−1)

yt1 y(yt,...,yt−(p−1),ut,...,ut−(r '−1),wt,...,wt−(r ''−1),

,εt1,...,εt−(q'−1),νt,...,νt−(q''−1))νt1

In generale

rumore di processo


Osservazioni

La forma esterna può essere identificata solo se sono disponibili serie storiche abbastanza lunghe di ingressi e uscite.

I modelli empirici non possono essere adottati quando le alternative comportano modifiche alla struttura interna del sistema, perchè non possono descriverne gli effetti.Non esistono ovviamente serie storiche che risentano di tale modifica.

La capacità predittiva di un modello empirico dipende fortemente dalla classe di funzioni adottata a priori.


Modelli concettuali

Realtà

Modelli empirici

Modelli concettuali e empirici

come trovarlo?

spazio dei modelli


Ricapitolando I modelli meccanicistici rischiano di essere troppo complicati e

spesso descrivono particolari irrilevanti ai fini del progetto, che non influenzano, cioè, la relazione ingresso-uscita.

L’identificazione dei modelli empirici richiede di specificare a priori la classe di funzioni in cui cercare la loro forma definitiva e questa scelta condiziona fortemente la qualità del modello.

IDEA (1994)

Utilizzare un modello meccanicistico, ma individuare la forma della relazione che lo definisce non da conoscenze a priori (la Fisica, l’Idraulica, ...), ma direttamente dai

dati.


Un esempioCunning river - Australia

?

Il suolo asciutto assorbe la pioggia.


deflusso misurato

deflusso stimato

Un primo modello del fiume Cunning

yt1 αtyt βtwt εt1proviamo con un PARMAX

precipitazione

NO


Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM)

yt1 αyt β(yt)wt εt1proviamo con un DBM

Il valore del parametro β dipende dalla portata di deflusso, che a sua volta dipende dall’umidità del terreno.


deflusso misurato

deflusso stimato

Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM)

yt1 αyt β(yt)wt εt1proviamo con un DBM

ora la previsione è molto buona


Mappa didattica

COMPONENTE Serbatoio Bacino imbrifero

TIPOLOGIE di MODELLI

Reti Bayesiane Meccanicistici

Empirici

Modello del disturbo

• Meccanicistici basati sui dati


I disturbi

Lo scopo ultimo è simulare il comportamento del sistema in presenza di una alternativa.

xt+1 = ft(xt,u

p,ut,wt,εt+1)

yt+1 =ht(xt,up,ut,wt,εt+1)

Per simulare occorrono le traiettorie degli ingressi.

definito dalla politicadeterministicamente noto al tempo t, ma al

momento del progetto?

casuale: chi lo fornisce?

N.B.

I disturbi di cui parlia

mo sono quelli del

sistema globale, non del componente.


xt+1 = ft(xt,u

p,ut,wt,εt+1)

yt =ht(xt,up,ut,wt,εt+1)

per simulare occorrono le traiettorie degli ingressi.

deterministicamente noto al tempo t, ma al momento del progetto?

casuale: chi lo fornisce?

I disturbi

Lo scopo ultimo è simulare il comportamento del sistema in presenza di una alternativa.

definito dalla politica

N.B.

I disturbi di cui parlia

mo sono quelli del

sistema globale, non del componente.

Mare Adriatico

Fucino

VILLA VOMANO

PIAGANINI

PROVVIDENZA

CAMPOTOSTO

MONTORIO (M)

SAN GIACOMO (SG)

Distretto irriguo(CBN)

S. LUCIA (SL)

PROVVIDENZA (P)


Chi li fornisce?

Due possibilità:1. adottare la traiettoria storica

ma potrebbe essere troppo breve.

2. identificare un modellonon deve avere disturbi tra gli ingressi altrimenti ...

... si cade in un circolo vizioso ...

... che, però, è a volte utile.


Chi li fornisce?

Due possibilità:1. adottare la traiettoria storica

ma potrebbe essere troppo breve.

2. identificare un modellonon deve avere disturbi tra gli ingressi altrimenti ...

... si cade in un circolo vizioso ...

... che, però, è a volte utile.

Prima o poi il disturbo deve essere spiegato senza introdurre altri ingressi e, quindi, solo in base ai valori che ha assunto negli istanti precedenti o, al più, delle variabili di stato e di controllo del sistema.


εt1 yt(εt,...,εt−(p−1),ut,...,ut−(r '−1),xt,...,xt−(r ''−1),υt,...,υt−(q−1))υt1

yt1 yt(yt,..., yt−(p−1),ut,...,ut−(r '−1),xt,...,xt−(r ''−1),εt,...,εt−(q−1))εt1

Il modello deve dunque essere empirico

meglio cambiare notazione

NO!circolo vizioso!

a meno che ...

… non debba e non possa essere spiegato perché è

un rumore bianco

rumore di processo


Il rumore bianco

Se una serie di dati ammette un modello si dice che è

algoritmicamente comprimibile.

Una serie non algoritmicamente comprimibile è un rumore bianco

Quando il disturbo è stocastico ciò equivale a dire che il suo correlogramma è identicamente nullo.

Conclusione:

i disturbi devono essere bianchiVedremo in seguito come descriverli.


Tipi di modelli

Rete Bayesiane di credenza (BBN)

Modelli meccanicistici

Modelli empirici Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) Modelli dei disturbi (Catene di Markov)


Leggere

MODSS Cap. 4


Bacini imbriferi del Vomano

Utilizziamo dei modelli PARMA

1. Identificazione di una distribuzione di probabilità che descriva i dati


Carta probabilistica LognormaleGronda a quota 1100m.s.l.m.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ln(Portata)

Va

ria

bil

e r

ido

tta

Lo

gn

orm

ale

Lognormale campionaria

Lognormale teorica

Prov. 30.1 / seca m

Prov.

Pr

7200sec0.98

amm

Sδ


Bacini

Utilizziamo dei modelli PARMA

yt1 αt

1yt αt2yt−1 K αt

nyt−n1 εt1 γt1εt K γt

pεt−p1

εt1 : N(0,σ ε22)

1. Identificazione di una distribuzione di probabilità che descriva i dati

xt lνat

xt : N(μt,σ t2)

2. Normalizzazione

3. Standardizzazione

4. Modello PARMA


Bacini

Definizione dell’ordine del modello PARMA (n, p)

Si procede iterativamente, provando diverse combinazioni di n e p e verificando per ognuna se il residuo è bianco

Se il residuo è bianco ci si ferma: il modello spiega completamente i dati


Bacini

Nel caso del Vomano per tutti e tre i bacini si è scelto un PAR(0)

11

iti

ta eε

definito dunque solo da media μt e deviazione standard σt

ciclostazionario di periodo 365: media e varianza sono diverse ogni giorno


PAR(0) Campotosto


PAR (0) Provvidenza


PAR(0) Piaganini

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