R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 1 L21 Accettare la casualità Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright...

R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 1

L21Accettare la casualità

Rodolfo Soncini Sessa

MODSSCopyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.


Il Problema di ProgettoAnche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. S02):

1. infinite alternative

2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi

3. decisioni ricorsive

Esaminiamo dapprima il caso più semplice:

ipotesi A. i disturbi sono deterministici

ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie

Problema di pura pianificazione


Il Problema di ProgettoAnche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. L15):





ipotesi A. i disturbi sono deterministici


Problema di pura pianificazione


Il Problema di ProgettoAnche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. L15):






Problema di pura pianificazione in presenza di casualità


Il Problema di pianificazione

xt+1 = ft xt,u

p,wt( ) t=0,...,h-1

up ∈U p

w0h−1 scenario dato

x0 dato

eventuali altri vincoli t=0,...,h-1

J (u p*) =min

upi(x0

h,up,w0h−1,ε0

h−1)

xt+1 = ft xt,u

p,wt,εt+1( ) t=0,...,h-1

up ∈U p

εt+1 : φt ⋅up( )

gt+1 =gt+1 xt,up,wt,εt+1( )


J (u p*) =min

upi(x0

h,up,w0h−1,ε1

h)

l’indicatore è casuale:

che fare?

Il Problema di pianificazione in presenza di casualità


Tabella delle decisioni

Valore indicatore

Stati di natura (realizzazioni del

disturbo) ε1 ε2 ε3

Alternative

A1 50 40 10

A2 35 45 15

A3 30 25 20

A4 40 35 5

R. Soncini Sessa, MODSS, 20047

1. E’ noto lo stato di natura εj che si realizzerà.

Teoria delle decisioniInformazione disponibile Decisione in condizione di

1. E’ noto lo stato di natura εj che si realizzerà.

certezza

rischio

3. E’ noto (descrizione set-membership) incertezza

2. E’ noto j. (descrizione stocastica) φ(ε j )


Decisioni in condizioni di certezza

Valore indicatore

Stati di natura ε1 ε2 ε3

Alternativa

A1 50 40 10

A2 35 45 15

A3 30 25 20

A4 40 35 5

Tabella di decisione

Nota la realizzazione j si sceglie l’alternativa A* tale che

* arg max iji

A i


Decisioni in condizioni di certezza: esempio

In condizioni di certezza opterò sicuramente per l’alternativa A2 cherende 1500 €.

Valore indicatore

Stati di natura ε1

Decisioni

A1 1490

A2 1500


Teoria delle decisioniDecisione in condizione diInformazione

disponibile1. E’ noto lo stato di natura εj

che si realizzerà certezza

rischio

3. Nessuna completa incertezza

2. E’ noto j (descrizione stocastica) φ(ε j )2. E’ noto j (descrizione stocastica)

( )j ε


Decisioni in condizioni di rischio

A* = argmax

iEε j

[iij ] =argmaxi

φ(ε j )⋅iijj=1

3

∑maxi

[ ]ijj

E i

Valore indicatore


Alternative

A1 50 40 10

A2 35 45 15

A3 30 25 20

A4 40 35 5

Probabilità di accadimento 1/3 1/3 1/3

Ej [iij]

33.3

31.6

25.0

26.6

φ(ε j )

Criterio di Laplace: scegliere l’alternativa A* tale che


Avversione al rischio

Il criterio di Laplace suggerisce di scegliere l’alternativa A2.

Voi cosa scegliereste?

Valore indicatore

Stati di natura ε1 ε2

Alternative A1 1490 1490

A2 0 7500

Probabilità di accadimento εj) 0,8 0,2

Ej[iij]

1490

1500

La decisione dipende dall’avversione al rischio dell’individuo, la quale può essere quantitativamente identificata

attraverso una funzione di utilità U(z) che si stima con una lotteria.

La decisione dipende dall’avversione al rischio dell’individuo, la quale può essere quantitativamente identificata

attraverso una funzione di utilità U(z) che si stima con una lotteria.


Stima della funzione di Utilità

1.00

50

0.00

0

0.50

25

0.20

103 17

50

01-

i

0.00

0.00

i

U Avversione al rischio

0.90 45 43

0.80 40 37

0.70 35 33

0.60 30 23

0.40 20 11

0.30 15 8

0.10 5 1

0Neutralità

501.00 50

250.50 17

100.20 3

0 00.00

ineutro

iavverso

u(i)=

Avversione al rischio 0i

1.00

1.00

Neutralità 50Avversione al rischio 50i

0.50

0.50

Neutralità 25Avversione al rischio 17i

0.20

0.20

10NeutralitàAvversione al rischio 3i

casomigliore

casopeggiore


Valore indicatoreStati di natura ε1 ε2 ε3

Alternative

A1 50 40 10

A2 35 45 15

A3 30 25 20

A4 40 35 5

Probabilità di accadimento (εj) 1/3 1/3 1/3

Decisioni in condizioni di rischioUso della funzione di utilità

i

50

45

45

0.94

0.94

1.00

50

1.00U

1.00


Valore indicatore


Alternative

A1 50 40 10

A2 35 45 15

A3 30 25 20

A4 40 35 5



i

50

45

U

1.00

0.94

A* =argmax

iEε j

[U (iij )]

U(iij)


Alternative

A1 1.00 0.85 0.39

A2 0.79 0.94 0.42

A3 0.68 0.63 0.57

A4 0.85 0.79 0.25

[ ( )]j

ijE U iε

0,746

0,716

0,626

0,63

Criterio di Laplace corretto: scegliere A* tale che


Valore indicatore


Alternative

A1 50 40 10

A2 35 45 15

A3 30 25 20

A4 40 35 5



i

50

45

U

1.00

0.94

A* =argmax

iEε j

[U (iij )]

U(iij)


Alternative

A1 1.00 0.85 0.39

A2 0.79 0.94 0.42

A3 0.68 0.63 0.57

A4 0.85 0.79 0.25

[ ( )]j

ijE U iε

0,746

0,716

0,626

0,63


Variando l’avversione al rischio varia l’utilità U(•) e quindi la soluzione.


U(iij)


Alternative

A1 1.00 0.93 0.45

A2 0.91 0.97 0.52

A3 0.85 0.77 0.65

A4 0.93 0.91 0.43

[ ( )]j

ijE U iε

0.793

0.8

0.756

0.756


Prestazione Zij

Stati di natura (scenari) w1 w2 w3

Decisioni

(Alternativepolitiche)

x1 50 40 10

x2 35 45 15

x3 30 25 20

x4 40 35 5



i

U


U(iij)

Stati di natura (scenari) ε1 ε2 ε3

Alternative

A1 1.00 0.93 0.45

A2 0.91 0.97 0.52

A3 0.85 0.77 0.65

A4 0.93 0.91 0.43

[ ( )]j

ijE U iε

0.793

0.8

0.756

0.756

U(iij)


Alternative

A1 1.00 0.96 0.47

A2 0.94 0.98 0.56

A3 0.91 0.88 0.70

A4 0.96 0.94 0.46

0.81

0.826

0.83

0.786

[ ( )]j

ijE U iε

Variando l’avversione al rischio varia l’utilità U(•) e quindi la soluzione.


A* =argmax

iEε j

[U (iij )]


Prestazione Zij


Decisioni


x1 50 40 10

x2 35 45 15

x3 30 25 20

x4 40 35 5


U(iij)

Stati di natura (scenari) ε1 ε2 ε3

Alternative

A1 1.00 0.96 0.47

A2 0.94 0.98 0.56

A3 0.91 0.88 0.70

A4 0.96 0.94 0.46

0.81

0.826

0.83

0.786

[ ( )]j

ijE U iε

Avversione al rischio e Laplace

i

U


e se il Decisore è NEUTRO al rischio?

Laplace è un caso limite dell’avversione al rischio: la neutralità: la funzione di utilità è l’identità.

U(iij)


Decisioni

A1 50 40 10

A2 35 45 15

A3 30 25 20

A4 40 35 5

[ ]j

ijE iε

33.3

31.6

25

26.6

A* =argmax

iEε j

[U (iij )]



Valore indicatore


Alternative

A1 50 40 10

A2 35 45 15

A3 30 25 20

A4 40 35 5


i

U


DEBOLE AVVERSIONE

NEUTRALITA’

MEDIA AVVERSIONEELEVATA AVVERSIONE


Teoria delle decisioniInformazione disponibile Decisione in condizione di

certezza

rischio

3. Nessuna completa incertezza3. Nessuna

Conosciamo l’insieme degli stati di natura, ma non la probabilità del loro accadimento.

2. E’ noto j (descrizione stocastica) φ(ε j )

1. E’ noto lo stato di natura εj che si realizzerà


Decisioni in condizioni di completa incertezza: Wald

Valore indicatore


Alternative

A1 50 40 10

A2 35 45 15

A3 30 25 20

A4 40 35 5

Tabella di decisione

Criterio di Wald: scegliere A* tale che

min(iij)

10

15

20

5

A* =argmax

imin

jiiji

max min ijj

i


Prestazione Zij


Decisioni


x1 50 40 10

x2 35 45 15

x3 30 25 20

x4 40 35 5


Avversione al rischio e Wald

i

U

max

iEε j

[U (iij )]Ai:


A*=arg max

imin

jiij

Avversioni molto forti

corrispondono a Wald.

U(iij)


Alternative

A1 1.00 0.96 0.47

A2 0.94 0.98 0.56

A3 0.91 0.88 0.70

A4 0.96 0.94 0.46

0.81

0.826

0.83

0.786

[ ( )]j

ijE U iε

Valore indicatoreStati di natura ε1 ε2 ε3

Alternative

A1 50 40 10

A2 35 45 15

A3 30 25 20

A4 40 35 5

min(iij)

10

15

20

5



Valore indicatore


Alternative

A1 50 40 10

A2 35 45 15

A3 30 25 20

A4 40 35 5


i

U


DEBOLE AVVERSIONE

NEUTRALITA’


WALD


Decisioni in condizioni di completa incertezza: Savage

ε1 ε2 ε3

A1 50 40 10

A2 35 45 15

A3 30 25 20

A4 40 35 5

Criterio di Savage: scegliere A* tale che(minimo rincrescimento)

maxj(Rij)

10

15

20

15

A* =arg min

imax

jRiji

min

ε1 ε2 ε3

A1 0 5 10

A2 15 0 5

A3 20 20 0

A4 10 10 15

R

ij=(max

iiij )−iijcon

Rij

ijj

Rmax


Valore indicatore


Alternative

A1 50 40 10

A2 35 45 15

A3 30 25 20

A4 40 35 5


i

U


DEBOLE AVVERSIONE

NEUTRALITA’


WALD

Savage

SAVAGE


Pianificazione in presenza di casualità(formulazione con Utilità)

xt+1 = ft xt,u

p,wt,εt+1( ) t=0,...,h-1

up ∈U p

εt+1 : φt ⋅up( ) t=0,...,h-1


x0 dato


J (u p*) =max

upE

εt{ }t=1,...,h

U i(x0h,up,w0

h−1,ε1h)⎡

⎣⎤⎦

⎡⎣

⎤⎦


Pianificazione in presenza di casualità (formulazione con Criteri)

xt+1 = ft xt,u

p,wt,εt+1( ) t=0,...,h-1

up ∈U p

εt+1 : φt ⋅up( ) t=0,...,h-1


x0 dato


J (u p*) =min

upCritεt{ }t=1,...,h

i(x0h,up,w0

h−1,ε1h)⎡

⎣⎤⎦


Pianificazione in presenza di casualità (formulazione con Criteri)

xt+1 = ft xt,u

p,wt,εt+1( ) t=0,...,h-1

up ∈U p

εt+1 : φt ⋅up( ) t=0,...,h-1


x0 dato


J (u p*) =min


i(x0h,up,w0

h−1,ε1h)⎡

⎣⎤⎦

Il criterio di progetto traduce l’ “avversione al rischio” del decisore.

I criteri più usati sono:

• Il valore atteso (E) criterio di LaplaceSi adotta quando il decisore è neutro al rischio.

• Il massimo (max) criterio di WaldSi adotta quando il decisore è fortemente avverso al rischio.

I due criteri possono anche essere usati in cascata.

Il criterio di progetto traduce l’ “avversione al rischio” del decisore.

I criteri più usati sono:

• Il valore atteso (E) criterio di LaplaceSi adotta quando il decisore è neutro al rischio.

• Il massimo (max) criterio di WaldSi adotta quando il decisore è fortemente avverso al rischio.

I due criteri possono anche essere usati in cascata.


Definizione di obiettivo

Un Obiettivo è definito daun Criterio applicato ad un Indicatore,

di cui si specifica il verso di ottimizzazione.

Un Obiettivo è definito daun Criterio applicato ad un Indicatore,

di cui si specifica il verso di ottimizzazione.

.1,2,

minimizzare ( ) p

t t

Crit i

ε

u

.

*

1,2,

min

valore ottimo dell'obiettiv

( )

o

p

p

t t

J Crit i

uε

u

*

notazione semplificata

min ( )p

pJ Crit i u εu


Il Problema di progetto in presenza di casualità (formulazione tramite criteri)

xt+1 = ft xt,u

p,wt,εt+1( ) t=0,...,h-1

up ∈U p

εt+1 : φt ⋅up( ) t=0,...,h-1


x0 dato


J (u p*) =min


i(x0h,up,w0

h−1,ε1h)⎡

⎣⎤⎦


Eventuali altri vincoli

Il vincolo è ancora ben posto?

E’ cioè tale che il Problema ammetta sempre soluzione?

*

Il vincolo

permette di escludere che si verifichino

esondazioni nell'ori

zzonte di progetto.

Esempio

ts s t

Invaso in corrispondenza del quale inizia l’esondazione.


Se, ad esempio, il disturbo ha distribuzione gaussiana

esiste sempre la probabilità che l’invaso del serbatoio sia superiore a qualsiasi s* prefissato

il problema di controllo non ammette soluzioni

s*

Distribuzioni illimitate

Vincolo mal posto

ε

s


Trasformare il vincoloin “vincolo in probabilità”

Aggiungendo eventualmente un nuovo obiettivo

Problema di “affidabilità del sistema”.

Pr ( st < s* ) >

maxJ


Trasformare il vincolo in un obiettivo

*0 se

1 altrimentit

t

s sg

min tJ E g


Distribuzioni limitate

Se il disturbo è incerto con insieme di appartenenza t superiormente limitato

Infatti non è a priori detto che tale vincolo comporti la mancanza di soluzioni per il Problema.

il vincolo

st < s*

è ben posto


Vincoli deterministici imposti su variabili stocastiche

Il vincolo può essere ben posto quando in entrambi i membri della disuguaglianza compaiono le medesime variabili

stocastiche.

Es: Il vincolo

è soddisfatto per costruzione.

ut

V v

st

rt+1

RRt(st,ut,εt+1) V(st,εt+1)≤


Perché i disturbi devono essere bianchi?

i(x0h−1,up,ε1

h) ⋅φε1 ...εh

∫ (ε1...εh) ⋅dε1...dεh

εt sono indipendenti:

processo bianco

distribuzione di probabilità congiunta

La distribuzione di probabilità congiuntaè uguale al prodotto delle distribuzioni marginali.

φ(ε1...εh) = φτ (ετ )

τ=1

h

∏

Consideriamo il caso senza penale e senza disturbi deterministici per semplificare la notazione. La generalizzazione è facile.


Perché i disturbi devono essere bianchi?

εt sono indipendenti:

processo bianco

La distribuzione di probabilità congiuntaè uguale al prodotto delle distribuzioni marginali.

φ(ε1...εh) = φτ (ετ )

τ=1

h

∏

i(x0h−1,up,ε1

h)ε1 ...εh

∫ ⋅ φτ (ετ )τ =1

h

∏ ⋅dε1...dεh =


i(x0h−1,up,ε1

h)ε1 ...εh

∫ ⋅ φτ (ετ )τ=1

h

∏ ⋅dε1...dεh =

gt(x

t,u p ,εt+1)

t=0

h−1

∑ε1 ...εh

∫ ⋅ φτ (ετ )τ =1

h

∏ ⋅dε1...dεh

g

t(x

t,u p ,εt+1)

ε1 ...εh

∫ ⋅ φτ (ετ )τ=1

h

∏ ⋅dε1...dεht=0

h−1

∑

i è separabile

i(x

0h−1,up,ε1

h) = gt(xt,up,εt+1)

t=0

h−1

∑

Perché indicatori separabili?


i(x0h−1,up,ε1

h)ε1 ...εh

∫ ⋅ φτ (ετ )τ=1

h

∏ ⋅dε1...dεh =

gt(x

t,u p ,εt+1)

t=0

h−1

∑ε1 ...εh

∫ ⋅ φτ (ετ )τ =1

h

∏ ⋅dε1...dεh

g

t(x

t,u p ,εt+1)

ε1 ...εh

∫ ⋅ φτ (ετ )τ=1

h

∏ ⋅dε1...dεht=0

h−1

∑

i è separabile

i(x

0h−1,up,ε1


t=0

h−1

∑


φτ (ετ )⋅φt+1(εt+1)

τ=1

t

∏ ⋅ φτ (ετ )τ=t+2

h

∏ ⋅dε1...dεh

Le ε successive a t+1 non influenzano gt 1⋅dε1...dεt+1


i(x0h−1,up,ε1

h)ε1 ...εh

∫ ⋅ φτ (ετ )τ=1

h

∏ ⋅dε1...dεh =

gt(x

t,u p ,εt+1)

t=0

h−1

∑ε1 ...εh

∫ ⋅ φτ (ετ )τ =1

h

∏ ⋅dε1...dεh

g

t(x

t,u p ,εt+1)

ε1 ...εt+1

∫ ⋅ φτ (ετ )⋅φt+1(εt+1)τ=1

t

∏t=0

h−1

∑

i è separabile

i(x

0h−1,up,ε1


t=0

h−1

∑


π t (xt )

πt :distribuzione di probabilità dello stato


i(x0h−1,up,ε1

h)ε1 ...εh

∫ ⋅ φτ (ετ )τ=1

h

∏ ⋅dε1...dεh =

gt(x

t,u p ,εt+1)

t=0

h−1

∑ε1 ...εh

∫ ⋅ φτ (ετ )τ =1

h

∏ ⋅dε1...dεh

g

t(x

t,u p ,εt+1)

ε1 ...εt+1

∫ ⋅πt(xt)φt+1(εt+1)t=0

h−1

∑ dxtdεt+1

i è separabile

i(x

0h−1,up,ε1


t=0

h−1

∑


Valore atteso rispetto a stato e controllo


Ricorda!

Eε[i(ε)] =

casodiscreto

i(ε)⋅φ(ε)⋅dε

ε∫

densità di probabilità

i(ε)⋅φ(ε)

ε∑

probabilità

casocontinuo

Il valore atteso è un operatore lineare.

φ(ε)⋅dε

ε∫ =1con

φ(ε) =1

ε∑

con


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MODSS Cap. 9

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