“LA FUNZIONE SINUSOIDALE”

Il progetto nasce in ambito matematico all'interno di un percorso formativo sul “concetto di

funzione”, e si trasferisce in ambiente fisico e poi informatico. E' svolto dagli studenti della seconda

classe sezione A dell'Istituto Tecnico Tecnologico “B. Lotti” di Massa Marittima nei mesi di aprile e

maggio 2017. I ragazzi non hanno ancora studiato la trigonometria ma conoscono il moto circolare

uniforme, il moto armonico e il moto del pendolo. Non hanno le idee chiare e confondono con

facilità le grandezze fisiche fondamentali; sanno cos'è un angolo, come si misura, cos'è in generale

una funzione fra due grandezze e come si rappresenta. Fino ad ora si sono imbattuti principalmente

in funzioni di proporzionalità diretta o inversa ma mancano loro i raccordi utili a garantire

l'unitarietà del sapere.

Il progetto enfatizza la ricerca della funzione sinusoidale per la rilevante importanza e diffusa

applicazione di questa funzione in campi molto diversi come la topografia, l'ottica, l'elettronica;

utile sia a calcolare, ad esempio, l'area di un parallelogramma che a descrive un moto armonico.

Questo moto ha una universalità molto profonda infatti grazie alle sue proprietà matematiche,

compare in molti settori della fisica, e, sorprendentemente, anche quando il moto non è affatto

armonico (quasi tutti i sistemi oscillanti sono ben approssimati da un oscillatore armonico se

l'ampiezza delle oscillazioni è piccola e quasi tutte le funzioni periodiche possono essere espresse,

per il teorema di Fourier, come somma di funzioni armoniche).

I ragazzi all'inizio utilizzano e modificano i quadrilateri articolabili isoperimetrici non equivalenti al

fine di stabilire il legame che esiste tra area del parallelogramma e altezza. Al variare dell'angolo

compreso tra due lati consecutivi di un parallelogramma varia l'altezza relativa ad un lato di

riferimento e quindi l'area del parallelogramma. Per alcuni angoli particolari ricavano l'altezza,

calcolano l'area e disegnano la rappresentazione cartesiana nel sistema angolo-area. I pochi punti

ottenuti fanno parte del grafico di una funzione sinusoidale; al fine di trovare il grafico completo, i

ragazzi devono progettare e costruire un particolare dispositivo mobile per osservare la sinusoide

descritta dall'altezza quando varia l'angolo fra due lati consecutivi. E' necessario considerare anche

altezze negative e quindi aree negative; alla fine la curva ottenuta mostra la variabilità delle due

grandezze considerate e la funzione che le lega è periodica: ogni 360° si hanno gli stessi valori

dell'altezza del parallelogramma.

I ragazzi discutono allora sui fenomeni che, in natura, sono caratterizzati dal fatto di essere ripetitivi

e progettano qualche semplice dispositivo oscillante che sia in grado di disegnare una “traccia”

visibile del fenomeno periodico. Un pendolo, in certe condizioni è capace di disegnare una

sinusoide.

Servono, a questo punto, richiami sul moto circolare uniforme, sul moto armonico e sul moto del

pendolo. Gli studenti progettano allora con il software Geogebra alcune procedure per disegnare in

modo dinamico la sinusoide. Con il software simulano un moto circolare uniforme di un punto

materiale e il moto armonico che si genera dalla proiezione del punto su una qualsiasi retta; la

funzione che descrive questa proiezione al variare dell'angolo al centro, o dell'arco corrispondente, è

una semplice sinusoide.

I ragazzi verbalizzano le loro riflessioni circa le attività svolte per togliere ambiguità alla percezione

e consentire il confronto delle idee, delle esperienze e delle interpretazioni.

La nozione di sinusoide da vaga ed incerta all’inizio, attraverso tutte queste esperienze, riflessioni e

discussioni collettive, si raffina precisandosi su leggi matematiche e, nello stesso tempo, su leggi di

fenomeni fisici. Gli obiettivi misurabili sono quelli di acquisire strumenti e metodi di ricerca utili

alla loro conoscenza scientifica e produrre materiale su supporto informatico per la successiva

creazione d’archivi di documentazione.

PARTE PRIMA Metodo d'indagine in ambiente matematico

(lezione del giorno 20-3-2017 e parte del 27-3-2017)

Partiamo dall’osservazione di fatti e fenomeni facilmente comprensibili utilizzando e modificando i

quadrilateri articolabili isoperimetrici non equivalenti. In tali trasformazioni ci rendiamo conto che

vi sono elementi che non cambiano (gli invarianti) come la somma degli angoli, ed altri che

cambiano nel passaggio da una figura all’altra come la somma delle diagonali e l'area. I prerequisiti

richiesti sono rivisti come forma di ripasso tramite una discussione generale in classe. Sono

necessarie alcune domande (sull'altezza di un quadrilatero e sull'area dei triangoli rettangoli con

angoli di 45°, di 30° o 60°) che tendono a far emergere le difficoltà e i preconcetti. In questa fase

non correggo immediatamente gli eventuali errori commessi, ma cerco di farli riflettere su alcune

loro risposte.

Osserviamo che angoli ed altezze non sono legati da una legge di proporzionalità diretta: se si parte

da un rettangolo, quando l’angolo passa da 90° a 60° l’altezza diminuisce di un tanto, ma quando si

passa da 60° a 30° l’altezza subisce una diminuzione ben maggiore; da 30° a 0° si ha poi “un

crollo” dell’altezza.

Analizziamo un parallelogramma, ad esempio di lati 10 e 6 rispetto ad una unità arbitraria di

lunghezza e calcoliamo l’area in funzione dell’altezza e quindi di un angolo.

Viene consegnata a ciascun ragazzo una scheda che compilata conduce ai seguenti risultati.

Angolo di 30°:

= = =1 1

2 26 3BH BK

= =⋅ ⋅ =10 3 30AREA b h

Angolo di 45°:

= = =36

18 4.2432

BH

= =⋅ ⋅ =10 4.243 42.43AREA b h

Angolo di 60°:

hh

h

A

30°

60°B C

DH

K

A

45°

45° B C

DH

= − = − = =2 26 3 36 9 27 5.196BH

= =⋅ ⋅ =10 5.196 51.96AREA b h

Angolo di 90°:

= =⋅ ⋅ =10 6 60AREA b h

Facciamo quindi la rappresentazione cartesiana nel sistema angolo-area.

Unendo i punti che rappresentano le coppie ordinate (x,y) della tabella otteniamo una spezzata; i

punti appartengono ad un grafico chiamato sinusoide; per ottenere una curva continua dovremmo

calcolare l'area al variare continuo dell'angolo; sarà necessario considerare anche altezze negative e

quindi aree negative.

La sinusoide mostra come varia l'area del parallelogramma al variare dell'angolo fra due suoi lati

consecutivi.

A

30°

60°

B C

DH K

A90°

B C

D

30

30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

-30

60

-60

42.43

-42.43

51.96

-51.96

x

y

Angolo x Area y

0° 0

30° 30

45° 42.43

60° 51.96

90° 60

120° 51.96

135° 42.43

150° 30

180° 0

… …

30

30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

60

42.43

51.96

x

y

PARTE PRIMA Metodo d'indagine in ambiente matematico

(lezione del 27-3-2017)

Progetto di un modello di dispositivo mobile per osservare il grafico completo di una

sinusoide. (L'impronta della sinusoide tracciata dall'altezza del parallelogramma)

Progettiamo la costruzione di un particolare dispositivo mobile per osservare come, mentre un

parallelogramma articolabile “avanza”, l’altezza “descrive” una sinusoide. Discutiamo sui materiali

da utilizzare e progettiamo la realizzazione con materiali semplici facendoci aiutare da un artigiano.

Progetto di un modello di parallelogramma articolabile: I centri di due dischi di plexiglass di

raggio r sono collegati agli estremi di un listello di legno di lunghezza b (uguale alla base del

parallelogramma); su questi estremi del listello sono collegate in modo articolato le estremità di due

listelli di lunghezza a; le altre estremità di questi ultimi sono collegati in modo rigido alla

circonferenza dei dischi di plexiglass (in modo che la rotazione di questi sia sincronizzata) ed in

modo articolato alle estremità di un altro listello di lunghezza (b in modo che si formi un

parallelogramma articolato). Una guida mobile, spostata manualmente, fa ruotare il dispositivo sulla

guida sottostante. Nel punto medio del listello che collega i due centri dei dischi è fissato

ortogonalmente un listello di lunghezza 2r. Durante la rotazione l'intersezione tra il listello

ortogonale fissato nella mezzeria e il listello periferico di collegamento dei due dischi descrive la

sinusoide.

r

a

b

PARTE PRIMA Metodo d'indagine in ambiente matematico

(lezione del 5-4-2017)

Macchina matematica per osservare il grafico completo di una sinusoide (L'impronta della sinusoide tracciata dall'altezza del parallelogramma)

Abbiamo fatto realizzare da un artigiano il modello progettato la scorsa lezione. La guida mobile

spostata manualmente fa ruotare il dispositivo sulla binario sottostante. Nel punto medio del listello

che collega i due centri dei dischi é fissato in modo ortogonale un listello di lunghezza pari al

diametro dei dischi . Durante la rotazione l'intersezione tra il listello ortogonale fissato nella

mezzeria e il listello periferico di collegamento dei due dischi descrive la sinusoide.

Il dispositivo mobile ci mostra che al variare dell'angolo, fra due lati consecutivi, varia l'altezza del

parallelogramma. Questa altezza descrive una curva che si chiama sinusoide e rappresenta il

grafico di una funzione periodica, infatti ogni 360° si ripetono gli stessi valori delle altezze.

PARTE SECONDA Metodo d'indagine in ambiente fisico

(lezione del 5-4-2017)

Discussione sui fenomeni naturali caratterizzati dal fatto di essere ripetitivi e progettazione di

qualche semplice dispositivo oscillante che sia in grado di disegnare una “traccia” visibile del

fenomeno periodico.

Vengono poste alcune domande agli studenti chiedendo se in natura esistono fenomeni caratterizzati

dal fatto di essere ripetitivi, ovvero di ricorrere sempre uguali nel tempo per una durata indefinita.

Vengono in mente alcuni moti oscillatori studiati in fisica come il moto che si ottiene spostando e

poi lasciando andare una massa attaccata ad una molla vincolata all'altro estremo o lasciando cadere

una pallina attaccata ad un elastico vincolato all'altro estremo. Pizzicando la corda di una chitarra,

un suo punto ripassa avanti e indietro rispetto alla posizione di equilibrio; un pendolo appeso ad un

filo descrive un arco a destra e a sinistra della sua verticale. Cominciamo a progettare qualche

semplice dispositivo oscillante che sia in grado, in certe condizioni, di disegnare una “traccia”

visibile del fenomeno periodico. Pensiamo al moto di una penna solidale ad una massa che oscilla

in un piano verticale - perché appesa ad una molla - e di un foglio di carta che scorre

ortogonalmente al piano di oscillazione a velocità costante. La punta della penna, a contatto del

foglio di carta, dovrebbe disegnare la sinusoide. Il modello ci sembra però difficile da realizzare. A

qualcuno viene in mente di costruire un pendolo che lascia la traccia.

Progetto di un modello di pendolo con la sabbia: Prendiamo un grosso imbuto e riempiamolo di

sabbia finissima; tramite due cordicelle lo appendiamo ad un gancio, diamo una piccola spinta e

sotto l'imbuto facciamo scorrere, ortogonalmente al piano delle oscillazioni, un lungo foglio di

carta. La sabbia che cade sul foglio disegnerà una traccia a forma di onda, più o meno ampia, che

sarà una sinusoide. Decidiamo di costruire questo pendolo reale di legno facendoci aiutare da un

artigiano.

PARTE SECONDA Metodo d'indagine in ambiente fisico

(lezione del 12-4-2017)

L'impronta della sinusoide lasciata dal pendolo

Un pendolo, in certe condizioni è capace di disegnare una sinusoide

Abbiamo fatto realizzare da un artigiano il modello progettato la scorsa lezione.

Una piccola tramoggia in legno, con foro di 2

mm, è appesa ad un sostegno, tramite due

doppie corde, ad una altezza di circa 60 cm.

Nella tramoggia, con il foro chiuso, viene

introdotta un po' di sabbia asciutta e setacciata.

Il foro sotto la tramoggia viene aperto e la stessa

viene fatta oscillare su un piano ortogonale a

quello di base. La sabbia comincia a scendere.

Il piano di base, manualmente, viene traslato in

modo ortogonale all'oscillazione con velocità,

per quanto possibile, costante.

La traccia della sabbia lasciata dal pendolo oscillante è una sinusoide.

PARTE TERZA Metodo d'indagine in ambiente informatico

Riprendiamo in esame alcuni moti già studiati l'anno scorso: abbiamo un moto armonico semplice

ogni qualvolta una particella, oscillante avanti e indietro rispetto ad una posizione di equilibrio, è

soggetta ad una forza con intensità proporzionale allo spo

spostamento e verso opposto (legge di Hooke). Il moto armonico è strettamente legato al moto

circolare uniforme in quanto la proiezione del moto circolare su una qualsiasi retta dà luogo ad un

moto armonico.

Ricordiamo che l’ampiezza dell’angolo al centro e la lunghezza dell’arco di circonferenza

corrispondenti sono grandezze direttamente proporzionali. Se

misurato in radianti e r il raggio delle circonferenza, allora l’arco misura

numericamente uguale aθ .

Il nostro obiettivo futuro sarà quello di provare, attraverso una simulazione con GEOGEBRA, che

il moto armonico semplice è un moto periodico e che il grafico che descrive la posizione del punto

in funzione del tempo è una semplice sinusoide di ampiezza co

Metodo d'indagine in ambiente informatico

(lezione del 26-4-2017)

Riprendiamo in esame alcuni moti già studiati l'anno scorso: abbiamo un moto armonico semplice

ogni qualvolta una particella, oscillante avanti e indietro rispetto ad una posizione di equilibrio, è

soggetta ad una forza con intensità proporzionale allo spostamento, direzione uguale a quella dello

spostamento e verso opposto (legge di Hooke). Il moto armonico è strettamente legato al moto

circolare uniforme in quanto la proiezione del moto circolare su una qualsiasi retta dà luogo ad un

Ricordiamo che l’ampiezza dell’angolo al centro e la lunghezza dell’arco di circonferenza

corrispondenti sono grandezze direttamente proporzionali. Se θ rappresenta l’angolo al centro

aggio delle circonferenza, allora l’arco misura θr ; Se

Il nostro obiettivo futuro sarà quello di provare, attraverso una simulazione con GEOGEBRA, che

il moto armonico semplice è un moto periodico e che il grafico che descrive la posizione del punto

in funzione del tempo è una semplice sinusoide di ampiezza costante.

Metodo d'indagine in ambiente informatico

Riprendiamo in esame alcuni moti già studiati l'anno scorso: abbiamo un moto armonico semplice

ogni qualvolta una particella, oscillante avanti e indietro rispetto ad una posizione di equilibrio, è

stamento, direzione uguale a quella dello

spostamento e verso opposto (legge di Hooke). Il moto armonico è strettamente legato al moto

circolare uniforme in quanto la proiezione del moto circolare su una qualsiasi retta dà luogo ad un

Ricordiamo che l’ampiezza dell’angolo al centro e la lunghezza dell’arco di circonferenza

rappresenta l’angolo al centro

; Se r =1, l'arco è

Il nostro obiettivo futuro sarà quello di provare, attraverso una simulazione con GEOGEBRA, che

il moto armonico semplice è un moto periodico e che il grafico che descrive la posizione del punto

PARTE TERZA Metodo d'indagine in ambiente informatico

(lezione 10-5-2017)

Modellizzazione con software Geogebra di geometria dinamica

Il moto armonico è strettamente legato al moto circolare uniforme in quanto la proiezione del moto

circolare su una qualsiasi retta dà luogo ad un moto armonico.

Con Geogebra simuliamo un moto circolare uniforme di un punto materiale C e il moto armonico

della sua ordinata verticale (proiezione del punto sull'asse y) al variare dell'arco (o dell'angolo al

centro) della circonferenza.

In un riferimento cartesiano riportiamo sull’asse delle ascisse l’angolo al centro in radianti (oppure

l’arco corrispondente) percorso dal punto materiale C mentre descrive il moto circolare uniforme a

partire da una posizione iniziale di riferimento B della circonferenza e, sull’asse delle ordinate,

riportiamo la distanza dal centro A della proiezione di C sul diametro verticale.

Al variare dell’angolo al centro la distanza della proiezione di C da A descrive una sinusoide.

Passi della costruzione

1) Circonferenza c di centro A (-1,0) e raggio 1

2) Arco di circonferenza d di centro A, inizio dell'arco nel punto B = (0,0) della circonferenza ed

estremo in un punto a caso C della circonferenza c.

osservazione: usando il puntatore, cliccando sul punto C e tenendo pigiato il tasto sinistro del

mouse, il punto si muove sulla circonferenza; il punto di inizio B dell'arco è invece fermo.

3) Circonferenza di centro B(0,0) e raggio uguale alla lunghezza dell'arco d.

4) Punto di intersezione D fra quest'ultima circonferenza e l'asse x positivo.

osservazione: lo spostando del punto C sulla circonferenza in senso antiorario fa spostare il punto D

lungo l'asse delle ascisse positive.

5) Inseriamo il punto E =(x(D),y(C)) di coordinate l'ascissa del punto D e l'ordinata del punto C.

osservazione: nella circonferenza iniziale il punto B è fermo mentre il punto C spostandosi aumenta

la lunghezza dell'arco di circonferenza che è direttamente proporzionale all'ampiezza dell'angolo al

centro. Il raggio di questa circonferenza è 1 quindi la lunghezza dell'arco e l'angolo al centro in

radianti sono numericamente uguali. L'ascissa di E (uguale all'ascissa di D) è uguale alla lunghezza

dell'arco BC e quindi uguale all'angolo al centro in radianti del settore ABC, mentre l'ordinata di E

essendo uguale all'ordinata di C rappresenta la proiezione del punto C sull'asse delle ordinate.

6) Possiamo disegnare la sinusoide con Geogebra in due modi diversi: con "traccia" e con "luogo".

- comando "traccia" : con il mouse destro del punto C clicchiamo "traccia attiva". Muovendo tale

punto intorno alla circonferenza, vedremo il punto E tracciare la sinusoide ( questa traccia scompare

muovendo lo zoom).

Selezioniamo ora Animazione Attiva con il mouse destro del punto C. Questo si anima

automaticamente e genera il movimento del punto D il quale traccia la sinusoide. Per arrestare

l'animazione, si deseleziona Animazione Attiva nello stesso menu contestuale.

- comando"luogo": possiamo far disegnare la sinusoide utilizzando l'istruzione "luogo" nella barra

degli strumenti e selezionando prima il punto C che genera il luogo (dato che il suo moto circolare

produce la variazione della variabile indipendente sull'asse delle ascisse) e poi selezionando il punto

E che traccia il grafico.