4. Circuiti elettrici in regime sinusoidale

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DipartimentodiIngegneriadell’EnergiaElettricaedell’Informazione 1

4. Circuitielettriciinregimesinusoidale

GrandezzesinusoidaliUnagrandezzasinusoidaleneltempoèdescrittadallase-guenteespressione:

a(t)=Acos(wt+q)dove: A-ampiezza(amplitude),valoremassimodia(t),

numerorealepositivo.

w - pulsazione o frequenza angolare (radianfrequency)[1/s],numerorealepositivo.

q-fase(phase)[1],numeroreale.Peruna grandezza sinusoidalenel tempo si individuanoleseguentiquantità:

f=!"# frequenza(frequency,ciclicfrequency,ornaturalfrequency)[Hz]

T=$%="#

! periodo(period)[s]

Ae=!$&∫ A"cos"(ωt + θ)dt'(&

' =!√#valoreefficace,valorequadraticomedio(rootmeansquarevalue,rmsvalue)

GrandezzeisofrequenzialiL’analisideicircuitiincorrentealternata-CA(alternatecurrent–ACcurrent)generalmen-teconsistenellaricercadellecorrentidiregime,chesiistauranoalterminediuntransitorio,inuncircuitoalimentatodageneratorilecuitensioniabbianoandamentosinusoidaleesianoallamedesimafrequenza,cioèilsistemasiaisofrequenziale(isofrequential).Solitamente i generatori di potenza sonomacchine elet-tricherotantichegeneranotensioniperiodiche.Nellade-composizione in serie di Fourier di tali tensioni,l’armonicaprincipaledisolitoèmoltomaggioredellear-moniche di ordine superiore. Quindi risulta trascurabilel’errore commesso nel considerare rigorosamente sinu-soidaleletensionigenerate.Sipuòcomunquetenercontoanchedellearmonichediordinesuperioresovrapponen-do gli effetti da queste prodotte. Anche per l’analisi deisegnali elettrici che solitamente sono a potenza bassa(ICT)èpossibileutilizzareilmetodoindicato.

Siconsiderinoduegrandezzeisofrequenziali:

a(t)=Acos(wt+qa),b(t)=Bcos(wt+qb)

Esse hanno stessa frequenza, quindi stessa pulsazione e

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stessoperiodo.Ladifferenzafraleduegrandezzeriguardal’ampiezzaAeB,elafaseqaeqb.Sidefinisceangolodisfasamento(shiftangle)l’angoloj=qa-qb.Ponendoseina(t)qa=0,neconseguecheqb=-j.Quindisiha:

a(t)=Acoswt,b(t)=Bcos(wt-j)

a(t)eb(t)sonoinfase(inphase)quandoqa=qb,eperciòquandoj=0.Intalcasoa(t)eb(t)siannullano,hannovaloremassimoevaloreminimoaglistessiistantiditempo.Lagrandezzaa(t)èinanticiporispettoab(t)diunangoloj(aleadsbbyj),quandoqa>qbequindij>0.Lagrandezzaa(t)èinritardorispettoab(t)dij(alagsbbyj),quandoqa<qbequindij<0.

Nellefigureriportatesopra,sonomostratitrecasitipici,nell’ordine:aebsonoinfasepercuij=0,aebsonoinopposizionedifasepercuij=±p,edinfineaebsonoinquadraturadifa-sepercuij=±p/2.

GrandezzesinusoidaliisofrequenzialiefasoriPerlaidentitàdiEuleroilnumerocomplessoejapuòesserescompostonellasuaparterealeenellasuapartecomplessanelseguentemodo:

eja=cosa+jsenaQualoraasiaespressodall’angolo(wt+q),siha:

Aej(wt+q)=Acos(wt+q)+jAsen(wt+q)

Quindia(t)=Acos(wt+q)èlaparterealedelnumerocomplessoAej(wt+q)=√2Aeej(wt+q):

a(t)=Acos(wt+q)=Re[Aej(wt+q)]=Re[√2Aeejqe)*']=Re[√2Ae)*']

dovesidefinisceilfasoreAilseguentenumerocomplesso:

A=Aeejq=Aecosq+jAesenqoanche

A=a+jb con a=Aecosq,b=Aesenq

Inunsistemaisofrequenzialeovelafrequenzaènota,ilfasoreAdefiniscelagrandezzasinu-soidalea(t)inmodobiunivoco:

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a(t)«Ainfattia(t)èdefinitodaduequanti-tà, ampiezza e fase, così come ilnumero complessoAè definito dadue numeri: parte reale e parteimmaginaria. Due grandezze sinu-soidali isofrequenziali sono ugualise e solo se i fasori che le rappre-sentano hanno parte reale e parteimmaginariauguale.Datelaparterealeelaparteimmaginariadiunfasoresideterminapermezzodelleuguaglianzesoprariportatel’ampiezzaelafasedellagrandezzasinusoidale.Dallafigurasipuòriscontrarecheun’infinitàdifasoriadunadatafrequenzacondifferentifasihan-no lastessapartereale.Equindiperdefinireampiezzae fasedellagrandezzasinusoidaleènecessarioconosceresialaparterealechelapareimmaginariadelfasore.Quandocorrentietensionisinusoidalisonorappresentatedafunzionisinusoidalineltemposidicechesonorappresentateneldominiodeltempo(timedomain).Qualorasiusinoifasorisidicechesonorappresentateneldominiodellefrequenzeodominiodeifasori(frequencydomainorphasordomain).Unfasorepuòessereespressopermezzoditreforme:

A=a+jb=Aecosq+jAesenq formarettangolare(rectangularform)

A=Aeejq formaesponenziale(exponentialform)

A=Aeq formapolare(polarform)

In figura è rappresentato un fasore nel pano complesso opianodiGauss(complexplaneorGaussplane):

A=a+jb=Acosq+jAsenq® a=Acosq

b=Asenq

A=√a" + b"

q=tan-1"#$#

Lemmidiunicità,dilinearitàediderivazioneLemmadiunicità(Uniquenesslemma):Duegrandezzesinusoidalisonougualiseesolosesonorappresentatedallostessofasore.

a(t)=b(t) Þ Re[√2Ae)*']=Re[√2Be)*']

Þ Re[A(cosωt + jsen ωt)]=Re[B(cosωt + jsen ωt)]

Þ Re[A cosωt]+Re[Ajsenωt]=Re[B cosωt]+Re[Bjsenωt]

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Þ cosωtRe[A]–senωtIm[A]=cosωtRe[B]–senωtIm[B]

L’ultimarelazionesiottienepoiché,datoA=a+jb,siottienejA=ja–b.Quindi:Re[jA]=-Im[A].Affinchésiaverificatal’uguaglianzafraa(t)eb(t),deveessere:

cosωtRe[A]–senωtIm[A]=cosωtRe[B]–senωtIm[B]Neconseguechedevonoessereverificateledueuguaglianzeseguenti: Re[A]=Re[B]eIm[A]=Im[B]Daciòrisultaquindi:a(t)=b(t)ÞRe[��]=Re[��]e[��]=Im[��]Þ��=��

Risultaverificataanchelarelazioneinversa: ��=��Þa(t)=b(t) Lemmadilinearità(Linearitylemma):Ilfasoreottenutodallacombinazionelinearediduefasori con coefficienti costanti e reali, rappresenta la grandezza sinusoidale ottenuta dallamedesimacombinazionelinearedellegrandezzesinusoidalicheiduefasorirappresentano.

c1a(t)+c2b(t)=c1Re[√2Ae)*']+c2Re[√2Be)*']=Re[√2:c1A + c2B;e)*']

Anchelarelazioneinversaèverificata.Quindi: c1a(t)+c2b(t) Ûc1��+c2��Lemmadiderivazione (Derivationlemma): Lederivatanel tempodiunagrandezzasinu-soidaleèrappresentatadalfasoredellagrandezzanonderivatamoltiplicatoperjw.

++'<𝑅𝑒[√2Ae)*']A= ++' <𝑅𝑒[√2A,e

)(*'(.)]A= ++'B√2A,cos(ωt + θ)C=

=-√2ωA,sen(wt+q)=Re[jω√2A,e)(*'(.)]=Re[√2jωAe)*']

L’ultimarelazionesiottienedall’uguaglianzajA=ja–b.

Daciòrisultaquindi:𝐝𝐚(𝐭)𝐝𝐭

Û jw��

𝐝𝟐𝐚(𝐭)𝐝𝐭𝟐

Û -w2��

𝐝𝟑𝐚(𝐭)𝐝𝐭𝟑

Û -jw3��

………………………….EquazionecaratteristicadiunramoRLCinregimesinusoidalePermezzodellarelazionebiunivocafragrandezzesinusoidaliisofrequenzialiefasori,egrazieaitrelemmisopraesposti,èpossibiletrasformareleequazionicaratteristichedeglielementicircuitali,chesolitamentesonoditipointegro-differenziale,inequazionialgebrichelineari.

Atalfinesiconsideril’equazionecaratteristicadelramoinfiguraconitreelementiidealipas-sivi:

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v(t) = Ri + L +0+'+ $

1∫ i(t2)dt2'34

Þ )*)+= L )

#,)+#

+ R ),)++ -

.i

Qualora il ramo sia sottoposto ad una tensionesinusoidale v(t)=V cos(wt +qv), anche la cor-rente indotta nel ramo è sinusoidale alla stessafrequenza:i(t)=Icos(wt+qi)macondifferentefase.Ifasoricherappresentanoquestegran-dezzesono:V=Veejqv,I=Ieejqi.Dallarelazionedifferenzialeottenutaprecedentementetrasformataneldominiodeifasoripermezzodeitrelemmiprecedentementeesposti,siottiene:

jwV=-w2LI+jwRI+$1IÞV=KR + j LωL − $

*1NO I

Þ V=ZILa relazione ottenuta riduce l’equazione caratteristica del ramo da integro-differenziale adequazionealgebricalinearenellospaziocomplesso.Lagrandezza:

Z=R + j LωL − $*1N

vienedettaimpedenza(impedance).Sinotichel’impedenzaèunnumerocomplessoenonunfasore.Essainfattinonrappresentaunagrandezzasinusoidaleadunadatafrequenza.Zèespressoda:

Z=R+jX=ZejqZove: Rèlaresistenza,parterealedell’impedenza, Xèlareattanza(reactance),parteimmaginariadell’impedenza.

X=XL+XCconXL=ωL,XC=- -/.

Z=√R" + X"eqZ=tan-1$01%Sidefinisceanchel’ammettenza(admittance),ilnumerocomplessodatoda:

Y=!"

NelSistemaInternazionalel’impedenzasimisurainohm[Simbolo:W]el’ammettenzainsie-mens[Simbolo:S].L’espressionedell’equazionecaratteristicadiramoneldominiodellefrequenzesipuòespri-mereneiseguentimodi:

V=ZIÞVeejqv=ZIe𝑒)(.!(.")

I=35ÞIeejqI=5#7 𝑒

)(.$3.!)

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Lo sfasamento fra tensione e corrente è dato da j = qv - qi. Dall’equazione caratteristicadell’elementocircuitalesiottienechel’angolodisfasamentojèdatodall’esponentedelnu-mero complesso dell’impedenzaθ#ed il rapporto fra tensione efficace e corrente efficace èdatodalmodulodell’impedenzaZ:

Z=36=3$7

%&' 6$7%&(

=3$6$𝑒8(9':9()=Z𝑒89) =Z𝑒8φ

Þ Uθ9 = θ5 − θ: = φZ = V,/I,

Ilmassimodiv(t)vieneraggiuntoper(wt+θ$)=0e quindi per t0V = -θ$/w. Il massimo di i(t) vieneraggiuntoper(wt+θ%)=0equindipert0I=-θ%/w.PerciòIlmassimodellacorrentevienedopoalmas-simodellatensionediunintervalloditempo:

Dt=t0I–t0V=-θI/+θV

/=θV:θI

/=;

/

Quandoqv>qi èanchej>0. Ilmassimodellacor-rentevienedopoalmassimodellatensionediunin-tervalloDt positivo.Quindi la correnteè in ritardorispettoalla tensione. Quandoqv<qiej<0, Dtènegativoedi(t)èinanticiporispettoav(t).Épossibilesceglierelozerotemporaleperunsistemacircuitale.Esisteperciòungradodilibertànelladefi-nizione delle fasi delle tensioni e delle correnti delcircuito.Vienedeterminatalafasediunaditaligran-dezzee sideterminaperognunadelle altre l’angolodisfasamentorispettoadessa.Perililramok-esimodel circuito lo stato del ramo è determinato dallacoppiaV&eI', fasori della tensione di ramo vk(t) edella corrente di ramo ik(t). Si consideri lo zero deltempotalepercui la fasedella tensionedelramok-esimosianulla:qvi=0.L’angolodisfasamentodivie-nejk=qvk-qik=-qik.Siottieneperciò:

vk(t)=Vkcoswt ®V<=Vek=Vk/√2

ik(t)=Ikcos(wt-jk)®I==Ieke-jj=(Ik/√2)e-jjAll’istanteditempot=0lafunzionevk(t)assumeilvaloremassimopariallapropriaampiez-za.Ilmassimodiik(t)èraggiuntoaltempot=jk/w.

AnalisicircuitaleneldominiodeifasoriIl ramo di figura, descritto dalla tensione di ramo e dalla corrente di ramo, contieneun’impedenzaedungeneratoreditensioneindipendente.L’equazionecaratteristicadelramoneldominiodellefrequenzeé:

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V<=V>< + ZI=Naturalmenteperpoterutilizzare la rappresentazioneneldominiodellafrequenzaoltrealletensioniecorren-tidiramo,anchetuttiigeneratoriindipendentidelcir-cuitodevonoessereallastessafrequenza.

Inuncircuitoalimentatodageneratorisinusoidaliiso-frequenziali,letensionielecorrentidiramosonosinusoidaliallamedesimafrequenza.Ten-sioniecorrentipossonoquindiessererappresentatepermezzodifasori.L’analisidelcircuitoneldominiodeltempovienefattapermezzodelsistemaottenutodalleequazionitopologicheedalleequazionididefinizionedeglielementiperciascunramo.Ingeneraleleequazionito-pologichesonolineariomogeneementreleequazionididefinizionedeglielementisonointe-gro-differenziali.Ilsistemaquindièditipointegro-differenziale.Taliequazioni,qualoraven-ganotrasformateneldominiodeifasori,divengonorelazionilinearialgebriche.Inuncircuitoconrramiednnodisiottiene:

∑ I?? =0 (n-1equazionilinearmenteindipendenti)

∑ V@@ =0 (r-n+1equazionilinearmenteindipendenti)

V<=V>< + ZI= (requazionilinear.indipendenti)

oveV&eI'sonoifasoridelletensioniedellecorrentidelramok-esimo.V(&sonoigeneratoriindipendentiditensionepresentinelramok-esimo.Latrasformazionedaldominiodeltempoaldominiodeifasori,prendeancheilnomeditra-sformata di Steinmetz (Steinmetz transform). Risolto il sistema di equazioni lineari nonomogeneonellospaziocomplessodeldominiodeifasori,sianti-trasformaesiottienelasolu-zionedelproblema,datodalletensioniedallecorrentidiramo,neldominiodeltempo.

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IlresistoreConsiderata la tensione di ramo v(t) e la corrente di ramo i(t)sfasatadell’angolojrispettoav(t)epostoqv=0eqi=-j:

v(t)=Vcoswt ®V=Ve=V/√2

i(t)=Icos(wt-j) ®I=Iee-jj=(I/√2)e-jjDatalatensionev(t)sivuolecalcolarei(t)inunramoresistivolacuiresistenzasiaR.L’equazionediramoincorrentealternataè

V=ZI con Z=R

ÞI=$"=Iee-jjdove\

I, =5#A

φ = tan3$ BA= 0

Ènullol’angolodisfasamento,quindiv(t)edi(t)sonoinfase.

ÞI=3*1Þi(t)=√2

3*1coswt

L’induttoreDatelatensioneelacorrentediramov(t)ei(t):


i(t)=Icos(wt-j) ®I=Iee-jj=(I/√2)e-jjPerunramoconuninduttorediinduttanzaLsiha:

V=ZI con Z=jωL

ÞI=%"=Iee-jjdove\

I, =5#*C

φ = tan3$ *CD= E

"

L’angolo di sfasamento è positivo. Ilmassimodi i(t) viene rag-giuntoper(wt-π 2⁄ )=0equindidopountempot=p/(2w).i(t)èinritardorispettoav(t)dell’angolodisfasamentop/2.Tensio-neecorrentesonoinquadratura.

ÞI=3*/<𝑒:= #> Þi(t)=√23*

1cos(wt-E

")

IlCondensatoreDatelatensioneelacorrentediramov(t)ei(t)ove


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i(t)=Icos(wt-j) ®I=Iee-jj=(I/√2)e-jjPerunramoconuncondensatoredicapacitàCsiha:

V=ZI con Z=-j -/.

ÞI=%"=Iee-jj

dove]I, =V,ωC

φ = tan3$ L− $ *1⁄DN = − E

"

L’angolodisfasamentoènegativoedugualea-p/2.Ilmassimodii(t)vieneraggiuntoper(wt+π 2⁄ )=0equindiaduntem-pot=-p/(2w). i(t)è inanticiporispettoav(t)dell’angolodisfasamento - p/2. Tensione e corrente sono anche in questocasoinquadratura.

ÞI=3*/<𝑒= #> Þi(t)=√2

3*1cos(wt+E

")

ConnessionifraimpedenzeNelcapitoloprecedentesonostatepreseinesameleconnessioniserie,paralleloelerelativeresistenzeequivalenti.Inoltresonostatericavateleregolediconversionefraconnessionidiresistenzaastellaeconnessioniatriangolo.Lestesseregolesiapplicanoanchealleimpeden-ze,oveinumericomplessichedescrivonoleimpedenzesostituisconoinumerirealidellere-sistenze.Nellafigurasottoriportatasonoelencatetaliregole.

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RisonanzaLareattanzadiunramoèlegataallafrequenza.Ilfenomeno della risonanza (serie resonance) ri-guardaunramoRLCovevisianoinserieunin-duttore,uncondensatoreedunresistore.Per lafrequenzadirisonanza(resonancefrequency)lareattanzainduttivaelareattanzacapacitivasonougualiinmodulo.L’impedenzatotaledelramointalcasorisultaquindisoloresistiva.

Leespressionidellatensioneedellacorrentediramosono:

v(t)=Vcoswt;i(t)=Icos(wt-j) Perunadeterminataampiezzadellatensionelarispostadelramo,datadallacorrentediramo,dipendedallafrequenza.Ampiezzaeangolojsono:

I(w)= 3$

?1#@A/<: +,-B

#

φ =tan3$AωL− 1

ωCB

1

Perlafrequenzadirisonanzaw0siha:

XL=-XCÞωCL =-

/..ÞωD =

!√*+

Equindiampiezzaesfasamentodellacorrenterisultano:

Ie(w0)=V𝑒,; j=0.

Quindilacorrenteetensionesonoinfase,edampiezzadellacorrenteesuovaloreefficacias-sumonoilvaloremassimo.

Neldominiodellefrequenzeé:

V=RI+jXCI+jX1IPerw<w0siottieneXL<-XCej<0:lacorren-te è in anticipo rispettoallatensione.Perw=w0risultaXL= -XC ej=0:lacorrenteelatensionesono in fase.Perw>w0siottieneXL>-XCej>0: la correnteè in ritar-dorispettoallatensione.Un’impedenzadominatadallacapacitàprovocaunanticipodellacorrente.Un’impedenzado-minatadall’induttanzaprovocaunritardodellacorrente.

Ie(w)

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AntirisonanzaIl fenomeno dell’antirisonanza (parallel resonance) ri-guardailparallelodiuninduttoreeduncondensatoreallafrequenza di risonanza. In tal caso la reattanza del ramoinduttivo e quella del ramo capacitivo sono in modulouguali e l’impedenza equivalente del parallelo è infinita.Dallafigurasiha:

Z<=jωL; Z.=-j!-+

ÞZ7E =-j* +⁄

-*/ %&'=-jXLC=-j¥perωD = !√*+

I(w0)=$(

0 ) '⁄

&+),%

&+'1=0

Alla frequenzadi risonanza l’impedenzaequivalenteè infi-nita, la corrente totale passante per il parallelo è nulla, lacorrente per il ramo induttivoICe la corrente per quellocapacitivoI1sonotalipercui:

IC=−I1=-j,.<V

Lacorrentedell’induttorehaampiezzaugualeeversooppostoallacorrentedelcondensatore.Quando la corrente del condensatore è positiva e quella dell’induttore è negativa l’energiamagneticaimmagazzinatadall’induttoreètrasferitaalcondensatoreedaessoimmagazzinatasottoformadienergiaelettrostatica.Quandolacorrentedelcondensatoreènegativaelacor-rentedell’induttore èpositiva l’energia compie il percorso inverso.Quindi nell’intervalloditempodiunperiododel regimesinusoidale l’energiapassadaunelementoall’altroe tornaindietro. Questo scambio energetico con andamento periodico, avviene senza apporto dienergiadall’esterno. Ciò è compatibile con il principiodi conservazionedell’energia solo inquanto ramo induttivoe ramocapacitivo si sono supposti ideali (ossiaprividi resistenzaequindidifenomenidissipativi).

Esempio1Determinarelecorrentidiramodelcircui-toinfigura.Datidelproblema:

- R1=R2=1W- L=3,2mH- C=3,2mF- f=50Hz- v1(t)=14,14cos(2pft)

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- v2(t)=28,28cos(2pft)

Risoluzione:

Trasformazionenellospaziodeifasorideidatiiniziali:

v1(t)=14,14cos(2pft)=14,14cos(314t) ® V)*=10 v2(t)=28,28cos(2pft)=28,28cos(314t) ® V)+=20 Z*=1Z+=jwL=j2pfL=j314×0,0032=jZ,=1-j1/(wC)=1-j1/(2pfC)=1-j1/(314×0,0032)=1–j

Risoluzionenelpianocomplessocolmetododi analisi fornitodalleequazioni topologicheedalleequazionicaratteristichediramo(metodogeneraledianalisi):

V*+V,=0 magliarami1e3V++V,=0 magliarami2e3I*+I+-I,=0 equazionedinodoV*=Z*I*-V)* tensionedelramo1V+=Z+I+-V)+ tensionedelramo2V,=Z,I, tensionedelramo3

Sostituzione delle tensioni di ramo espresse dalle equazioni caratteristiche di ramo nelleequazionit0opologiche:

Z*I*+Z,I,-V)*=0 Sostituendoivaloridelleimpedenzesiottiene: Z+I++Z,I,-V)+=0 I*+(1 − j)I,=10 I*+I+-I,=0 jI++(1 − j)I,=20 I*+I+-I,=0®I*=10j;I+=10–10j;I,=10.

Anti-trasformazionedeirisultatidallospaziodeifasoriallospaziodeitempi:

I*=10j ®i1(t)=√2×10cos(314t+q1)conq1=tan-1(10/0)=p/2, ®i1(t)=14,14cos(314t+p/2)

I+=10–10j ®i2(t)=√2×14,14cos(314t+q2)conq2=tan-1(-10/10)=-p/4, ®i2(t)=20cos(314t-p/4)

I,=10 ®i3(t)=√2×10cos(314t+q3)conq3=tan-1(0/10)=0, ®i3(t)=14,14cos(314t)

PotenzaneicircuitiinregimesinusoidaleInunramodiuncircuitolapotenzaelettricaall’istantetèdefinitacome:

p(t)=v(t)i(t)Qualorailcircuitosiainregimesinusoidaleesiano

v(t)=Vcoswt

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i(t)=Icos(wt-j) Lacorrentei(t)èsfasatadijrispettoallatensione.Essapuòesserescompostainduetermini.Ilprimotermineèinfaseconlatensioneeprendeilnomedicorrenteattiva(inphasecur-rent)-ia(t).Ilsecondotermineèinquadraturaconlatensioneesidefiniscecomecorrentereattiva(reactivecurrent)-ir(t).Sihainfatti:

i(t)=Icos(wt-j)=I(coswtcosj+senwtsenj) =Icoswtcosj+Isenwtsenj

Þ i(t)=ia(t)+ir(t)doveia(t)=Icoswtcosj

ir(t)=IsenwtsenjDall’espressione della potenza istantanea è possibile scom-porreanch’essainduecomponenti:potenzaistantaneaatti-va(inphaseistantaneouspower)–pa(t)epotenzaistanta-neareattiva(istantaneousreactivepower)–pr(t):

p(t)=v(t)i(t)=v(t)ia(t)+v(t)ir(t)=

Þp(t)=pa(t)+pr(t)dove

pa(t)=VIcosjcos2wt

pr(t)=VIsenjcoswtsenwt=

=-#VIsenjsen2wt

Lapotenzaistantaneaattivapa(t)èsemprepositivaneltempo.Perciòrisultasempreentrantenell’elementocircuitale.Essaquindivieneassorbitadallacomponenteresistivadell’elementoedutilizzatadaesso.Infattilapotenzaattivaèdovutaallacomponenteattivadellacorrente,infaseconlatensioneequindidovutaallaresistenzadell’elemento.La potenza istantanea reattiva ha pulsazione doppiadella pulsazione della tensione e dellacorrente(equindidelsistemaisofrequenziale),edhavaloremedionullo.Essacorrispondeadun’energiaentrantenell’elementoperunquartodiperiodoT=2π/weduscentedaessoperilquartodiperiodosuccessivo.Lapotenzareattivaèdovutaallacomponentereattivadellacor-rente, in quadratura con la tensione, e quindi è determinata dalla reattanza dell’elemento.L’energia corrispondente al flussodi potenza reattiva viene immagazzinatadai componenticonmemoria(induttoriecondensatori)peresserepoirestituita.

PotenzaattivaLapotenzaattiva(averagepowerorrealpower)PèlamediadellapotenzaistantaneainunperiodoT=2π/w.Essarisultaancheugualeallamediainunperiododellapotenzaistantaneaattiva:

P=$&∫ p(t2)dt′')(&

')=$&∫ [pG(t2) + pH(t2)]dt′

')(&')

=$&∫ pG(t2)dt′

')(&')

=

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=$&∫ VI cosφcos" ωt2dt′')(&

')=

=VI cosφ $&∫ cos" ωt2dt′')(&')

ÞP=-#VIcosj=VeIecosj

dovecosjèilfattoredipotenza(powerfactor).Lapotenzaattivaèlapotenzamediautilizzatadalbipoloo,qualorailbi-polosiaequivalenteadunaporzionedicircuito,èlapotenzamediautilizzatadallaporzionedicircuito.Piùl’angolodisfa-samentojèridottoeilfattoredipotenzacosjsiavvicinaall’unità,piùlapotenzautilizzataaumentasinoalsuovaloremassimodatodaVeIeraggiuntoquandotensioneecorrentesonoinfase.NelSistemaInternazionalel’unitàdimisuradiPèilwatt[Simbolo:W].

PotenzareattivaIlmodulodellapotenzareattiva(reactivepower)Qèilvaloremassimodellapotenzaistan-taneareattivaedilsuosegnoèilsegnodell’angolodisfasamento:

Q=[pr(t)]Max×sign(j)==-#VIsenj=VeIesenj

Qèilvaloremassimodellapotenzascambiatadall’elementocircuitaleodallaporzionedicircuitoacuiilbipoloèequiva-lente, con l’atra parte di circuito. Questa componente dellapotenzaèdovutaallacomponentedellacorrenteinquadra-turadifaseconlatensione.Essaquindièrichiestadaicom-ponenti conmemoriadel ramoecorrispondeall’energiadaessi immagazzinatasotto formadienergiaelettrostaticaneicondensatoriemagneticanegliinduttori.Qèpositivaonega-tivadipendentementealsegnodell’angolodisfasamento.PeruncaricoinduttivoQèpositiva,peruncaricocapacitivoessaènegativa.

NelSistemaInternazionalel’unitàdimisuradiQèilvolt-amperereattivo[Simbolo:VAR].

PotenzacomplessaLapotenzacomplessa(complexpower)sidefiniscecome:

N = VI∗

doveI,∗èilcomplessoconiugatodelfasoredellacorrentei(t).

v(t)=Vcos(wt+qv)®V=vr+jvi=Veejqv

i(t)=Icos(wt+qi)®I=ir+jii=Ieejqi®I∗=ir-jii=Iee-jqiRisultaquindi:

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N = VI∗=VeejqvIee-jqi=VeIeej(qv-qi)=VeIeejj=VeIecosj+jVeIesenj

ÞN=P+jQLaparterealedellapotenzacomplessaèlapotenzaattiva,laparteimmaginariaèlapotenzareattiva.

Dall’espressionedellapotenzacomplessasiottieneanchequantosegue:

N = ZII∗ = ZI,"=RI,"+jXI,"=P+jQ

ÞUP = RI,"

Q = XI,"

Quindi,comeanchevistoprecedentemente,lapotenzaattivadipendedallaresistenzaelapo-tenzareattivadallareattanzadell’elementocircuitale.

PotenzaapparenteLapotenzaapparente(apparentpower)Nsidefiniscecomeprodottodeivaloriefficacidel-latensioneedellacorrente:

N=VeIeNelSistemaInternazionalel’unitàdimisuradinèilvolt-ampere[Simbolo:VA].DalladefinizionedellapotenzaattivaPsiottiene:

P=NcosjÛN=2

3456

Questarelazionemetteinlucel’importanzadelfattoredipotenzacosj.Pertensioneecorren-teinfasePèugualeadN.Quandol’angolodisfasamentoaumenta,lapotenzaattivautilizzatadiminuiscerispettoallapotenzaapparenterichiestaalgeneratore.InfattiladifferenzainpiùdiNrispettoaPrappresentaunapotenzascambiatadalcaricomanonutilizzataeun’energiaimmagazzinatadainduttoriecondensatoriepoirilasciata.

AdditivitàdellepotenzeQuandodueimpedenzedicarico(loadimpedences)sonoinseriefraloroesonoalimentatedaungenera-tore(sivedafiguraafianco),lapotenzafornitadalge-neratore deve essere uguale alla potenza impegnatadalledueimpedenze.DallaLKTperilcircuitoinfigurasiha:

V=V7*+V7+

Þ N = VI∗=:V7* +V7+;I∗

=V7* I∗ + V7+ I

∗=N7*+N7+

ElettrotecnicaT


Qualoraledueimpedenzesianoinparallelofraloro(sive-danellafiguradellapaginaseguente),ancheinquestocasola potenza fornita dal generatore deve essere uguale allapotenza impegnata dalle due impedenze.Dalla LKCper ilcircuitoinfiguraè:

I∗=I7*∗ +I7+

∗

Þ N = VI∗=V:I7*∗ + I7+

∗ ;

=VI7*∗ +VI7+

∗ =N7*+N7+ Perciòinuncircuitodilimpedenze,indipendentementedallaloroconnessioneinserieodinparallelo,lapotenzatotalefornitadalgeneratoreèugualeallasommadellepotenzeimpegna-tedalleimpedenzedicarico:

N = VI∗=∑ V<J<K$ I<∗ =∑ N<J

<K$

N = P + jQ=∑ (P< + jQ<)L<K$

Þ]P = ∑ R<I,,<"L

<K$ Q = ∑ X<I,,<"L

<K$

FattoredipotenzaComevistoprecedentemente il fattoredipotenzaèdefinitocomecosenodell’angolodi sfa-samentofratensioneecorrentediramoperunbipolocostituitodalbipolorealeodaunbipo-loequivalenteadunaporzionedicircuito.Sihaquindi:

cosj=cos(θ5 − θ0)=cosθ7Inoltrelapotenzautilizzatadall’impedenzadelbipoloè:

P=Ncosj=VeIecosj

Þcosj=H

3*6*=H

I

§ Inun’impedenzaresistivaconreattanzanulla, tensioneecorrentesono in fase,θ$ − θ- =θ# = 𝜑 = 0ecosj=1.Inquestocasopotenzaattivaepotenzaapparentesonouguali.

§ Perun’impedenzasolamentereattivaj=±p⁄2ecosj=0.Inquestocasolapotenzaattivaènulla.

§ Neicasiintermedil’impedenzadicaricoètalepercuilacorrenteèinritardo(caricoindut-tivo)oinanticipo(caricocapacitivo)rispettoallatensione.Inquesticasilapotenzaattivaèminoredellapotenzaapparente.

ÞI,=H

3* JKL;

§ Perfissativaloridellatensioneedellapotenzaattivadautilizzare,lacorrentediminuisceall’aumentaredelfattoredipotenzaequindialdiminuiredellosfasamento.

ElettrotecnicaT


Neisistemielettricidipotenzasolitamentesimantieneilfattoredipotenzailpiùaltopossibi-leinmodochelapotenzaapparentefornitadalgeneratoreescambiataconlareteelettricasiailpiùvicinopossibileallapotenzaattivaeffettivamenteutilizzatadallareteelacorrenteim-messanellaretesiailpiùbassapossibile.Inunsistemaelettricodipotenza tresono gli elementi che lo caratterizza-no:ungeneratorecheforniscepoten-za,unalineachetrasportatalepoten-zaeduncaricocheutilizzalapotenzaprodotta.Lalineapuòessereanchedirilevanti lunghezzee laresistenzaRlndeicavidilineasolitamentenonètrascurabile.Lariduzionedell’angolodisfasamentoportaaiseguentivantaggi:§ Lariduzionedellacorrente lungo la lineariduce leperditedovuteallaresistenzadi lineaR./I0+.

§ DettiV′eVla tensione ai capi del generatore G e quella ai capi dell’impedenza di caricodell’utilizzatore U, poiché V′=V +R./I, per avere una tensione all’utilizatore Vdi am-piezzacostanteedindipendentedalcarico,ènecessarioridurreilpiùpossibilelacorrentedilineaequindilosfasamento.

§ Lapotenzaapparente,datadalprodottoV0I0, chedeveessereprodottadalgeneratore,ètantominorequantominoreèlacorrenteequindilosfasamento.

RifasamentoLapresenzadipotenzareattivafaaumentareleperditedelsi-stema.Talepotenzanonèutilizzatadallaretemacorrispondeadun’energiarichiestadall’utilizzatoreperesserepoiresaal-la rete conscambioalternatoalla frequenzadel regimesinu-soidale.Conlariduzionedellosfasamentotalepotenzasiridu-ceperannullarsiquandotensioneecorrentesonoinfase.Dalvaloredellapotenzaattivaedell’angolodisfasamentoèpossi-bilerisalireallapotenzareattiva:

Q=VeIesenj,P=VeIecosjÞQ=PtanjPer ridurre l’angolo di sfasamento si ricorre al rifasamento.Solitamente l’impedenza di carico degli utilizzatori è di tipoinduttivo.Quindi lareattanzadelcaricoXèpositivaconXL>XC. Affinché si riduca questo disequilibrio si mette in paralleloall’impedenzadell’utilizzatoreuncondensatore.Intalmodoèpossi-bileportare lo sfasamentoda j a j’ ed il fattore di potenza dacosjacosj’.Solitamentesiriducel’angolodisfasamentoinmodochecosj’siaugualea0,9.Ilcal-colodellacapacitàCperottenerelosfasamentodesiderato,èottenutonelmodoseguente:

Q=Ptanj,Q+QC=Ptanj’ (perl’additivitàdellepotenze)

doveQC(QC=X1I0,1+ =V0+/X1=-wCV0+)èlapotenzareattivadelcondensatoredirifasamento.Dalladifferenzadelledueequazioniprecedentisiottiene:

ElettrotecnicaT


QC=P(tanj’-tanj)=-wCV,"

Þ C=H

/3*#(tan𝜑 −tan𝜑 ′).

4. Circuiti elettrici in regime sinusoidale

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