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CLASSE 3^D LA FUNZIONE SENO – LA FUNZIONE COSENO – LA FUNZIONE TANGENTE
A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia Redatti e pubblicati in data 23/11/10
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APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 19/11/10
(LA FUNZIONE SENO – LA FUNZIONE COSENO – LA FUNZIONE TANGENTE)
F La funzione “seno” associa ad un angolo x, misurato in radianti, il suo seno,
ovvero
( )( )
( ) [ ] CDfCD
senxysenxx
⊂−=
+∞∞−=
+∞∞−=
=
1;1;;
osserviamo che: se l’angolo viene assunto misurato in radianti, allora la sua ampiezza è un numero reale e sappiamo tra l’altro che, sulla circonferenza goniometrica, l’angolo al centro, misurato in radianti, si identifica con l’arco che insiste su di esso; dunque si può parlare indifferentemente di angolo o di arco
possiamo parlare di seno dell’angolo α o di seno dell’arco l; in entrambi i casi, il seno è, sulla circonferenza goniometrica, l’ordinata del punto B.
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Il DOMINIO della funzione seno è l’insieme ℜ dei numeri reali, il CODOMINIO della funzione seno è l’insieme ℜ dei numeri reali, l’INSIEME DELLE IMMAGINI della funzione seno è l’intervallo chiuso [ ]1;1− sottoinsieme di ℜ . Per passare dalla misura di un angolo in gradi sessagesimali alla misura dello stesso angolo in radianti moltiplichiamo l’ampiezza dell’angolo in gradi per il fattore di conversione
°180π ; costruiamo allora la tabella di conversione da gradi a radianti degli
angoli fondamentali (multipli di 30° e di 45°): Angolo in gradi Angolo in radianti 0° 0
30° 6π
45° 4π
60° 3π
90° 2π
120° π32
135° π43
150° π65
180° π
210° π67
225° π45
240° π34
270° π23
300° π35
315° π47
330° π611
360° π2
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Vogliamo ora tracciare il grafico della funzione seno, nell’intervallo fondamentale [ ]π2;0 : riportiamo sull’asse delle ascisse il valore dell’angolo in radianti ed sull’asse delle ordinate il corrispondente valore del seno; possiamo costruirci la tabella dei punti utilizzati per tracciare l’andamento del grafico: questi punti avranno per ascissa l’ampiezza in radianti di un angolo fondamentale e per ordinata il corrispondente seno: x senx punto 0 0 O
6π
21 A
4π
22 B
3π
23 C
2π 1 D
π32
23 E
π43
22 F
π65
21 G
π 0 H
π67
21
− I
π45
22
− L
π34
23
− M
π23 1− N
π35
23
− P
π47
22
− Q
π611
21
− R
π2 0 S
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Congiungiamo i punti della tabella ed otteniamo la sinusoide fondamentale. Caratteristiche della funzione seno:
F la funzione seno è limitata, ovvero 11 ≤≤− senx F la funzione seno è periodica, di periodo π2 , ovvero senxkxsen =+ )2( π
con Zk ∈ ; questo significa che la sinusoide fondamentale si ripete identicamente in ogni intervallo a sinistra dell’intervallo fondamentale o a destra dell’intervallo fondamentale, di ampiezza π2 .
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F La funzione “coseno” associa ad un angolo x, misurato in radianti, il suo coseno, ovvero
( )( )
( ) [ ] CDfCD
xyxx
⊂−=
+∞∞−=
+∞∞−=
=
1;1;;
coscos
possiamo parlare di coseno dell’angolo α o di coseno dell’arco l; in entrambi i casi, il coseno è, sulla circonferenza goniometrica, l’ascissa del punto B. Il DOMINIO della funzione coseno è l’insieme ℜ dei numeri reali, il CODOMINIO della funzione coseno è l’insieme ℜ dei numeri reali, l’INSIEME DELLE IMMAGINI della funzione coseno è l’intervallo chiuso [ ]1;1− sottoinsieme di ℜ .
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Vogliamo ora tracciare il grafico della funzione coseno, nell’intervallo fondamentale [ ]π2;0 : riportiamo sull’asse delle ascisse il valore dell’angolo in radianti ed sull’asse delle ordinate il corrispondente valore del coseno; possiamo costruirci la tabella dei punti utilizzati per tracciare l’andamento del grafico: questi punti avranno per ascissa l’ampiezza in radianti di un angolo fondamentale e per ordinata il corrispondente coseno x xcos punto 0 1 O
6π
23 A
4π
22 B
3π
21 C
2π 0 D
π32
21
− E
π43
22
− F
π65
23
− G
π -1 H
π67
23
− I
π45
22
− L
π34
21
− M
π23 0 N
π35
21 P
π47
22 Q
π611
23 R
π2 1 S
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Congiungiamo i punti della tabella ed otteniamo la cosinusoide fondamentale. Caratteristiche della funzione coseno:
F la funzione coseno è limitata, ovvero 1cos1 ≤≤− x F la funzione coseno è periodica, di periodo π2 , ovvero xkx cos)2cos( =+ π
con Zk ∈ ; questo significa che la cosinusoide fondamentale si ripete identicamente in ogni intervallo a sinistra dell’intervallo fondamentale o a destra dell’intervallo fondamentale, di ampiezza π2 .
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Riportiamo ora sullo stesso riferimento cartesiano la sinusoide fondamentale e la cosinusoide fondamentale:
è evidente che
xysenxy
senxyxy
v
v
cos
cos
0;2
0;2
=⎯⎯⎯ →⎯=
=⎯⎯ →⎯=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
π
π
ovvero la funzione seno è ottenibile, per traslazione, dalla funzione coseno, e viceversa.
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F La funzione “tangente” associa ad un angolo x, misurato in radianti, la sua tangente, ovvero
( )
( )( ) ( ) CDfC
ZkkxxD
tgxytgxx
⊆+∞∞−=
+∞∞−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈+≠ℜ∈=
=
;;
,2
12/ π
possiamo parlare della tangente dell’angolo α o della tangente dell’arco l; in entrambi i casi, la tangente è, sulla circonferenza goniometrica, l’ordinata del punto T. Il DOMINIO della funzione tangente è l’insieme ℜ dei numeri reali privato dei valori ( ) Zkk ∈+ ,
212 π , il CODOMINIO della funzione tangente è l’insieme ℜ dei
numeri reali, l’INSIEME DELLE IMMAGINI della funzione tangente è l’insieme ℜ dei numeri reali. Vogliamo ora tracciare il grafico della funzione tangente, nell’intervallo [ ]π2;0 : riportiamo sull’asse delle ascisse il valore dell’angolo in radianti ed sull’asse delle ordinate il corrispondente valore della tangente; possiamo costruirci la tabella dei punti utilizzati per tracciare l’andamento del grafico: questi punti avranno per ascissa l’ampiezza in radianti di un angolo fondamentale e per ordinata la corrispondente tangente:
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x tgx punto 0 0 O
6π
33 A
4π 1 B
3π 3 C
2π non
esiste
π32 3− D
π43 -1 E
π65
33
− F
π 0 G
π67
33 H
π45 1 I
π34 3 L
π23 non
esiste
π35 3− M
π47 -1 N
π611
33
− P
π2 0 Q
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Per rappresentare la tangentoide fondamentale, assumiamo come intervallo
fondamentale ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−2;2ππ ; dunque
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Caratteristiche della funzione tangente: F la funzione tangente è illimitata F la funzione tangente è periodica, di periodo π , ovvero tgxkxtg =+ )( π
con Zk ∈ ; questo significa che la tangentoide fondamentale si ripete identicamente in ogni intervallo a sinistra dell’intervallo fondamentale
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−2;2ππ o a destra dell’intervallo fondamentale ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−2;2ππ , di ampiezza π .