1

La curva dei rendimenti per scadenze di Caterina Lucarelli e Camilla Mazzoli 1- Definizione e metodi di determinazione La curva dei rendimenti è la relazione che lega alle rispettive scadenze i rendimenti di titoli obbligazionari caratterizzati dallo stesso merito di credito. La rappresentazione di questa relazione avviene, generalmente, attraverso un grafico cartesiano in cui nell’ascissa sono rappresentate le diverse scadenze e nell’ordinata i tassi di interesse (rendimenti), come illustrato in modo semplificato dalla Figura 1. Figura 1- La curva dei rendimenti per scadenze

Ren

dim

ento

4

.5%

2 anni Scadenza

La determinazione di questa curva avviene attraverso un processo empirico che si basa, per una serie di titoli di uno stesso emittente (o di emittenti diversi caratterizzati dallo stesso rischio di credito), sulla raccolta di dati relativi ai loro rendimenti (tassi di rendimento effettivi a scadenza- TRES1) ed alla loro scadenza (o meglio, vita residua). Si prenda ad esempio la serie delle obbligazioni del Tesoro Italiano in essere alla data del 3 marzo 2009, quotate sul MOT. Tabella 1- Titoli zero coupon/reddito fisso emessi dal Tesoro italiano alla data del 3 marzo 2009

Tipo Scadenza/pag.cedole ISIN Prezzo TRES(*) Duration Vita residua (gg)

Duration (gg)

BOT 15.04.09 IT0004351406 99.87 1.14 0.041 42 41

BOT 15.04.09 IT0004448855 99.87 1.14 0.041 42 41

BOT 30.04.09 IT0004411960 99.83 1.09 0.056 57 56

BOT 15.05.09 IT0004363195 99.8 1.02 0.071 72 71

BOT 15.05.09 IT0004462690 99.79 1.07 0.071 72 71

BOT 29.05.09 IT0004454762 99.76 1.02 0.023 86 23

BOT 29.05.09 IT0004429491 99.75 1.07 0.085 86 85

BOT 15.06.09 IT0004381866 99.71 1.03 0.102 102 102

BOT 30.06.09 IT0004438401 99.65 1.08 0.117 117 117

BOT 15.07.09 IT0004378615 99.62 1.04 0.132 132 132

BOT 31.07.09 IT0004447774 99.55 1.09 0.148 148 148

BOT 14.08.09 IT0004390123 99.51 1.09 0.162 161 162

BOT 15.09.09 IT0004405244 99.44 1.05 0.194 192 194

BOT 16.11.09 IT0004429475 99.24 1.08 0.256 253 256

BOT 15.12.09 IT0004438393 99.13 1.1 0.285 282 285

BOT 15.01.10 IT0004447766 99 1.15 0.316 312 316

BOT 15.02.10 IT0004454077 98.92 1.13 0.347 342 347

CTZ 30.06.09 IT0004244809 99.62 1.2 0.116 117 116

1 Si veda il contributo dedicato, in questa serie, alla descrizione del TRES.

2

CTZ 31.12.09 IT0004307614 98.99 1.23 0.304 298 304

CTZ 30.04.10 IT0004361058 98.4 1.41 1.055 417 415

CTZ 30.09.10 IT0004413909 97.15 1.86 1.208 567 568

BTP 15-04s 15.4.2009 IT0003652077 100.18 1.35 0.04 42 4

BTP 01-05s 1.5.2009 IT0001273363 100.48 1.31 0.059 58 59

BTP 15-06s 15.6.2009 IT0004085244 100.69 1.25 0.101 102 101

BTP 01-05s 1.11.2009 IT0001338612 101.98 1.19 0.238 238 238

BTP 15-07s 15.1.2010 IT0003799597 101.5 1.25 0.313 312 313

BTP 01-09s 1.3.2010 IT0004196918 102.6 1.34 0.357 358 357

BTP 15-06s 15.6.2010 IT0003872923 101.53 1.54 1.095 462 455

BTP 01-08s 1.8.2010 IT0004254352 104.02 1.61 1.139 508 499

BTP 15-03s 15.9.2010 IT0003805998 98.97 2.2 1.188 552 548

BTP 01-05s 1.11.2010 IT0001448619 105.87 1.88 1.216 598 576

BTP 01-08s 1.2.2011 IT0004332521 103.15 2.07 1.315 688 675

BTP 15-03s 15.3.2011 IT0004026297 102.73 2.13 1.347 732 707

BTP 01-08s 1.8.2011 IT0003080402 106.63 2.42 2.11 868 731

BTP 01-09s 1.9.2011 IT0004404973 104.17 2.52 2.147 898 867

BTP 15-03s 15.9.2011 IT0004112816 103.21 2.44 2.151 912 871

BTP 01-05s 1.11.2011 IT0003192454 100.48 1.72 2.218 958 938

BTP 01-08s 1.2.2012 IT0003190912 106.23 2.77 2.277 1048 997

BTP 01-09s 1.3.2012 IT0004467483 100.4 2.88 2.326 1078 1046

BTP 15-04s 15.4.2012 IT0004220627 103.44 2.85 2.344 1122 1064

BTP 15-03s 15.9.2012 IT0004216351 98.68 3.12 3.155 1272 1235

BTP 15-04s 15.10.2012 IT0004284334 103.9 3.12 3.136 1302 1216

BTP 15-04s 15.4.2013 IT0004365554 103.52 3.35 3.294 1482 1374

BTP 01-08s 1.2.2013 IT0003357982 105.61 3.23 3.236 1408 1316

BTP 01-08s 1.8.2013 IT0003472336 103.57 3.4 4.037 1588 1477

BTP 15-06s 15.12.2013 IT0004448863 101.02 3.54 4.16 1722 1456

BTP 01-08s 1.8.2014 IT0003618383 103.44 3.58 4.344 1948 1784

BTP 15-03s 15.9.2014 IT0003625909 98.39 3.43 5.084 1992 1884

BTP 01-08s 1.2.2015 IT0003719918 103.31 3.65 5.131 2128 1931

BTP 01-08s 1.8.2015 IT0003844534 100.7 3.66 5.3 2308 1803

BTP 01-08s 1.8.2016 IT0004019581 99.76 3.82 6.226 2668 2386

BTP 01-08s 1.2.2017 IT0004164775 100.13 4.02 6.351 2848 2511

BTP 01-08s 1.8.2017 IT0003242747 107.8 4.18 7.037 3028 2557

BTP 15-03s 15.9.2017 IT0004085210 93.4 4.01 7.306 3072 2826

BTP 01-08s 1.2.2018 IT0004273493 101.87 4.29 7.217 3208 2737

BTP 01-08s 1.8.2018 IT0004361041 100.98 4.42 7.342 3388 2862

BTP 01-08s 1.2.2019 IT0003493258 99.26 4.39 8.127 3568 3007

BTP 01-09s 1.3.2019 IT0004423957 99.68 4.59 8.127 3598 3007

BTP 15-03s 15.9.2019 IT0004380546 92.1 4.3 9.137 3792 3377

BTP 01-08s 1.2.2020 IT0003644769 99.29 4.63 8.343 3928 3223

BTP 01-08s 1.8.2021 IT0004009673 90.62 4.81 10.049 4468 3649

BTP 01-08s 1.8.2023 IT0004356843 97.45 5.06 10.326 5188 3926

BTP 15-03s 15.9.2023 IT0004243512 88.94 4.67 12.056 5232 4376

BTP 01-05s 1.11.2023 IT0000366655 140.47 5.11 9.255 5278 3495

BTP 01-05s 1.11.2026 IT0001086567 122.12 5.37 11.132 6358 4092

BTP 01-05s 1.11.2027 IT0001174611 112.56 5.49 11.352 6718 4312

BTP 01-05s 1.11.2029 IT0001278511 99.79 5.33 13.127 7438 4807

BTP 01-05s 1.5.2031 IT0001444378 106.97 5.52 13.161 7978 4841

BTP 01-08s 1.2.2033 IT0003256820 104.13 5.51 14.116 8608 5156

BTP 01-08s 1.8.2034 IT0003535157 96.7 5.3 15.125 9148 5525

BTP 15-03s 15.9.2035 IT0003745541 87.86 4.12 19.317 9552 7157

BTP 01-08s 1.2.2037 IT0003934657 82.46 5.26 16.321 10048 6081

BTP 01-08s 1.8.39 IT0004286966 95.43 5.37 16.26 10948 6020 (*) Si assume il rendimento effettivo lordo; per i BOT calcolato su base 360.

3

Se si rappresentano su un asse cartesiano tutti i punti corrispondenti alle combinazioni TRES-vita residua sottese da ogni titolo si ottiene la Figura 2: Figura 2- Curva dei rendimenti per scadenza (vita residua) al 3 marzo 2009

Ognuno dei 73 titoli, tra BOT, CTZ e BTP, elencati nella Tabella 1 è individuato attraverso un punto blu della Figura 2; cogliendo nell’insieme la distribuzione di tutti i titoli, secondo le loro coordinate TRES-vita residua, si può individuare una relazione generale, evidenziata dalla curva rossa. Questa rappresenta una funzione che origina come interpolazione dei punti appena indicati e che esprime, sebbene in forma approssimativa, la relazione che esiste, in un dato momento, tra le scadenze (in questo caso vite residue) ed i rendimenti dei titoli di stato italiani. Questa funzione non è altro che la curva dei rendimenti per scadenze. Una funzione analoga, a cui si può associare il medesimo significato, è quella che si ottiene attraverso la mappatura di ogni titolo in base al suo rendimento associato alla rispettiva duration (anziché vita residua). Figura 3- Curva dei rendimenti per duration al 3 marzo 2009

0

1

2

3

4

5

6

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

scadenza (in gg)

ren

dim

ento

eff

etti

vo a

sca

den

za

0

1

2

3

4

5

6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

duration (in gg)

ren

dim

ento

eff

etti

vo a

sca

den

za

4

2- Spiegazioni economiche della inclinazione della curva A prescindere dalla determinazione empirica della curva dei rendimenti, occorre richiamare le ragioni teoriche che sottostanno alla sua formazione. Si tratta delle motivazioni che inducono gli investitori a differenziare le pretese di rendimento in funzione della durata del loro investimento. Va ricordato che alla stessa base della richiesta di un rendimento per un investimento in un’attività finanziaria vi è la ricerca di una compensazione per la rinuncia al proprio consumo corrente, in vista di consumo futuro. Dunque, per coerenza, maggiore è il lasso di tempo per cui un soggetto si priva di possibilità di consumo, maggiore dovrebbe essere il rendimento richiesto. Tuttavia, le teorie economiche che stanno alla base della relazione “rendimento-scadenza” e che possono motivare le diverse “forme” della curva, in momenti storico-economici differenti, sono tre:

- la teoria del premio per la liquidità; - la teoria della segmentazione dei mercati; - la teoria delle aspettative.

Va precisato che queste teorie non si riferiscono ad una curva dei rendimenti come quelle individuate empiricamente dalle Figure 2 e 3, ma riguardano una particolare curva per scadenze, basata sui rendimenti zero coupon (o term structure), la cui determinazione richiede un approfondimento specifico, di cui si parlerà nel paragrafo 5. Peraltro, il significato generale di queste teorie, con qualche approssimazione, si può riferire a qualsiasi curva dei rendimenti per scadenze. La teoria del premio per la liquidità richiama il concetto appena citato di investimento come rinuncia di consumo corrente in vista di un consumo futuro. In aggiunta, l’ipotesi alla base di questa teoria è che gli investitori siano tendenzialmente avversi al rischio e che l’allungarsi della durata dell’investimento venga percepita, tout court, come una fonte di rischio addizionale. Dunque, gli investitori per sottoscrivere titoli di durata maggiore pretenderebbero un premio sia per compensare la relativa rinuncia di liquidità, sia per il rischio percepito come più intenso. Questo determina un aumento del rendimento dei titoli a scadenza più lunga, rispetto a quelli di scadenza più breve ed, in ultima istanza, rende la curva dei rendimenti con una inclinazione positiva. La teoria della segmentazione dei mercati presuppone che gli investitori selezionino delle scadenze dei loro investimenti per le quali si trovano particolarmente soddisfatti, anche in funzione delle rispettive esigenze di consumo e stili di vita. Ciò porterebbe gli individui a privilegiare orizzonti temporali personalizzati, a cui sono disposti a rinunciare, investendo in attività con scadenze inferiori o superiori, solo se ricevono una compensazione adeguata (premio). Questa teoria, a differenza della prima, non permette di prevedere l’inclinazione della curva dei rendimenti perché essa dipende da preferenze degli operatori variabili ed imperscrutabili che possono riguardare il breve, medio o lungo termine. Infine, la teoria delle aspettative suppone che, in base agli scenari macro-economici contingenti, gli investitori formulino delle previsioni sull’andamento dei tassi di interesse. Ad esempio, nel caso di previsioni di crescita economica e di tensione inflattiva vengono formulate previsioni di rialzo dei tassi di interesse (tassi a lungo più alti dei tassi a breve, curva dei rendimenti crescente); nel caso di attese di recessione/deflazione si possono formulare aspettative di ribasso dei tassi di interesse (tassi a lungo più bassi dei tassi a breve, curva dei rendimenti decrescente). Se si assume l’ipotesi che la curva dei rendimenti sia influenzata unicamente dalle aspettative degli operatori e che questi non richiedano premi in base alle scadenze, o per esigenze di liquidità, o per orizzonti temporali preferiti, allora questa funzione (in particolare, la term structure) può essere utilizzata per calcolare i tassi futuri attesi (tassi forward), come illustrato nel paragrafo 6.

5

3- Le inclinazioni possibili della curva dei rendimenti La curva dei rendimenti ha tre momenti significativi: normale, piatta e invertita. Figura 4.a- Curva dei rendimenti normale (normal yield curve)

Figura 4.b- Curva dei rendimenti piatta (flat yield curve)

Figura 4.c- Curva dei rendimenti invertita (inverted yield curve)

6

La curva dei rendimenti con inclinazione positiva si definisce “normale” (Figura 4.a) perché tipicamente ci si attende che gli operatori pretendano un premio per rinunciare alla liquidità e per affrontare i rischi maggiori connessi con le scadenze più lunghe (ammissione della validità della teoria del premio per la liquidità). Peraltro, tale inclinazione è coerente anche con aspettative di ripresa economica, da parte degli operatori, unite a previsioni di intensificazione della pressione inflattiva. In situazione di stasi dei mercati finanziari e di relativa incertezza della dinamica dei mercati reali la curva dei rendimenti può anche assumere una forma piatta (Figura 4.b), segnale del fatto che le aspettative sui tassi a lungo non differiscono granché rispetto a quelli a breve. In situazioni macro-economiche particolari, specie in risposta ad eventi esterni o a misure di politica economica e monetaria, la curva può anche assumere una forma “invertita” (Figura 4.c). Si tratta di momenti in cui i tassi a breve sono più alti dei tassi a lungo e ciò si è verificato, ad esempio, in periodi in cui le autorità monetarie hanno dovuto rispondere ad attacchi speculativi sul cambio. Una inclinazione simile della curva si può ricordare anche quando, per rientrare nei parametri di Maastricht, in Italia si è assunta una politica monetaria restrittiva per ridurre nel tempo i tassi di interesse domestici e raggiungere la “convergenza” rispetto ai tassi di interesse tedeschi. 4- L’utilità informativa della curva dei rendimenti per scadenze La forma della curva dei rendimenti, in un dato periodo, ha una utilità informativa notevole nel supporto delle decisioni di natura finanziaria. Visto che essa esprime le attese circa l’evoluzione futura dei tassi, la sua lettura è indispensabile:

� nelle decisioni di investimento in titoli a reddito fisso che non si vogliano detenere fino alla scadenza, e dunque, indirettamente, nell’investimento in fondi comuni di investimento obbligazionari;

� nelle decisioni di indebitamento a tasso variabile. Nei precedenti contributi si è spiegata la relazione che esiste tra tassi di interesse di mercato e prezzi dei titoli a reddito fisso; ne consegue che in caso di inclinazione crescente della curva dei rendimenti, è ragionevole attendersi un ribasso dei corsi dei titoli obbligazionari, ribasso tanto maggiore quanto più elevata è la duration del titolo. Viceversa, nel caso di inclinazione decrescente della curva dei tassi, è prevedibile un rialzo dei prezzi dei titoli. Le implicazioni gestionali di queste considerazioni sono ovvie: in caso di curva con pendenza positiva è prudente investire in titoli obbligazionari a breve durata (es. BOT), o in fondi monetari; in caso di inclinazione negativa, l’investimento in titoli ad elevata duration potrebbe permettere il conseguimento di capital gain rilevanti. Nel caso delle decisioni di indebitamento spesso è posta in alternativa la sottoscrizione di un contratto a tasso fisso rispetto ad uno a tasso variabile. La dinamica attesa dei tassi di interesse, sottesa dalla curva, può aiutare nel valutare più attentamente i rischi che, con l’indebitamento a tasso variabile rispetto a quello fisso, il debito possa incorrere in un rialzo, nel tempo, del suo costo per interessi. Queste indicazioni gestionali sono corrette ed affidabili; ciò non toglie che, anche nel caso in cui fossero seguite meticolosamente, gli operatori restino esposti ai rischi, sia negli investimenti obbligazionari, sia nell’assunzione di debito. Infatti, se la logica gestionale suggerita è assolutamente attendibile, meno affidabile è la previsione sottesa dalla curva dei rendimenti. Merita ricordare, infatti, che la pendenza della curva esprime la relazione rendimento-scadenza, in un dato momento. Essa peraltro si aggiorna nel tempo in funzione delle evoluzioni macro-economiche e del presentarsi di nuove condizioni di mercato. In altri termini, la curva dei rendimenti è uno strumento informativo importante, ma in continuo cambiamento e va monitorato costantemente per verificare che le aspettative manifestate, in un determinato periodo, effettivamente divengano realtà.

7

5- La term structure: curva dei rendimenti per titoli zero coupon La curva dei rendimenti zero coupon non differisce concettualmente dalle altre curve finora descritte (curva dei rendimenti per scadenze o per duration). La peculiarità di questa funzione consiste nel fatto che i titoli osservati per la sua determinazione sono solo titoli zero coupon, ovvero senza cedola. Nel caso dell’esempio riportato sopra, si tratterebbe di BOT e CTZ come si evince dalla Tabella 2: Tabella 2- Titoli zero coupon emessi dal Tesoro italiano alla data del 3 marzo 2009

Tipo Scadenza/pag.cedole ISIN Prezzo TRES(*) Duration Vita residua (gg)

Duration (gg)

BOT 15.04.09 IT0004351406 99.87 1.14 0.041 42 41

BOT 15.04.09 IT0004448855 99.87 1.14 0.041 42 41

BOT 30.04.09 IT0004411960 99.83 1.09 0.056 57 56

BOT 15.05.09 IT0004363195 99.8 1.02 0.071 72 71

BOT 15.05.09 IT0004462690 99.79 1.07 0.071 72 71

BOT 29.05.09 IT0004454762 99.76 1.02 0.023 86 23

BOT 29.05.09 IT0004429491 99.75 1.07 0.085 86 85

BOT 15.06.09 IT0004381866 99.71 1.03 0.102 102 102

BOT 30.06.09 IT0004438401 99.65 1.08 0.117 117 117

BOT 15.07.09 IT0004378615 99.62 1.04 0.132 132 132

BOT 31.07.09 IT0004447774 99.55 1.09 0.148 148 148

BOT 14.08.09 IT0004390123 99.51 1.09 0.162 161 162

BOT 15.09.09 IT0004405244 99.44 1.05 0.194 192 194

BOT 16.11.09 IT0004429475 99.24 1.08 0.256 253 256

BOT 15.12.09 IT0004438393 99.13 1.1 0.285 282 285

BOT 15.01.10 IT0004447766 99 1.15 0.316 312 316

BOT 15.02.10 IT0004454077 98.92 1.13 0.347 342 347

CTZ 30.06.09 IT0004244809 99.62 1.2 0.116 117 116

CTZ 31.12.09 IT0004307614 98.99 1.23 0.304 298 304

CTZ 30.04.10 IT0004361058 98.4 1.41 1.055 417 415

CTZ 30.09.10 IT0004413909 97.15 1.86 1.208 567 568

Figura 5- La term structure alla data del 3 marzo 2009

0

1

2

3

4

5

6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

scadenza

rend

imen

to e

ffet

tivo

La Figura 5 evidenzia immediatamente le difficoltà che sono implicite nella determinazione della term structure: i titoli zero coupon sono tipicamente emissioni di mercato monetario. Dunque, i dati disponibili per la sua determinazione sono limitati al breve termine. Ne consegue che per il completamento della curva occorre effettuare una interpolazione, attraverso una tecnica definita di

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bootstrapping. Ma prima di descrivere questa procedura occorre riflettere sull’utilità di avere una struttura di tassi di interesse per scadenze, in una logica zero coupon. 5.1- La determinazione del prezzo delle obbligazioni sulla term structure La term structure è di rilievo perché essa permette di determinare il prezzo “giusto” (fair price) di un titolo con cedola, rimediando ad un’approssimazione che si era dovuta operare per valutare un’obbligazione secondo i metodi tradizionali, già descritti nei contributi precedenti. Concettualmente il prezzo di un titolo con cedola è dato dalla [1], ovvero è pari alla somma dei valori attuali delle cedole che il titolo darà diritto a ricevere, fino alla scadenza, considerato anche il valore di rimborso finale:

nn

n

r

C

r

C

r

CP

)1(..

)1()1( 22

21

1

1

++

++

+=

ovvero, generalizzando:

∑= +

=n

tt

t

t

r

CP

1 )1(

dove: P: valore dell’investimento iniziale C: flussi di cassa futuri attesi t: periodo nei quali si generano i flussi di cassa, che vanno da 1 a n, data di scadenza dell’attività r: tasso di sconto nel periodo “i-esimo”

[1]

Eppure, l’esigenza di esprimere il rendimento effettivo a scadenza (TRES) in modo univoco, rispetto al prezzo, ha imposto di semplificare la [1] in [2]:

nTRES

RC

TRES

C

TRES

C

TRES

CP

)1(..

)1()1()1( 5,115,0 ++

++

++

+=

ovvero, generalizzando:

∑= +

=n

tt

t

TRES

CP

1 )1(

dove: P: prezzo di acquisto/sottoscrizione C: cedole semestrali R: valore di rimborso n: durata del titolo TRES: tasso di rendimento effettivo a scadenza FC: flussi di cassa generati periodicamente t: periodo nei quali si generano i flussi di cassa, che vanno da 1 a n, data di scadenza dell’attività

[2] [2.a]

In altri termini, si è supposto che i tassi a cui si scontano le cedole attese siano costanti nel tempo. Ciò si sostanzia nel supporre una curva dei rendimenti piatta, evento che si è visto ricorrere più in termini teorici, che nella realtà. Un metodo alternativo per determinare il prezzo di un titolo con cedola tiene conto che i tassi a cui si scontano le cedole in maturazione possano variare nel corso del tempo. Si tratta del metodo di determinazione del prezzo delle obbligazioni sulla term structure. Si ipotizzi che il mercato fornisca dati relativi a combinazioni rendimento-scadenza per zero coupon fino a tre anni:

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Tabella 3- Le componenti della term structure

Scadenza (anni) Rendimento effettivo

0,5 1%

1 1,2%

1,5 1,4%

2 1,5%

2,5 1,65%

3 1,8%

Si ipotizzi di avere 100 euro nominali di un BTP al 3,5% che scade fra tre anni che paga cedole semestrali. La distribuzione dei flussi finanziali connessi con il titolo può essere scorporata in una serie di 6 zero coupon con opportuna durata e valore nominale: il primo zero coupon ha un valore nominale di 1,75 euro ed una scadenza di sei mesi (0,5 anni); il secondo zero coupon ha un valore nominale di 1,75 euro ed una scadenza di 1 anno; il terzo zero coupon ha un valore nominale di 1,75 euro ed una scadenza di 1,5 anni e così via, fino al sesto zero coupon che ha un valore nominale di 101,75 euro ed una scadenza di 3 anni.

Il prezzo “giusto” di questo BTP corrisponde alla sommatoria dei sei zero coupon che compongono la sua struttura finanziaria. Ovviamente, ognuno di questi contribuisce come valore attuale, scontato per il tasso di interesse che la term structure della tabella 3 indica come corrispondente alla scadenza rispettiva:

01,1051,8%)1(

75,101

1,65%)1(

75,1

1,5%)1(

75,1

1,4%)1(

75,1

1,2%)1(

75,1

1%)1(

75,132,521,510,5

=+

++

++

++

++

++

=P

In questo momento si giunge a determinare il prezzo del titolo “giusto”, almeno in linea teorica, risultante come sommatoria dei flussi di cassa futuri attesi, ognuno dei quali viene scontato per il tasso di interesse che è atteso per la specifica scadenza considerata. 5.2- La determinazione del term structure attraverso il bootstrapping Se si riprende l’esempio teorico proposto dalla tabella 3 si comprende come occorra “allungare” le scadenze della term structure, tenuto conto che il mercato non fornisce evidenze empiriche per durate superiori, in questo caso, a 3 anni.

P 0,5 2,5 1 1,5 2 3

1,75 1,75

1,75

1,75

1,75

101,75

1

2

3

4

5

6

10

Tabella 4- L’allungamento della term structure

Scadenza (anni) Rendimento effettivo

0,5 1%

1 1,2%

1,5 1,4%

2 1,5%

2,5 1,65%

3 1,8%

? ?

Il metodo del bootstrapping percorre a ritroso la procedura descritta nel paragrafo precedente per calcolare il prezzo “giusto” di un titolo con cedola: mentre in quel caso erano noti i tassi di sconto ed incognito era il prezzo del titolo, ora si assume dal mercato il prezzo di mercato in un BTP con la scadenza subito successiva a quella di cui si hanno a disposizione zero coupon, e si estrae, come incognita, il tasso di sconto corrispondente alla durata finale. Si ipotizzi che il prezzo di mercato di un BTP con scadenza 3,5 anni sia pari a 104,28 e che esso paghi cedole semestrali di 2 euro. Allora si avrà:

28,104x)1(

102

1,8%)1(

2

1,65%)1(

2

1,5%)1(

2

1,4%)1(

2

1,2%)1(

2

1%)1(

23,532,521,510,5

=+

++

++

++

++

++

++

=P

%8,2=x Tabella 4.a- L’allungamento della term structure

Scadenza (anni) Rendimento effettivo

0,5 1%

1 1,2%

1,5 1,4%

2 1,5%

2,5 1,65%

3 1,8%

3,5 2,8%

? ?

Ne consegue che la term structure diventa determinata per la scadenza 3 anni e mezzo, anche in assenza di titoli senza cedola di quella durata. E’ evidente che assumendo dal mercato informazioni sui prezzi di BTP con scadenze via via più protratte, con lo stesso meccanismo si riesce a individuare i tasso di rendimento riferibili, in modo implicito, a durate sempre più estese, fino a raggiungere una rappresentazione grafica complessiva molto simile a quella delle tradizionali curve dei rendimenti per scadenze o duration. PARTE 2- Per il prossimo numero: 6- La determinazione dei tassi forward Dalla struttura a termine è possibile derivare la curva dei tassi forward.