La carica elettrica Il campo elettrico · Il campo elettrico L’interazione elettricahaunduplice...

FisicaeFisicaMedica- Prof.F.Soramel 1

I greci avevano osservato che l’ambra (elektron) aveva delle caratteristicheparticolari se strofinata con una pelliccia, il vetro presentava le stessecaratteristiche se strofinato con seta

Vetro+ Plastica-

Lacaricaelettrica Ilcampoelettrico

L’interazione elettrica ha un dupliceaspetto (+ e -) a differenza di quellagravitazionale: due corpi che hanno lostesso tipo di elettrizzazione (+ o -) sirespingono, mentre si attraggono sehanno elettrizzazione diversa (uno + el’altro -). L’interazione gravitazionale èmolto meno intensa di quella elettrica,la percepiamo solo perché l’interazioneelettrica di solito dà origine a corpineutri.


I materiali possono esser suddivisi in conduttori (ad es. rame) e isolanti (ad es.plastica). Nei conduttori le cariche (elettroni di conduzione) sono libere dimuoversi. Carica indotta. Inoltre abbiamo i semiconduttori (ad es. Si e Ge) e isuperconduttori (non presentano resistenza). La carica elettrica è responsabiledella forza elettrica, così come la massa lo è della forza gravitazionale.

Se un sistema è isolato la sua carica totale rimanecostante: principio di conservazione della caricaelettrica (B. Franklin)Elettrostatica: studio dell’interazione tra duecariche elettriche a riposo.

LeggediCoulomb


Legge di Coulomb (1785)L’interazione elettrostatica tra dueparticelle cariche è proporzionale alle lorocariche ed è inversamente proporzionale alquadrato della distanza tra di esse; ladirezione della forza è quella della lineacongiungente le cariche stesse (𝐮𝐫).

𝑭 = 𝒌𝒒𝟏𝒒𝟐𝒓𝟐 𝒖𝒓

La costante k prende il nome di costante elettrostatica e il suo valore dipendedalle unità di misura utilizzate, nel SI è𝒌 = 𝟏𝟎,𝟕𝒄𝟐 = 𝟖. 𝟗𝟖𝟕𝟒 3 𝟐𝟎𝟗 ≅ 𝟗 3 𝟏𝟎𝟗, 𝒄 = 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒕à𝒅𝒆𝒍𝒍𝒂𝒍𝒖𝒄𝒆𝒏𝒆𝒍𝒗𝒖𝒐𝒕𝒐


In questo modo la carica di 1 C è definita come la carica che, posta ad 1 m dauna carica uguale nel vuoto, viene respinta con una forza di 8.9874·109 N

Perpraticitàsipone

𝒌 = 𝑵𝒎𝟐𝑪,𝟐𝒐𝒌𝒈𝒎𝟑𝑪,𝟐

𝒌 =𝟏

𝟒𝝅𝜺𝟎

𝜺𝟎 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒅𝒊𝒆𝒍𝒆𝒕𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒅𝒆𝒍𝒗𝒖𝒐𝒕𝒐 =𝟏𝟎𝟕

𝟒𝝅𝒄𝟐 = 𝟖. 𝟖𝟓𝟒 3 𝟏𝟎,𝟏𝟐𝑵,𝟏𝒎,𝟐𝑪,𝟐

Imaterialidielettrici(ovveroimaterialilecuimolecolepossonoesserepolarizzate)hannocostantedielettricae,siha

𝜺 = 𝜺𝒓𝜺𝟎coner costantedielettricarelativa(disolito>1).


q1 e q2 vanno inserite con il loro segno �⃗� < 0 forze attrattive e q di segnoopposto, �⃗� > 0 forze repulsive e q dello stesso segno.�⃗�𝟏𝟐 = −�⃗�𝟐𝟏 q1 e q2 esercitano una sull’altra una forza di modulo uguale everso opposto, �⃗�𝟏𝟐 e �⃗�𝟐𝟏 sono una coppia di azione e reazione.

Unità di misura della carica elettrica deriva da quella della corrente (Ampere):1C è la quantità di carica che passa in un secondo attraverso una qualsiasisezione di un filo percorso da una corrente di 1 A. La forza elettrostatica �⃗� èadditiva (principio di sovrapposizione)

𝑭 = 𝒌𝒒𝟏𝒒𝟐𝒓𝟐 𝒖𝒓

𝑭𝟏 = 𝑭𝟏𝟐 + 𝑭𝟏𝟑 + 𝑭𝟏𝟒 + ⋯+ 𝑭𝟏𝒏


IlcampoelettricoOgni regione dello spazio in cui una carica elettrica sia soggetta ad una forzaelettrostatica è detta campo elettrico (dovuto alle cariche presenti)

q0caricadiprova q1,q2,...,qn carichechegeneranoilcampo

q0 risente del campo generato dalle n cariche (vale anche per le n cariche, manon è un fatto rilevante per il discorso che stiamo facendo)

𝑭𝟏 ∝ 𝒒𝟎, 𝑭𝟐 ∝ 𝒒𝟎, 𝑭𝟑 ∝ 𝒒𝟎, … , 𝑭𝒏 ∝ 𝒒𝟎 ⇒ 𝑭𝑻𝒐𝒕 ∝ 𝒒𝟎

Per valutare se siamo in presenza di un campo elettrico in una certa zona dellospazio, la esploriamo con una carica piccola detta carica di prova o caricaesploratrice e misuriamo la forza che agisce su di essa


|𝑬| : intensità del campo elettrico è la forza che agisce sullacarica unitaria posta in quel punto

Il campo elettrico è un campo vettoriale, non dipende dallacarica di prova.L’effetto del campo elettrico su cariche di segno opposto è dispostarle verso zone diverse Þ polarizzazione Il campoelettrico gode della proprietà di sovrapposizione.

𝑬 = 𝑭𝒒𝟎𝒐𝒑𝒑𝒖𝒓𝒆𝑭 = 𝒒𝟎𝑬𝑬 ∥ 𝑭𝒔𝒆𝒒𝟎 > 𝟎

𝑬 = 𝑵 3 𝑪,𝟏𝒐𝒑𝒑𝒖𝒓𝒆𝒌𝒈 3 𝒎 3 𝒔,𝟐 3 𝑪,𝟏

𝑬 = 𝑬𝟏 + 𝑬𝟐 + 𝑬𝟑 +⋯+ 𝑬𝒏 =W 𝑬𝒊𝒏

𝒊X𝟏=

𝟏𝟒𝝅𝜺𝟎

W𝒒𝒊𝒓𝒊𝟐

𝒏

𝒊X𝟏𝒖𝒓𝒊


• Inognipuntolelineediforzasono tangentialladirezionedelcampoelettricoinquelpunto• Sideterminanousandounacaricadiprovapositiva• Esconodallecariche+edentranoinquelle–• Sonotracciateinmodocheilnumerodilineecheattraversanounasuperficieunitaria^ adesseèµ all’intensitàdelcampoelettrico𝐄

lineesiaddensanoÞ 𝐄 ègrandelineesidiradanoÞ 𝐄 èpiccolo

Lineediforza


Dipoloelettrico


Vettoricampoelettriconellospazioattornoadunacaricapuntiformepositiva


Lamina non conduttrice infinitaDistribuzione uniforme di cariche + da un lato. Forza netta ^ al piano uscentedal piano. Piano infinito e distribuzione di carica uniforme Þ vettori campoelettrico hanno tutti la stessa intensitàCampo elettrico uniforme


Forza elettrica è centraleÞ conservativaÞ energia potenziale elettrica.Si definisce potenziale elettrico in un punto come l’energia potenziale (U)posseduta da una carica unitaria posta in quel punto.

Il potenziale è una caratteristica del campo e non della carica. Il potenziale,come U, è definito a meno di una costante arbitraria: poniamo V = 0 per r = ¥

ES

A

B

VA

VBE

ds

q si muove da A verso B lungo la curva e attraversa unaregione in cui c’è campo elettrico E.

Il potenziale elettrico e l’energia potenziale

𝑽 =𝑼𝒒 , 𝑼 = 𝒒𝑽 𝑽 = 𝑳 𝟐 𝑴 𝑻 ,𝟐 𝒒 ,𝟏𝑽𝒐𝒍𝒕 = 𝑽 = 𝒎𝟐𝒌𝒈𝒔,𝟐𝑪,𝟏

𝑼𝑨 − 𝑼𝑩 = 𝒒 𝑽𝑨 − 𝑽𝑩𝑼𝑨 − 𝑼𝑩 = −∆𝑼 = 𝑾𝑨→𝑩 lavorofattosullacarica

𝑼 =𝒒𝟐

𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓𝑽 =

𝒒𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓


Sitrovaquindidifferenzadipotenzialeelettrico

Lungounpercorsochiuso,datocheilcampoèconservativo,siha

Ingenerale,lungounpercorsoqualunqueseilpotenzialedipendesolodaunavariabile,adesempiox,siha

Si può anche definire il potenziale come il lavoro fatto dal campo elettrico perportare la carica di prova dall’infinito al punto in cui si misura V, V = (-W¥/q).

𝑾𝑨→𝑩 = 𝒒 𝑽𝑨 − 𝑽𝑩

𝑾𝑨→𝑩 = d 𝑭 3 𝒅𝒓 = d 𝒒𝑩

𝑨𝑬 3 𝒅𝒓

𝑩

𝑨⇒ d 𝑬

𝑩

𝑨3 𝒅𝒓 = 𝑽𝑨 − 𝑽𝑩

e𝑬 3 𝒅𝒓 = 𝟎�

�

𝑬 = −𝒅𝑽 𝒙𝒅𝒙


In questo modo posso calcolare V noto E e viceversa. Ad esempioconsideriamo un campo elettrico uniforme (E = costante) con unicacomponente lungo l’asse delle x.

Si nota che in questo caso il potenziale cresce nella direzione in cui il campoelettrico decresce, ovvero che la direzione del campo elettrico è quella in cui Vdecresce. Spostandosi da x1 ad x2 si ha

𝑬𝒅𝒙 = −𝒅𝑽 d 𝑬𝒅𝒙𝒙

𝟎= −d 𝒅𝑽

𝒙

𝟎𝑽 = 𝟎𝒑𝒆𝒓𝒙 = 𝟎

𝑽 = −𝑬𝒙

𝑽𝟏 = −𝑬𝒙𝟏𝑽𝟐 = −𝑬𝒙𝟐𝑽𝟐 − 𝑽𝟏 = −𝑬 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝐝 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏𝑬 = −

𝑽𝟐 − 𝑽𝟏𝒅 =

𝑽𝟏 − 𝑽𝟐𝒅

𝑽 = 𝑽𝒎,𝟏 = 𝑵𝑪,𝟏

•seV1-V2 >0Þ E vadax1 ax2•seV1-V2 <0Þ E vadax2 ax1


IlpotenzialeVèadditivo,pertantosehopiùcariche,ottengo

Le superfici per cui è V = costante sono superfici equipotenziali, E è sempre ^ai punti di una superficie equipotenziale (il lavoro per muoversi su unasuperficie equipotenziale è nullo). Se E è uniforme, allora V = costante Þ x =costante Þ superfici equipotenziali sono dei piani. Se E è generato da unacarica puntiformeÞ superfici equipotenziali sono delle sfere.

𝑽 =𝒒𝟏

𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓𝟏+

𝒒𝟐𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓𝟐

+𝒒𝟑

𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓𝟑+ ⋯+

𝒒𝒏𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓𝒏

=𝟏

𝟒𝝅𝜺𝟎W

𝒒𝒊𝒓𝒊

𝒏

𝒊X𝟏


Riassumendosihailseguenteschema

𝒓 𝒒

𝑭𝟏𝒓𝟐

𝒒𝟐

𝑬𝟏𝒓𝟐

𝒒

𝑼 𝟏𝒓

𝒒𝟐

𝑽 𝟏𝒓

𝒒


LeggediGaussSfrutta le simmetrie che spesso riscontriamo in fisica. Equivale alla legge diCoulomb, l’utilizzo dell’una o dell’altra legge dipende dai casi. Superficiegaussiana: ipotetica superficie chiusa. La legge di Gauss mette in relazione lecariche all’interno della superficie chiusa con il campo elettrico in tutti i puntidella superficie stessa. Bisogna introdurre il concetto di flusso.

Flusso:quantitàdelcampointercettatadallasuperficie

Corrente d’aria con v uniforme diretta verso una spiraquadrata di area A, F è il flusso volumico (portatavolumica) con cui l’aria fluisce attraverso la spira

𝜱 = 𝒗𝐜𝐨𝐬𝜽 𝑨 = 𝒗𝑨𝐜𝐨𝐬𝜽 = 𝒗 3 𝑨


F può essere positivo o negativo a seconda del valore di cosq, se q = p/2 alloraF = 0. Se ora il campo vettoriale è proprio il campo elettrico E generato daunacaricaq postaalcentrodiunasuperficiechiusasfericaS,ilsuoflussoattraversodettasuperficievale(𝐄 e𝐮𝐧sonosempreparalleli inunasferaalcuicentroc’èlacaricaq equindiilloroprodottoscalarealtrononècheilprodottodeimoduli,inoltrelasuperficieS dellasferavale4pr2).

DaquantoricavatosipuònotarecheF nondipendedalraggiodellasfera,masolodallacaricaq inessaracchiusa.Quantoricavatovaleperunaqualunquesuperficiechiusa.

𝜱𝑬 = e𝑬�

�

3 𝒖𝒏𝒅𝑺 = e𝑬𝒅𝑺�

�

=𝒒

𝟒𝝅𝜺𝟎𝒓𝟐𝟒𝝅𝒓𝟐 =

𝒒𝜺𝟎


Riassumendo, si ha che il flusso del campo elettrico 𝐄 attraverso unasuperficie chiusa qualunque vale sempre q/e0, indipendentemente dalla formadella superficie e dalla collocazione della carica q all’interno della superficieInoltreØSe q è esterno alla superficie chiusaÞ flusso è nulloØSe all’interno della superficie ci sono più caricheÞ flusso = S flussiLeggediGauss

doveq =q1 +q2 +...+qn èlacaricanettaracchiusaall’internodellasuperficieS

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa racchiudente lecariche q1, q2, ..., qn vale

𝜱𝑬 = e𝑬�

�

3 𝒖𝒏𝒅𝑺 =𝒒𝜺𝟎


In entrambi i casi se il conduttore è isolato e possiede una carica totale q, dettacarica si dispone sulla superficie esterna del conduttore; se così non fosseinfatti ci sarebbe una forza sulle cariche (dovuta al campo elettrico esistenteall’interno del conduttore) e si formerebbero delle correnti elettriche nelconduttore. Quindi, in condizioni statiche, il campo elettrico all’interno di unconduttore carico di forma qualsiasi è nullo e le cariche si dispongono sullasuperficie esterna del conduttore.

Campoelettricoinunconduttore


Campo elettrico creato da una carica uniformemente distribuita su di un pianoconduttore infinito (s > 0, con s = densità superficiale di carica)

Le linee di forza del campo elettrico sono ^ al piano carico.Come superficie gaussiana si prende un cilindro cheattraversa la superficie carica ed è ^ ad essa; il flusso totaleè

Infinesitrova

Ilcampoelettricosullasuperficiediunconduttorenondipendedalladistanzadalpiano:campouniforme

𝑬 =𝝈𝜺𝟎

𝜱𝑬 = 𝜱𝑬 𝑺𝟏 + 𝜱𝑬 𝒔𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕. = 𝑬𝑺 + 𝟎

𝜱𝑬 = 𝑬𝑺 =𝝈𝑺𝜺𝟎𝒒 = 𝝈𝑺


Si considerino ora due piastre conduttrici uniformemente cariche e con caricaopposta con densità s = 2s1, il campo elettrico è nullo all’interno delle duepiastre e appena al di fuori di esse vale

𝑬q =𝝈𝟐𝜺𝟎

𝒑𝒆𝒓𝒍𝒂𝒑𝒊𝒂𝒔𝒕𝒓𝒂𝒄𝒐𝒏𝒄𝒂𝒓𝒊𝒄𝒂𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒂

𝑬, =𝝈𝟐𝜺𝟎

𝒑𝒆𝒓𝒍𝒂𝒑𝒊𝒂𝒔𝒕𝒓𝒂𝒄𝒐𝒏𝒄𝒂𝒓𝒊𝒄𝒂𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂

Si nota che il campo elettrico è uscente dalla piastra con carica positiva edentrante nella piastra con carica negativa.Se si avvicinano le due piastre si devono combinare i due campi elettrici.


1 2 3

Nellazona1 siha

Nellazona2 invece

Nellazona3 infineè

Si ottiene così un campo elettrico uniforme confinato nello spaziocompreso tra le due lamine conduttrici. Si nota che passando attraverso aduna superficie carica il campo subisce una discontinuità pari a s/e0,proprietà sempre valida

𝑬𝟏 = −𝑬q + 𝑬, = −𝝈𝟐𝜺𝟎

+𝝈𝟐𝜺𝟎

= 𝟎

𝑬𝟐 = 𝑬q + 𝑬, =𝝈𝟐𝜺𝟎

+𝝈𝟐𝜺𝟎

=𝝈𝜺𝟎

𝑬𝟑 = 𝑬q − 𝑬, =𝝈𝟐𝜺𝟎

−𝝈𝟐𝜺𝟎

= 𝟎


Il rapporto tra q ed m determina l’accelerazione cui è sottoposta la particelladi carica q e massa m; se il campo elettrico 𝐄 è uniforme, l’accelerazione arisulta costante e quindi la traiettoria seguita dalla particella è una parabola. Sisupponga che la particella entri nella zona in cui c’è campo elettrico convelocità 𝐯𝟎diretta orizzontalmente da sx verso dx, sia inoltre 𝐯𝟎 ⊥ 𝐄 ,indichiamo infine con 𝐯la velocità della particella in uscita dal campo elettrico,con a l’angolo di deflessione della stessa rispetto all’asse delle x, con d ladistanza dall’asse delle x del punto P in cui la particella colpisce lo schermo econ d la lunghezza dei piatti deflettenti.

Pax

yd

v0

v𝑭 = 𝒎𝒂 = 𝒒𝑬 ⇒ 𝒂 =

𝒒𝒎𝑬

Motodiuna carica incampoelettrico


Dalla cinematica si hache

Seladeviazione dall’orizzontale all’uscita dai piatti deflettenti è piccola,ovveroseloschermo è sufficientemente lontano,si ha

𝒙 = 𝒗𝟎𝒕𝒚 =𝟏𝟐

𝒒𝒎 𝑬𝒕𝟐 ⇒ 𝒚 =

𝟏𝟐

𝒒𝒎

𝑬𝒗𝟎𝟐

𝒙𝟐 traiettoria è una parabola

𝒕𝒂𝒏𝜶 =𝒒𝒎𝑬𝒗𝟎𝟐𝒂

𝒕𝒂𝒏𝜶 =𝒅𝑳 ⇒

𝒒𝑬𝒂𝒎𝒗𝟎𝟐

≅𝒅𝑳

Itubi araggi catodici egli oscilloscopi sono basati su queste proprietà


IcondensatoriUn condensatore è un dispositivo in grado diimmagazzinare energia, sotto forma di energiapotenziale, in un campo elettrico. Ogni volta che siha a che fare con due conduttori di forma arbitrariadetti piatti o armature, si può parlare dicondensatore.

Quando le armatura hanno cariche uguali e di segno opposto, +q e –q, ilcondensatore si dice carico, mentre con carica del condensatore si intende ilvalore assoluto della carica q presente su ciascun piatto (infatti globalmenteil condensatore è neutro). Fra le armature cariche c’è una differenza dipotenziale DV (o più semplicemente V). Si definisce capacità di uncondensatore C la quantità

CdipendesolodallageometriadeipiattiecidicequantacaricaserveadundatocondensatoreperportarloadunaDVfissata.

𝑪 =𝒒∆𝑽


NelSIl’unitàdimisuradellacapacitàèilfarad(F)

Nella pratica si verifica che il farad è un’unità troppo grande e quindi si usano isottomultipli come il µF e il pF.

Il processo di carica di un condensatore consisteessenzialmente nel costruire un circuito che sia in gradodi portare la carica +q e –q sulle armature. Il metodo piùsemplice è quello di collegare ciascuna armatura ai capi diuna batteria (B) che fornisce una d.d.p. DV. Quandol’interruttore S viene chiuso, gli elettroni sulla piastra hfluiscono verso il polo positivo della batteria sotto l’azionedel campo elettrico mantenuto dalla batteria.

Analogamentec’èunflussodielettronidalpolonegativoallapiastral. Quandolad.d.p.tralearmaturedelcondensatoreeguagliaquellatraipolidellabatteria,lecorrenticessanoeilcondensatorerisultacarico.

𝒇𝒂𝒓𝒂𝒅 = 𝑭 = 𝑪𝑽,𝟏 = 𝒎,𝟐𝒌𝒈,𝟏𝒔𝟐𝑪𝟐


Consideriamo ora un condensatore le cuiarmature siano due lastre conduttrici piane eparallele di area A e a distanza d l’una dall’altra,la carica del condensatore sia q e lo spazio tra learmature sia inizialmente riempito d’aria. Ilcampo elettrico tra le armature sarà uniformefintanto che ci manteniamo distanti dai bordidelle armature e varrà

Perlad.d.p.avremo

Ricordandocheq =sA,abbiamochelacapacitàvale

𝑬 =𝝈𝜺𝟎

∆𝑽 = 𝑽𝟏 − 𝑽𝟐 = 𝑬𝒅 =𝝈𝒅𝜺𝟎

𝑪𝟎 =𝒒∆𝑽 =

𝝈𝑺𝜺𝟎𝝈𝒅 = 𝜺𝟎

𝑺𝒅 𝒅𝒊𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒔𝒐𝒍𝒐𝒅𝒂𝒍𝒍𝒂𝒈𝒆𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒂


Riempiendolospaziotralearmatureconundielettricodicostantedielettricae =e0er,siha

Essendo e > e0, si ha che C > C0. L’unico modo per aumentare la capacità di uncondensatore, una volta fissata la sua geometria è di riempirlo con una lastradi dielettrico.

𝑬 =𝝈𝜺

∆𝑽 = 𝑽𝟏 − 𝑽𝟐 =𝒅𝝈𝜺

𝑪 =𝒒∆𝑽 =

𝝈𝑨𝒅𝝈 𝜺 = 𝜺

𝑨𝒅 = 𝜺𝒓𝑪𝟎

𝑪 =𝒒𝑽 = 𝟐𝝅𝜺

𝑳𝐥𝐧𝒃 𝒂⁄CondensatorecilindricodilunghezzaLeraggib>a

𝑪 =𝒒𝑽 = 𝟒𝝅𝜺

𝒂𝒃𝒃 − 𝒂Condensatoresfericoconraggib>a(C=4pea,b®¥)


CondensatoriinparalleloI condensatori in parallelo sono tutti alla stessa d.d.p. e la carica totale qimmagazzinata in essi è la somma delle cariche su ciascun condensatore. Ilsistema equivale ad un condensatore alla stessa d.d.p e con carica q.

º

Siha

Infine

𝒒𝟏 = 𝑪𝟏𝑽, 𝒒𝟐 = 𝑪𝟐𝑽,… , 𝒒𝒏 = 𝑪𝒏𝑽𝒒 = 𝒒𝟏 + 𝒒𝟐 +⋯𝒒𝒏𝒒 = 𝑪𝟏𝑽 + 𝑪𝟐𝑽 +⋯𝑪𝒏𝑽 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 +⋯+𝑪𝒏 𝑽

𝑪𝒆𝒒 =𝒒𝑽 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 + 𝑪𝟑 +⋯+ 𝑪𝒏 =W𝑪𝒊

𝒏

𝒊X𝟏


Condensatoriinserie

º

I condensatori in serie sono ad una d.d.p. taleche la carica q su ciascuno di essi è la stessa.Il sistema equivale ad un condensatorecon carica q e con d.d.p. pari alla somma delled.d.p. applicate. Si ha

Infine

𝟏𝑪𝒆𝒒

=𝟏𝑪𝟏

+𝟏𝑪𝟐

+⋯+𝟏𝑪𝒏

=W𝟏𝑪𝒊

𝒏

𝒊X𝟏

𝑽𝟏 =𝒒𝑪𝟏, 𝑽𝟐 =

𝒒𝑪𝟐,…, 𝑽𝒏 =

𝒒𝑪𝒏

𝐕 = 𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 +⋯+ 𝑽𝒏𝑽 =

𝟏𝑪𝟏

+𝟏𝑪𝟐

+⋯+𝟏𝑪𝒏

𝒒


EnergiaimmagazzinatainuncampoelettricoAbbiamo già visto che per costruire un sistema di cariche, dobbiamo fare unlavoro dall’esterno, il lavoro fatto equivale ad una variazione di energiapotenziale elettrostatica.Anche quando carichiamo un condensatore abbiamo bisogno di un lavoro chepermetta di togliere elettroni alla piastra positiva, questo lavoro è fornito dauna batteria o da un generatore. Il lavoro infinitesimo per portare una caricainfinitesima dq’ attraverso una d.d.p. V’ vale

𝒅𝑾 = 𝒅𝒒{𝑽{ = 𝒅𝒒{𝒒{

𝑪

𝑾 =𝟏𝑪d 𝒒{𝒅𝒒{ =

𝒒𝟐

𝟐𝑪 =𝟏𝟐𝑪𝑽

𝟐𝒒

𝟎


Si può pensare che questo lavoro come energia elettrostatica immagazzinatanel condensatore, allora

Considerando due condensatori a piatti piani e paralleli e con la stessa carica q,notiamo che essi hanno anche lo stesso campo elettrico, ma hanno diversacapacità di immagazzinare energia elettrostatica in funzione della propria C.

Dato che C è inversamente proporzionale alla distanza d tra le armature si avràche il condensatore con i piatti più distanti può immagazzinare una maggiorequantità di energia.

𝑼 =𝟏𝟐𝒒𝟐

𝑪 =𝟏𝟐𝑪𝑽

𝟐

𝑼𝟏 =𝟏𝟐𝒒𝟐

𝑪𝟏𝑼𝟐 =

𝟏𝟐𝒒𝟐

𝑪𝟐


Risulta utile definire la densità di energia u, ovvero l’energia elettrostatica perunità di volume

𝒖 =𝑼𝑺𝒅 =

𝑪𝑽𝟐

𝟐𝑺𝒅 =𝟏𝟐𝜺

𝑽𝒅

𝟐

Ingeneraleladensitàdienergiavale

𝒖 =𝟏𝟐𝜺𝑬

𝟐


Esempioq1 =1.5·10-3 C AC=1.2m=r1q2 =-0.5·10-3 C BC=0.5m=r2q3 =0.2·10-3 C

�⃗�𝟑 =?A

B

Cq1 q3

q2

x

y F31F32

F3

N iF

N rqqkF

N jF

N rqqkF

!!

!

!!

!

331

32

339

21

3131

332

32

339

22

3232

10875.1

10875.12.1

102.0105.1109

106.3

106.35.0

102.0105.0109

×=

×=×××

×==

×-=

×-=×××-

×==

--

--

°-=Þ-=-==

×=+=

5.6292.1875.16.3

1006.4 3232

2313

qq31

32

FFtg

N FFF


IcircuitiSi definisce corrente (stabile) di elettroni di conduzione, attraverso deiconduttori metallici (flusso netto di carica ¹0), la quantità

L’unità di misura della corrente è l’Ampere, unità fondamentale nel S.I. Se lacorrente i è stazionaria, ovvero non dipende dal tempo, allora la correnteattraverso una data sezione di un conduttore è sempre la stessa in quantola carica q deve conservarsi. Il verso della corrente è quello delle carichepositive, quindi opposto al moto degli elettroni, la corrente è una quantitàscalare (le frecce indicano il verso del flusso di corrente).

ioib

ia

𝒊 =𝒅𝒒𝒅𝒕 → 𝒒 = d 𝒊𝒅𝒕

𝒕

𝟎𝒊𝒑𝒖ò𝒆𝒔𝒔𝒆𝒓𝒆𝒇𝒖𝒏𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆𝒅𝒆𝒍𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐

𝒒𝒔𝒊𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂 → 𝒊𝟎 = 𝒊𝒂 + 𝒊𝒃


Considerando il moto degli elettroni in campo elettrico E, il moto avviene indirezione opposta a quella di E con velocità di drift vd. Di conseguenza si creauna corrente i.

elettroni degli casuale moto /10

rame di filoun in /10106

54

smvsmvd

=

÷= --

Gli elettroni muovendosi tra gli atomidel reticolo rilasciano energia termica acausa degli scontri con gli atomi. Il motonon è rettilineo, ma caotico con unavelocità di drift media che dipende dalladensità degli atomi del conduttore.


Ilpassaggio della corrente dipende dalmateriale che si utilizza.Sidefinisce unanuova quantità che si chiama resistenza R

Unità dimisura diRè l’ohm (W)𝑹 =

∆𝑽𝒊

𝑹 = 𝑽𝑨,𝟏 = 𝜴LaleggediOhm

DV positiva quando il terminale sinistro ha un potenzialemaggiore di quello destro, la corrente fluisce da sx a dx.

Un dispositivo come il resistore che mantiene costante il valore di R alvariare di i e V, segue la legge di Ohm .La corrente che scorre attraverso undispositivo è sempre direttamente proporzionale alla differenza di potenzialeapplicata al dispositivo stesso.Un dispositivo che segue la legge di Ohm si dice conduttore ohmico.


Affinché n un conduttore cilindrico fluisca una corrente i = dq/dt, si dovràspendere una potenza

La relazione così ottenuta è sempre valida. Considerando come dispositivo unresistore si ha DV = Ri

𝑷 = 𝒊∆𝑽

L’energia nel resistore si trasforma in energia termica per effetto Joule. Si parladi potenza dissipata perché il processo è irreversibile.

𝑷 = 𝒊∆𝑽 = 𝑹𝒊𝟐


Resistenzeinserie

º

In serie significa che le resistenze sono collegate tra di loro a catena e lad.d.p. V fornita dalla batteria si ritrova tra l’inizio della prima resistenza e lafine dell’ultima, la corrente i attraverso le resistenze è la stessa. Infine lasomma delle d.d.p. ai capi di ogni resistenza è uguale a V. Si verifica che leresistenze in serie possono essere sostituite da una sola resistenzaequivalente Req, attraverso cui scorre la stessa corrente i ed ai capi dellaquale c’è la d.d.p. V. ∆𝑽 − 𝒊𝑹𝟏 − 𝒊𝑹𝟐 − 𝒊𝑹𝟑 = 𝟎

𝒊 =∆𝑽

𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 + 𝑹𝟑𝑹𝒆𝒒 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 + 𝑹𝟑

∆𝐕∆𝐕


Resistenzeinparallelo

º

In parallelo implica che le resistenze hanno tutte ai loro capi la d.d.p. V, e chela somma algebrica delle correnti che le attraversano vale i. Anche in questocaso abbiamo una resistenza equivalente Req ai cui capi c’è V e in cui fluisce i.

𝒊𝟏 =𝑽𝑹𝟏𝒊𝟐 =

𝑽𝑹𝟐𝒊𝟑 =

𝑽𝑹𝟑

𝒊 = 𝒊𝟏 + 𝒊𝟐 + 𝒊𝟑 = 𝑽𝟏𝑹𝟏

+𝟏𝑹𝟐

+𝟏𝑹𝟐

=𝑽𝑹𝒆𝒒

𝟏𝑹𝒆𝒒

=𝟏𝑹𝟏

+𝟏𝑹𝟐

+𝟏𝑹𝟑

∆𝐕∆𝐕


AmperometroL’amperometro serve a misurare la corrente in un circuito, deve avereresistenza interna RA piccola e va inserito in serie nel circuito.

Voltmetro

Il voltmetro serve a misurare le d.d.p., deveavere una resistenza interna RV elevata e vainserito in parallelo nel circuito.


In un circuito a più maglie (sinistra, destra, esterna) si distinguono i nodi (b ed) e i rami (bad, bcd e bd). In ciascun ramo la corrente è sempre la stessa e inun nodo la somma algebrica delle correnti che vi arrivano deve essere 0,ovvero vale la prima legge di Kirchhoff o legge dei nodiLa somma delle correnti che entrano in un nodo deve essere uguale allasomma delle correnti che escono dal nodo stesso.

nelnodod𝒊𝟏 + 𝒊𝟑 = 𝒊𝟐∆𝑽𝟏 ∆𝑽𝟐

Vale inoltre la seconda legge di Kirchhoff olegge delle maglieLa somma algebrica delle d.d.p. rilevate su uncircuito chiuso in un giro completo è nulla.

∆𝑽𝟏 − 𝒊𝟏𝑹𝟏 + 𝒊𝟑𝑹𝟑 = 𝟎−𝒊𝟑𝑹𝟑 − 𝒊𝟐𝑹𝟐 − ∆𝑽𝟐 = 𝟎∆𝑽𝟏 − 𝒊𝟏𝑹𝟏 − 𝒊𝟐𝑹𝟐 − ∆𝑽𝟐 = 𝟎

perlamagliadisinistraperlamagliadidestraperlamagliaesterna

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