Il Campo Elettrico

Lezione 2: il campo elettrico ed il potenziale elettrostatico

urqq

urqqF

21

00

210

010

41

41

q1

q0

F10

q1 esercita su q0 una forza proporzionale a:

q0 (carica esploratrice)termine vettorialeche dipende da q1 e dalla posizione, dettocampo elettrico prodotto da q1

urqrE 2

1

041)(

)(010 rEqF

Asimmetria fra le cariche:q1 origina un’entità presente in tutti i punti dello spazioq0 sperimenta la forza

il campo esiste anche quando q0 non c’è

Modello visivo di campo Etelo elastico

Q+q -

Q+ (sorgente) deforma il telo

q - (carica di prova) segue la curvatura del campo

principio di sovrapposizione:forza che agisce su q0 dovuta ad n cariche puntiformi

EqF 0

n

ii

i

i urqE

12

041

i

i

i

i

ii u

rqqFF 2

00 4

1

distribuzioni continue di caricheenorme quantità (miliardi) di cariche sparse su

linea superficie volume

dsdq dadq dVdq

densità di caricaC/mC/m2

C/m3

EdE

Filo carico infinito

220

20

41

41

zydz

rdqdE

dEdEEz

zyy

cos

rE

02

(anello carico, disco carico …)

Il campo elettrico E(r) si manifesta, ponendo in r una carica esploratrice q0,

mediante la forza q0 E(r)

utilizzo una piccola carica q0

per non perturbare le cariche responsabili del campo:

Definizione operativa del campo

0q

FE

000

limqFE

q

CNE ][

Prima di Faraday: azione a distanzala forza agente fra particelle cariche è una interazione

diretta e istantanea fra le due particellecarica carica

Visione attuale: azione locale

q1 origina un campo elettrico nello spazio circostantecampo esercita su q2 una forza F

carica campo

Eq1 Eq2

Fq1 = -Fq2

Il concetto di campo elettricoelimina le azioni a distanza

in condizioni statiche:Azione a distanza azione locale

in condizioni dinamiche:q2 è informata del moto di q1

da una perturbazionedel campo che si propaga con velocità c.

Applicazionicampi elettrici

Stampanti a getto d’inchiostro

ogni lettera 100 gocce105 gocce/sec

Rappresentazione grafica del campo elettrostatico

Faraday: rappresentazione geometrica dei campi vettoriali mediante linee di forza

linea di forza: curva orientata diretta in ogni punto nella direzione e verso tangente al campo in quel punto

Il campo elettrico è vettoriale

E

sono infinitenon si incrociano mairappresentano direzione, verso, intensità escono da +q, entrano in -qpossono venire o andare a

Esempi linee di campo

linee di forza attorno a conduttori carichi: semi d’erba galleggianti su un liquido isolante

piastra carica

sferette con cariche opposte

Teorema di Gauss

E

Flusso di E attraverso :

vE

Fluido incomprimibile:

v volume di fluido che attraversa S nell’unita` di tempo

SEsuperficie

finita

NE

somma algebrica linee di campo:entranti –uscenti +

campo elettrico E generato da q

dq

dner

qdEd

r

0

20

4

14

d dipende solo da angolo solido d sotto cui la carica vede d

( )2

1r

E

004 qdqE

tutto

indipendente dalla posizione della carica q

dVdVEdivVV

0

1

0

Ediv Teorema di Gauss

Conseguenza del Teorema di Gauss

Conduttore isolato:un eccesso di carica si distribuisce sulla superficie esterna

(verifica sperimentale prima di Gauss e Coulomb)

ecceso di carica campo elettrico E0 moto di cariche

equilibrio E=0 per ogni q = 0entro

0)( E

la carica deve essere sulla superficie del conduttore

Verifica sperimentale Teorema di Gauss

1755 Franklin: all’interno di un recipiente metallico isolato non possono esservi cariche

Cavendish: esegue esperimento e deduce che esponente nella legge della forza di Coulomb e` 1.98-2.02 (mai pubblicato!!)

Maxwell: ripete esperimento di Cavendish e trova 1.9995-2.00005

0qE

2

1r

E

N.B. La legge di Coulomb e` del 1785 !!!

1936: Plimpton e Lawton

dispositivo:due involucri metallici concentrici A e BB contiene elettrometro E per rivelare moto di cariche fra A e Bcon commutatore S trasferisco carica sulle sfere

non si osserva alcun effetto nell’elettrometro

204

1rqE

se =0 0

)(qE

Applicazioniteorema di Gauss

(1) Calcolo di E (distribuzioni simmetriche di cariche)

Filo carico infinito(simmetria cilindrica)

)2(cos)2(

cos)(

hrEhrE

EAE

0

int

.)(

qE

GaussT

hrhE )2(0

rE

02

(simmetria piana, sferica …)

(2) Schermo elettrostatico

Il conduttore può avere Piccole aperture Struttura a rete

(discontinuità non si avvertono a grandi distanze)

Utilizzo in laboratorio:

per proteggere strumentazione delicata da campi elettromagnetici

Il campo E è sempre nullo

all’interno di conduttori caviE=0

Il potenziale elettrostaticoForza di Coulomb è conservativa

il lavoro fatto per spostare una carica q in presenza di una carica q0 non dipende dal percorso

210

0 114

2

1

rrqq

dsFLr

r

)()( 12 rUrUL

energia potenziale U(funzione della sola posizione della carica q)

costante14

)(0

0 r

qqrU

Forza di Coulomb è conservativa

il lavoro fatto per spostare una carica q in presenza di una carica q0

non dipende dal percorso ma solo dal punto iniziale e finale.

210

0

2

12

0

0

2

12

0

0

2

1

114

4

4

rrqq

rdrqq

dsruqq

dsFL

r

tutte le forze centrali sono conservative

Se la carica q è unitaria:

EF

)()( 12

2

1

rrdrEL

Il lavoro è una differenza di potenzialetra i punti r2 ed r1

0)(

)(

0

0

r

drErr

r

Il potenziale è definitoa meno di una costanteadditiva arbitraria

campo creato da carica puntiforme

q0 nell’origine 0 )(

cost14

)(0

0

r

qr

è il lavoro che fatto contro le forze del campo per portarvi la carica unitaria dall’)(r

VCJ

][

Potenziale elettricodi carica puntiforme

Q+: repulsivo Q -: attrattivo

La forza elettrica fa muovere le cariche positive da punti a

potenziale maggiore verso punti a potenziale minore

kk

jy

ix

drrrr

drErr

r

r

r

r

)()()(

)()(

2

1

2

1

12

12

i

j

k

E

Calcolo del campo prodotto da una data distribuzione di carica:

calcolo il potenzialederivo le componenti del campo

In elettrostatica:

Superfici equipotenzialiLuogo geometrico dei punti con medesimo potenziale

E non compie lavoro su tali

superifici(L=Vf – Vi=0)

LI = LII = 0LIII = LIV

sono perpendicolari alle linee di campo altrimenti E avrebbe componente sulla superficie E compirebbe lavoro per muovere carica su superficie

0

ldddldz

kdldy

ydldx

xdld

dzk

dyy

dxx

dkdzjdyidxld

spostamento infinitesimo incremento della funzione

su sup. livello

ldEld

Problema fondamentale

dell’elettrostatica

0

Ediv

E E è conservativo

Teorema di Gauss

0

2

div

equazione di Poisson

2

2

2

2

2

22

zyx

Laplaciano(in coordinate cartesiane)

per distribuzioni NOTE di cariche puntiformi, superficiali, volumetriche:

V iS i

N

i i

i

rrdvr

rrdar

rrqr

')'(4

1')'(4

1

41)(

00

10

in presenza di conduttori:distribuzione di carica NON nota a priori

su superfici dei conduttori causa fenomeno induzione elettrostatica

02

1. studio eq. di Poisson in tutti i punti in cui (x,y,z)=0

equazione di Laplace

Come posso risolvere il problema?

2. cerco soluzioni armoniche (“regolari”) in regione di spazio V finita: cerco cioè funzioni finite, continue in derivate prime e con derivate seconde

N.B. tali funzioni esistono e sono univocamente determinate assegnati i valori di odelle sue derivate sulla superficie S che racchiude V [Teoremi di Dirichlet e Neumann]

in pratica:1. risolvo equazione di Poisson in punti esterni ai conduttori2. cerco soluzione univocamente definita imponendo condizioni al contorno: valori di potenziale o campo E su superfici dei conduttori.

N.B. dentro i conduttori: E = 0, costanteS

si distingue inoltre tra

problema chiuso: esiste superficie S che contiene tutti i conduttori assegno condizioni al contorno su S

problema aperto:

superficie S specifico comportamento potenziale a

22

1

)(lim

)(lim

cdr

rdr

crr

r

r

condizioni normali a

2

1)(

1)(

rdrrd

rr

r

r

N.B. tali condizioni sono valide se a NON ci sono cariche

esempio: carica ad potenziale ad NON nullo

filo uniformemente carico lunghezza finita L

xy

z

0

1L

2L

'dz

),,( zP

R

'zz

22 )'( zzR

2

1 220 )'(

'4

)(L

L zzdzP

sapendo che:

)ln( 22

22

uuu

du

22

11

''

LzuLzu

dzduzzu

22

22

21

21

0

220

220

)(

)(ln

4

44)( 1

2

2

1

LzLz

LzLz

udu

uduP

Lz

Lz

Lz

Lz

Supponiamo ora il filo molto lungo:

zLL

zLLLL

22

11

21

,

,,

numeratore

denominatore: uso espansione 12L

...81

211)1( 22

1

xxx

2

2

22

2

2

2/1

22

2

2

2/1

22

2

2 2211111

)(11)(

LLL

LL

zLzL

21

221

0

4ln4

)(LL

LLP

il potenziale diventa perché L1 ed L2 vanno ad

il potenziale è diverso da 0 ad perché ho carica a