Potenziale elettrico Energia potenziale Potenziale elettrico Differenza di potenziale Relazione tra campo e potenziale Proprietà dei conduttori

Energia potenziale elettrica Potenziale elettrico [V]=energia potenziale per unità di carica

0

f f

i i

d q d⋅ = ⋅∫ ∫F s E s

Campo di una carica puntiforme:

0 0b b

a a

d q d⋅ = ⋅ =∫ ∫F E

0 0 20

0 02

0 0

ˆ ˆ4

1 1 1( )4 4

b

a

b

a

rb b

a a r

r

r a b

qd q d q drr

q q q qdrr r r

πε

πε πε

⋅ = ⋅ = ⋅ =

= = −

∫ ∫ ∫

∫

F E r r

Energia potenziale elettrica jb i b

a a i j

d d d d⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ ∫F F F F

0 0

0 0

1 1 1 1( ) 0 ( )4 4a i j b

q q q qr r r rπε πε

= − + + −

0

0

1 1( )4

b

a a b

q qdr rπε

⋅ = −∫F

Anche per un percorso qualsiasi

(campo conservativo)

0

0

1 1( )4

b

b aa b a

q qU U dr rπε

− = − ⋅ = −∫F

0

0

1( ) ( )4q qU r

rπε= ( )

r

U r d∞

= − ⋅∫F

Potenziale=-Lavoro compiuto dalla forza elettrica

Energia potenziale elettrica

( )0 1 2

0 1 0 2

b b

a a

b b

a a

d q d

q d q d

⋅ = + ⋅ =

⋅ + ⋅

∫ ∫

∫ ∫

F E E

E E

Più cariche presenti: ( )0 0 1 2q q= = +F E E E

0 1 2

0 1 2

( )4

q q qUr rπε

= +

0

04i

i

q qUrπε

= ∑

Potenziale elettrico

Potenziale elettrico [V] 0

UVq

= 191.6 10e C−= ⋅

Particelle cariche: 0

14

i

i

qVrπε

= ∑19

19

(1.6 10 )(1 )1.6 10

eV C VJ

−

−

= ⋅ =

= ⋅

Potenziale del dipolo:

0

1 14

qV V Vr rπε+ −

+ −

= + = −

2 20 0

2 cos cos4 4aq pV

r rθ θ

πε πε≈ =

20

ˆ4

Vrπε

⋅≈

p r

Potenziale elettrico

Distribuzione continua di carica:

, 010

1 lim4 i

Ni

N qi i

qVrπε →∞ →

=

= ∑

Potenziale elettrico

0

14 Superficie

corpo carico

dqVrπε

= ∫∫

Posizione di riferimento 0U per r= = ∞

Differenza di potenziale 0V per r= = ∞

0

b ab a

U UV V Vq−

∆ = − =

0

b

b a aU U q dl− = − ⋅∫ E

b

b a aV V dl− = − ⋅∫ E

Esempio: ˆdl dx= i

ˆ ˆ( ) ( )b b

a a

x x

b a x xV V E dx Edx− = − ⋅ = −∫ ∫i i

( )b a b aV V E x x− = − − b aV V E x− = − ∆

U = − ⋅p E

Potenziale del dipolo

:x 0 cosx a θ±

0 0[ ( cos ) ]U q E x a Vθ+ = − + +

0 0[ ( cos ) ]U q E x a Vθ− = − − − +

0 0 0 0[ ( cos ) ] [ ( cos ) ]U U U q E x a V q E x a Vθ θ+ −= + = − + + − − − +

2 cos cosaqE pEθ θ= − = −

Relazione tra campo e potenziale

PV dl

∞= − ⋅∫ E

b

b a aV V dl− = − ⋅∫ E

( , , ) ( , , )a x y z b x x y z= = + ∆

ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ' ) 'x y z xdl E E E dx E dx⋅ = + + ⋅ =E i j k i

( , , ) ( , , ) 'x x

xxV x x y z V x y z E dx

+∆

+ ∆ − = −∫0

limx∆ →

' [( ) ( )]x x

x x xxE dx E x x x E x

+∆

− = − + ∆ − = − ∆∫( , , ) ( , , ) xV x x y z V x y z E x+ ∆ − ≈ − ∆

0

( , , ) ( , , )lim xx

V x x y z V x y z Ex∆ →

+ ∆ − = − ∆ x

VEx

∂= −

∂

opp.

Relazione tra campo e potenziale

x y z

V V VE E Ex y z

∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂

ˆ ˆ ˆV V Vx y z

∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂

E i j k

r

VEr

∂ = − ∂

Superfici equipotenziali

Generatore Van der Graaf

Proprietà dei conduttori

b

b a aV V dl− = − ⋅∫ E