Il campo elettrico

La struttura dell’atomo

L'atomo è così chiamato perché inizialmente dai filosofi greci era considerato l'unita più piccola ed

indivisibile della materia.

In realtà sappiamo che non è così. Cercando su un dizionario possiamo trovare la seguente

definizione.

Definizione: minima porzione di elemento chimico, che ne contiene tutte le caratteristiche chimiche

e fisiche, costituito da un nucleo centrale formato da neutroni e da protoni con carica

positiva, attorno a cui sono disposti, in numero uguale ai protoni, elettroni con carica

negativa.

Come si può notare vi sono elettroni più vicino al nucleo ed elettroni più lontani. Nel caso in cui

due atomi interagiscano sono proprio gli elettroni più esterni a subire le sollecitazioni(attrattive o

repulsive). Tali interazioni sono in grado di far passare alcuni elettroni da un atomo all’altro

provocando in essi un difetto o un eccesso di elettroni.

Nelle reazioni naturali che possiamo osservare sulla terra il nucleo rimane intatto e non cede

particelle.

Inoltre poiché gli elettroni hanno carica negativa con la loro quantità determinano la carica

dell’atomo considerato, vedremo in seguito di approfondire questa affermazione.

Le prime osservazioni sui fenomeni elettrici sono semplici esperienze che consistono nello sfregare

una bacchetta con un tessuto, va bene anche una penna sfregata sulla manica di un maglione, per

mettere in evidenza che dopo tale operazione la bacchetta è in grado attirare piccoli pezzetti di

carta.

Cosa è successo durante l’operazione precedente? Lo sfregamento tra bacchetta e tessuto ha

provocato un trasferimento di elettroni tra i due corpi, pertanto la bacchetta al termine

dell’operazione ha accumulato un eccesso o un difetto di carica negativa (ciò dipende dal tipo di

tessuto utilizzato).

I corpi inizialmente neutri, cioè con lo stesso numero di cariche positive e negative, hanno

modificato il loro stato di equilibrio.

Sperimentalmente si può verificare che corpi identici che vengono sfregati con lo stesso materiale si

respingono, mentre in alcuni casi corpi identici che vengono sfregati con tessuti differenti si

attraggono. Non vengono poi evidenziate altre interazioni.

Quindi possiamo dedurre da tale fenomeno l’esistenza di due possibilità per l’elettrizzazione:

� due corpi aventi la stessa carica si respingono

� due corpi aventi carica opposta si attraggono

Per quanto appena osservato, poiché le alternative possibili nel fenomeno di elettrizzazione sono

due, possiamo affermare che:

� esistono corpi carichi positivamente (presentano un difetto di elettroni rispetto ai protoni);

� esistono corpi carichi negativamente (presentano un eccesso di elettroni rispetto ai protoni);

Legge di Coulomb

Ora che abbiamo osservato tali fenomeni attrattivi o repulsivi, vediamo di quantificare l’intensità di

tale forza che si stabilisce tra due carice.

Sperimentalmente il valore dell’azione che si stabilisce tra due cariche è stabilito dalla legge

(sperimentale) di Coulomb.

221

04

1

d

qqF

πε=

La forza che si stabilisce tra due cariche allora è:

� direttamente proporzionale alle cariche ;

� è inversamente proporzionale al quadrato della distanza.

L’unità di misura della carica è il Coulomb, che verrà definito in seguito in quanto la sua

formulazione si ottiene come conseguenza della definizione dell’Amperè, unità di misura

dell’intensità della corrente elettrica.

La forza inoltre dipende da una costante, il termine 04

1

πε, dove 0ε rappresenta la costante

dielettrica del vuoto. Definiremo 0ε quando avremo introdotto il concetto di campo elettrico.

Per ora diamo il valore 2

212

0 1085,8Nm

C−⋅=ε .

Nella risoluzione di esercizi può essere più utile utilizzare al seguente formulazione

221

d

qqkF = dove

2

29109

Nm

Ck ⋅=

Nel caso in cui la forza di Coulomb si sviluppi in un mezzo materiale, la formula diventa

221

04

1

d

qqF

rεπε=

Dove rε rappresenta la costante dielettrica relativa del mezzo rispetto al vuoto.

Definizione: si definisce ε costante dielettrica assoluta di un mezzo il valore rεεε 0= .

Mezzo Costante dielettrica relativa rε

Aria 1.00059 Idrogeno 1.00026 Acqua ca. 80 Etanolo 25 Etere etilico 1.352 Petrolio 2.1 Vetro comune 5 - 10 Plexiglas 3.40 Mica 8 Ebanite 2 Paraffina 2.1 Glicerolo 42.6

La legge di Coulomb stabilisce una relazione di tipo vettoriale, vediamo di determinare allora

direzione e verso della forza elettrica che si instaura tra due cariche 1q e 2q poste tra loro ad una

certa distanza r .

Direzione

Date due cariche la forza elettrica ha la direzione della retta che passante per 1q e 2q .

2q

1q

Verso

Il verso della forza che si stabilisce tra due cariche è attrattivo se le cariche sono dello stesso segno

(cioè le cariche si avvicinano muovendosi lungo la retta della direzione ) o repulsivo se le cariche

hanno segno opposto (cioè le cariche si allontanano muovendosi lungo la retta della direzione ).

a) verso attrattivo

2q

1q

b) verso repulsivo

2q

1q

Nel caso vi fossero più cariche la loro azione andrebbe calcolata tenendo conto della direzione

considerando poi tutte le componenti orizzontali e verticali delle forze che si stabiliscono tra le

cariche.

Elettrizzazione

Per elettrizzare un corpo vi sono tre possibilità.

a) elettrizzazione per strofinio

Come già osservato in precedenza, s strofiniamo una bacchetta di un certo materiale su di un

tessuto, la bacchetta acquisisce la capacità di attirare a sé piccoli pezzetti di carta. Quello che è

avvenuto durante lo sfregamento è stato un passaggio di elettroni da un corpo all’altro, lasciano sula

bacchetta un difetto o un eccesso di elettroni che determinano in questo modo la carica (positiva se

vi è un difetto, negativa se sono in eccesso).

b) elettrizzazione per contatto

Supponiamo di avere un corpo carico positivamente ed un corpo neutro in cui gli elettroni di

conduzione siano in grado di muoversi liberamente (un conduttore, come vedremo più avanti, cioè

un corpo in grado di lasciarsi attraversare dalle cariche). Se tocchiamo il corpo neutro con il corpo

carico positivamente, cioè che contiene un difetto di elettroni, parte degli elettroni del primo corpo

si trasferiranno sul secondo corpo. Tale movimento di carica si arresta quando i due corpi

raggiungeranno un equilibrio. Poiché gli elettroni dei due corpi sono in numero inferiore rispetto al

numero globale dei protoni, essi si distribuiranno sui due corpi che avranno al termine del moto di

carica entrambi un difetto di elettroni, cioè saranno carichi positivamente (il difetto di elettroni

iniziale si ridistribuisce tra i due corpi).

Corpo neutro con cariche distribuite equamente Corpo carico

+ - + - + +

- + - + + +

+ - + - + +

+ +

Corpo neutro con cariche distribuite equamente Corpo carico

+ + - - + +

+ + - - + +

+ + - - + +

+ +

Contatto

+ + +

+ + + +

+ + +

+

Corpo carico Corpo carico

+ + +

+ + + +

+ + +

+

c) elettrizzazione per induzione

L’elettrizzazione per induzione sfrutta il fatto che la Terra sia carica negativamente e quindi ha la

capacità di assorbire cariche positive. Come nella situazione precedente si ha un corpo in equilibrio

e un corpo carico positivamente. Avvicinando i due corpi senza farli venire a contatto si ha un

orientamento delle cariche del corpo neutro: le cariche positive si disporranno lontano dal corpo

Notare come le cariche del corpo

neutro sentano l’azione delle cariche

del corpo carico: le cariche

omologhe vengono respinte nella

parte più lontana mentre le cariche

opposte vengono attratte.

Quando avviene il contatto parte

della carica positiva del corpo

elettrizzato annulla cariche negative

sul corpo in equilibrio lasciandolo

una prevalenza di cariche positive.

Ora i corpi sono entrambi carichi

positivamente.

carico, mentre le cariche negative saranno vicine alla bacchetta. A questo punto per “scaricare le

cariche positive a terra” basterà collegare con un filo di rame la parte positiva del corpo neutro con

la terra. In questo modo la carica positiva del corpo verrà annullata dalle cariche negative presenti

al suolo. Il corpo neutro sarà quindi carico negativamente.

Corpo neutro con cariche distribuite equamente Corpo carico

+ - + - + +

- + - + + +

+ - + - + +

+ +

Corpo neutro con cariche distribuite equamente Corpo carico

+ + - - + +

+ + - - + +

+ + - - + +

+ +

Corpo neutro con cariche distribuite equamente Corpo carico

+ + - - + +

+ + - - + +

+ + - - + +

+ +

- - - - - - - -

Come prima le cariche del corpo

neutro sentono l’azione delle cariche

del corpo carico.

Il filo di rame permette di scaricare

a terra la carica positiva del

conduttore.

Corpo carico Corpo carico

- - +

- - - +

- - +

+

Osservazione

In tutti gli esempi illustrati avvengono delle interazioni tra cariche. Se facciamo un bilancio tra

cariche positive prima della reazione e dopo la reazione troviamo che:

� il numero di cariche positive prima e dopo l’evento è sempre lo stesso;

� il numero di cariche negative prima e dopo l’evento è sempre lo stesso.

Durante l’evento non si è creata nessuna nuova carica e nessuna carica è sparita.

Durante l’evento vi è stata una ridistribuzione delle cariche.

Principio di conservazione della carica

In un sistema isolato, la somma algebrica delle cariche elettriche si mantiene costante.

Cioè la quantità di carica positiva [negativa] prima di un evento è uguale alla quantità di carica

positiva [negativa] dopo l’evento.

Osservazione

La carica è una grandezza scalare.

Il campo elettrico

Il concetto di campo è un concetto che richiama un’azione a distanza, cioè alcuni corpi risentono

dell’influenza di alcuni corpi pur non venendo a contatto con essi. Cosa significa ciò? Possiamo

rispondere che:

� alcuni corpi modificano le caratteristiche dello spazio loro circostante.

Ora i corpi sono entrambi carichi

uno positivamente e uno

negativamente.

Tale perturbazione interagisce con altri corpi in grado di generare modifiche dello spazio loro

circostante.

Due cariche modificano lo spazio che e circonda, le due perturbazioni entrano in contatto e quindi

le cariche interagiscono tra loro.

Ricordiamo che più in generale un campo vettoriale è una schematizzazione dello spazio che

associa a ogni punto un vettore dello spazio stesso.

Definizione: si definisce campo elettrico un campo vettoriale generato da una quantità di carica

elettrica.

Quindi una carica elettrica che genera un campo elettrico modifica lo spazio ad essa circostante in

maniera tale che ad ogni punto è possibile associare un vettore che rappresenta la direzione, il verso

e l’intensità del campo elettrico in quel punto.

Se in una certa zona dello spazio vi è un campo elettrico in essa si stabiliscono azioni meccaniche di

attrazione o repulsione tra le varie cariche elettriche presenti nella zona stessa.

Per evidenziare l’esistenza di un campo elettrico è necessario porre una carica in una certa zona

dello spazio e osservare se essa subisce una forza.

Se la carica di prova subisce una forza attrattiva è presente un campo elettrico di segno opposto, se

l’azione è repulsiva il campo elettrico ha segno uguale alla carica di prova, se non subisce alcuna

azione non è presente alcun campo elettrico (a meno che la carica venga posizionata in un punto in

cui su di essa la somma algebrica delle interazioni sia nulla e rimanga in quiete).

Quindi il campo elettrico deve essere messo in evidenza da una carica di prova q .

Definizione: si definisce campo elettrico generato dalla carica Q in un punto P sulla carica di

prova q il vettore Er

definito dalla relazione:

q

FE

rr

= [ ]

=

=

C

N

q

FE

dove Fr

è la forza elettrica che si stabilisce tra la carica Q che genera il campo e la carica

esploratrice q .

Analiticamente l’espressione di Fr

è data dalla legge di Coulomb, possiamo scrivere allora

20

20

4

14

1

d

Q

q

d

Qq

q

FE

πε

πε===

che possiamo scrivere anche

2d

QkE =

Riguardo il vettore Er

possiamo affermare:

� direzione: è la retta che congiunge le due cariche Q e q .

� verso: q si avvicina a Q se hanno cariche opposte (verso centrifugo) mentre q si allontana

da Q se hanno cariche uguali (verso centripeto).

Diamo ora la definizione di 0ε .

Definizione: si definisce costante dielettrica quella grandezza fisica che descrive la capacità di un

mezzo materiale (detto anche dielettrico) di lasciarsi attraversare da un campo

elettrico e quindi ridurre l’intensità del campo elettrico totale.

Essa rappresenta la “predisposizione” di un materiale a trasmettere un campo elettrico.

Vediamo ora di rappresentare graficamente il campo elettrico tenendo conto della natura delle

cariche.

Linee di campo

Osservazione importante (linee di campo)

Per qualsiasi grandezza vettoriale, quindi anche per un campo vettoriale è possibile rappresentare

con una curva l’andamento del vettore o del campo vettore vale:

� in ogni punto della linea di campo il campo vettoriale ha direzione della tangente alla linea

stessa;

� il verso si determinata sulla retta tangente (quella della direzione) proseguendo dal punto di

tangenza sulla retta tangente nel senso di percorrenza della linea di campo.

Illustriamo con un esempio quanto detto.

1. Sia dato un campo vettoriale descritto dalla curva rappresentata di seguito. La freccia indica

il verso in cui viene percorsa la linea di campo.

2. Consideriamo sulla linea un punto qualsiasi.

3. Tracciamo la tangente alla traiettoria per il punto considerato.

4. Dal punto considerato prolunghiamo il moto del punto lungo la tangente seguendo il verso

della linea di campo.

Questo vettore rappresenta il campo vettoriale nel punto considerato.

Possiamo ripetere il procedimento sopra descritto per ogni punto della linea di campo. I vettori che

si trovano rappresentano il campo vettoriale nei punti.

Definizione: si definisce linea di campo per un campo vettoriale una curva per cui in ogni punto le

tangenti hanno la direzione del campo vettoriale e verso del campo nel punto di

tangenza.

Linee di campo per cariche positive e negativa

Data una carica puntiforme positiva adotteremo la convenzione che le linee di campo siano uscenti

nella carica assegnata in direzione radiale.

Data una carica puntiforme negativa adotteremo la convenzione che le linee di campo siano entranti

nella carica assegnata in direzione radiale.

L’interazione tra cariche avviene tramite la sovrapposizione dei rispettivi campi vettoriali, che sono

rappresentabili da linee di campo. Queste ultime, con la convenzione appena stabilita, permettono di

rappresentare l’interazione tra cariche elettriche.

2 cariche positive

2 cariche negative

1 carica positiva e 1 carica negativa

Osservare come nel caso di cariche uguali le linee di campo non si uniscono né si sovrappongono

per rappresentare la repulsione mentre nel caso di cariche opposte le linee di campo si uniscono per

rappresentare l’attrazione.

Le linee di campo elettrico inoltre sono proporzionali all’intensità della carica che genera il campo

elettrico. Date due cariche distinte dalla carica maggiore uscirà (o entrerà) un numero maggiore di

linee di campo, cioè la densità delle linee di campo è proporzionale all’intensità del campo elettrico.

Nei primi due esempi precedenti al centro, tra le due cariche, il campo elettrico è nullo (non vi è

alcuna linea di campo).

Nell’ultimo esempio invece al centro il campo elettrico è massimo (la densità delle linee di campo è

massima).

Osservazione: si faccia attenzione a non confondere la forza che si stabilisce tra due cariche e il

campo elettrico generato da una carica.

Definizione: data una superficie S sulla quale si distribuisce uniformemente una quantità di carica

Q si definisce densità superficiale σ di carica il rapporto

S

Q=σ [ ]

=

= 2

m

C

S

Qσ

Un campo elettrico si definisce uniforme in una certa regione del spazio se in ogni punto esso ha

sempre gli stessi:

� direzione

� verso

� modulo

Definizione: si definisce condensatore piano la struttura costituita da due lastre piane, uguali e

parallele sulle quali è distribuita una carica uguale ma di segno opposto.

Q+

Q−

All’interno di un condensatore piano il campo elettrico è uniforme, infatti la densità delle linee di

campo è costante.

Notare come in corrispondenza dei bordi vi sia dispersione e le linee di campo presentino una

curva. Questo è un fatto caratteristico in corrispondenza di irregolarità delle superfici.

Flusso del campo elettrico

Come in precedenza introduciamo il concetto di flusso in generale.

Definizione: data una superficie piana S si definisce normale alla superficie la direzione

perpendicolare a tutte le rette appartenenti al piano assegnato.

Poiché lo stesso ragionamento può essere effettuato anche per al superficie inferiore del piano si

dovrà stabilire quale sia il verso per una normale alla superficie nel caso di un’area piana.

Per una solido o una superficie tridimensionale la normale alla superficie ha verso rivolto sempre

verso l’esterno della curvatura del corpo assegnato.

Nel caso di superficie che presentino curvatura la definizione precedente di perpendicolare alla

superficie si ottiene come segue:

consideriamo un elemento molto piccolo della superficie sferica tale

da poterlo approssimare con una sezione piana, su di essa si traccino

gli assi di un riferimento cartesiano

La freccia indica nel disegno la normale alla superficie

per l’elemento si area considerato.

Il disegno precedente illustra ancora il significato di normale alla superficie.

Definizione: dato un campo vettoriale Vr

e una superficie S la cui normale sia nr

, si definisce

flusso del campo Vr

attraverso al superficie S lo scalare

( ) αcosVSSnVVS =•=Φrrr

dove α è l’angolo formato dal campo vettoriale Vr

con la normale alla superficie nr

.

Esempi

Sia data la seguente superficie S con la relativa normale nr

:

S

nr

Caso 1: nVrr

// e concorde

S

nr

Il flusso del campo vettoriale Vr

è massimo attraverso la superficie S quando la direzione di Vr

con

nr

forma un angolo nullo, cioè Vr

è perpendicolare alla superficie S.

( ) ( ) VSVSSnVVS ==•=Φ 0cosrrr

Caso 2: nVrr

, in posizione generica

S

nr

Il campo vettoriale Vr

forma con nr

un angolo α , il flusso è dato allora dalla formula:

( ) ( ) VSVSSnVVS ==•=Φ 0cosrrr

Caso 3: nVrr

⊥

S

nr

Il flusso del campo vettoriale Vr

è nullo attraverso la superficie S quando la direzione di Vr

con nr

forma un angolo retto, cioè Vr

è parallelo alla superficie S.

( ) 02

cos =

=•=Φ

πVSSnVVS

rrr

Caso 4: nVrr

// e disconcorde

S

nr

La direzione di Vr

è la stessa di nr

ma i versi son opposti, cioè Vr

forma un angolo di 180°con nr

.

Allora:

( ) ( ) VSVSSnVVS −==•=Φ πcosrrr

Il flusso del campo elettrico

Quanto detto in precedenza si applica ad un campo elettrico che attraversi una superficie. Vediamo

di determinare la dipendenza del flusso in relazione alle cariche presenti.

Situazione 1

Analizziamo il caso di un superficie cubica (area di ogni faccia del cubo S) immersa i un campo

elettrico uniforme E (ad esempio quello di un condensatore).

Consideriamo un campo elettrico uniforme tra le armature di un condensatore.

La normale alla superficie è diretta verso l’esterno della superficie cubica, quindi:

A

B

Consideriamo una vista dall’alto del condensatore con il cubo all’interno:

2n

2

1n 1 3 3n

4 4n

Consideriamo i singoli contributi delle superfici del cubo al flusso totale:

� superfici superiore e inferiore (A e B del primo disegno), la basi del cubo hanno normale che

forma un angolo retto con la direzione del campo, cioè le basi sono parallele al campo

elettrico, quindi il flusso attraverso esse è nullo;

� superfici laterali 2 e 4 (secondo disegno), anche per loro le rispettive normali 2n e 4n sono

perpendicolari con la direzione del campo (le superfici sono parallele al campo elettrico)

quindi il flusso attraverso esse è nullo;

� superfici laterali 1 e 3 (secondo disegno), le rispettive normali 1n e 3n sono parallele alla

direzione del campo elettrico (le superfici sono parallele al campo elettrico) quindi il flusso

attraverso ognuna di esse da un contributo al flusso.

La normale 1n forma con il campo elettrico un angolo di 180° (infatti sono parallele e discordi)

mentre la normale 3n forma con il campo elettrico un angolo di 0° (infatti sono parallele e

concordi).

Quindi il flusso totale del campo elettrico attraverso la superficie del cubo vale:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+=Φ+Φ=Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ=Φ 0cos180cos314321 SESEBAE

0=+−= SESE

Quindi il flusso è nullo.

È possibile ripetere tale ragionamento per una superficie S qualunque.

S

Possiamo approssimare la superficie in tanti piccoli elementi piani di superficie e sommare tutti i

contributi al flusso portati dai singoli elementi superficiali.

Il risultato che si ottiene è sempre

( ) 0=Φ E

Possiamo generalizzare allora il risultato ottenuto.

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualunque che non contiene

cariche è nullo

Consideriamo ora il caso di una superficie che contiene cariche al suo interno.

Analizziamo il caso di una sfera contenente una carica al centro.

+

Il campo elettrico sul bordo è costante, in quanto tutti i punti della superficie hanno distanza R dal

centro.

Se approssimiamo/suddividiamo la sfera in tanti elementi infinitesimi di superficie piana, la linea di

campo che consideriamo attraverserà il corrispondente elemento superficiale in maniera tale da

essere parallela e concorde alla normale alla superficie per la sezione superficiale considerata.

Quindi per ogni elemento di superficie si ha 0=α .

Il flusso del campo elettrico è quindi la somma di tutti i flussi attraverso gli elementi superficiali

nSSSS ∆∆∆∆ ,...,,, 321 in cui è stata suddivisa la sfera.

Possiamo scrivere allora

( ) ( ) =∆++∆+∆+∆⋅=∆⋅++∆⋅+∆⋅+∆⋅=Φ nn SSSSESESESESEE ...... 321321

0

22

0

44

1

επ

πε

QR

R

QSE ==⋅=

Tale risultato si può generalizzare al caso di:

� superfici sferiche contenenti una o più cariche in posizione generica (cioè non al centro);

� superfici generiche contenenti una o più cariche.

Possiamo ora enunciare il risultato generale.

Teorema di Gauss per il flusso del campo elettrico (nel vuoto).

Il flusso di un campo elettrico Er

attraverso una superficie chiusa S è dato dalla relazione

( )0ε

∑=Φ

QES

Dove ∑Q indica la somma algebrica delle cariche contenute nella superficie chiusa.

La somma di tutti gli elementi superficiali

della sfera nSSSS ∆++∆+∆+∆ ...321 da

come risultato la superficie stessa della

sfera, cioè 24 Rπ

Il campo elettrico per punti

equidistanti dalla carica

posta centro è dato dalla

formula 2

04

1

R

Q

πε

Osservazione

Se il campo elettrico non si trovasse nel vuoto per il teorema di Gauss si deve utilizzare la costante

dielettrica assoluta del mezzo al posto della costante dielettrica del vuoto:

( )ε

∑=Φ

QES

Osservazione

Applichiamo il teorema di Gauss per calcolare il campo elettrico tra le lastre si un condensatore.

Consideriamo una superficie ideale avente una faccia immersa nel campo elettrico uniforme tra le

armature di un condensatore mentre l’altra sia esterna al condensatore.

Per quanto osservato in precedenza il flusso è nullo sulle superfici parallele alla direzione del

campo elettrico. La superficie A in grigio è perpendicolare al campo elettrico E (normale alla

superficie // direzione campo), mentre la superficie esterna non è immersa in un campo elettrico,

quindi il flusso del campo elettrico per essa è nullo.

L’unica superficie che da un contributo è A, allora per la superficie S possiamo scrivere:

( ) EAES ⋅=Φ

Per il teorema di Gauss il flusso attraverso S vale:

( )0ε

∑=Φ

QES

Uguagliando tra loro i secondi membri abbiamo:

0ε

∑=⋅

QAE

La superficie A intercetta una quantità di carica distribuita sulla lastra del condensatore che è data

dal termine ∑Q .

Ricordando la densità di carica superficiale A

Q=σ dove Q si riferisce alla quantità totale di carica

considerata.

Allora possiamo scrivere che

A

Q=σ � AQ σ=

Sostituendo la relazione appena trovata nella formula 0ε

∑=⋅

QAE si ottiene

0ε

σAAE =⋅

0ε

σ=E

Moto di cariche in un campo elettrico uniforme

Consideriamo una particella q carica positivamente che si muova orizzontalmente di moto rettilineo

uniforme. Se ad un certo punto essa incontra (perpendicolarmente) nel suo cammino un campo

elettrico uniforme di un condensatore subirà:

� una repulsione dalla lastra positiva

� una attrazione dalla lastra negativa

Q+

+q

h

Q−

Poiché sarà sottoposta all’azione della forza elettrica il moto lungo l’asse verticale sarà

uniformemente accelerato.

La forza verticale si ricava data dall’intensità del campo elettrico dalla relazione q

FE = , infatti:

Campo elettrico all’interno di un condensatore.

h = distanza verticale tra la

particella all’istante in cui

entra nel campo elettrico e

la lastra che la attira

qEF = (1).

Dal punto di vista meccanico del moto poiché lungo l’asse verticale vi è una forza per il moto della

particella vale la seconda legge della dinamica.

maF = (2)

Poiché la (1) e la (2) esprimono la stessa forza possiamo uguagliare tra loro i secondi membri:

qEma =

Da cui si ottiene

m

qEa =

Poiché il moto è composto da:

1) moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle x;

2) moto uniformemente accelerato lungo l’asse delle y.

Il moto risultante della particella all’interno del campo elettrico è un moto parabolico.

Detta xv la componente (costante) orizzontale della velocità, si ha

tm

qEatvy −=−=

Per lo spazio percorso possiamo scrivere:

−=

=

2

2

1t

m

qEhs

tvs

y

xx

Osservazioni

Se la particelle non riesce ad uscire dal campo elettrico prima di giungere alla lastra negativa, essa

si deposita sull’armatura.

Per uscire dalla struttura il tempo del moto traslatorio per percorrere tutta la lunghezza del

condensatore deve essere inferiore al tempo necessario affinché la particela giunga sulla lastra che

la attira.

Accelerazione di una particella di

massa m che entra perpendicolarmente

in un campo elettrico E.

Se la particella esce dal campo elettrico avrà una velocità con direzione data dalla tangente alla

traiettoria parabolica nell’ultimo punto prima di uscire dal condensatore e intensità pari alla somma

delle componenti xv e yv nell’ultimo istante in cui è sottoposta all’azione del campo elettrico.

Q+

Q−

Il tempo di caduta della particella sulla lastra

che la attira da un’altezza h è dato dalla formula

qE

mht

2=

(simile alla formula per al caduta di un grave, soltanto che qui si usa un’accelerazione diversa da

quella di gravità).

Osservazione

Analogie e differenza tra le forze associate al campo elettrico e al campo gravitazionale.

Forza elettrica Forza gravitazionale

Formula 2

21

04

1

d

qqF

πε=

221

d

mmGF =

Analogie La forza è direttamente proporzionale

al prodotto delle cariche.

La forza è direttamente proporzionale

al prodotto delle masse.

Analogie La forza è inversamente proporzionale

al quadrato della distanza tra le cariche

La forza è inversamente proporzionale

al quadrato della distanza tra le masse.

Analogie La forza dipende da una costante di La forza dipende da una costante di

La particella esce con velocità avente direzione tangente all’ultimo punto della traiettoria parabolica e

velocità 22yx vvv += (i valori delle

componenti sono riferiti sempre all’ultimo istante di moto parabolico).

proporzionalità proporzionalità

Differenze La forza può essere attrattiva (cariche

opposte) o repulsiva (cariche uguali).

La forza tra masse è sempre attrattiva.

Osservazione

La costante di proporzionalità nei due casi ha valori diversi, infatti:

� 04

1

πε è un valore molto grande, quindi permette di avere facilmente forze di intensità

notevole anche tra cariche non troppo grandi;

� G è un valore vicino allo zero, quindi per avere forze di intensità notevole servono masse

molto grandi.

Esempio

Date due cariche di 1 C poste ad un metro di distanza, al forza elettrica vale

Nd

qqkF

92

21 109 ⋅==

Per avere una forza della stessa intensità tra due masse uguali poste ad un metro di distanza

possiamo scrivere

221

d

mmGF =

2119 1067,6109 m−⋅=⋅

202 1035,1 ⋅=m

kgm1020 1016,11035,1 ⋅=⋅=

Quindi ogni massa dovrebbe essere dell’ordine di grandezza di kg1010 .