Il campo elettrico❑ Quando due cariche elettriche “entrano in contatto”, ciascuna esercita sull’altra una reciproca forza di Coulomb, in conformità col 3° principio della dinamica. Ma cosa significa “entrare in contatto” ?

❑ La forza agisce a distanza con legge 1/R2, dunque essere “in contatto” vuol dire che la distanza R tra le cariche non deve essere così grande da rendere la forza trascurabile

❑ C’è un altro modo di descrivere ed interpretare l’interazione tra le particelle: possiamo dire che una carica genera un campo di forze (il CAMPO ELETTRICO) nello spazio circostante; in assenza di altre cariche interne al campo, nessuna forza viene esercitata

❑ Nel momento in cui una seconda carica ENTRA nel CAMPO di FORZE generato dalla prima, si genera una forza tra le due cariche

❑ Il concetto di CAMPO di FORZA fu elaborato dai grandi scienziati britannici M. Faraday e J.C. Maxwell, padri dell’elettromagnetismo classico

Michael Faraday(Londra, 1791 – 1867)

James Clerk Maxwell (Edimburgo 1831-1879)

Il campo elettricoUna carica Q MODIFICA lo SPAZIO CIRCOSTANTE, generando un CAMPO ELETTRICO attorno a sé; in un punto distante R dalla carica Qquesto campo vale:

2ˆ

Ma G r

R=

Il campo è come una RETE dispiegata nello spazio;

quando una seconda particella entra nel campo,

essa subisce la forza dovuta all’azione del campo

Q

R

E

rR

QkE ˆ

2=

il campo elettrico è del tutto analogo al campo gravitazionale generato da una massa M:

Il campo elettricoSupponiamo che una carica q di segno opposto entri all’interno del campo generato da Q; essa subisce una forza data dal prodotto della propria carica q per il campo generato da Q; se R è la distanza tra le cariche, la forza è:

2ˆ

mMF ma G r

R= =

Q

qF qE=

2ˆ

qQF qE k r

R= =

Se al posto delle cariche q e Q ponessimo due masse m ed M, l’espressione della forza gravitazionale analogamente sarebbe:

Il campo elettrico

C’è una differenza tra i due campi: nel caso del campo gravitazionale, la ‘RETE’ è sempre attrattiva, ovvero cattura le altre masse; nel caso del campo elettrico, può essere attrattiva o repulsiva

Q

q

Qq

Q, q di segno differente Q, q di segno uguale

Il campo elettrico✓ Si noti che il principio di azione e reazione vale per la forza, ma NON per il

campo: il campo è proprietà di UNA specifica carica, per cui cariche diverse generano campi diversi

✓ Possiamo descrivere la stessa forza tra q e Q considerando la forza che agisce sulla carica Q dovuta al campo elettrico generato da q; abbiamo:

q

QF QE=

2 2ˆ ˆ

q qQE k r F Q E k r

R R= = =

✓ Chiaramente, l’espressione della forza non cambia, è sempre la forza di Coulomb reciprocamente esercitata dalle due cariche

campo generato da q: forza su Q:

✓ le linee di flusso (o linee di forza) sono un modo semplice e geniale inventato da Faraday per raffigurare il campo elettrico nello spazio

✓ Le linee sono tali per cui in ogni punto la direzione del campo è sempre tangente la linea; la freccia indica il verso del campo, mentre la densità delle linee di flusso indica l’intensità del campo

Linee di flusso del campo elettrico

✓ il campo elettrico generato da una carica puntiforme ha simmetria radiale: le linee sono raggi rettilinei che dalla carica si estendono nello spazio

✓ il verso del campo è USCENTE dalla carica generatrice Q se essa è positiva, ENTRANTE se Q è negativa (ciò vale per qualsiasi campo, non soltanto per quello della carica puntiforme)

✓ le linee si diradano allontanandosi dalla carica generatrice; questo diradamento raffigura l’andamento 1/R2

+Q

-Q

Consideriamo una carica q0 all’interno del campo generato da Q:

Relazione tra campo e forza

EqF

0=

✓ campo e forza elettrica sono grandezze proporzionali, per cui hanno sempre la stessa direzione

✓ il loro verso è concorde o discorde a seconda che la carica q0 sia positiva o negativa

+QF

0q

F0q

-Q

F0q

F0q

Unità di misura del campo elettrico

F N

E Eq C

= → =L’unità di misura del campo elettrico nel Sistema Internazionale è Newton su Coulomb

✓ All’interno dell’atomo, vicino al nucleo icampi elettrici sono enormi

✓ all’esterno dell’atomo neutro il campo elettrico si annulla a causa della compensazione di carica di protoni ed elettroni

✓ Con tempo sereno i campi presenti in atmosfera sono 102 N/C, ma in caso di temporali sono mediamente 103 N/C

✓ Quando il campo raggiunge 3106 N/C (rigidità dielettrica dell’aria) si generano i fulmini: nonostante l’aria sia isolante, il campo è così grande da produrre scariche elettriche dalle nuvole al suolo

Alcuni valori tipici di campo elettrico (N/C)

Coppia di cariche puntiformi identiche

✓ Nel piano intermedio tra le due cariche il campo totale si annulla, poiché le cariche generano campi uguali in modulo ed opposti in verso

✓ A corta distanza dalle cariche il campo elettrico ha simmetria cilindrica rispetto all’asse che congiunge le cariche

+Q

✓ A grande distanza dalle cariche il campo diventa uguale a quello di una carica puntiforme +2q, dunque riacquista simmetria radiale

Coppia di cariche uguali in modulo ma di segno opposto: il dipolo elettrico

✓ Nel dipolo le linee di flusso sono chiuse: escono dalla carica positiva ed entrano (in ugual numero, essendo le cariche uguali in modulo) nella carica negativa

✓ Nella regione tra le cariche il campo è molto intenso, ma allontanandosi dal dipolo, le linee si diradano rapidamente, ovvero il campo tende rapidamente a indebolirsi, causa compensazione delle cariche

Il dipolo elettrico nelle molecoleIl dipolo elettrico è una quantità di estrema importanza nella fisica e chimica dello stato solido e molecolare. Molti fenomeni elettrici nei solidi e nei liquidi infatti coinvolgono non cariche singole ma dipoli

Ad esempio nella molecola dell’acqua H2O i due idrogeni tendono a perdere gli elettroni, i quali si spostano verso l’ossigeno; in un modello semplificato la molecola quindi si può descrivere come un dipolo, il cui il polo negativo (carico -2e) è l’atomo O, ed polo positivo (carico +2e) è in posizione intermedia tra gli ossigeni

2O −

1

2H+

Campo elettrico generato dal dipolo

( )( )2

ˆ( )/ 2

qE z k z

z d+ =

−

Il campo generato da +q nel punto z è:

( )( ) ( )( )2 22

1 1

1 / 2 1 / 2

kq

z d z d z

= − − +

Il campo del dipolo è troppo complesso per poter essere valutato ANALITICAMENTE in un punto qualsiasi; ci limitiamo a considerare il campo nei punti dell’asse dipolare (problema unidimensionale); sia z l’asse del dipolo, e d la distanza tra le cariche; poniamo l’origine z=0 nel centro del dipolo

( )( ) ( )( )2 2

( )/ 2 / 2

q qE z k k

z d z d= −

− +

( )( )2

ˆ( )/ 2

qE z k z

z d− = −

+

-q

+q

z

2

dz −

0

E+

E−

2

dz +

La somma dei due è il campo totale in z; in modulo:

Il campo generato da -q nel punto z è:

Esercizio: calcolo del campo del dipolo nei punti dell’asse distanti dal dipolo

✓ Abbiamo calcolato il campo generato da un dipolo di carica in un punto qualsiasi lungo il suo asse; come esercizio di analisi, calcoliamo il campo in un punto dell’asse z molto distante dalle cariche, ovvero per z molto maggiore della lunghezza d del dipolo

✓ A tale scopo, nella formula generale operiamo il cambiamento di variabile x=d/(2z) cosicché:

1 11 1

1 1x x

x x + −

− + ( ) ( )2 2

1 14

1 1x

x x −

− +

( ) ( )2 22

1 1( )

1 1

kqE z

z x x

= −

− +

✓ Nella nostra ipotesi si ha che x

Momento di dipolo elettrico

3ˆ( ) 2

q dE z k z

z=

✓ Il prodotto della carica q per la distanza tra le cariche d si definisce momento di dipolo elettrico, e si indica con P(chiaramente si misura in Coulomb m)

✓ P è un vettore diretto lungo la congiungente delle cariche e avente come verso quello che va da –q a +q:

✓ P ed E sono paralleli lungo l’asse z, ma non in generale nelle altre zone dello spazio (si vedano le linee di flusso del campo di dipolo)

✓ notiamo la dipendenza da z-3: allontanandosi dal dipolo, il campo di dipolo svanisce molto prima di quello della carica puntiforme

ˆP q d z q d= =

✓ Riportando indietro x al suo valore in termini di z, si ottiene (utilizziamo l’espressione vettoriale):

3( ) 2

PE z k

z=

✓ dunque il campo elettrico lungo l’asse del dipolo, in punti zlontani dal dipolo, può scriversi:

P

E

Il campo elettrico uniforme

✓ Il campo elettrico più semplice che si possa immaginare è quello uniforme, ovvero costante in modulo, direzione, e verso

✓ Il campo uniforme si disegna con lineerette equispaziate, tutte di ugualeverso; in figura vediamo le linee di flusso di un campo uniforme di direzioneorizzontale, e verso che va da sinistra adestra

✓ Il campo elettrico uniforme può essere generato mediante un importantissimo dispositivo elettronico: il condensatore a piatti piani paralleli

E

Dipolo all’interno di un campo uniforme

✓ Consideriamo un dipolo di carica rigido (ad esempio una molecola dipolare); siano +q e –q le cariche del dipolo, e P=qd il momento di dipolo

✓ Poniamo il dipolo all’interno di un campo elettrico uniforme: le forze esercitate dal campo elettrico su +q e –q causano la rotazione del dipolo e l’allineamento di P alla direzione del campo

✓ Una coppia di forze uguali ed opposte esercitata su un oggetto rigido genera un momento torcente tendente a ruotare l’oggetto rispettoall’asse perpendicolare al piano di rotazione (nell’esempio in figura l’asse di rotazione è perpendicolare alla pagina)

P E d F = =

Il momento torcente è un vettore perpendicolare al piano di rotazione, uguale al prodotto vettoriale di momento didipolo e campo elettrico:

F qE=

E

F qE= −

q+

q−

P

Dipolo all’interno di un campo uniforme

( ) ( )P E sen d F sen = =

Dunque, un dipolo di carica P all’interno di un campo elettrico subisce una torsione data dal prodotto vettore del dipolo per il campo elettrico (NB: ciò è vero in generale, non solo per un campo uniforme !)

P E d F = =

Dalla formula del prodotto vettore calcoliamo il modulo del momento torcente:

F qE=

E

F qE= −q+q− P

Per =0 (ovvero P ed E paralleli) si ha =0, ovvero quando il dipolo si allinea con il campo, la torsione cessa ed il sistema è in equilibrio

Riepilogo: carica puntiforme vs. dipolo

P E =

Campo generato dalla carica Q:

dipolo: P Qd=

3

2kE P

z=r

r

QkE ˆ

2=

Carica puntiforme: Q

Campo generato dal dipolo:

F QE=

La carica Q all’interno di un campo elettrico E subisce una forza:

Il momento di dipolo P all’interno di un campo elettrico E subisce una torsione:

Esercizio

Consideriamo 3 cariche in figura con q1=-q, q2 = 2q, q3 =-2q, q=1 mC; sia a =3 cm.a) Calcolare le componenti lungo gli assi Ex, Ey del campo elettrico totale generato dalle 3 cariche nel punto P (x=0, y=a)b) Poniamo una quarta carica nel punto P,q4= 3q; calcolare le componenti lungo gli assi Fx, Fy della forza esercitata dal campo elettrico sulla carica q4.c) Di questa forza, calcolare modulo F e angolo a che la forza forma con l’asse x. d) Disegnare con una freccia la forza in figura, indicando approssimativamente direzione e verso.

2q 1qa x

y

3q

a

P

a

2q 1qa x

y

3q

a

4q

a

Esercizio

ya

qkE ˆ

21−=

ya

qkx

a

qkE oo ˆ)45sin(

2

2ˆ)45cos(

2

2222

+=

2 2

2ˆ ˆ

q qE k x k y

a a= −

C

N

cm

C

C

NmEx

7

22

29 1041.1

)3(

2109 ==

m

C

N

cm

C

C

NmEy

7

22

29 100.1

)3(

1109 −=−=

m

ya

qkx

a

qkE oo ˆ)45sin(

2

2ˆ)45cos(

2

2223

−=ararar 2;2; 321 ===

2q 1q

x

y

3q

o451E

3E

2E

o45

Consideriamo separatamente i campi generati nel punto P dalle 3 cariche, espressi in coordinate cartesiane:

La geometria ci dice che:

Il campo totale in coordinate cartesiane è quindi:

Esercizio

NNF 9.5110323.4 22 =+=

NC

NCEqF xx 3.421041.13

7

4 === m

NC

NCEqF yy 30100.13

7

4 −=−== m

Fa

2q 1qa x

y

3q

a

4q

a

o

x

y

F

F3.3571.0)tan( −=−== aa

Forza sulla carica q4 in coordinate cartesiane:

Distribuzioni continue di cariche

Finora abbiamo considerato distribuzioni di cariche discrete, ovvero un insieme di cariche puntiformi in punti specifici dello spazio. Quando si ha a che fare con moltissime cariche, la descrizione in termini di cariche puntiformi è poco utile

In un cubo di materia di lato 1 cm vi è circa una mole di sostanza; una mole corrisponde a NA = 610

23 atomi (NA è detto numero di Avogadro). Immaginiamo quanto tempo occorrerebbe per sommare i campi elettrici dovuti a tutti gli atomi carichi nel cubo…

1 cm

Distribuzioni continue di cariche

=

3)(

m

C

dV

dqr r

1 cm1 nm

In un punto r interno al cubo, immaginiamo di considerare un volumetto dV così piccolo (ad esempio 1 nm di lato) che la carica contenuta in esso (dqr) sia uniforme; definiamo la densità di carica nel punto r:

dV

In molti casi pratici, le cariche non sono distribuite nello spazio casualmente (disordinatamente), ma secondo una certa simmetria: in questi casi è conveniente passare dal formalismo discreto al formalismo del continuo. Ciò comportai): l’utilizzo del calcolo infinitesimale; ii) l’utilizzo del concetto di densità di carica al posto della carica

Distribuzioni continue di cariche

=

3)(

m

C

dV

dqr r

=

2)(

m

C

dA

dqr r

=

m

C

dS

dqx x)(

3D

2D

1D

dA dS

2D 1D

Campo di un anello carico

Nel punto P, dS genera un campo:

Calcoliamo il campo elettrico lungo l’asse dell’anello. Sia dq la carica contenuta nel segmento infinitesimale dS

dq ds=

2 2 2 2

dq ds dsdE k k k

r r z R

= = =

+

Sommando i contributi di tutti i ds si vede che la componente perpendicolare all’asse z è nulla poiché il contributo di ogni segmento ds è controbilanciato dal ds collocato dalla parte opposta dell’anello; dunque soltanto la componente Ez parallela all’asse dell’anello è non nulla. Si ha:

cos( )zdE dE =

Campo di un anello carico

( )3/22 2 2 2

z

z zdE dE k ds

z R z R

= =

+ +

( ) ( )3/2 3/2

2 2 2 2(2 )z z

C C

z zE dE k dS k R

z R z R

= = =

+ +

( ) 2/322 Rzzq

kEz+

=Se q è la carica totale dell’anello, si ha:

Per calcolare il campo totale basta integrare il campo infinitesimale lungo la circonferenza dell’anello, ovvero integrare in ds da s=0 a S=2R

La geometria ci dice che:2 2

cos( ) cos( )z z

r zr z R

= = =+

Campo di un anello carico

( ) 2/322 Rzzq

kEz+

=

✓Com’è il campo nel punto z=0?✓Se la carica dell’anello fosse negativa cosa cambierebbe?✓Per un punto P lontanissimo dall’anello (z>>R), come diviene il campo lungo l’asse ??

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