IntegraliProprietà degli integrali

Area di una regione piana

Integrazione per parti

Proprietà degli integrali

Date due funzioni continue 𝑓 𝑥 e 𝑔 𝑥 e una costante 𝑐, si ha

• ∫ 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

• ∫ 𝑐 ⋅ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Le stesse proprietà valgono per gli integrali definiti, in particolare si ha

• ∫𝑎𝑏𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ∫𝑎

𝑏𝑔 𝑥 𝑑𝑥

• ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −∫

𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Integrale definito e area con segno

Attenzione! L’integrale definito determina l’area con segno! Si considerino per esempio:

න

1

4

−𝑥 𝑑𝑥 = −15

2න

0

𝜋2

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 1 න

−𝜋2

𝜋2

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 0න

−𝜋2

0

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −1

−𝜋

2

𝜋

2

Calcolo di aree

Si vuole calcolare l’area racchiusa tra i grafici delle funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) e le rette orizzontali 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, con 𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥 > 0 e 𝑔 𝑥 > 0.

𝑎 𝑏

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

Calcolo di aree

𝐴1 = න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝐴1

𝑓(𝑥)

𝐴2 = න𝑎

𝑏

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑔(𝑥)

𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑎 𝑏

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝐴2

𝐴

𝐴 = 𝐴1 − 𝐴2 =

= න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − න𝑎

𝑏

𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Calcolo di aree

Si vuole calcolare l’area racchiusa tra i grafici delle funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) e le rette verticali 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, con 𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥).

𝑎 𝑏

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)𝐴 = න

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − න𝑎

𝑏

𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =

= න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Calcolo di aree

Si vuole calcolare l’area racchiusa tra i grafici delle funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) e le rette orizzontali 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, con 𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥 > 0 e 𝑔 𝑥 < 0.

𝑎 𝑏

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

Calcolo di aree

𝑎

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑏

𝐴1

𝐴2

𝐴1 = න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝐴2 = −න𝑎

𝑏

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 = න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − න𝑎

𝑏

𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =

= න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Calcolo di aree

Si vuole calcolare l’area racchiusa tra i grafici delle funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) e le rette orizzontali 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, con 𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥 < 0 e 𝑔 𝑥 < 0.

𝑏𝑎𝑔 𝑥 + ℎ

𝑓 𝑥 + ℎ

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

Traslando entrambe le funzioni verso l’alto di h unità, le funzioni diventano positive e l’area può essere calcolata come

𝐴

𝐴

𝐴 = න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥 + ℎ 𝑑𝑥 = න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Esercizi

• Determinare l’area della regione di piano racchiusa tra i grafici delle funzioni

𝑓 𝑥 = 3 − 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 2 − 4.

න

−2

3

(𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = න

−2

3

3 − 𝑥 − 𝑥 − 1 2 − 4 𝑑𝑥 =

= න

−2

3

(−𝑥2 + 𝑥 + 6)𝑑𝑥 =125

6

• Calcolare l’area della regione di piano delimitata dai grafici delle

funzioni 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 e 𝑔 𝑥 =𝑥2

2− 𝑥 − 2. (Soluzione:

16

3)

Metodi di integrazione

Integrazione per parti:

Dal teorema fondamentale e dalla regola di derivazione del prodotto si ha la seguente formula di integrazione per parti:

• Sia 𝐹(𝑥) una primitiva di 𝑓(𝑥) e 𝐺(𝑥) una primitiva di 𝑔(𝑥)

Esempio

∫ 𝑓 𝑥 ⋅ 𝐺 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 ⋅ 𝐺 𝑥 − ∫ 𝐹 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

න ln 𝑥 𝑑𝑥 = න1 ⋅ (ln 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − න𝑥 ⋅ ln 𝑥 ′𝑑𝑥 =

= 𝑥 ln 𝑥 − න𝑥 ⋅1

𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑐

Esempio

Calcolare

න𝑥 ⋅ cos 𝑥 𝑑𝑥

න𝑥 ⋅ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ sin 𝑥 − න1 ⋅ sin 𝑥 𝑑𝑥 =

= 𝑥 ⋅ sin 𝑥 − −cos 𝑥 + 𝑐 = 𝑥 ⋅ sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑐

𝐺(𝑥) 𝑓(𝑥)