Corso di Laurea Triennale in Fisica -...

Corso di Laurea Triennale in Fisica

L’integrale di Feynman per l’atomo di idrogeno

Relatore:

Prof. Luca G. Molinari

Elaborato Finale di:

Claudio Valletta

matr. 802847

Codice PACS: 03.65.-w

Anno Accademico 2013 - 2014

Indice

1 Introduzione 3

2 Primi postulati 5

2.1 Intuizione fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 L’azione classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Formulazione matematica dei Path Integrals . . . . . . . . . . 72.4 Eventi in successione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Funzione d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 Corrispondenza nel limite classico . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Trasformazioni di Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8 Propagatore per la particella libera . . . . . . . . . . . . . . . 152.9 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.10 Sistemi a più gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.11 Sistemi non separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.12 Formula di Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.13 Diagrammi di Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Trasformazione di Stiefel-Kustaanheimo 28

4 Atomo d’Idrogeno 34

2

Capitolo 1

Introduzione

La meccanica quantistica è stata inizialmente sviluppata usando il linguag-gio matematico proprio della teoria Hamiltoniana della meccanica classica.Questo perchè la nozione classica di coordinate ed impulsi generalizzati haun immediato analogo quantistico. Tuttavia esiste una versione alternativadella dinamica classica, ed è la cosiddetta formulazione Lagrangiana, che ri-chiede l’uso di coordinate e velocità; le due formulazioni usano un approcciodifferente ma sono, ovviamente, matematicamente equivalenti, quindi non sigiunge a nuovi, fondamentali risultati. Tuttavia scoprire un nuovo modo diottenere teorie già note è estremamente interessante e meraviglioso, ci posso-no infatti essere problemi per i quali il nuovo punto di vista offre un sensibilevantaggio; c’è anche la speranza che la nuova formulazione ispiri un’ idea perla modifica delle presenti teorie, qualora esse non siano in accordo con i datisperimentali.

Inoltre ci sono ragioni per ritenere la formulazione Lagrangiana più fon-damentale di quella Hamiltoniana. In primo luogo il metodo Lagrangianodà modo di unificare tutte le equazioni del moto ed esprimerle come le pro-prietà stazionarie di una certa funzione detta Azione (questa azione non èaltro che l’integrale nel tempo della Lagrangiana). Non c’è un corrispon-dente principio di minima azione in termini di coordinate e momenti dellateoria Hamiltoniana. In secondo luogo il metodo Lagrangiano può facilmentevenire espresso relativisticamente tenendo conto che l’azione è un invarianterelativistico, mentre la scrittura Hamiltoniana è sostanzialmente in formanon relativistica in quanto implica una particolare variabile temporale, cioèquella coniugata canonicamente alla funzione di Hamilton.

Per queste considerazioni può sembrare necessario interrogarsi a cosacorrisponda, nella teoria quantistica, il metodo Lagrangiano della meccanicaclassica. Tuttavia ci si imbatte subito nel risultato che non si può giungerealle equazioni di Lagrange in un modo rapido e diretto; infatti le equazioni diLagrange involgono derivate parziali rispetto alla posizione ed alla velocità,che non hanno un preciso significato quantistico. L’unico processo di diffe-

3

4 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

renziazione che può essere fatto è quello di usare le Parentesi di Poisson, maquesto conduce alla formulazione Hamiltoniana. Dobbiamo quindi cercarela nostra Teoria Lagrangiana in un modo indiretto, descritto da Feynman inun articolo del 1948 [1], che ha sviluppato dei concetti portati alla luce daDirac [2], il quale dimostra che

hqt|QT i corrisponde a exp i

Z T

tL/hdt (1.1)

Feynman ha sviluppato questa equazione, interrogandosi su cosa voglia dire,matematicamente parlando, quel ”corrisponde a” non meglio precisato daDirac.

L’obiettivo di questo lavoro è di studiare quantitativamente la formula-zione di Feynman della meccanica quantistica, o formulazione lagrangiana,le cui basi vengono esposte nel secondo capitolo; nel terzo viene studiata indettaglio la trasformazione di Stiefel-Kustaanheimo, che ci servirà per appli-care, nel quarto capitolo, l’integrale sui cammini a uno dei sistemi fisicamentepiù importanti: l’atomo d’idrogeno.

Capitolo 2

Primi postulati

2.1 Intuizione fisica

Per capire qualitativamente la formulazione di Feynman della meccanicaquantistica prendiamo in analisi l’esperimento della doppia fenditura.

Il nostro esperimento immaginario (o Gedankenexperiment, come direbbeEinstein) è illustrato in figura 2.1.

Figura 2.1: L’apparato sperimentale

In A abbiamo una sorgente S che emette elettroni con la stessa energia,ma direzioni diverse, verso uno schermo C dove sono praticate due fenditure1 e 2 , infine dietro , sul piano B abbiamo un contatore di elettroni che puòessere sistemato ad una distanza x variabile dal centro dello schermo. Ognivolta che l’elettrone colpisce il contatore non c’è modo di scoprire attraversoquale apertura sia passato; ripetendo l’esperimento molte volte appare unpattern d’interferenza, dimostrando che la probabilità P (x)di arrivare aduna distanza x dal centro dello schermo non è uguale alla probabilità P1 diarrivarci con solo la prima fenditura aperta sommata alla probabilità P2 diarrivarci con solo la seconda fenditura aperta.

5

6 CAPITOLO 2. PRIMI POSTULATI

Possiamo ottenere la formula giusta per P (x) dicendo che essa è il mo-dulo quadro di una certa quantità complessa �(x) chiamata ampiezza diprobabilità. Inoltre �(x) è una somma di due contributi �1(x) che è l’am-piezza di probabilità di arrivare in x attraverso la prima apertura, e �2(x)che è l’ampiezza di probabilità di arrivare in x attraverso la seconda fenditu-ra. Piuttosto che sommare probabilità dobbiamo quindi sommare ampiezzedi probabilità che corrispondono a diversi possibili cammini per l’elettrone.Immaginiamo ora di aggiungere allo schermo più fenditure. Ci sono più cam-mini che contribuiscono alla probabilità di arrivare in x; aumentando ora ilnumero di aperture e rendendole infinitesimamente vicine scompare tutto loschermo, e la probabilità di arrivare in x sarà ora la somma (o piuttostol’integrale) di tutti i possibili cammini che passano per il piano dove c’era loschermo. Chiaramente ora mettiamo sempre più schermi, infinitesimamentevicini, nei quali inseriamo fenditure ancora una volta infinitesimamente vici-ne, arriviamo quindi a capire che l’ampiezza di probabilità �(x) di arrivarein x è data da una somma di contributi per ogni cammino che congiunge lasorgente al punto x,tenendo conto anche di quelli non permessi classicamente.

il problema è capire in che modo contribuisca ogni cammino; chiaramenteci aspettiamo che nel lim h ! 0 rimangano solo quelli classicamente possibili.

2.2 L’azione classica

Uno dei modi più eleganti di esprimere le equazioni del moto è il principiodi minima azione. Secondo questo principio ogni sistema è caratterizzato dauna determinata funzione L(q, q, t), inoltre il moto del sistema soddisfa laseguente condizione.

Supponiamo che negli istanti t = t1 e t = t2 il sistema occupi posizionideterminate, caratterizzate dai due insiemi di valori delle coordinate q1 e q2.Allora, entro queste posizioni, il sistema si muove in modo tale che l’integrale

S =

Z t2

t1

L(x, x, t)dt (2.1)

Abbia un valore estremante. la funzione L viene chiamata lagrangiana delsistema.

In meccanica classica, per una particella di massa m soggetta ad unpotenziale V (x, t) la lagrangiana è

L =

m

2

x2 � V (x, t) (2.2)

Il cammino classico x che rende estremante l’azione è determinato dal calcolodelle variazioni. Imponendo �S = 0 si giunge [3] alle equazioni di Eulero-Lagrange.

d

dt(

@L

@x)� @L

@x= 0 (2.3)

2.3. FORMULAZIONE MATEMATICA DEI PATH INTEGRALS 7

2.3 Formulazione matematica dei Path Integrals

Ora possiamo passare alla regola quantistica. Dobbiamo capire quanto con-tribuisca ogni traiettoria all’ampiezza totale di andare da a a b. Non contri-buisce solo il particolare cammino che estrema l’azione ma influiscono tuttii possibili cammini, anche quelli non permessi classicamente.

La probabilità P (b, a) di arrivare ad un punto xb in un tempo tb partendoda un punto xa ad un tempo ta sarà uguale a:

P (b, a) = |K(b, a)|2

Dove l’ampiezza K, anche detto Kernel, è una somma di contributi �[x(t)]di ciascun cammino.

K(b, a) =X

cammini da a in b

�[x(t)] (2.4)

Per quanto visto nell’introduzione è ragionevole postulare che il contributodi ciascun cammino sia:

�[x(t)] = const exp(i

hS[x(t)]) (2.5)

L’azione è quella corrispondente al sistema classico, la costante viene sceltaper normalizzare K correttamente e la ricaveremo nelle prossime sezioni.

Anche se un’idea qualitativa di una somma di contributi per ciascuncammino è chiara abbiamo bisogno di una trattazione più precisa dal puntodi vista matematico. Infatti il numero di cammino è infinito, e non è chiaroa prima vista come costruire la somma.

Innanzitutto scegliamo un sottoinsieme di cammini, per fare ciò dividia-mo la variabile temporale indipendente in passi di larghezza ⇠. Questo ci dàun insieme di valori ti spaziati di ⇠ che appartengono all’intervallo [ta, tb].Per ciascun tempo ti scegliamo un punto speciale xi. Costruiamo dunque uncammino connettendo tutti i punti scelti con linee rette, ottenendo una lineaspezzata che connette xa e xb. Possiamo ora definire una somma su tutti icammini costruiti in questa maniera prendendo un multiplo dell’integrale sututti i possibili valori xi per i da 1 ad N � 1 dove

N⇠ = tb � ta

⇠ = ti+1 � ti

t0 = ta tN = tb

x0 = xa xN = xb

L’equazione risultante è:

K(b, a) ⇠Z

...

Z Z�[x(t)]dx1dx2...dxN�1


Non integriamo su x0 e su xN perchè sono i punti iniziali e finali e dunquesono fissi. Possiamo ora far tendere ⇠ a 0, ma dobbiamo inserire un fattoredi normalizzazione che ci aspettiamo dipenda da ⇠.

Definire una tale costante sembra essere un problema difficile, e non sap-piamo farlo per tutti i casi. Tuttavia per Lagrangiane del tipo (2.2) il fattoredi normalizzazione risulta essere A�N dove

A =

⇣2⇡ih⇠

m

⌘1/2(2.6)

Vedremo tra qualche sezione come si ottiene questo risultato. Grazie a questofattore il limite esiste e possiamo scrivere.

K(b, a) = lim

⇠!0

1

A

Z...

Z Ze

ihS[b,a]

dx1A

dx2A

...dxN�1

A(2.7)

DoveS[b, a] =

Z tb

ta

L(x, x, t)dt

È un integrale di linea preso sulla linea spezzata passante per i punti xi comemostrato in Fig 2.2

Figura 2.2: La somma sui cammini è definita come un limite, nel quale latraiettoria è specificata dando la coordinata x in un grande numero di tempi,separati da piccoli intervalli ⇠. La somma è un integrale su tutte le possibilix. infine per ottenere la misura corretta viene preso il limite di ⇠ che tendea 0

Il Path integral in (2.7) è spesso indicato in letteratura, alleggerendo lanotazione come

K(b, a) =

Z b

ae

ihS[b,a]Dx(t) (2.8)

E viene chiamato, più comunemente, propagatore o funzione di Green [4].

2.4. EVENTI IN SUCCESSIONE 9

2.4 Eventi in successione

In questa sezione deriviamo una regola importante per la composizione diampiezze di eventi che occorrono successivamente nel tempo.

Supponiamo che tc sia un certo tempo tra ta e tb allora l’azione suqualsiasi cammino tra a e b può essere scritta come

S[b, a] = S[b, c] + S[c, a] (2.9)

Usando Eq.(2.8) per definire il Kernel possiamo scrivere

K(b, a) =

Z b

ae

ihS[b,c]+

ihS[c,a]Dx(t) (2.10)

É quindi possibile dividere qualsiasi cammino in due parti. La prima parteche ha come punti iniziali e finali xa e xc e la seconda che ha come puntiiniziali e finali xc e xb come mostrato in Fig 2.3 É possibile integrare su tutti

Figura 2.3: La somma su tutti i cammini può essere ottenuta sommandoprima su tutti i cammini che passano per il punto c e poi integrando su tuttii possibili valori xc.

i cammini da a a c, poi su tutti i cammini da c a b e infine su tutti i valorixc ottenendo quindi

K(b, a) =

Z 1

�1K(b, c)K(c, a)dxc (2.11)

É banale ora generalizzare questa regola a più eventi in successione, ad esem-pio prendendo due divisioni dell’intervallo a , b , una al tempo tc e l’altra altempo td; possiamo infatti scrivere

K(b, a) =

Z 1

�1

Z 1

�1K(b, c)K(c, d)K(d, a)dxcdxd (2.12)


Possiamo continuare questo processo fino a che non abbiamo diviso l’inter-vallo temporale tb,ta in N intervalli. Il risultato è

K(b, a) =

Z

xn�1

...

Z

x2

Z

x1

K(b,N�1)K(n�1, N�2)...K(1, a)dx1dx2...dxN�1

(2.13)Grazie a quest’equazione possiamo definire il Kernel in maniera differenterispetto a quella data in Eq(2.7).

Il Kernel, per una particella tra due punti separati da un intervalloinfinitesimo di tempo ⇠, è:

K(i+ 1, i) =1

Aexp(

i

h⇠L(

xi+1 � xi⇠

,xi+1 + xi

2

,ti+1 + ti

2

) (2.14)

Che è corretta al primo ordine in ⇠. Si può dimostrare che si arriva allostesso risultato di (2.7)

2.5 Funzione d’onda

Abbiamo ottenuto l’ampiezza di probabilità, per una particella materiale, diraggiungere un particolare punto b nello spazio e nel tempo, partendo da unevento iniziale a. Tuttavia è spesso utile considerare l’ampiezza di arrivarein punto b senza interessarsi all’evento iniziale. Possiamo quindi dire che (x, t) è l’ampiezza totale di arrivare nel punto (x, t) da un qualche eventopassato non specificato. L’ampiezza di probabilità (x, t) si chiama funzioned’onda.

Quindi il Kernel K(xb, tb;xa, ta) è una funzione d’onda, che ci dà piùinformazioni, in particolare è l’ampiezza per il caso speciale nel quale laparticella proviene da (xa, ta). Può succedere che questa informazione nonsia di interesse nel problema, non è quindi utile tenerne traccia.

Dato che la funzione d’onda (xb, tb) non ha nessuna dipendenza dal pun-to dal quale è partita la particella possiamo prendere il Kernel K(xb, tb;xa, ta)ed integrare su tutti i possibili punti xa dai quale proviene la particella,ottenendo

(xb, tb) =

Z 1

�1K(xb, tb;xa, ta) (xa, ta)dxa (2.15)

Questo risultato può essere giustificato più rigorosamente tenendo conto che (xb, tb) è un’ampiezza, e quindi usare Eq(2.11).

Questa è un equazione molto importante, vediamo infatti che se conoscia-mo la funzione d’onda in un tempo particolare, tramite essa possiamo saperecome evolverà la funzione d’onda. Siamo riusciti a esprimere tutti gli effettidella storia passata di una particella in un’unica funzione. Da qui il Kernelprende anche il nome di propagatore. Non sfugge il legame con la funzionedi Green dell’equazione di Shrodinger, possiamo quindi anticipare i risultati

2.5. FUNZIONE D’ONDA 11

che ricaveremo poi dicendo che questa è la versione integrale dell’equazionedi Shrodinger.

Dimostriamo ora l’equivalenza tra (2.15), che regola l’evoluzione dellafunzione d’onda tramite un integrale, e l’equazione di Shrodinger

bH = ih@

@t(2.16)

Prendiamo (2.15) e applichiamola nel caso in cui il tempo tb differiscaper un tempo infinitesimo da ta.

tb = ta + ⇠

Per piccoli intervalli temporali l’azione non è altro che la Lagrangiana mol-tiplicata per ⇠, quindi otteniamo

(x, t+ ⇠) =1

A

Z 1

�1exp(

i

h⇠L(

x� y

⇠,x+ y

2

, t)) (y, t)dy (2.17)

Applichiamo questo al caso speciale di una particella che si muove in unpotenziale V (x, t) cioè una per cui la lagrangiana è della forma L =

m2 x

2 �V (x, t). In questo caso (2.17) diventa

(x, t+ ⇠) =1

A

Z 1

�1exp

⇣ i

h

m(x� y)2

2⇠

⌘exp

⇣� i

h⇠V

�x+ y

2

�, t⌘ (y, t)dy

(2.18)É chiaro che la quantità (x�y)2

⇠ che compare all’esponente del primo fattoredà un contributo significativo all’integrale solo quando y è molto vicino adx. Infatti se y fosse apprezzabilmente diversa da x l’esponenziale oscillereb-be rapidamente al variare di y. Quando l’esponenziale oscilla velocemen-te l’integrale su y dà un contributo molto piccolo. Possiamo quindi porrey = x+⌫ tenendo presente che contribuiscono significativamente all’integralesolo termini con ⌫ molto piccolo. Otteniamo

(x, t+ ⇠) =1

A

Z 1

�1exp

⇣ im⌫2

2h⇠

⌘exp

⇣� i

h⇠V (x+ ⌫/2, t)

⌘ (x+ ⌫, t)d⌫

(2.19)La fase del primo esponenziale va da 0 a 1 radianti quando ⌫ va da 0 aq

2h⇠m , quindi il contributo maggiore all’integrale è dato da valori di ⌫ di

quest’ordine. Possiamo ora espandere in serie di potenze, tenendo soloi termini nell’ordine ⇠, che implica tenere termini del secondo ordine in ⌫.Otteniamo

(x, t)+⇠@

@t=

1

A

Z 1

�1exp

⇣ im⌫2

2h⇠

⌘ ⇥1� i

h⇠V (x, t)

⇤⇥ (x, t)+⌫

@

@t+

⌫2

2

@2

@x2⇤

(2.20)


Perchè questa equazione sia vera il coefficiente del membro di sinistra chemoltiplica la (x, t) deve essere uguale a quello di destra. Otteniamo quindi

1

A

Z 1

�1exp

⇣ im⌫2

2h⇠

⌘d⌫ = 1 (2.21)

Abbiamo ottenuto l’espressione anticipata in (2.6) per il coefficiente A

A =

⇣2⇡ih⇠

m

⌘1/2(2.22)

Per valutare i termini rimanenti del membro di destra dell’Eq(2.20) dobbiamousare i due integrali notevoli

1

A

Z 1

�1⌫ exp

⇣ im⌫2

2h⇠

⌘d⌫ = 0

1

A

Z 1

�1⌫2 exp

⇣ im⌫2

2h⇠

⌘d⌫ =

ih⇠

m

Usando i due integrali riscriviamo Eq(2.20) come

+ ⇠@

@t= � i

h⇠V +

ih⇠

2m

@2

@x2(2.23)

Che è vera se soddisfa l’equazione differenziale

@

@t= � i

h

h� h2

2m

@2

@x2+ V (x, t)

i(2.24)

Questa è l’equazione di Shrodinger per una particella che si muove in unadimensione. Può essere riscritta nella forma

ih@

@t=

bH (2.25)

Dove bH indica un operatore che agisce su , e viene chiamato OperatoreHamiltoniano. Nel nostro caso abbiamo che

bH = � h2

2m

@2

@x2+ V (x, t) (2.26)

Chiaramente si poteva scegliere l’equazione di Shrodinger come punto dipartenza e ricavare da qui il formalismo Lagrangiano dei Feynman PathIntegral [4], andando a considerare la funzione di Green dell’equazione diShrodinger. Infatti il propagatore K risulta essere la funzione tale che

⇣Hx � ih

@

@t

⌘K(x, x0, t, t0) = �ih�(x� x0)�(t� t0) (2.27)

Da qui vediamo che il kernel di Feynman (2.7) non è altro che la funzionedi Green dell’equazione di Shrodinger.

2.6. CORRISPONDENZA NEL LIMITE CLASSICO 13

2.6 Corrispondenza nel limite classico

Dato che tutti i cammini contribuiscono egualmente al Kernel, anche se laloro fase varia, non è chiaro come, nel limite classico, ne diventi importantesolo uno. L’approssimazione classica è quella nella quale l’azione S è moltogrande paragonata ad h. Ora se aggiungiamo al cammino un cambiamento�x piccolo su una scala classica, l’azione S misurata in unità di h cambia dimolto, e la fase oscillerà molto rapidamente. Il contributo totale andrà quindia 0 perchè se una certa perturbazione �x darà un contributo positivo ce nesarà un altro che darà un contributo negativo. Ciò che rimane è il camminoper il quale, se aggiungiamo un termine �x l’azione non cambia al primoordine, ovvero rimane il cammino che estrema l’azione. Per dimostrarlo piùrigorosamente dal punto di vista matematico consideriamo un integrale dellaforma

F (�) =

Z 1

�1exp

�i�f(t)

�dt (2.28)

Vogliamo dimostrare che per � ! 1 contribuiscono significativamente al-l’integrale solo le regioni in cui f 0

= 0.Supponiamo che f 0 si annulli in un solo punto t0. Trascurando contributi

all’integrale da regioni distanti da t0 possiamo espandere f in serie di Taylor,ottenendo

F (�) =

Z 1

�1exp

�i�f(t0) +

1

2

i�(t� t0)2f 00

(t0) + ...�dt (2.29)

Svolgendo questo integrale otteniamo

F (�) =

s2i⇡

�f 00(t0)

ei�f(t0) (2.30)

Viceversa se f 0(t) 6= 0 per ↵ < t < � possiamo cambiare variabile z = f(t),

trasformando (2.28) in

F (�) =

Z f(�)

f(↵)exp

�i�z

��(z)dz (2.31)

dove �(z) = 1f 0(t) .

Assumendo che � sia differenziabile possiamo integrare per parti otte-nendo

F (�) =1

i�

⇥�(z)ei�z

⇤f(�)f(↵)

� 1

i�

Z f(�)

f(↵)exp(i�z)

�d�dz

�dz (2.32)

Termini che decrescono quindi come 1� , trascurabili rispetto a (2.30), dove

avevamo ottenuto che F (�) è proporzionale a 1p�


2.7 Trasformazioni di Gauge

É noto dalla meccanica classica che le lagrangiane L(q, q, t) e L0(q, q, t) =

L(q, q, t) + ddtf(q, t) danno luogo alle stesse equazioni del moto [5], infatti le

azioni S ed S0 sono così legate

S0= S + f(q2, t2)� f(q1, t1) (2.33)

Differiscono quindi per un termine supplementare che si annulla quando va-ria l’azione, la condizione �S = 0 viene a coincidere con la condizione �S0

= 0

e la forma delle equazioni del moto rimane immutata. Vogliamo ora dimo-strare che tale simmetria della lagrangiana rimane valida anche in meccanicaquantistica.

É chiaro che nell’esponenziale presente nel Kernel comparirà il termineaggiuntivo

NX

i=1

f(xi)� f(xi�1) (2.34)

Riconosciamo una serie telescopica, il risultato della somma è f(xb)� f(xa),che è costante e non viene integrato. Il propagatore viene quindi mutato perun fattore di fase costante che non cambia la probabilità P (a, b) = |K(a, b)|2.

Da questo grado di libertà che presenta la lagrangiana possiamo fa-cilmente ottenere le trasformazioni di Gauge del campo elettromagnetico.Prendiamo infatti l’azione per una carica in un campo elettromagnetico [6]

S =

Z b

a(�mcds� e

cAidx

i) (2.35)

Le tre componenti spaziali del quadrivettore Ai costituiscono un vettore tri-dimensionale A detto potenziale vettore del campo elettromagnetico. Lacomponente temporale, A0

= � viene invece detta potenziale scalare. Dif-ferenti potenziali possono tuttavia dar luogo ad uno stesso campo; per con-vincerci di questo aggiungiamo a ciascuna componente del potenziale Ak

la grandezza � @f@xk dove f è una funzione arbitraria delle coordinate e del

tempo. Il potenziale Ak diventa allora

A0k = Ak �

@f

@xk(2.36)

Questa sostituzione fa comparire nell’integrale in (2.35) un nuovo termineche rappresenta un differenziale totale:

e

c

@f

@xkdxk = d(

e

cf) (2.37)

Il quale non influisce dunque sulle equazioni del moto. Abbiamo visto quindila prova dell’invarianza di Gauge in meccanica quantistica, che è banale daottenere usando la formulazione dovuta a Feynman; mentre non è cosi ovviapartendo dall’equazione differenziale di Shrodinger[7].

2.8. PROPAGATORE PER LA PARTICELLA LIBERA 15

2.8 Propagatore per la particella libera

Vediamo in dettaglio come calcolare il propagatore in un esempio concreto,iniziamo dal più facile, ovvero la particella libera. La Lagrangiana per laparticella libera è

L =

m

2

x2 (2.38)

Il Kernel è quindi

K(b, a) =⇣ m

2i⇡h⇠

⌘N/2Z

....

Zexp

h im

2h⇠

NX

i=1

�xi�xi�1

�2idx1...dxn�1 (2.39)

Che rappresenta una serie di integrali gaussiani, una volta svolti [8] passiamoal limite ottenendo

K(b, a) =⇣ m

2i⇡h(tb � ta)

⌘1/2exp

h im(xb � xa)2

2h(tb � ta)

i(2.40)

Studiamo ora il significato fisico di questo Kernel. Per semplicità di notazioneprendiamo il punto a come origine delle coordinate e del tempo.

L’ampiezza di arrivare in un punto b = (x, t) sarà dunque

K(b, a) =⇣ m

2i⇡ht

⌘1/2exp

⇣ imx2

2ht

⌘(2.41)

Se il tempo è fissato l’ampiezza varia con la distanza come mostrato in Fig2.4 dove è disegnato l’andamento della parte reale di

piK(x, t, 0, 0). Più

Figura 2.4: La parte reale dipiK in funzione di x, con t fissato

ci allontaniamo dall’origine e più le oscillazioni diventano rapide. Se x ècosi grande che sono avvenute molte oscillazioni, allora la distanza tra inodi successivi è quasi costante, cioè l’ampiezza si comporta come un’ondasinusoidale con lunghezza d’onda � variabile lentamente. Per aumentare xdi � bisogna incrementare la fase di 2⇡ cioè

2⇡ =

m(x+ �)2

2ht� mx2

2ht=

mx�

ht+

m�2

2ht(2.42)


Trascurando il secondo termine (cioè assumendo x >> � ) troviamo

� =

2⇡h

m(x/t)(2.43)

Cioè l’ampiezza varia nello spazio con lunghezza d’onda

� =

h

p(2.44)

Possiamo ora dimostrare questa relazione più in generale.Supponiamo di realizzare un esperimento e di costruire uno strumento per

il quale la fisica classica offra un’adeguata approssimazione. Lo strumentoin questione porta particelle di momento p in un punto fissato. In questesituazioni il Kernel è approssimativamente

K ⇠ exp[i

hScl(b, a)] (2.45)

Cambiamenti nella posizione finale xb causano cambiamenti nell’azione. Sel’azione è grande paragonata ad h il propagatore oscillerà molto rapidamente.Il cambiamento di fase per uno spostamento unitario del punto finale è

k =

1

h

@Scl

@xb(2.46)

Ma sappiamo dalla meccanica classica che @Scl@xb

è il momento della particella,quindi otteniamo p = hk. La grandezza k non è altro che il numero d’onda.Vediamo quindi che [?] non è altro che la formula di De Broglie che lega ilmomento della particella alla sua lunghezza d’onda.

Studiamo ora la dipendenza temporale del Kernel della particella liberain (2.41). In Fig 2.5 è rappresentata la parte reale di

piK(x, t, 0, 0), dove

x è fisso, mentre t varia. Vediamo che al variare di t variano sia l’ampiezzache la frequenza. Supponiamo che t sia abbastanza grande per trascurare icambiamenti nell’ampiezza. Il periodo dell’oscillazione T è definito come iltempo richiesto perchè la fase dell’onda venga incrementata di 2⇡ quindi

2⇡ =

mx2

2ht� mx2

2h(t+ T )=

mx2

2ht2[

T

1 + T/t] (2.47)

Introducendo la frequenza angolare ! =

2⇡T e assumendo t >> T possiamo

riscrivere questa equazione come

! =

m

2h

⇣xt

⌘2(2.48)

Dato che m2 (

xt )

2 è l’energia classica di una particella libera, da questa equa-zione ricaviamo che

E = h! (2.49)

2.9. OSCILLATORE ARMONICO 17

Figura 2.5: La parte reale dipiK in funzione di t, con x fissato

Questa relazione, come quella precedente, rimane vera per qualsiasi strumen-to che può essere descritto con ottima approssimazione dalla fisica classica.Usando l’Eq(2.45) una qualsiasi variazione del tempo di arrivo tb causeràrapide oscillazioni del propagatore. La frequenza risultante è data da

! = �1

h

@Scl

@tb(2.50)

Ma la quantità �@Scl@tb

è interpretata come l’energia classica della particellaquindi otteniamo

! =

E

h(2.51)

In questo modo i concetti di energia e momento sono estesi alla meccanicaquantistica grazie alle regole:

• Se l’ampiezza varia nello spazio come exp(ikx) allora diciamo che laparticella ha un pomento p = hk

• se l’ampiezza varia nel tempo come exp(�i!t) diciamo che la particellaha un’energia h!

2.9 Oscillatore armonico

Vogliamo ora ricavare il Propagatore per lagrangiane del tipo

L = a(t)x2 + b(t)xx+ c(t)x2 + d(t)x+ e(t)x+ f(t) (2.52)

Chiamiamo con x(t) il cammino classico tra il punto iniziale e finale. Questoè il cammino che estrema l’azione S. Possiamo quindi scrivere

x(t) = x(t) + y(t) (2.53)


Ovviamente abbiamo che dxi = dyi. L’integrale per l’azione può ora esserescritto come

S[x(t)] = S[x(t) + y(t)] =

Z tb

ta

a(t)[ ˙x2 + 2

˙xy + y2] + ....dt (2.54)

Raccogliendo tutti i termini dove non compare la y otteniamo Scl = S[x(t)].L’integrale ottenuto raccogliendo tutti i termini lineari in y è nullo, in quantox è definito proprio come il cammino che estrema l’azione, ovvero che pro-duce una variazione nulla al primo ordine. Ciò che rimane è solo l’integralecontenente termini al secondo ordine in y, otteniamo dunque

S[x(t)] = Scl[b, a] +

Z tb

ta

[a(t)y2 + b(t)yy + c(t)y2]dt (2.55)

L’ integrale sui cammini non dipende dal cammino classico x(t), quindipossiamo scrivere

K(b, a) = exp⇣ i

hScl[b, a]

⌘Z 0

0exp

⇣ i

h

Z tb

ta

[a(t)y2 + b(t)yy+ c(t)y2]dt⌘

Dy(t)

(2.56)Dato che per tutti i cammini y(t) inizia e finisce al punto y = 0 l’integralepuò essere solo funzione del tempo nei punti iniziali e finali. Quindi il Kernelpuò essere scritto come

K(b, a) = exp⇣ i

hScl[b, a]

⌘F (tb, ta) (2.57)

Il propagatore è determinato a meno di una funzione moltiplicativa di tb eta. In particolare è completamente nota la dipendenza spaziale del Kernel, ela dipendenza dai coefficienti dei termini lineari d(t), e(t) e f(t). Possiamoapplicare quanto abbiamo visto al caso particolare dell’oscillatore armonico.Per l’oscillatore armonico abbiamo che L =

m2 (x

2 � !2x2). ChiamandoT = tb � ta abbiamo che l’azione classica è

Scl =m!

2 sin(!T )

h(x2b + x2a) cos(!T )� 2xbxa

i(2.58)

(Per dimostrarlo è sufficiente prendere x(t) = A cos(!t) +B sin(!t) ed inte-grare).

Quindi il Kernel risultante è

K = F (T )exph im!

2h sin(!T )

⇥(x2b + x2a) cos(!T )� 2xbxa

⇤i(2.59)

Vogliamo ora cercare di trovare la funzione moltiplicativa F (T ).La funzione F (T ) è data da

F (T ) =

Z 0

0exp

⇣ i

h

Z T

0

m

2

(y2 � !2y2)dt⌘Dy(t) (2.60)

2.9. OSCILLATORE ARMONICO 19

Dato che per tutti i cammini y(t) va da 0 in t = 0 a 0 in t = T possiamoscomporlo in serie di Fuorier, precisamente in una serie di seni con periodoT , ovvero

y(t) =

1X

n=1

an sin(n⇡t

T) (2.61)

É quindi possibile specificare un cammino dai coefficienti an. Questa è unatrasformazione lineare per la quale il jacobiano J è una costante adimensio-nale indipendente da m , ! e h Inserendo Eq (2.61) in Eq (2.60) possiamoscrivere il termine di energia cinetica come

m

2

Z T

0y2dt =

m

2

1X

n=1

1X

m=1

n⇡

T

m⇡

Tanam

Z T

0cos(

n⇡t

T) cos(

m⇡t

T)dt

=

m

2

T

2

1X

n=1

⇣n⇡T

⌘2a2n (2.62)

E analogamente il termine di energia potenziale come

m!2

2

Z T

0y2dt =

m!2

2

T

2

1X

n=1

a2n (2.63)

Assumendo che il tempo T sia diviso in vari step di lunghezza ⇠, in modoche ci siano solo un numero finito N di coefficienti an il path integral diventa

F (T ) = J1

A

Z 1

�1...

Z 1

�1exp

h im2h

T

2

NX

n=1

�(

n⇡

T)

2 � !2�a2n

ida1A

da2A

...daNA

(2.64)Dato che l’esponente può essere separato in fattori può essere svolto l’inte-grale su ciascun coefficiente an. Il risultato è

Z 1

�1exp

h im2h

T

2

�n2⇡2

T 2� !2

�a2n

idanA

=

⇣2

⇠T

⌘1/2⇣n2⇡2

T 2� !2

⌘�1/2(2.65)

Quindi l’integrale sui cammini è proporzionale

NY

n=1

⇣n2⇡2

T 2� !2

⌘�1/2=

NY

n=1

⇣n2⇡2

T 2

⌘�1/2NY

n=1

⇣1� !2T 2

n2⇡2

⌘�1/2(2.66)

il primo prodotto non dipende da ! e si unisce al jacobiano e altri fattoriindipendenti da ! che abbiamo raccolto in una singola costante. Il secondo

fattore ha come limite⇣sin(!T )

!T

⌘�1/2per N ! 1. Quindi abbiamo che

F (T ) = C⇣sin(!T )

!T

⌘�1/2(2.67)


dove C è una costante indipendente da !. Ma per ! = 0 l’integrale è quellodi una particella libera, per la quale abbiamo già trovato che

F (T ) =⇣ m

2i⇡hT

⌘1/2(2.68)

Perciò per l’oscillatore armonico abbiamo che

F (T ) =⇣ m!

2⇡ih sin(!T )

⌘1/2(2.69)

Sostituendo nell’Eq(2.59) abbiamo l’espressione completa per il Kernel nelcaso dell’oscillatore armonico.

2.10 Sistemi a più gradi di libertà

Come vanno modificati i ragionamenti svolti finora nel caso in cui abbiamopiù gradi di libertà? Il Kernel può ancora essere rappresentato nella formadell’Eq 2.8, tuttavia ora il simbolo x(t) rappresenta più coordinate piuttostoche una sola.

Prendiamo come primo esempio quello di una particella libera che simuove in tre dimensioni; il cammino è definito dando tre funzioni x(t) , y(t)e z(t). L’azione è data da

S =

m

2

Z tb

ta

hx(t)2 + y(t)2 + z(t)2

idt (2.70)

L’ampiezza di probabilità di arrivare da un punto iniziale (xa, ya, za) in untempo ta, a un punto finale (xb, yb, zb) ad un tempo tb è

K(xb, yb, zb, tb;xa, ya, za, ta) =Z b

aexp

⇣ i

h

Z tb

ta

m

2

�x(t)2 + y(t)2 + z(t)2

�dt⌘Dx(t)Dy(t)Dz(t) (2.71)

Se dividiamo il tempo in intervalli di lunghezza ⇠ , la posizione al tempoti è data dalle tre variabili xi, yi, zi, e l’integrale in (2.7) viene ora sostituitoda un integrale in dxi, dyi, dzi. Dobbiamo tener conto della costante dinormalizzazione A per ogni variabile, quindi se il tempo totale è suddiviso inN intervalli di lunghezza ⇠ dobbiamo includere il fattore A�3N nell’integrale.

Un’altra situazione di grande interesse, in fisica classica e quantistica,che involve più variabili, è quello di due sistemi interagenti. Supponiamo cheun sistema consista di una particella di massa m descritto da un sistema dicoordinate x, mentre l’altro sistema sia una particella di massa M descrittoda un sistema di coordinate X. Supponiamo che i due sistemi interagiscanotramite un potenziale V (x,X). L’azione risultante è

S[x(t), X(t)] =

Z tb

ta

⇣m2

x2 +M

2

˙X2 � V (x,X)

⌘dt (2.72)

2.10. SISTEMI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ 21

Quindi il Kernel è

K(xb, Xb, tb;xa, Xa, ta) =

Z b

a

Z b

aexp

⇣ i

hS[x(t), X(t)]

⌘Dx(t)DX(t) (2.73)

Il kernel K è qui l’ampiezza di probabilità che la particella di massa m vadada un punto iniziale dello spazio-tempo (xa, ta) ad un punto finale (xb, tb), ela particella di massa M vada da (Xa, ta) a (Xb, tb).

Supponiamo ora che l’azione risultante si possa separare in due parti,ovvero

S[x,X] = Sx[x] + SX [X] (2.74)

Dove in Sx contribuisce solo il cammino x(t), mentre in SX contribuisce soloil cammino X(t).

In questo caso l’ampiezza di probabilità diventa il prodotto di due fattori,uno dipendente solo da x e uno solo da X, infatti

K(xb, Xb, tb;xa, Xa, ta) =Z b

a

Z b

aexp

⇣ i

h

�Sx[x] + SX [X]

�⌘D3x(t)D3X(t)

=

Z b

aexp

⇣ i

hSx[x]

⌘D3x(t)

Z b

aexp

⇣ i

hSX [X]

⌘D3X(t)

= Kx(xb, tb;xa, ta)KX(Xb, tb;Xa, ta) (2.75)

Qui Kx è l’ampiezza calcolata come se fosse presente solo la particella dicoordinate x, e analogamente KX . Quindi in una situazione che involve duesistemi indipendenti il kernel relativo ad entrambi i sistemi è semplicementeil prodotto dei due propagatori indipendenti. La funzione d’onda in unasituazione che involga varie particelle è definita analogamente; (x,X....t) èl’ampiezza che, in un tempo t, una particella sia nel punto x, un’altra sia nelpunto X eccetera.

L’equazione (2.15) che vale per il caso unidimensionale, può facilmenteessere generalizzata come

(x,X, ..., t) =

Z...

ZK(x,X, ...t;x0, X 0...t0) (x0, X 0, ...t0)d3x0d3X 0...

(2.76)Abbiamo visto che, se le particelle sono indipendenti, allora il Kernel Kè il prodotto di propagatori indipendenti. Ciò,tuttavia, non implica che,ingenerale, (x,X...t) sia un prodotto di varie funzioni d’onda indipendenti.Nel caso speciale in cui sia in un istante particolare un prodotto di funzioniindipendenti (ovvero (x,X...) = f(x)g(X)...) allora rimarrà così per tutti itempi. Ciascun fattore cambierà come se fosse presente un sistema solo, maquesto è un caso particolare; infatti il fatto che le particelle siano indipendentiora non implica che lo siano sempre state, ci potrebbe essere stata qualche


interazione nel passato e ciò implica che (x,X...) non si possa scrivere comeun semplice prodotto di funzioni indipendenti.

Ovviamente anche se l’azione S non compare in forma S[x,X] = Sx[x]+SX [X] c’è spesso una trasformazione che rende il sistema separabile. Da-to che l’azione assume la stessa forma sia in meccanica quantistica che inmeccanica classica qualsiasi trasformazione che renda separabile il sistemaclassico rende separabile anche il sistema quantistico.

2.11 Sistemi non separabili

L’analisi dell’ampiezza di probabilità può diventare molto complicata quandoun problema contiene più di una variabile e non è possibile separare il sistema.Consideriamo il Kernel descritto in (2.73) possiamo riscriverlo come

K(b, a) =

Z b

a

Z b

aexp

⇣ i

h

Z tb

ta

m

2

x2dt+i

h

Z tb

ta

M

2

˙X2dt

� i

h

Z tb

ta

V (x,X, t)dt⌘Dx(t)DX(t) (2.77)

Supponiamo di riuscire a svolgere l’integrale sul cammino X(t). Possiamoscrivere il risultato come

K(b, a) =

Z b

aexp

⇣ i

h

Z tb

ta

m

2

x2dt⌘T [x(t)]Dx(t) (2.78)

Dove

T [x(t)] =

Z b

aexp

⇣ i

h

Z tb

ta

⇣M2

˙X2 � V (x,X, t)⌘dt⌘DX(t) (2.79)

Integrare su tutti i cammini concessi alla particella X produce un funzionaleT , descritto in (2.79), che indica l’ampiezza che la particella X si spostidal punto iniziale Xa al punto finale Xb sotto l’influenza del potenziale V .Questo potenziale, che dipende sia da X che da x, è calcolato assumendoche x(t) sia una traiettoria fissata mentre X(t) spazi tra tutti i camminipossibili. Quindi è il potenziale per la particella X mentre la particella x sista muovendo lungo una specifica traiettoria. Chiaramente questa ampiezzaT dipende dalla traiettoria scelta x(t), quindi diciamo che è un funzionaledi x(t). L’ampiezza totale è calcolata infine sommando su tutti i camminidello spazio x un funzionale che consiste nel prodotto di T con il Kernel perla particella libera x(t).

Quindi l’ampiezza K è, come quelle viste finora, una somma di ampiezzedi tutte le possibili alternative. Ciascuna di queste ampiezze è a sua voltaun prodotto di due ampiezze minori. La prima di queste, T , è l’ampiezzache la particella X vada dal suo punto iniziale al punto finale, mentre x hauna traiettoria specifica. Sommando infine su tutte le traiettorie otteniamol’ampiezza finale.

2.12. FORMULA DI FEYNMAN-KAC 23

2.12 Formula di Feynman-Kac

Non è ancora chiaro come si possa, dalla conoscenza del Kernel, passarealla conoscenza di autofunzioni ed autovalori dell’energia, un concetto difondamentale importanza in meccanica quantistica.

In forma operatoriale la funzione di Green dipendente dal tempo ( perH indipendente dal tempo) è

G(t, 0) = ✓(t)exp�� iHt/h

�(2.80)

Chiaramente abbiamo che

K(x, t; y, 0) = hx|G(t)|yi (2.81)

Supponiamo ora di avere un insieme completo di autostati dell’energia |ni, n =

0, 1... conH|ni = En|ni (2.82)

Che corrispondono alle autofunzioni

un(x) = hx|ni (2.83)

quindi abbiamo che

hx|G(t)|yi =X

n

hx|nihn| e�iHt/h |yi =X

n

un(x) e�iEnt/h u?n(y) (2.84)

Questa formula è di grande utilità in quanto permette di darci informazionicirca i livelli di energia e le funzioni d’onda.

É di grande interesse anche la trasformata di Fourier di Eq(2.65)

˜G(z) =

Z 1

�1eizt/hG(t)dt =

Z 1

0ei(z�H)t/hdt (2.85)

Per Im z > 0 abbiamo˜G(z) =

ih

z �H(2.86)

Ci sono singolarità in Im z = 0 in quanto lo spettro di H è reale. Applicandoora la trasformata di Fourier ad Eq (2.69) otteniamo

˜K(x, y; z) = ihX

n

un(x)u?n(y)

z � En(2.87)

Quindi per Hamiltoniane con spettro discreto identifichiamo i poli nell’ener-gia del Kernel con lo spettro dell’Hamiltoniana, ed i residui con le funzionid’onda.

Dall’ Eq(2.69) segue la formula di Feynman-Kac, che lega il comporta-mento asintotico (t ! �i1) della funzione di Green con l’energia di groundstate.


In Eq(2.69) poniamo y = x e integriamo su x ottenendoZ

K(x, t;x, 0)dx =

X

n

e�iEnt/h

Zdx|un(x)|2 =

X

n

e�iEnt/h (2.88)

Analizziamo questa equazione per tempi immaginari t ovvero chiamiamoith = ⌧ .

Per ⌧ molto grande la somma nel membro di destra sarà dominato dallostato ad energia più basso, abbiamo quindi che

lim

⌧!1eE0⌧

ZK(x,�ih⌧ ;x, 0) = 1 (2.89)

Equazione valida per Hamiltoniane con stato fondamentale non degenere (al-trimenti basta mettere il numero di degenerazione dello stato fondamentalenel membro di destra). Se avessimo preso il logaritmo da ambo i membriprima di prendere il limite avremmo ottenuto

E0 = � lim

⌧!1

1

⌧log

Zdx K(x,�ih⌧ ;x, 0) = lim

⌧!1�1

⌧log Tr e�⌧H (2.90)

Questa è la formula di Feynman-Kac ed è un ottimo metodo per calcolarele energie dello stato fondamentale, in quanto non c’è bisogno di conoscereesattamente il Kernel per il caso in esame ma solo un particolare limite.

Possiamo applicare quanto abbiamo visto al caso dell’oscillatore armoni-co. In quel caso il Kernel era

K(x, t; y) =

rm!

2⇡ih sin(!t)exp

h im!

2h sin(!t)

⇥(x2+y2) cos(!t)�2xy

⇤i(2.91)

Usando Eq(2.73) abbiamo cheX

n

e�iEnth

=

Zdx K(x, t;x) (2.92)

Otteniamo un integrale gaussiano che può essere svolto senza problemi otte-nendo X

n

e�iEnt/h=

1

2i

hsin(

!t

2

)

i�1(2.93)

Ma esplicitando il seno otteniamo

1

2i

hsin(!t/2)

i�1=

exp(�12 i!t)

1� exp(�i!t)= exp(�1

2

i!t)1X

n=0

exp(�in!t) (2.94)

Comparando questa espressione con il membro di sinistra riconosciamo su-bito

En = h!(n+

1

2

) n = 0, 1, 2... (2.95)

2.13. DIAGRAMMI DI FEYNMAN 25

2.13 Diagrammi di Feynman

Per molti potenziali che si incontrano in meccanica quantistica non è possibilesvolgere il Path Integral in maniera esatta analiticamente. Per ciò in questocapitolo andiamo a discutere dell’espansione perturbativa.

Supponiamo che la particella si stia muovendo sotto l’azione di un po-tenziale V (x, t). Il Kernel tra i punti a e b è

KV (b, a) =

Z b

aexp

⇣ i

h

Z tb

ta

⇣m2

x2 � V (x, t)⌘dt⌘Dx(t) (2.96)

Usiamo il pedice KV per ricordare che la particella si sta muovendo nelpotenziale V . Usiamo K0 per indicare il Kernel per la particella libera.

Supponiamo ora che il potenziale sia piccolo, o, più precisamente, chel’integrale nel tempo del potenziale sia piccolo comparato con h. Allorapossiamo espandere l’esponenziale in Eq(2.81) scrivendo

exp⇣� i

h

Z tb

ta

V (x, t)dt⌘= 1� i

h

Z tb

ta

V (x, t)dt+1

2

⇣� i

h

Z tb

ta

V (x, t)dt⌘2

+ ...

(2.97)Usando questa espansione in Eq(2.81) abbiamo che

KV (b, a) = K0(b, a) +K1(b, a) +K2

(b, a) + ... (2.98)

dove

K0(b, a) =

Z b

aexp

⇣ i

h

Z tb

ta

m

2

x2dt⌘Dx(t) (2.99)

K1(b, a) = � i

h

Z b

aexp

⇣ i

h

Z tb

ta

m

2

x2dt⌘Z tb

ta

V (x(s), s)dsDx(t) (2.100)

K2(b, a) = � 1

2h2

Z b

aexp

⇣ i

h

Z tb

ta

m

2

x2dt⌘Z tb

ta

V (x(s), s)ds

Z tb

ta

V (x(s0), s0)ds0Dx(t) (2.101)

E così via.Studiamo ora in dettaglio il Kernel K1. Possiamo scrivere

K1(b, a) = � i

h

Z tb

ta

F (s)ds (2.102)

dove abbiamo che

F (s) =

Z b

aexp

⇣ i

h

Z tb

ta

m

2

x2dt⌘V (x(s), s)Dx(t) (2.103)


Cerchiamo ora di capire cosa rappresenta F (s). É la somma su tutti i cammi-ni dell’ampiezza di particella libera. Tuttavia ciascun cammino è pesato dalpotenziale V (x(s), s) valutato al tempo s. L’unica caratteristica del cammi-no x(t) che è interessata in questo particolare V è la posizione del camminoal tempo t = s. Questo significa che prima e dopo il tempo s i camminiinteressati in F (s) sono quelli di una particella libera, come mostrato in Fig2.6. Possiamo ora dividere il cammino in due parti, una prima del tempo

Figura 2.6: Una particella che parte da a e si muove fino a c come particella li-bera, dove è scatterata dal potenziale V (x(s), s) = Vc, infine arriva in b comeparticella libera. Se tale ampiezza è integrata su tutte le possibili posizionidel punto c otteniamo il termine del primo ordine nella perturbazione

t = s ed una dopo. Assumiamo che ciascun cammino attraversa il punto xcal tempo di divisione, integreremo poi su xc. Se denotiamo con xc(s) con callora la somma su tutti i cammini può essere scritta come K0(b, c)K0(c, a).Ciò implica che F (s) = F (tc) può essere scritto come

F (tc) =

Z 1

�1K0(b, c)V (xc, tc)K0(c, a)dxc (2.104)

Sostituendo in Eq(2.88) abbiamo che

K1(b, a) = � i

h

Z tb

ta

Z 1

�1K0(b, c)V (c)K0(c, a)dxcdtc (2.105)

Vediamo che in questo modo il path integral in Eq(2.85) viene valutato conun integrale ordinario. L’interazione tra il potenziale e la particella vienechiamata scattering. Quindi diciamo che il potenziale scattera la particella eche l’ampiezza di scattering dal potenziale è � i

hV per unità di volume e tem-po. Con questa interpretazione possiamo descrivere Kv nel modo seguente.Kv è ovviamente una somma di modi alternativi con i quali la particella puòmuoversi dal punto a al punto b. Le alternative sono:

• La particella non subisce alcuno scattering K0(b, a)

2.13. DIAGRAMMI DI FEYNMAN 27

• La particella subisce uno scattering K1(b, a)

• la particella subisce due scattering K2(b, a)

• Etc.

In accordo con questa interpretazione i vari cammini della particella sonomostrati in Fig 2.7. Usando gli stessi ragionamenti possiamo scrivere il kernel

Figura 2.7: In (1) una particella si muova da a a b senza essere scatterata.L’ampiezza è K0(b, a). In (2) la particella viene scatterata una volta in c,mentre si muove nel potenziale V . L’ampiezza in questo caso è K1

(b, a).Eccetera

K2 per un doppio scattering come

K2(b, a) =

⇣ i

h

⌘2Z Z

K0(b, c)V (c)K0(c, d)V (d)K0(d, a)d⌧cd⌧d (2.106)

Dove ovviamente vale che d⌧ = dxdt. Questa importante formula significache la particella si muove come una particella libera da a a d. In d la particellaviene scatterata dal potenziale V (d) in quel punto. Poi si muove ancora comeuna particella libera da d a c dove viene scatterata dal potenziale V (c). Infinesi muove come una particella libera da c a b.

Capitolo 3

Trasformazione di

Stiefel-Kustaanheimo

Il risultato finale che vogliamo raggiungere è di risolvere l’integrale sui cam-mini per l’atomo di idrogeno. La lagrangiana per tale sistema è

L =

µ

2

x2 +Ze2

r(3.1)

Notiamo subito che una lagrangiana di questo tipo ha una divergenza del tipo1r che rende il Kernel non integrabile. In questo capitolo studiamo quindiin dettaglio la trasformazione di Stiefel-kustaanheimo (KS), che mostra unarelazione molto interessante tra i due più importanti problemi elementari: ilproblema di Keplero e l’oscillatore armonico. É notevole che le singolarità nelproblema a due corpi, vengano trasformati in punti regolari dell’oscillatorearmonico.

Eulero per primo notò che le equazioni del moto per il problema di Ke-plero 1D potevano essere ricondotte a quelle di un oscillatore armonico mo-nodimensionale [9] grazie ad un appropriato cambiamento delle coordinatespaziali e temporali. Generalizzando questo approccio , Levi-Civita [10] re-golarizzò il problema di Keplero in 2D, riconducendolo ad un oscillatorearmonico bidimensionale.

I tentativi di generalizzare questo procedimento in 3D fallirono fino al1964, quando Kustaanheimo e Stiefel [11] [12] proposero l’introduzione diquattro coordinate, anzichè tre, trasformando così il problema di Keplero3D in un oscillatore armonico quadridimensionale.

Introduciamo prima, brevemente, la trasformazione di Levi-Civita, perpoi studiare in dettaglio la trasformazione in R3 di Stiefel-Kustaanheimo cheè il caso che ci interessa maggiormente.

Consideriamo il moto di una particella in R2 di massa m posizionata in

x =

⇢x1x2

�(3.2)

28

29

soggetta ad un potenziale del tipo �Ze2

r . La posizione della particella verràindicata dalla coordinata complessa x = x1+ix2 2 C. Le equazioni del motosono allora

¨

x+

Ze2

µ

x

r3= 0 r = |x| (3.3)

Dove il punto indica una derivata rispetto al tempo fisico t. Inoltre valel’equazione di conservazione dell’energia

µ

2

| ˙x|2 � Ze2

r= �E (3.4)

Il primo passo è quello di introdurre un tempo fittizio ⌧ che soddisfil’equazione differenziale

dt =r

cd⌧ (3.5)

Grazie alle regole di differenziazione otteniamo

d

dt= cr�1 d

d⌧

d2

dt2= c2

�r�2 d2

d⌧2� r0r�3 d

d⌧

�(3.6)

Usando queste relazioni le (3.3) e (3.4) vengono trasformate in

c2�rx00 � r0x0�

+

Ze2

µx = 0

µ

2

c2r�2|x0|2 � Ze2

r= �E (3.7)

Ora rappresentiamo la coordinata fisica complessa x come il quadrato u

2

di una variabile u = u1 + iu2 2 C

x = u

2 (3.8)

O, equivalentemente

x1 = u21 � u22 x2 = 2u1u2 (3.9)

Che in notazione matriciale può essere scritta come⇢dx1dx2

�= 2

⇢u1 �u2u2 u1

�⇢du1du2

�(3.10)

Notiamo che ogni elemento della matrice è una funzione lineare omogeneadei parametri u1 e u2. Inoltre si verifica facilmente che la matrice definita inEq(3.10) è ortogonale, infatti il prodotto scalare delle due righe si annulla, eciascuna ha norma (u21 + u22). Da ciò segue che

dx21 + dx22 = 4(u21 + u22)(du21 + du22) (3.11)

Questa proprietà è essenzialmente equivalente al fatto che la mappa definitain (3.8) è conforme. Andando ad esprimere le quantità x

0 e x

00 in funzionedi u, u0 e u

00, e sostituendole in Eq(3.7) otteniamo

2ru00+ (

Ze2

µc2� 2|u0|2)u = 0 2µc2|u0|2 = Ze2 � rh (3.12)

30CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONE DI STIEFEL-KUSTAANHEIMO

Dalle quali, con semplici passaggi algebrici giungiamo a

u

00+ !2

u = 0 (3.13)

Che rappresenta l’equazione di un oscillatore armonico in 2 dimensioni.É estremamente interessante come, grazie ad una trasformazione, siamo

passati dal problema di Keplero all’oscillatore armonico, sistemi apparente-mente molto differenti ma che hanno delle profonde analogie, sono infattientrambi massimamente superintegrabili, e presentano orbite chiuse. Inol-tre, in meccanica quantistica entrambi condividono una degenerazione sugliautovalori di L2.

Andiamo ora a studiare la trasformazione di Stiefel-Kustaanhimo, che,come quella di Levi-Civita, ha la proprietà di linearizzare le equazioni delmoto del problema a due corpi.

A prima vista non sembra presentare grosse difficoltà generalizzare in R3

il procedimento di Levi-Civita , tuttavia,come dimostrato da Hurwitz [13],una trasformazione del tipo (3.8) può essere realizzata solo in R2, R4 edR8, attraverso matrici intimamente connesse alle regole di moltiplicazione dinumeri complessi, quaternioni, ed ottunioni.

Il modo migliore per regolarizzare il problema Kepleriano 3D consistenell’usare l’algebra dei quaternioni, introdotta da Hamilton [14] per studiarele rotazioni in 3D.

Dati i numeri reali ul 2 R , l = 1, 2, 3, 4 l’oggetto

u = u1 + iu2 + ju3 + ku4 (3.14)

viene chiamato quaternione u 2 U dove U indica l’insieme dei quaternioni.La somma iu2+ju3+ku4 è chiamata parte quaternionica di u, mentre u0 è lasua parte reale. In analogia al caso di R2 il quaternione u può naturalmentevenire associato al vettore u = (u1, u2, u3, u4) 2 R4.

Il coniugato ¯

u di un quaternione è definito come

¯

u = u1 � iu2 � ju3 � ku4 (3.15)

Quindi il modulo |u|2 si ottiene come

|u|2 = u u = uu =

l=4X

l=1

u2l (3.16)

Definiamo inoltre il coniugato star,introdotto da Waldvogel [15], del quater-nione u = u1 + iu2 + ju3 + ku4 come

u

?= u1 + iu2 + ju3 � ku4 (3.17)

Risulterà fondamentale la seguente proprietà, facilmente verificabile

(uv)

?= v

?u

? (3.18)

31

Il primo passaggio nella trasformazione di Stiefel-Kustaanheimo è identico alcaso in R2, sia quindi x = x1+ ix2+ jx3 2 U il quaternione, con componentek nulla, naturalmente associato al vettore posizione x = (x1, x2, x3) 2 R3.Introducendo il tempo fittizio ⌧ secondo (3.5), trasformando le equazionidel moto, e l’equazione di conservazione dell’energia, si giunge alle stesseequazioni nel caso 2D (3.7).

Consideriamo ora la mappa

x = uu

? (3.19)

Grazie alla proprietà in (3.18) abbiamo che x

?= (u

?)

?u

?= x ; quindi x è

effettivamente un quaternione con componente k nulla, può quindi natural-mente venire associato ad un vettore posizione in R3. Esprimendo u comein Eq(3.14) otteniamo

x1 = u21 � u22 � u23 + u24

x2 = 2(u1u2 � u3u4) (3.20)

x3 = 2(u1u3 + u2u4)

Che in notazione matriciale può essere scritta come

8<

:

dx1dx2dx3

9=

; = 2

8<

:

u1 �u2 �u3 u4u2 u1 �u4 �u3u3 u4 u1 u2

9=

;

8>><

>>:

du1du2du3du4

9>>=

>>;(3.21)

La trasformazione (3.19) o (3.20) è una mappa da R4 in R3, quindi la-scia un grado di libertà non determinato. Nella trasformazione di Stiefel-Kustaanheimo si usa questo grado di libertà per ereditare le proprietà con-formi della mappa di Levi-Civita, imponendo la relazione bilineare

2(u4du1 � u3du2 + u2du3 � u1du4) = 0 (3.22)

tra il vettore u = (u1, u2, u3, u4) ed il suo differenziale du. In questo mo-do la trasformazione (3.19) diventa una mappa lineare con una matrice Aortogonale, non normalizzata

A =

8>><

>>:

u1 �u2 �u3 u4u2 u1 �u4 �u3u3 u4 u1 u2u4 �u3 u2 �u1

9>>=

>>;(3.23)

Vediamo alcune importanti proprietà di questa trasformazione:

32CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONE DI STIEFEL-KUSTAANHEIMO

• Differenziando (3.19) otteniamo

dx = du u

?+ u du? (3.24)

mentre la (3.22) prende la forma di una relazione di commutazione

u du? � du u

?= 0 (3.25)

Combinando queste due relazioni otteniamo l’elegante risultato

dx = 2u du? (3.26)

Quindi la relazione bilineare (3.22) è equivalente a richiedere che lamappa tangenziale x ! uu

? si comporti come in un algebra commu-tativa

• il piano u1, u2 dello spazio parametrico R4 è mappato nel piano x1, x2dello spazio fisico R3, secondo le regole (3.9) di Levi-Civita. Quindiquesta trasformazione non è altro che una continuazione di quella diLevi-Civita

• Come nella trasformazione di Levi-Civita abbiamo che

dx21+ dx22+ dx23 = 4(u21+u22+u23+u24)(du21+ du22+ du23+ du24) (3.27)

É bene ricordare che tale relazione rimane vera solo se alla matriceche compare in (3.21) è aggiunta una riga secondo (3.22). La mappache viene usata nella trasformazione di Stiefel-Kustaanheimo è quindiconforme.

Vediamo quindi come procedere nella regolarizzazione del problema a duecorpi di Keplero 3D.

Da (3.19), derivando, e tenendo presente (3.22) otteniamo

x

0= 2uu

?0x

00= 2uu

?00+ 2u

0u

?0 r0 = u

0u+ uu

0 (3.28)

Sostituendo queste relazione nelle equazioni del moto con il tempo fittizio ⌧otteniamo

2ru?00+ (

Ze2

µc2� 2|x0|2)u?

= 0 (3.29)

Viceversa, sostituendo (3.28) nell’equazione di conservazione dell’energia ot-teniamo

2µc2|u0|2 = Ze2 � rh (3.30)

Infine possiamo eliminare il fattore non lineare |u0|2 tramite semplici passaggialgebrici, ottenendo le equazioni di un oscillatore armonico quadridimensio-nale.

u

00+ !2

u = 0 u 2 U (3.31)

33

Il risultato appena ottenuto è in perfetto accordo con il caso in 2D.La trasformazione di Stiefel-Kustaanheimo è di fondamentale importan-

za per quanto riguarda le perturbazioni al problema di Keplero, quindi, adesempio, per lo studio della stabilità del sistema solare. Noi invece la appli-cheremo all’atomo di idrogeno, per trasformare il Kernel non integrabile conun potenziale di tipo 1/r nel propagatore già risolto dell’oscillatore armonico.

Capitolo 4

Atomo d’Idrogeno

Negli anni recenti la formulazione di Feynman della meccanica quantisticaha trovato numerose applicazioni, soprattutto per quanto riguarda la fisicadelle particelle e i sistemi a molti corpi. Tuttavia, come abbiamo visto, solopochi esempi possono essere risolti analiticamente, infatti la maggior partedei problemi studiati con l’equazione di Shrodinger non sono così sempliciin termini di propagatori. Ora studiamo in dettaglio la risoluzione ”allaFeynman”, dovuta a Kleinert [16], di uno dei sistemi più semplici studiabiliin tre dimensioni: l’atomo di idrogeno.

Una definizione alternativa del Kernel, rispetto a quelle viste preceden-temente, involve lo spazio delle fasi, secondo cui abbiamo

K(xbtb;xata) =

Z xb

xa

Dx

ZDp

(2⇡)3exp

⇣i

Z tb

ta

dt�p ˙x� p

2

2m� V (x)

�⌘(4.1)

Tuttavia ci sono dei casi in cui (4.1) ed (2.8) non sono equivalenti, adesempio se la massa della particella m non è costante ma piuttosto unafunzione dello spazio m(x). Ma nel caso in questione non incontriamo questadifficoltà.

Eseguiamo ora il primo passo della trasformazione di Stiefel-Kustaanheimo,parametrizziamo quindi il cammino x(t) non in termini del tempo reale fi-sico, ma usando il nuovo parametro ⌧ definito da (3.5). Dopo aver eseguitoquesto cambiamento di coordinate (4.1) diventa

K(xbtb;xata) =

ZDx(⌧)

Dp(⌧)

(2⇡)3exp

⇣i

Z ⌧b

⌧a

d⌧ px

0 � rH(p,x⌘

(4.2)

Il tempo iniziale ta e quello finale tb sono fissi, mentre i parametri ⌧a e ⌧b sonodipendenti dal cammino, dobbiamo quindi inserire in (4.2) la condizione

tb � ta =

Z ⌧b

⌧a

r d⌧ (4.3)

34

35

usando la delta di Dirac come segue

K(xbtb;xata) = rb

Z 1

⌧a

d⌧b�⇣tb � ta �

Z ⌧b

⌧a

d⌧r⌘

Z xb

xa

Dx

ZDp

(2⇡)3exp

⇣i

Z ⌧b

⌧a

�px

0 � rH(p,x)�d⌧

⌘(4.4)

Usando la rappresentazione di Fourier per la funzione delta otteniamo

K(xb, ⌧b;xa, ⌧a) = rb

Z 1

�1

dE

2⇡e�iE(tb�ta)

Z 1

⌧a

d⌧bE(xb, ⌧b;xa⌧a) (4.5)

Dove

E(xb, ⌧b;xa⌧a) =

Z xb

xa

Dx

Dp

(2⇡)3exp

⇣i

Z ⌧b

⌧a

d⌧�px

0 �HE(p,x)

�⌘(4.6)

É il propagatore di un problema ausiliario che è governato da una pseudohamiltoniana dipendente dall’energia

HE(p,x) = r

�H(p,x)� E

�(4.7)

Dove il movimento avviene lungo un tempo fittizio ⌧ . In altre parole HE èl’operatore coniugato al parametro ⌧ e genera traslazioni infinitesime lungol’asse ⌧ .

Applichiamo la trasformata di Fourier a (4.5); in questo modo, applican-do la formula di Feynman-Kac, possiamo trovare gli autovalori dell’energiasemplicemente analizzando i poli di

K(xb,xa|E) = rb

Z 1

⌧a

d⌧bE(xb, ⌧b;xa⌧a) (4.8)

Dove è il propagatore dato dall’integrale

E(xb, ⌧b;xa⌧a) = eie2(⌧b�⌧a)

ZDx

Dp

(2⇡)3exp

⇣i

Z sb

sa

ds�px

0 � rp2

2m� rE

�⌘

(4.9)Cambiamo coordinate, come visto nella trasformazione di Stiefel-Kustaanheimo,dove abbiamo che

dx = Adu (4.10)

Dove dx = (dx1, dx2, dx3, dx4), du = (du1, du2, du3, du4) mentre A è la ma-trice definita in (3.23). Come cambiano i momenti coniugati? Chiaramentevogliamo che la trasformazione sia canonica quindi, secondo il teorema diLouville [17] il volume dello spazio delle fasi deve rimanere invariato, per leproprietà viste nel capitolo 3 abbiamo che

p =

1

4rApu (4.11)

36 CAPITOLO 4. ATOMO D’IDROGENO

infatti, in questo modo l’elemento di volume nello spazio dei momenti è datoda

d4p =

1

16r2d4pu (4.12)

Prima di poter scrivere il Kernel (4.8) in termini dell nuove variabili dobbia-mo trovare un modo di inserirci la coordinata x4 senza alterare il risultatofinale.

Ciò può essere fatto considerando cheZ

Dx4Dp42⇡

eiRd⌧p4x0

4= �(x4(⌧b)� x4(⌧a)) (4.13)

Che rappresenta il propagatore di una particella che si muove con un Hamil-toniana nulla. Integrando in dx4 otteniamo

Z 1

�1dx4(sb)

ZDx4

Dp42⇡

eiRd⌧p4x0

4= 1 (4.14)

Possiamo ora inserire moltiplicativamente questo fattore in (4.9). Tuttavia(4.14) rimane valida anche nel caso di un propagatore con un Hamiltonianadel tipo H =

r p242m .

Possiamo ora riscrivere (4.9) come

E(xb, ⌧b;xa⌧a) =

Z 1

�1dx4(sb)e

ie2(sb�sa)Z xb

xa

DxDx4

ZD3

p

(2⇡)3Dp42⇡

exp

⇣i

Z sb

sa

ds⇣px

0+ p4x

04 �

rp2

2m� rp24

2m� rE

⌘⌘(4.15)

Cambiando le coordinate e i momenti come in (4.10) e (4.11) riscriviamo ilpropagatore come

E =

1

16r2b

Zdx4(sb)e

ie2(sb�sa)Z

DuDpu(2⇡)4

exp⇣i

Z sb

sa

ds(puu0� p2u

2m�u2E)

⌘

(4.16)Dove il fattore 1

16r2bderiva dal fatto che eseguiamo un’integrazione in più

sullo spazio dei momenti rispetto a quelle sullo spazio delle coordinate, datoche non eseguiamo l’integrazione su xN+1 = xb essendo la coordinata fissatadel punto finale. Inserendo (4.16) in (4.8) otteniamo

K(xb,xa|E) =

1

16rb

Z 1

⌧b

d⌧bE (4.17)

Notiamo la profonda somiglianza con il propagatore dell’oscillatore armonicoquadridimensionale, l’unica importante differenza che notiamo è l’integrale

37

nella variabile dx4 che può essere svolto usando coordinate sferiche, ese-guendo quindi il cambiamento di coordinate (u1, u2, u3, u4) ! (r, ✓,�,↵).Abbiamo quindi che

Z 1

�1

dx4(sb)

r=

Z 1

�1d↵b =

Z 4⇡

0d↵b

X

↵b!↵b+2⇡n

(4.18)

Grazie a quanto visto nelle sezioni precedenti, possiamo svolgere il propaga-tore dell’oscillatore armonico, e integrare come visto in (4.18) ottenendo

K(xb,xa;E) = �m

p20

1X

n=0

1

1� ⌫n

Z 2⇡

0d↵b

⇣r p08n n1 n2 n3 n4(ub)

⌘⇣ p08n ?n1 n2 n3 n4

(ua)⌘

(4.19)Dove abbiamo che ⌫ = (

me4

2E )

1/2 e p0 = (�2mE)

1/2 (per i dettagli del calcolodell’integrale si veda [18]).

In questa somma possiamo facilmente riconoscere i poli, che sono situatiad energie En = �me4

2n2 , mentre i residui rappresentano le funzioni d’ondaespresse in numeri quantici diversi da quelli convenzionali.

Bibliografia

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