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Lezione 18

•Lagrangiane dei campi fondamentali

•Matrice S (cenni)

•Diagrammi di Feynman (cenni)

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Matrice S (cenni)Prendiamo l’interazione seguente:

1 + 2 3 + 4

in cui le particelle 1 e 2 spariscono creando le particelle 3 e 4. La matrice S descrive la probabilità che tale interazione avvenga, connettendo lo stato iniziale di due particelle libere 1 e 2 allo stato finale di due particelle libere 3 e 4:

< F | S | I > = < (t=) | S | (t=-) >= < 1 2 | S | 3 4 >

Il diagramma di Feynman è un modo grafico di rappresentare un determinato processo e presenta al tempo stesso diversi vantaggi: 1) la visualizzazione grafica dell’interazione; 2) l’associazione rigorosa ad ogni elemento del grafico di una quantità matematica che consente di calcolare direttamente l’ampiezza di probabilità (gambe esterne = particelle iniziali e finali; vertici = costanti di accoppiamento; gambe interne = propagatori = particelle scambiate nell’interazione)

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Regole per costruire un grafico di Feynman ELEMENTI FONDAMENTALI

Spazio-tempo: ogni punto del foglio rappresenta un “evento”, cioè un puntodello spazio-tempo (tempo in ascissa e spazio in ordinata)

tempo

spazioxP

tP

P=(xP, tP)

Linee: uniscono tra loro punti dello spazio-tempo, rappresentano particelle reali o virtuali, possono essere bosoni o fermioni, esterne o interne

Vertici: sono i punti dello spazio-tempo in cui avviene l’interazione; in essi deve esserci conservazione di energia, impulso e carica elettrica e numero fermionico N.B. Poichè l'interazione minimale campo fermionico - campo e.m. è descritta dal termine visto prima , ciò significa che in un vertice potranno interagire due campi fermionici e un campo e.m. cioè due fermioni (o fermione-antifermione) e un fotone rispettando le suddette leggi di conservazione.

μμ Aψγψ q

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Linee esterne: rappresentano le particelle reali entranti e uscenti nella

reazione, cioè le particelle rivelabili; se sono entranti, si propagano libere

fino a un punto in cui avviene l’interazione (vertice); se sono uscenti, si

propagano a partire dal vertice in cui sono prodotte.

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua)

e+

e-

vertice

e-

e+

Alla linea esterna è associato un operatore di creazione o distruzione

di una particella (fermionica o bosonica) con un certo quadrimpulso.

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Linee interne: rappresentano le particelle virtuali (cioè non rivelabili) che

mediano l’interazione; uniscono il vertice nel quale interagiscono le

particelle iniziali e il vertice nel quale vengono prodotte le particelle finali.

e+

e- e-

e+

Regole per costruire un grafico di Feynman (continua)

Alla linea interna è associato un’espressione matematica detta

propagatore, che è caratteristica del tipo di particella scambiata

(propagatore fermionico o bosonico).

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Elettrone e positrone: sono rappresentati da linee orientate che rappresentano il

verso di propagazione nel tempo. Se la freccia è orientata come la freccia del

tempo, allora la linea rappresenta un elettrone, altrimenti rappresenta un positrone.

Una freccia elettronica non può mai scomparire in un vertice: sarebbe come se scomparisse un’ unità di numero fermionico (ricorda che un elettrone non può scomparire). Pertanto in qualunque vertice deve esserci una continuità della freccia della linea fermionica.

Regole per costruire un grafico di Feynman(continua)

e+

e-

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Fotone: il fotone è rappresentato con una linea ondulata. Può essere una

particella reale iniziale o finale oppure una particella virtuale mediatrice

delle forze e.m. Nel grafico vediamo un fotone che parte dal punto x1 al

tempo t1 e arriva nel punto x2 al tempo t2, cioè si propaga nello spazio-

tempo dal punto (x1, t1) al punto (x2, t2).

Regole per costruire un grafico di Feynman(continua)

8

Bosoni W± e Z0 : sono i mediatori delle interazioni deboli. Anch’essi, come il

fotone sono rappresentati da linee ondulate.

Attenzione: mentre lo Z0 si comporta esattamente come un fotone pesante,

cioè lascia inalterata la carica elettrica della particella che lo emette, al

contrario il W+ o il W- si portano via un’unità di carica elettrica (positiva o

negativa). (e) e-

Z0Z0

(e)

W+

ee- e-

Regole per costruire un grafico di Feynman(continua)

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Prendiamo ad esempio un elettrone che emette un fotone per interagire

con un’altra particella. Esso rimarrà sempre un elettrone. Pertanto nello

spazio-tempo avremo una freccia che si propaga da sinistra verso destra.e e’

Prendiamo invece un’ annichilazione e+ e- dalla quale viene prodotto un

fotone. In tal caso avremo una freccia diretta verso i tempi crescenti (e-) e

una diretta verso i tempi decrescenti (e+), in modo che nel vertice di

emissione del fotone vi sarà continuità della freccia fermionica.

e+

e-

Regole per costruire un grafico di Feynman(continua)

t

10

Prendiamo invece un’interazione tra un fotone e un elettrone, come

avviene ad esempio nella diffusione Compton nella quale un fotone

incide su un elettrone e ne viene assorbito. Anche in tal caso abbiamo

continuità della linea fermionica nel vertice di interazione.

e-

e-

Regole per costruire un grafico di Feynman(continua)

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Vertice: il vertice rappresenta il punto dello spazio-tempo nel quale ha

luogo l’interazione. In esso convergono tre linee, di cui due

rappresentano particelle reali e la terza rappresenta la particella virtuale

che serve a mediare l’interazione. Al vertice è associata una costante di

accoppiamento che quantifica l’intensità dell’interazione. Ad esempio,

nel caso dell’interazione e.m. questa costante è = 1/137, la costante

di struttura fine.e e’

Regole per costruire un grafico di Feynman(continua)

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Con alcune semplici regolette è pertanto possibile calcolare l’ampiezza

di probabilità di un processo, tracciando i diagrammi di Feynman

attraverso cui si può realizzare tale processo e associando ai vari

elementi del diagramma la loro espressione matematica.

Vediamo qualche esempio di reazione.

Regole per costruire un grafico di Feynman(continua)

13

Grafici di Feynman DIFFUSIONE COMPTON e e

e-

’

e- Un elettrone reale emette un fotone reale

in P, trasformandosi in elettrone virtuale e

quindi ridiventa reale assorbendo un

fotone reale in Q. Questo se: P(x1,t1)

Q(x2,t2)

e-

’

e-

P(x1,t1)

Q(x2,t2)

t2 > t1

Altrimenti, un fotone reale emette un

elettrone reale e un antielettrone virtuale in

Q, e quest’ ultimo interagisce con un

elettrone reale in P emettendo un fotone

reale. Questo se:

t1 > t2

t

t

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Grafici di Feynman (continua)DIFFUSIONE COMPTON (continua) e e

In realtà la sezione d’urto della diffusione Compton sarà ottenuta

integrando su tutto lo spazio-tempo, cioè eseguendo la trasformata di

Fourier nello spazio degli impulsi e questo ci permetterà di usare il

Formalismo degli operatori di creazione e distruzione.

e-

e’

k

p

p’

k’

p- k’

’

e

p

k k’

p’

k+p

e’

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Grafici di Feynman (continua)DIFFUSIONE MØLLER ELETTRONE-ELETTRONE e- e- e- e- o e+ e+ e+ e+

e-

p

e-

p’

kk’

e- e-

Un elettrone reale di impulso p emette un fotone virtuale, trasformandosi in un elettrone reale di impulso p’. Il fotone virtuale viene assorbito da un elettrone reale di impulso k che acquista l’impulso k’.

ANNICHILAZIONE e+ e- e+ e-

p

k

p’

k’e+

e-

e-

e+

Un elettrone e un positrone reali si annichilano producendo un fotone virtuale, che si rimaterializza in un elettrone e in un positrone reali.

k- k’

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†

†positiva energia di elettrone uncrea

positivaenergia di positrone un distrugge negativa energia di elettrone uncrea

positivaenergia di positrone uncrea negativa energia di elettrone un distrugge

positivaenergia di elettrone un distrugge

)p(b

)p(d

)p(d

)p(b

(x)ψ(x)ψe)p(u)p(be)p(v)p(dpd (x)ψ

(x)ψ(x)ψe)pv()p(de)pu()pb( pd(x)ψ

xipxip3

xipxip3

†

†

Ricordiamo che avevamo così sviluppato i campi e :

Pertanto il termine di interazione può essere così riscritto:

μ

μμ

μ

μμ

μμ

μμ

μμ

A(x)ψγ(x)ψA(x)ψγ(x)ψ

A(x)ψγ(x)ψA(x)ψγ(x)ψ

A(x)ψ(x)ψγ(x)ψ(x)ψAψγψ

q q

q q

q q

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Ciascuno dei quattro termini della somma corrisponde ad una precisa situazione fisica:

0 Econ elettrone un distrugge

0 Econ positrone un distrugge q

μ

μ A(x)ψγ(x)ψ

0 Econ positrone uncrea

0 Econ elettrone uncrea q

μ

μ A(x)ψγ(x)ψ

0 Econ positrone uncrea

0 Econ positrone un distrugge q

μ

μ A(x)ψγ(x)ψ

0 Econ elettrone un distrugge

0 Econ elettrone uncrea q

μ

μ A(x)ψγ(x)ψ

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In particolare avendo definito di indicare nello spazio degli impulsi l'emissione di un positrone a energia positiva come l'assorbimento di un elettrone a energia negativa, cioè:

e+ = e-

e+ = e-

i quattro grafici di prima diventeranno:

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SCATTERING MOLLER e- e- (o e+ e+ )

I processi del primo ordine (così detti perchè vi è solo un vertice di interazione) esaminati prima non possono mai verificarsi se le tre particelle coinvolte sono tutte e tre reali, in quanto non sono soddisfatte le leggi di conservazione di energia e impulso. Essi possono verificarsi solo se si combinano tra di loro o se il fotone emesso è virtuale in quanto viene poi riassorbito da un campo esterno (come ad esempio un nucleo). Un processo del secondo ordine (cioè con due vertici di interazione) è lo "scattering" (diffusione) Møller e-e- e-e- (si può avere anche lo scattering Møller e+e+ e+e+). Per l'indistinguibilità dei due fermioni, se pi e pi' sono i quadri-impulsi delle particelle nello stato iniziale e pf e pf' quelli dello stato finale, i due diagrammi che contribuiscono alla sezione d'urto di tale scattering sono i seguenti:

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Limitiamoci al primo dei due diagrammi. Lo stato iniziale e lo stato finale sono composti da due fermioni, pertanto essi potranno essere espressi come:

| I > = b† (pi) b† (pi') | 0 > | F > = b† (pf) b† (pf') | 0 >

I vertici di interazione saranno due, uno localizzato nel punto x1 dello spazio tempo e l'altro nel punto x2, e l'interazione è descritta dai seguenti due termini della lagrangiana:

μ2

μ2

μ22μ

22μ2μ

2

ν1μ

1

ν11ν

11ν1ν

1

A)(xψγ)(xψ

A)(xψ)(xψγ)(xψ)(xψA)(xψγ)(xψ

A)(xψγ)(xψ

A)(xψ)(xψγ)(xψ)(xψA)(xψγ)(xψ

-

-

-

-

e

e

e

e

N.B. In un prodotto di operatori si intende che tutti gli operatori di distruzione devono essere applicati a destra e quelli di costruzione devono essere applicati a sinistra. Il prodotto di operatori ordinati nel modo suddetto è detto "prodotto normale" ed è indicato così:

] N[ )(xψ)(xψ 11

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L'elemento di matrice sarà dato da:

Nel prodotto di più campi fermionici, quando dobbiamo invertire due campi tra loro, poichè essi anticommutano, dobbiamo introdurre un segno negativo. Ade esempio nel prodotto di quattro campi fermionici (che è il nostro caso):

)(xψ)(xψ)(xψ)(xψ)(xψ)(xψ)(xψ)(xψ 21212211 -] N[

0 )(p' b )(p b '

)(p' b )(p b 0

0 )(p'b )(pb )(p' b )(p b 0

0 )(p'b )(pb )(p' b )(p b 0

ii

p con iniziale eundiedistruzion

xpi44

3

'p con iniziale eundiedistruzion

xpi222

3

ννμ

μ

p con finale eundicreazione

xpi333

3

'p con finale eundicreazione

xpi111

3ff

2

ii

p con iniziale eundiedistruzion

1

'p con iniziale eundiedistruzion

2ν

νμμ

p con finale eundicreazione

1

'p con finale eundicreazione

2ff2

ii

p con iniziale eundiedistruzion

1νν

p con finale eundicreazione

1

'p con iniziale eundiedistruzion

2μμ

'p con finale eundicreazione

2ff2

i

14

i

22

f

13

f

21

iiff

ifif

e)p(u)pb( pde)p(u)pb( pd

γAAγe)p(u)p(bpde)p(u)p(bpd

)(xψ)(xψγAAγ)(xψ)(xψ

)(xψAγ)(xψ)(xψAγ)(xψ

e

e

e

††

† †

††

††

22

Pertanto l'elemento di matrice si ridurrà a:

p u p u p' u p' u

1i1f122i2f xipi

μxipf2

μν)x(xik-4xip'i

μxip'f

2 e)(γe)(k

ge kde)(γe)(e

N.B. Il simbolo A A sta ad indicare il propagatore del fotone, un oggetto

matematico che descrive la propagazione di un fotone virtuale da un vertice all' altro. Esso è dato da (non lo dimostriamo):

2

μν)x-ik(x-4νμ k

ge kdiAA 21

x1

x2

Le relazioni di anticommutazione degli operatori b e d permettono di eliminare tutti i termini degli integrali che non abbiano p1= pf' , p2= pi' , p3= pf, p4= pi perchè deve essere:

)'k-k(δ )'k(b , )kb( 3

†

23

Quadricorrente e.m. Quadricorrente e.m.

Propagatore del fotone

Conservazione quadrimpulso totale

)ppp'p'( p u p u )pp(

1 p' u p' u

)pp( )p'p'( p u p u p' u p' u

p u p u p' u p' u

p u p u p' u p' u xdxd

ifif4

if2if

iμ

f2

if4

if4

2

μν4i

νfi

μf

2

xikxipxip1

4xik-xip'xip'2

42

μν4i

νfi

μf

2

xipi

νxipf2

μν)x-ik(x-4xip'i

μxip'f1

42

42

δ)(γ)()(γ)(

kδkδk

gkd)(γ)()(γ)(

eeexdeeexdk

gkd)(γ)()(γ)(

e)(γe)(k

ge kde)(γe)(

μ

11i1f22i2f

1i1f122i2f

e

e

e

e

Questa espressione deve essere integrata su tutto lo spazio-tempo:

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In sintesi, nel grafico

abbiamo sostituito al vertice superiore la quantità:

)(γ)( iμ

f p' u p' u

al vertice inferiore la quantità:

)(γ)( iμ

f p u p u

al propagatore del fotone la quantità:

2if )pp(

1

e abbiamo associato a ciascun vertice la costante di accoppiamento e.