IntegraliProprietà degli integrali
Area di una regione piana
Integrazione per parti
Proprietà degli integrali
Date due funzioni continue 𝑓 𝑥 e 𝑔 𝑥 e una costante 𝑐, si ha
• ∫ 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
• ∫ 𝑐 ⋅ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Le stesse proprietà valgono per gli integrali definiti, in particolare si ha
• ∫𝑎𝑏𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑎
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ∫𝑎
𝑏𝑔 𝑥 𝑑𝑥
• ∫𝑏
𝑎𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −∫
𝑎
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Integrale definito e area con segno
Attenzione! L’integrale definito determina l’area con segno! Si considerino per esempio:
න
1
4
−𝑥 𝑑𝑥 = −15
2න
0
𝜋2
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 1 න
−𝜋2
𝜋2
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 0න
−𝜋2
0
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −1
−𝜋
2
𝜋
2
Calcolo di aree
Si vuole calcolare l’area racchiusa tra i grafici delle funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) e le rette orizzontali 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, con 𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥 > 0 e 𝑔 𝑥 > 0.
𝑎 𝑏
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
Calcolo di aree
𝐴1 = න𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝐴1
𝑓(𝑥)
𝐴2 = න𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑔(𝑥)
𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑎 𝑏
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝐴2
𝐴
𝐴 = 𝐴1 − 𝐴2 =
= න𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − න𝑎
𝑏
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Calcolo di aree
Si vuole calcolare l’area racchiusa tra i grafici delle funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) e le rette verticali 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, con 𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥).
𝑎 𝑏
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)𝐴 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − න𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
= න𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Calcolo di aree
Si vuole calcolare l’area racchiusa tra i grafici delle funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) e le rette orizzontali 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, con 𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥 > 0 e 𝑔 𝑥 < 0.
𝑎 𝑏
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
Calcolo di aree
𝑎
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑏
𝐴1
𝐴2
𝐴1 = න𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝐴2 = −න𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 = න𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − න𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
= න𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Calcolo di aree
Si vuole calcolare l’area racchiusa tra i grafici delle funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) e le rette orizzontali 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, con 𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥 < 0 e 𝑔 𝑥 < 0.
𝑏𝑎𝑔 𝑥 + ℎ
𝑓 𝑥 + ℎ
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
Traslando entrambe le funzioni verso l’alto di h unità, le funzioni diventano positive e l’area può essere calcolata come
𝐴
𝐴
𝐴 = න𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥 + ℎ 𝑑𝑥 = න𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Esercizi
• Determinare l’area della regione di piano racchiusa tra i grafici delle funzioni
𝑓 𝑥 = 3 − 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 2 − 4.
න
−2
3
(𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = න
−2
3
3 − 𝑥 − 𝑥 − 1 2 − 4 𝑑𝑥 =
= න
−2
3
(−𝑥2 + 𝑥 + 6)𝑑𝑥 =125
6
• Calcolare l’area della regione di piano delimitata dai grafici delle
funzioni 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 e 𝑔 𝑥 =𝑥2
2− 𝑥 − 2. (Soluzione:
16
3)
Metodi di integrazione
Integrazione per parti:
Dal teorema fondamentale e dalla regola di derivazione del prodotto si ha la seguente formula di integrazione per parti:
• Sia 𝐹(𝑥) una primitiva di 𝑓(𝑥) e 𝐺(𝑥) una primitiva di 𝑔(𝑥)
Esempio
∫ 𝑓 𝑥 ⋅ 𝐺 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 ⋅ 𝐺 𝑥 − ∫ 𝐹 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
න ln 𝑥 𝑑𝑥 = න1 ⋅ (ln 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − න𝑥 ⋅ ln 𝑥 ′𝑑𝑥 =
= 𝑥 ln 𝑥 − න𝑥 ⋅1
𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑐
Esempio
Calcolare
න𝑥 ⋅ cos 𝑥 𝑑𝑥
න𝑥 ⋅ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ sin 𝑥 − න1 ⋅ sin 𝑥 𝑑𝑥 =
= 𝑥 ⋅ sin 𝑥 − −cos 𝑥 + 𝑐 = 𝑥 ⋅ sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑐
𝐺(𝑥) 𝑓(𝑥)
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