POLITECNICO DI TORINO

III Facoltà di Ingegneria

Relazione sperimentale

Il ponte di WheatstoneMisurazione indiretta di una resistenza

Docente

Prof. Mario Trigiante

Gruppo 6

Alberto Tibaldi

Adrien Yepdieu Yannick

Vittorio Giovara

Anno accademico 2006-2007

Capitolo 1

Finalita dell’esperienza

Con la presente relazione si intende esporre l’esperienza effettuata in labora-torio riguardante la misura di una resistenza mediante il metodo del pontedi Wheatstone. Il ponte di Wheatstone e costituito da un alimentatore aicapi di un circuito resistivo del quale ci e ignota una resistenza. Il circuitoin questione e costituito da due rami collegati tra loro da un galvanometro;tramite le leggi di Ohm e di Kirchhoff, e possibile ricavare la misura di unaresistenza incognita, effettuando una misurazione di una resistenza campionee della conseguente variazione della differenza di potenziale tra i due rami,rilevata dal sopra citato galvanometro.

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Capitolo 2

Descrizione dellastrumentazione

Il materiale a disposizione per effettuare l’esperienza e stato il seguente:

• Resistore campione ad alta precisione con preselezionatore digitale;

• Generatore di tensione continua;

• Voltmetro digitale;

• Fili conduttori con set-up a tre terminali e scala graduata;

• Insieme di resistenze incognite da misurare in piu configurazioni.

Come gia accennato il ponte di Wheatstone e composto da un generatoredi tensione continua ai capi di un circuito costituito da due rami, tra lorocollegati da un galvanometro. Su di un ramo si hanno due resistenze di valorevariabile a piacimento e dunque da considerarsi noto; queste due resistenzesono costituite da un unico filamento di sezione e resistivita costanti separateda un interruttore, che corrisponde al nodo di contatto con l’altro ramo.Invece sull’ultimo ramo si ha la resistenza incognita che intendiamo misuraree il campione di riferimento.

Gli strumenti teorici utilizzati al fine di determinare una misura dellaresistenza sono le gia citate leggi di Ohm e di Kirchhoff. Quelle di Ohm inrealta non sono vere e proprie leggi, in quanto applicabili esclusivamente aduna ristretta classe di resistori ideali (detti per l’appunto ohmici), poiche sicomportano secondo le suddette relazioni; nell’esperienza vengono studiatioggetti approssimati a conduttori ohmici.

La prima legge di Ohm lega la differenza di potenziale con l’intensita dicorrente elettrica mediante una relazione lineare: la pendenza della retta rap-presentante la variazione di differenza di potenziale al variare dell’intensita

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di corrente descrive, per l’appunto, la resistenza opposta da un determinatooggetto al passaggio di corrente. Si usa descrivere la prima legge di Ohm conquesta formula:

∆V = R ∗ i

La seconda legge di Ohm invece lega il valore della resistenza R a treparametri: la resistivita, la lunghezza della resistenza e la sezionedella resistenza. Considerando un filamento di materiale conduttore, laresistenza che il filamento oppone al passaggio di corrente elettrica e diret-tamente proporzionale alla lunghezza del filamento e alla resistivita, mentree inversamente proporzionale all’area della sua sezione. La resistivita e unacaratteristica dipendente dal materiale di cui e composto il filamento e dallatemperatura in cui quest’ultimo si trova; considereremo, nella nostra espe-rienza, temperatura costante e pari a quella dell’ambiente e non terremoconto quindi della resistivita variabile. Si usa rappresentare la seconda leggedi Ohm con questa formula:

R = ρ lA

dove ρ e la resistivita, l e la lunghezza della resistenza e A la sezioneattraverso cui scorre la corrente elettrica.

A questo punto, prima di introdurre le leggi di Kirchhoff, e necessario in-trodurre alcuni concetti fondamentali utili ai fini della comprensione: ramo,nodo, maglia.

• Il ramo e un collegamento di due o piu elementi circuitali attivi opassaivi in un circuito;

• Il nodo e un punto in cui almeno tre rami convergono. Abbiamo unnodo entrante e un nodo uscente: e entrante quando la corrente si sep-ara in altri due o piu rami, e uscente quando piu correnti si riunisconoin un unico punto, che sarebbe per l’appunto il nodo uscente;

• La maglia e un insieme di due o piu rami, collegati da un nodo, cheformano un cammino chiuso; una maglia di fatto sarebbe dunque uncircuito chiuso di una rete elettrica in cui, partendo da un nodo, sitorna allo stesso senza mai attraversare uno stesso ramo due volte.

Le leggi di Kirchhoff descrivono le proprieta di circuiti elettrici in cui epossibile trascurare i tempi di propagazione dei segnali e in cui differenza

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di potenziale e intensita di corrente elettrica sono dunque ben definiti perogni punto del circuito. La prima legge di Kirchhoff si riferisce ai nodi eafferma che, considerando una superficie chiusa che attraversi un circuitoelettrico e racchiuda il nodo in esame, il flusso totale di corrente uscente datale superficie deve essere nullo affinche l’elettricita non si accumuli ne vengasottratta al nodo stesso. In altre parole, dato un circuito in cui e presente unnodo, la somma algebrica delle intensita di corrente del nodo entrante deveessere uguale alla somma delle intensita di corrente del nodo uscente.

Infine la seconda legge di Kirchhoff riguardante le maglie afferma che, datauna maglia e fissato un verso di percorrenza all’interno di essa, la sommatoriadelle differenze di potenziale di tutta la maglia e nulla. Le relazioni si possonoallora esprimere come:

∑r ir = 0

∑s fs =

∑s Rsis = 0

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Capitolo 3

Descrizione dell’esperienza

Sapendo che il ponte di Wheatstone alimentato da una differenza di poten-ziale pari a V0, si identifica la resistenza incognita (collegata ad una resistenzatotale R1 + R2) con Rx e che R0 e a contatto con R1, Rx con R2; per poter ef-fettuare la misura, e necessario far sı che la differenza di potenziale tra i nodiA e B sia nulla e, di conseguenza, anche l’intensita di corrente attraversanteil galvanometro sia nulla. A queste condizioni il ponte viene detto bilanciato.

Mediante le leggi di Kirchhoff, cerchiamo di interpretare in termini matem-atici la condizione di ponte bilanciato; considerando dunque il ponte conI3 = 0 si ottiene:

Maglia ABEC : R1I1 −R0I0 = 0Maglia ABFD : R2I2 −RxI4 = 0Nodo A : I0 − I4 = 0Nodo B : I1 − I2 = 0

Mediante il cursore, e possibile variare il valore delle resistenze R1 ed R2:cio che si intende ottenere e un valore indiretto della Rx mediante la relazioneprima trovata. Si osserva dalle equazioni precedentemente illustrate che lasituazione di equilibrio si ottiene quando il voltmetro segnala differenza dipotenziale nulla tra A e B. In tal caso, Rx coincidera con il valore di R0 equindi si potra attribuire a Rx una misura.

Per quanto riguarda la determinazione dell’errore sulla misura di Rx, verraeffettuato uno studio sull’incertezza in caso di ponte sbilanciato mediantele relazioni precedentemente illustrate: sbilanciando ∆V tra i nodi di ±1mV (valori con cui intendiamo il potenziale di A rispetto a B), variandoinfinitesimamente la posizione del cursore dal centro (x1 = x2), si otterr, comeprevisto, una variazione nella misura della resistenza. In caso di esperienzariuscita, si arriva a determinare un errore sulle resistenze non maggiore al 5%

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sulla misura a ponte bilanciato. Per determinare la misura della resistenzaincognita Rx, si osserva che:

Rx = R2I2I4

I4=I0−→ R2I2I0

I0=R1I1R0−→ R2I2R0

R1I1

I1=I2−→ R0R2

R1

Ma poiche

R1 = ρ(a−x)S

allora

R2 = ρxS

Il risultato che risultera utile al fine di determinare una misura dellaresistenza sara:

Rx = R0R2

R1−→ Rx = R0x

a−x

Per quanto riguarda lo studio dell’errore sulla misura (che si ricorda essereindiretta) si osservi che, studiando la derivata in funzione di x della funzionedRx, si verifica che:

dRx = ∂Rx

∂xdx = R0a

(a−x)2

Volendo determinare l’errore relativo sulla misura Rx(x), vale

|∆Rx(x)|Rx

= aa−x

|∆x|x

Si verifica facilmente, mediante il teorema del test di monotonia di unafunzione, che per x = a la funzione presenta un punto di minimo relativo:esso sara il punto in cui l’incertezza relativa del ponte sara la minore. Lacondizione del ponte di essere in stato di equilibrio tuttavia e irrealizzabile,in quanto esistono errori sulla differenza di potenziale ∆V ; bisogna tenerdunque conto del fatto che la resistenza incognita, misurata indirettamente, efunzione di R0, X, A, VAB . Per poter ricavare l’incertezza massima, studiamo|∆Rx|:

|∆Rx| = |∂Rx

∂R0||∆R0|+ |∂Rx

∂x||∆x|+ |∂Rx

∂a||∆a|

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Partendo da questo studio dell’errore, e possibile ricavare una propagazionedelle incertezze in caso di ponte bilanciato o sbilanciato di un valore infinites-imo∆V; poiche il ponte e bilanciato, ∆V = 0 tra i nodi A e B, quindi:

∂Rx

∂R0= x

a−x

∂Rx

∂x= R0a

(a−x)2

∂Rx

∂a= − R0x

(a−x)2

Studiando dunque l’errore data la condizione di ponte bilanciato, si otten-gono le relazioni appena trovate; sostituendole nelle espressioni dell’incertez-za massima e dividendo per la funzione della resistenza incognita in base aivalori prima citati, Rx = Rx(R0, x, a, VAB), si ottiene la seguente formula:

|∆Rx

Rx| = |∆R0

R0|+ a

(a−x)(|∆x

x|+ |∆a

a|)

Si vuole, a questo punto, dopo aver introdotto un’espressione rappresen-tante la propagazione dell’incertezza in caso di ponte bilanciato, quantificarel’errore in caso di ponte leggermente sbilanciato, ossia in cui ∆VAB sia nonnulla. Sara necessario riformulare tutto partendo dalle considerazioni fattesul circuito mediante le leggi di Kirchhoff: riapplicando tali leggi, si ottiene,con una differenza di potenziale tra i nodi A e B, che:

Maglia AEBC : R0I0 = R1I1 −∆VAB

Maglia ABFD : RxI4 = R2I2 + ∆VAB

Nodo A : I0 = I4 + I3

Nodo B : I2 = I1 + I3

Da qui si puo ricavare una formulazione dell’errore in caso di pontesbilanciato, mediante le seguenti osservazioni:

Rx

R0= I0

I4

R2I2+∆VAB

R1I1−∆VAB−→ (1 + I3

I4)

R2(I1+I3+∆VAB

R2

R1(I1−∆VABR1

Poiche I3 (l’intensita di corrente elettrica tra i nodi A e B) si puo riteneretrascurabile (in quanto il ponte e solo minimamente sbilanciato) e la ∆V equasi nulla, e possibile riesprimere la formulazione precedente, esplicitandoR0, Rserie, Rparallelo, e ∆VAB = (R1 + R2)I1, con la seguente:

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|∆Rx(VAB)|Rx

= a2∆VAB

x(a−x)V0

Al fine di quantificare l’errore a ponte sbilanciato, sara possibile sbilan-ciare il ponte in modo tale da ottenere una minima variazione del potenzialetra i nodi A e B e poter stimare l’errore mediante la definizione di derivataparziale della resistenza Rx rispetto a ∆VAB come limite del rapporto in-crementale; a tal scopo si utilizzano valori del potenziale molto vicini traloro, ottenendo cos una discreta approssimazione. La valutazione dell’errorea ponte sbilanciato e stata dunque effettuata mediante il semplice rapportoincrementale con la formula:

∂Rx

∂VAB= R+

x−R−xV +

AB−V −AB

−→ (R+x−R−x )∆VAB

V +AB−V −ABRx

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Capitolo 4

Esecuzione dell’esperienza eanalisi dei dati

Basandosi su di un valore campione di resistenza R0, si effettua una misuradella distanza da E del cursore, fino a quando si e rilevata una distanza x taleper cui il valore della ∆V del voltmetro e nulla. Basandosi sulla relazionericavata in precedenza:

Rx = R0xa−x

Si attribuisce dunque in questo modo a Rx una misura; per valutare l’in-certezza massima sulla misura a ponte bilanciato si usa la relazione:

|∆Rx| = |∂Rx

∂R0||∆R0|+ |∂Rx

∂x||∆x|+ |∂Rx

∂a||∆a|

Infine, per valutare l’incertezza a ponte sbilanciato, si effettuano mis-urazioni mediante la formulazione precedentemente introdotta, misurando leresistenze con il ponte sbilanciato di ±1mV , mediante il rapporto incremen-tale

∂Rx

∂VAB= (R+

x−R−x )∆VAB

V +AB−V −ABRx

Procedendo in questo modo, e infine considerando l’incertezza massimaassoluta come la somma delle incertezze a ponte bilanciato e a ponte sbilianci-ato di ∆V = 2 mV, per poi moltiplicare per Rx, sono stati ottenuti i seguentidati:

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Tabella 4.1:R0(Ω) Rx(Ω) Err. Bil. Err. Sbil. Err. Tot. Err. %

R1 70 97 2 1 3 3,092784R2 70 96 2 1 3 3,125R3 70 97 2 1 3 3,092784R1 Parallelo R2 70 48 1 1 2 4,166667R1 Parallelo R2 Parallelo R3 70 32 1 0 1 3,125R1 Serie R2 70 196 4 2 6 3,061224R1 Serie R2 Serie R3 70 298 7 2 9 3,020134R1 Serie R2 Parallelo R3 70 147 3 2 5 3,401361

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