Relazione: Il ponte di Wheatstone

Relazione di laboratorio 16/05/2007 e 23/05/2007

del corso di Fisica generale IIprof. Trigiante

IL PONTE DI WHEATSTONE

1. Relazione di G. Signorile, C. Stefanucci, P. Tonelli, B. M. Toukam, N. Yadini

OBIETTIVI DELL’ESPERIENZA IN LABORATORIO

MATERIALE UTILLIZZATO- Resistenze incognite: scatola con tre resistenze incognite dotate di interruttori che

permettevano di realizzare i collegamenti in serie e in parallelo.

- Voltmetro digitale: strumento usato per calcolare la differenza di potenziale ai capi

del circuito con una precisione di 0,001 V.

- Generatore: generatore di tensione continua usato per alimentare il circuito.

- Resistore campione: una resistenza campione variabile con un preselezionatore

digitale di elevata precisione.

- Filo conduttore: un filo conduttore dotato di una scala graduata e un set-up a tre

terminali che ricopriva il ruolo della resistenza variabile nel ponte.

DESCRIZIONE DELL’ESPERIENZAL’esperienza di laboratorio consisteva nel montaggio del ponte di Wheatstone e nella

raccolta dei dati in differenti situazioni in cui le resistenze fornite venivano collegate

in modo diverso, in parallelo e in serie.

1) Montaggio del ponte di Wheatstone e calcolo delle resistenze

Per prima cosa abbiamo seguito lo schema elettrico a nostra disposizione (vedesi

copertina) per sapere come collegare correttamente i vari strumenti a nostra

disposizione con i relativi cavi elettrici. Accertatici del funzionamento corretto del

dispositivo siamo passati alle prime misurazioni delle tre resistenze che avevamo a

disposizione. Dapprima abbiamo inserito come resistenza incognita Rx la prima


Le due esperienze di laboratorio si proponevano di osservare il funzionamento del ponte di

Wheatstone per raggiungere sostanzialmente le seguenti conclusioni:

- La misura di diverse resistenze incognite nella situazione in cui il ponte era bilanciato.

- La verifica delle leggi che correlano le resistenze in serie e in parallelo.

- L’analisi dei dati e la valutazione degli errori cercando di ottimizzare l'incertezza.

resistenza RA e abbiamo cercato di calcolarci il suo valore in ohm. Per farlo abbiamo

scelto una prima resistenza R0 e abbiamo visto scorrendo sul filo con l'apposito

supporto in che punto x il ponte si bilanciava ossia quando il voltmetro segnava una

differenza di potenziale nulla (per approfondimenti vedere pag. 15). Stando attenti a

non commettere errori di parallasse abbiamo riportato il punto x segnato sulla scala

graduata e applicando l'apposita formula abbiamo stimato il valore della resistenza in

questione. Ovviamente tale valore è soggetto a un'incertezza ma il calcolo degli errori

è stato rimandato in un secondo momento. Quello che abbiamo tentato di fare è stato

di migliorare la stima della resistenza calcolata cercando di bilanciare il ponte

sempre più nei pressi del centro del filo. Per fare questo abbiamo scelto diverse

resistenze R0 e abbiamo ripetuto le misurazioni per due-tre volte. Infine abbiamo

posizionato il cursore esattamente al centro e abbiamo visto a quale valore il ponte si

bilanciava. Confrontando i due valori (quello con il ponte bilanciato lontano dal

centro e quello in cui il ponte era bilanciato esattamente al centro) abbiamo stimato la

resistenza RA e abbiamo ripetuto lo stesso procedimento per le resistenze RB e RC.

Tutti i valori calcolati sono stati riportati nella tabella a pag. 5.

2) Calcolo delle resistenze in parallelo.

In seguito abbiamo inserito all'interno del circuito una resistenza Rx costituita dal

collegamento in parallelo delle tre resistenze in dotazione, prima solo due e poi tutte e

tre insieme spostando opportunamente gli interruttori della scatola. Anche in questo

caso abbiamo scelto diversi valori della resistenza R0 e segnata la posizione esatta in

cui il ponte si bilanciava abbiamo stimato due-tre volte la resistenza incognita.

Stimando la resistenza equivalente quando il ponte si bilanciava esattamente al centro

(che sarebbe il caso in cui l'errore è minimizzato) e abbiamo confrontato tutti i valori

ottenuti con quelli teorici che sono dati dalla seguente formula che collega tra di loro

n resistenze collegate in parallelo (per approfondimenti vedere pag. 16):


3) Calcolo delle resistenze in serie e collegamento “misto”

In seguito abbiamo eseguito le stesse identiche misurazioni del punto 2 con le stesse

modalità con l'unica differenza che in questo caso le tre resistenze a disposizione

erano collegate in serie tra di loro. I valori ottenuti sono stati ovviamente diversi dai

precedenti in accordo con la teoria. Infatti in questo caso la resistenza equivalente di

n resistenze in serie è data dalla seguente formula:

Infine il caso più generale è stato quello di scegliere Rx formata dal collegamento di

RA in serie con RB e RC che sono state collegate tra di loro in parallelo. Il

procedimento di raccolta dei dati è stato identico ai precedenti, ma in questo caso il

confronto dei valori ottenuti è stato fatto con la seguente formula ottenuta dalla

combinazione delle precedenti:

4) Calcolo delle incertezze

Per concludere l'esperienza siamo andati a calcolarci le incertezze sulle misure

ottenute per vedere se queste erano accettabili o meno confrontandole con i valori

corretti teorici e quelli dati dalla casa produttrice delle singole resistenze. Sapevamo

che il valore della resistenza Rx dipendeva da: i valori di posizione osservati, il valore

della resistenza campione R0 e dal valore dell'incertezza del voltmetro. Tutte le

incertezze a nostra disposizione erano note eccetto l'ultima. Per questo abbiamo preso

delle altre misurazioni con le seguenti modalità. Per ogni resistenza Rx calcolata nei

precedenti punti abbiamo fissato R0 =Rx e abbiamo sbilanciato il ponte di un millivolt

in positivo e in negativo spostando il cursore leggermente a destra o a sinistra della

posizione di bilanciamento. In situazione di ponte sbilanciato abbiamo calcolato la

variazione della resistenza Rx e da questa abbiamo ricavato l'incertezza della

differenza di potenziale in modo da poter concludere il calcolo dell'errore commesso

su ogni resistenza Rx.


RACCOLTA E RIELABORAZIONE DEI DATINella tabella seguente è riportato l’elenco delle misurazioni fatte scegliendo diversi

valori per il resistore campione sulle tre resistenze singole. Come si può notare dai

risultati le tre resistenze sono risultate essere uguali e questo, come vedremo, ci ha

permesso di semplificare i conti di verifica tra i dati sperimentali e i risultati teorici.

Calcolo della resistenza RA

R0 x a-x Rx = RA

10 Ω 0,897 m 0,103 m 87,1 Ω79 Ω 0,549 m 0,451 m 96,2 Ω96 Ω 0,503 m 0,497 m 97,2 Ω97 Ω 0,500 m 0,500 m 97,0 Ω

Calcolo della resistenza RB

R0 x a-x Rx = RB


Calcolo della resistenza RC

R0 x a-x Rx = RC



Nella prossima tabella sono invece stati riportati i valori calcolati delle resistenze nei

5 casi possibili (schematizzati nei disegni dei circuiti) attraverso i 4 interruttori di cui

era dotata la scatola a nostra disposizione.

Calcolo della resistenza formata da due resistenze in parallelo

R0 x a-x Rx = RA(+)RB


Calcolo della resistenza formata da tre resistenze in parallelo

R0 x a-x Rx = RA(+)RB(+)RC


( NOTA: I (+) nella tabella indicano un semplice collegamento non una somma!)


Calcolo della resistenza formata da due resistenze in serie

R0 x a-x Rx = RA(+)RB


Calcolo della resistenza formata da tre resistenze in serie

R0 x a-x Rx = RA(+)RB(+)RC


Calcolo della resistenza formata da una resistenza in serie con due in parallelo

R0 x a-x Rx = RA(+)[RB(+)RC]86 Ω 0,630 m 0,307 m 146,4 Ω140 Ω 0,513 m 0,487 m 147,5 Ω149 Ω 0,503 m 0,497 m 150,8 Ω148 Ω 0,500 m 0,500 m 148,0 Ω


Nella prossima tabella è invece riportato un elenco con i simboli di talune misurazioni

o costanti, che sono state utilizzate nei calcoli, con le relative incertezze. Nella

maggior parte dei casi tali incertezze corrispondono a quelle strumentali date dalla

sensibilità degli strumenti utilizzati.

Misurazione Simbolo Incertezza Lunghezza della resistenza del filo x 0,001 mLunghezza del filo a = 100 cm 0,001 mTensione elettrica V0 = 0,5 V 0,001 VVoltaggio misurato dal voltmetro VAB 0,001 VResistenza campione R0 1 Ω

Infine in quest'ultima tabella sono riportate le misurazioni nel caso del ponte

sbilanciato che sono state necessarie per stimare l'incertezza assoluta e relativa dei

precedenti dati sperimentali. Il valore di Rx sulla prima riga corrisponde a Rx+ ossia al

caso in cui c'era una d.d.p. positiva, nella seconda riga invece si può leggere il valore

di Rx- quando il ponte è stato sbilanciato con una d.d.p. negativa.

Resistenza RA

R0 x a-x Rx+///Rx

-

97 Ω 0,501 m 0,499 m 98,9 Ω97 Ω 0,499 m 0,501 m 98,2 Ω

Resistenza RB

R0 x a-x Rx+///Rx

-

97 Ω 0,501 m 0,499 m 98,9 Ω97 Ω 0,499 m 0,501 m 98,2 Ω

Resistenza RC

R0 x a-x Rx+///Rx

-

97 Ω 0,501 m 0,499 m 98,9 Ω97 Ω 0,499 m 0,501 m 98,2 Ω


Resistenza RA in parallelo con RB

R0 x a-x Rx+///Rx

-

97 Ω 0,501 m 0,499 m 49,0 Ω97 Ω 0,498 m 0,502 m 48,4 Ω

Resistenza RA in parallelo con RB e RC

R0 x a-x Rx+///Rx

-

32 Ω 0,496 m 0,504 m 32,0 Ω32 Ω 0,493 m 0,507 m 31,6 Ω

Resistenza RA in serie con RB

R0 x a-x Rx+///Rx

-

198 Ω 0,501 m 0,499 m 202,0 Ω198 Ω 0,497 m 0,503 m 198,8 Ω

Resistenza RA in serie con RB e RC

R0 x a-x Rx+///Rx

-

298 Ω 0,501 m 0,499 m 304,0 Ω298 Ω 0,497 m 0,503 m 299,2 Ω

Resistenza RA in serie con RB e RC in paralleloR0 x a-x Rx

+///Rx-

148 Ω 0,501 m 0,499 m 151,0 Ω148 Ω 0,498 m 0,502 m 149,2 Ω

Nel caso del ponte sbilanciato la formula utilizzata per calcolare la resistenza ignota è

stata la seguente:


ANALISI DEGLI ERRORII dati raccolti in laboratorio sono ovviamente soggetti a degli errori sperimentali che

devono essere valutati per confrontare la correttezza dell'esperienza stessa. Per far

questo abbiamo già spiegato nel primo paragrafo le modalità di esecuzione per

calcolarci le incertezze delle misure sbilanciando il ponte.

Come già detto la resistenza incognita da valutarne il valore è funzione di vari

parametri e in particolare dei seguenti:

Ne consegue che l'errore assoluto sulla singola resistenza è dato dalla seguente

relazione:

Dobbiamo dunque calcolarci le varie derivate parziali che compaiono nella formula.

Queste con semplici passaggi si ricavano le seguenti relazioni:

L'unico problema è il calcolo dell'ultima derivata che non essendo possibile farlo in

modo preciso la possiamo approssimare al seguente rapporto (le cui misurazioni sono

state prese appunto in caso di ponte sbilanciato):

Avendo tutti i dati a disposizione possiamo definire anche l'errore relativo come:


Facendo i conti singolarmente per tutti i casi con l'aiuto di excel, si ottengono i

seguenti valori degli errori assoluti sulle misurazioni effettuate:

Resistenza RA

R0 Derivata/R0 Derivata/x Derivata/a Derivata/V Err. Assoluto10 Ω 8,71 942,60 -845,51 394,21 8,8479 Ω 1,22 388,40 -213,23 394,21 1,5296 Ω 1,01 388,65 -195,49 394,21 1,3597 Ω 1,00 388,00 -194,00 394,21 1,35

Resistenza RB


Resistenza Rc


Resistenze RA e RB in paralleloR0 Derivata/R0 Derivata/x Derivata/a Derivata/V Err. Assoluto

97 Ω 0,50 218,03 -72,60 292,02 0,80 85 Ω 0,57 208,82 -75,59 292,02 0,84 46 Ω 1,04 190,81 -97,12 292,02 1,21 48 Ω 1,00 192,00 -96,00 292,02 1,18


Resistenze RA , RB , Rc in paralleloR0 Derivata/R0 Derivata/x Derivata/a Derivata/V Err. Assoluto

97 Ω 0,33 171,99 -42,82 190,82 0,54 30 Ω 1,04 124,95 -63,72 190,82 1,12 31 Ω 1,02 126,01 -63,51 190,82 1,0932 Ω 0,98 125,48 -62,11 190,82 1,06

Resistenze RA e RB in serieR0 Derivata/R0 Derivata/x Derivata/a Derivata/V Err. Assoluto

97 Ω 2,01 880,03 -587,86 1602,9 3,93 195 Ω 1,01 789,44 -397,09 1602,9 3,48 197 Ω 1,00 791,16 -396,37 1602,9 3,47 198 Ω 1,00 792,00 -396,00 1602,9 3,47

Resistenze RA , RB , Rc in serieR0 Derivata/R0 Derivata/x Derivata/a Derivata/V Err. Assoluto

97 Ω 3,05 1589,93 -1197,22 2412,45 6,04 295 Ω 1,01 1189,50 -597,13 2412,45 5,11 297 Ω 1,00 1192,77 -597,58 2412,45 5,11298 Ω 1,00 1192,00 -596,00 2412,45 5,10

Resistenza RA in serie con RB e Rc in paralleloR0 Derivata/R0 Derivata/x Derivata/a Derivata/V Err. Assoluto

86 Ω 1,70 628,20 -395,76 900,4 2,59 140 Ω 1,05 590,30 -302,82 900,4 2,19 149 Ω 1,01 603,22 -303,42 900,4 2,17148 Ω 1,00 592,00 -296,00 900,4 2,16


COMMENTO DEI RISULTATI E CONCLUSIONE

Risultato Errore percentualeRA 97 Ω 1,39 %RB 97 Ω 1,39 %RC 97 Ω 1,39 %

RA RB Parallelo 48 Ω 2,45 %RA RB RC Parallelo 31,4 Ω 3,38 %

RA RB Serie 198 Ω 1,75 %RA RB RC Serie 298 Ω 1,71 %

RA serie RB RC Parallelo 148 Ω 1,46 %

Conoscendo misura ed errore relativo possiamo confrontare tali risultati con quelli

teorici. Dapprima bisogna sottolineare il fatto che le resistenze forniteci sono di 100

Ω in base a quanto indicato dal codice a colori. Confrontiamo nella prossima tabella il

range sperimentale dei valori ottenuti con quello effettivo e

teorico. Da ricordare che anche il valore indicato dalla casa

produttrice della resistenza è soggetto a un'incertezza che è

valutata del 5% in quanto le resistenze erano fornite di una barra

d'oro.

RA RB RC

Min. Max. Min. Max. Min. Max.78,25 Ω 95, 92 Ω 84,64 Ω 99,04 Ω 62,53 Ω 94,14 Ω94,65 Ω 97,68 Ω 90,14 Ω 97,96 Ω 96,91 Ω 100,03 Ω95, 80 Ω 95,51 Ω 96,07 Ω 98,82 Ω 95,88 Ω 98,56 Ω95, 65 Ω 98, 35 Ω 95, 65 Ω 98,35 Ω 95,65 Ω 98,35 Ω

Misura indicata dalla casa produttrice:100 Ω → 95 Ω < x < 105 Ω

Da questo si deduce che i valori delle tre resistenze sono stati precisi e corretti.

Vediamo se anche nel caso in cui le resistenze erano collegate tra di loro si ha


altrettanto. Dapprima valutiamo i valori teorici con le relative incertezze (seguendo le

regole di propagazione degli errori) delle tre resistenze nei 5 casi considerati:

RA RB RC

100 ΩRA RB

ParalleloR'=R/2= 50 Ω

RA RB RC

ParalleloR'=R/3=33,3Ω

RA RB SerieR'=2R=200Ω

RA RB RC SerieR'=3R=300Ω

RA serie RB RC ParalleloR'=3/2R=150Ω

Confrontando ora tali valori con i range sperimentali si ottengono i seguenti risultati:

RA RB Parallelo RA RB RC Parallelo RA serie RB RC ParalleloMin. Max. Min. Max. Min. Max.

47,63 Ω 49,23 Ω 31,63 Ω 32,70 Ω 143,85 Ω 149,02 Ω47,38 Ω 49,07 Ω 30,11 Ω 32,34 Ω 145,29 Ω 149,66 Ω46,48 Ω 48,90 Ω 30,41 Ω 32,59 Ω 148,63 Ω 152, 97 Ω46,82 Ω 49,18 Ω 30,31 Ω 32,43 Ω 145,84 Ω 150,16 Ω47,5Ω < 50Ω< 52,5Ω 31,7Ω < 33,3 Ω< 35 Ω 142,5 Ω < 150Ω< 157,5Ω

RA RB Serie RA RB RC SerieMin. Max. Min. Max.

191,24 Ω 199,10 Ω 289,67 Ω 301,76 Ω193,88 Ω 200,83 Ω 292,26 Ω 302,48 Ω194,32 Ω 201,26 Ω 293,08 Ω 303,30 Ω194,53 Ω 201,47 Ω 292,90 Ω 303,10 Ω

190Ω < 200Ω< 210Ω 285 Ω < 300Ω< 315 Ω


In conclusione l'esperienza mostra come il ponte di Wheatstone è un ottimo

dispositivo per calcolare in modo preciso i valori di resistenze incognite. Dai dati

ottenuti si nota inoltre che il caso in cui l'incertezza sulla misura risulta essere minima

è quella in cui il ponte è bilanciato nel mezzo. Infatti con valori diversi di resistenze

campioni il ponte si bilancia più lontano dal centro e l'errore riscontrato è stato

maggiore.

APPROFONDIMENTI TEORICIIl ponte di Wheatstone (schematizzato in figura) è

un circuito con due resistori fissi, uno incognito e

uno variabile collegati come si può notare. La

resistenza variabile (nel nostro caso con il ponte a

filo) viene scelta in modo tale che il voltmetro del

circuito segni differenza di potenziale nulla: in

questo caso il ponte si dice bilanciato. Applicando

le leggi di Kirchhoff ai nodi del circuito

considerato (i nodi sono rappresentati dai pallini neri nella figura) si ricava con pochi

passaggi la proporzionalità che sussiste tra la resistenza incognita e quelle note

giungendo all'importante risultato che conoscendo R1 R2 ed R3 si può determinare con

molta precisione il valore incognito RX dalla relazione:

Ora nell'esperienza di laboratorio considerata non si è utilizzata questa formula

perché in effetti le resistenze non erano conosciute. Si può ovviare a questo

applicando una legge altrettanto importante dell'elettrologia che prende il nome di

legge di Ohm. Questa è valida per conduttori ohmici come i resistori che sono

presenti nel circuito selezionato. Questo ci permette di arrivare a una relazione di tipo

diverso in caso di ponte bilanciato che è quella che è stata utilizzata nell'esperienza ed

è stata riportata a pagina 3 e qui trascriviamo:


Ora la legge di Ohm permette di calcolare anche la relazione che sussiste tra i diversi

resistori che sono collegati tra di loro in serie o in parallelo all'interno dei circuiti.

Riscriviamo, per questo, tale legge nella seguente forma:

Dove V è la differenza di potenziale nel circuito, R la resistenza presente e I la

corrente stazionaria che ivi vi circola dal polo positivo a quello negativo.

Resistori in parallelo

In questo caso ogni resistenza è sottoposta alla stessa

differenza di potenziale quindi si ottiene la relazione:

Applicando la legge di Ohm si ha:

Resistori in serie

In questo caso in ogni resistenza circola la stessa

intensità di corrente quindi si ottiene la relazione:

Applicando la legge di Ohm si ottiene:

CURIOSITA'Il ponte di Wheatstone è un dispositivo elettrico inventato da Samuel Hunter Christie che, come abbiamo visto, permette di misurare in modo preciso il valore di una resistenza elettrica. Il suo nome proviene dallo scienziato inglese Charles Wheatstone che lo perfezionò. Nella seduta dell'11 giugno 1989 della Società di Fisica di Londra, Russel e Wright presentarono un dispositivo elettrico per valutare le formule e risolvere le equazioni basato sul ponte di Wheatstone. Tale dispositivo permette di determinare, con una manipolazione semplicissima tutte le radici reali di un'equazione algebrica di grado qualunque, purché uno dei suoi termini sia affetto dal segno negativo, il che si può sempre ottenere mediante opportuna trasformazione.

GRUPPO DI SPERIMENTAZIONE: Signorile Giovanna, Stefanucci Camillo, Tonelli Piero

Toukam Barbara Menkes, Yadini Najwa.


Relazione: Il ponte di Wheatstone

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