IL NUMERO DORO Corso di approfondimento Classe 2°TB A.S. 2004 – 2005 Prof. Roberta Michelini.
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IL NUMERO IL NUMERO D’OROD’ORO
Corso di Corso di approfondimentoapprofondimento
Classe 2°TBClasse 2°TBA.S. 2004 – 2005A.S. 2004 – 2005Prof. Roberta MicheliniProf. Roberta Michelini
IL NUMERO IL NUMERO D’OROD’ORO
NELLA NATURA E NELLA NATURA E NELL’ARTENELL’ARTE
Alessandro Cazzola – Sirio Vanelli
Il numero d’oro che è in noi
Se siete alti 1 metro e 62 centimetri e il vostro ombelico è
a un metro d'altezza da terra, allora le proporzioni del vostro
corpo sono perfette. In ogni caso provate a dividere la misura
della vostra altezza per quella del vostro ombelico: tanto più il risultato è vicino a 1,62, tanto più le proporzioni del vostro
corpo sono conformi ai canoni classici della bellezza greca.
La nascita del numero d’oro
Dietro l'idea di armonia e di perfezione, nella natura come nell'arte,
si nasconde un numero il cui valore non è esprimibile in cifre decimali
se non in forma approssimata: 1,618033...
Si tratta infatti di un numero irrazionale, o meglio di un numero trascendente
che è, con pi greco, il più celebre fra i numeri di questa specie.
La nascita del numero d’oro
E' il numero d'oro, che all'inizio del secolo scorso, il matematico americano Mark Barr propose di
indicare con la lettera greca , dall'iniziale di Fidia, il grande scultore greco che lo ebbe sempre
presente nel realizzare le sue sculture e nella costruzione del Partenone.
Il valore esatto del numero d’oro, come vedremo, è
Le originiLa scoperta del numero d'oro è
sicuramente molto anteriore alla civiltà greca. Una scoperta "empirica" avvenuta
probabilmente nella preistoria, quando l'uomo iniziò a tracciare un cerchio,
cercando poi di dividerlo in parti uguali.
Le originiIn particolare può essere stata riconosciuta
l'importanza della divisione in cinque o dieci parti: cinque come le dita della mano,
come il numero dei petali della maggior parte dei fiori o come gli elementi riconosciuti fondamentali
presso molte antiche civiltà e dieci come le dita delle due mani, come i comandamenti della Bibbia, come il numero sacro dei pitagorici.
Jacopo de' Barbari, Ritratto di Fra' Luca Pacioli, 1495.
In quest'opera compare in vari modi il numero d'oro. Alle sue spalle, ad esempio, si trova un dodecaedro
pentagonale, inoltre pollice e indice della mano sinistra formano un
rettangolo aureo, cioè il rapporto delle due dimensioni è il numero d'oro.
La piramide di Cheope
Il numero d’oro
Michelangelo - Holy Family
Le Corbusier (1887-1965)
Le Modulor
IL NUMERO D’ORO E
CABRI II
Francesca Lacchini & Alice Rosa
SEZIONE AUREA
Si dice sezione aurea del segmento AB, il segmento AC, con C compreso tra A e B,
medio proporzionale tra l'intero segmento AB e la
parte rimanente CB.
PENTAGONO STELLATO oPENTACOLO
Si disegna tracciando tutte le diagonali possibili di un
pentagono regolare fino ad ottenere una stella a 5
punte. In questa figura si ottiene all'interno della stella un secondo pentagono che a
sua volta può contenere un'altra stella e così via,
tracciando stelle e pentagoni sempre più piccoli.
LA GIRANDOLA
La girandola è ottenuta costruendo la sezione aurea sui
lati della stella.
LA SPIRALE AUREA All’interno di un rettangolo
aureo disegnare un quadrato con lato uguale al lato
minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo
aureo. Ripetere l’operazione per almeno cinque volte. Puntare il compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del
rettangolo e si tracci l’arco che unisce i gli estremi dei
due lati che formano l'angolo scelto. Ripetere l'operazione
per ogni quadrato.
Fibonacci e
il numero d'oro
Michele Ferrari - Luca Servidati
Sequenza di Fibonacci0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...
Questa è la sequenza di Fibonacci. Grande matematico nato a Pisa nel 1170, il suo vero nome era Leonardo Pisano, ma soprannominato Fibonacci perchè era il figlio di Bonaccio.
Nel 1223 a Pisa, l'imperatore Federico II di Svevia, fu ben felice di assistere a un singolare torneo tra abachisti e algoritmisti, armati soltanto di carta, penna e pallottoliere. In quella gara infatti si dimostrò che col metodo posizionale indiano appreso dagli arabi si poteva calcolare più velocemente di qualsiasi abaco.
Il test era il seguente:
"Quante coppie di conigli si ottengono in un anno -salvo i casi di morte- supponendo che ogni coppia dia alla luce un'altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?".
Come andò a finire la gara?• Un pisano, Leonardo Fibonacci, vinse la gara. • Figlio d'un borghese uso a trafficare nel Mediterraneo,
Leonardo visse fin da piccolo nei paesi arabi e apprese i principi dell'algebra, il calcolo, dai maestri di Algeri.
• I numeri della serie -la prima periodica della storia della matematica- che Leonardo Pisano usò per risolvere il problema dei conigli, sono noti ancora oggi come "numeri di Fibonacci“.
• Essi presentano alcune proprietà che permettono di costruire alcuni trucchi sconcertanti.
La sequenza di Fibonacci
• Una proprietà inaspettata collega la sequenza di Fibonacci al numero d’oro
1123 5
813 21 34
55
89
• La sequenza è la seguente:
Sequenza di
Fibonacci
11 1,0000000002 2,0000000003 1,5000000005 1,6666666678 1,60000000013 1,62500000021 1,61538461534 1,61904761955 1,61764705989 1,618181818144 1,617977528233 1,618055556377 1,618025751610 1,618037135987 1,6180327871597 1,6180344482584 1,6180338134181 1,6180340566765 1,61803396310946 1,61803399917711 1,61803398528657 1,61803399046368 1,61803398875025 1,618033989
Rapporto di due numeri consecutivi
Grafico del rapporto di due numeri consecutivi
Approssimazione del numero d'Oro attraversola successione di Fibonacci
1,56
1,58
1,6
1,62
1,64
1,66
1,68
1 4 7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
Serie1
LA SEZIONE AUREA
NELL’ALGEBRA
Matteo Favone
SEZIONE AUREA DI AB
AB = 1 AC = x sezione aurea CB = 1-x
Allora:
AB : AC = AC : CB
1 : x = x : (1-x)
x2 = 1 - x
Risolviamo l’equazione….per calcolare il valore x
della sezione aurea x2 + x - 1 = 0
Δ = 1+4 = 5
x = (-1+RADQ(5))/2 =
= 0,618033988…
(consideriamo solo la soluzione positiva!
… la sezione aurea è un segmento!)
SEZIONE AUREA E NUMERO D’ORO
phi = x/(1-x) =
= 0,61…/(1-0,61…) =
= 1,61803…
1^ PROPRIETA’:
phi = x + 1 cioè: i due numeri hanno la stessa parte decimale
2^ PROPRIETA’:
È l’unico numero positivo che ha le stesse cifre decimali del proprio reciproco:
Cioè, 1/phi = 1/ 1,61803398…= = 0,61803398…
3^ PROPRIETA’:
phi2 = phi + 1
phi3 = phi2 + phi
phi4 = phi3 + phi2
……….
Il rapporto tra due potenze successive è ancora phi.
I POLIEDRI E IL NUMERO D’ORO
Andrea Betti
Dodecaedro.
È un poliedro regolare con 12 facce pentagonali e 30 spigoli.
Piccolo dodecaedro stellato. È un poliedro non convesso con 60 facce, 90 spigoli. Su ogni faccia del dodecaedro è costruita una piramide.
Questi sono i diversi piani su cui poggiano le facce dei dodecaedri.
Verde dodecaedroRosso piccolo dodecaedro stellatoBlu grande dodecaedroGiallo grande dodecaedro stellato
Ciascun triangolo isoscele che costituisce una faccia laterale della punta delle stelle è del tipo 36°-72°-72°, quindi, se consideriamo la base unitaria, il lato obliquo equivale a phi.
Sitologia1. http://www.sectioaurea.com/2. http://matematica.uni-bocconi.it/leonardo/sezione%20aurea.htm3. http://matematica.uni-bocconi.it/leonardo/sorriso.htm4. http://www.math.it/cabri/sezaurea.htm5. http://www.benessere.com/bellezza/trucco/le_regole_di_leonardo.htm6. http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mag_02/Cap1.html7. http://webscuola.tin.it/risorse/divinaprop/opera/libellus.shtml8. http://webscuola.tin.it/risorse/divinaprop/opera/int_albero.shtml9. http://www.magiadeinumeri.it/Sezione_aurea.htm10. http://www.lettere.unimi.it/%7Esf/dodeca/piana/n2-09-00.htm11. http://web.tiscali.it/flarip/12. http://ccins.camosun.bc.ca/%7Ejbritton/goldslide/jbgoldslide.htm13. http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html14. http://www.geocities.com/capecanaveral/station/8228/15. http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_02/Cap2.html16. http://specchi.mat.unimi.it/users/specchi/esperienze/elementari/descriz_poliedri.htm17. http://www.museoinformatica.it/SITE%20FAUSTO/CULTURALE/fare%20geometria.htm18. http://mathworld.wolfram.com/Dodecahedron.html19. http://members.aol.com/dodecahdrn/Dodecahedron.html20. http://dogfeathers.com/java/stardodec.html21. http://www.math.it/cabri/sezaurea.htm22. http://home.aanet.com.au/robertw/Kepler.html23. it.wikipedia.org/wiki/Elenco_di_politopi_regolari
FINE!!!!