Giovanni ha appena preso la patente e suo padre gli presta la macchina per recarsi con gli amici in vacanza. (Il padre ha deciso di premiarlo perché ha sempre preso 10 nelle verifiche di matematica). Però gli da un avvertimento:-Mi raccomando, rispetta i limiti di velocità!

Giovanni parte con i suoi amici e notando un cartello che indica di non superare i 50 km/ora, decide di andare a 45 km/ora per rispettare l’obbligo del padre.

Dopo un’ora, l’allegra comitiva ha percorso 45 km, dopo un’ora e mezza 67,5 km, dopo due ore 90 km, dopo due ore e mezza 112,5 km, dopo tre ore 135 km.

Dopo 4 ore finisce la benzina e gli amici decidono di continuare il viaggio facendo auto stop.

Costruisci una tabella fatta di due colonne e 11 righe. La prima colonna rappresenta il tempo che trascorre.La seconda colonna rappresenta lo spazio percorso dall’auto di Giovanni.

Tempo (ore) Spazio (km)1 ora 45 km2 ore 90 km3 ore 135 km

4 ore

5 ore

6 ore

7 ore

8 ore

9 ore

10 ore

Tempo (ore)

Spazio(km)

1 ora 45 km

2 ore 90 km

3 ore 135 km

4 ore 180 km

5 ore 225 km

6 ore 270 km

7 ore 315 km

8 ore 360 km

9 ore 405 km

10 ore 450 km

Osserva i valori del tempo e i corrispondenti valori della distanza.

Quale calcolo hai svolto per ottenere i valori della colonna della distanza percorsa?

All’aumentare del tempo trascorso cosa succede alla distanza percorsa?

Se, in ciascuna riga, divido lo spazio percorso per il tempo trascorso, quale numero ottengo?

Tempo (ore)

Spazio(km)

RapportoSpazio/Tempo

1 ora 45 km 45/1=452 ore 90 km 90/2=3 ore 135 km 135/3=

4 ore 180 km

5 ore 225 km

6 ore 270 km

7 ore 315 km

8 ore 360 km

9 ore 405 km

10 ore 450 km

Sarà sempre lo stesso?

Secondo te, cosa indica?

Tempo (ore)

Spazio(km)

RapportoSpazio/Tempo

1 ora 45 km 45/1=45

2 ore 90 km 90/2=45

3 ore 135 km 135/3=45

4 ore 180 km 180/4=45

5 ore 225 km 225/5=45

6 ore 270 km 270/6=45

7 ore 315 km 315/7=45

8 ore 360 km 360/8=45

9 ore 405 km 405/9=45

10 ore 450 km 450/10=45

Il rapporto fra spazio e tempo è costante e prende il nome di

COSTANTE DI PROPORZIONALITA’

Definizioni:

Tra spazio e tempo c’è un legame che si chiama proporzionalità diretta.

La proporzionalità diretta significa che all’aumentare di una grandezza aumenta anche l’altra però mantenendo costante il rapporto tra le grandezze.

Se una grandezza raddoppia, triplica o quadruplica allora anche l’altra raddoppia, triplica o quadruplica.

TEMPO 1 2 3 4

DISTANZA 45 90 135 180

doppiotriplo

quadruplo

Ripensa ai ragionamenti e ai calcoli che hai fatto per completare la prima tabella.

Sapresti scrivere una relazione, ossia un calcolo che lega spazio percorso e tempo trascorso?

Spazio = ?

Spazio = 45 x Tempo

In generale, il legame di proporzionalità diretta si scrive:

Y = k x X

Spazio = 45 x Tempo

dove k è la costante di proporzionalità diretta

Definizioni:

È chiaro che lo spazio percorso assume valori diversi

a seconda del valore assunto dal tempo.

Il valore dello spazio dipende dal valore del tempo.

Spazio e tempo prendono perciò il nome di grandezze

variabili dipendenti.

Marco legge un volantino che indica un’offerta che riguarda la sua marca preferita di merendine. Il prezzo è molto conveniente e Marco decide di fare una grande scorta di merendine. Si reca al market e inizia a riempire il carrello del suo cibo preferito. Poi però si ferma, perché ormai il carrello non può contenerne altre e peraltro Marco dubita che sarà in grado di pagare l’importo totale della merce accumulata. Così inizia a fare un po’ di conti:

-Allora… un pacchetto di merendine costa 1,05 euro … Quindi due pacchetti costano … 2 x 1,05 … quanto fa? Ah si! 2,10 euro! E tre?

Costruisci una tabella di due colonne e 11 righe in cui la prima colonna rappresenta il numero di pacchetti di merendine e la seconda colonna il prezzo corrispondente al numero di confezioni.

N° di confezioni Spesa (€)1 confezione 1,05 €

2 confezioni

3 confezioni

4 confezioni

5 confezioni

6 confezioni

7 confezioni

8 confezioni

9 confezioni

10 confezioni

Aggiungi un’altra colonna in cui calcolare il rapporto tra Spesa e Numero di confezioni.

N° di confezioni Spesa (€)

RapportoN° conf/Spesa

1 confezione 1,05 €

2 confezioni

3 confezioni

4 confezioni

5 confezioni

6 confezioni

7 confezioni

8 confezioni

9 confezioni

10 confezioni

Cosa puoi osservare?

Si tratta per caso di grandezze direttamente proporzionali? Perché?

Tra una settimana è il compleanno di Maria e i suoi genitori prepareranno

una festa a cui parteciperanno tutti i suoi compagni di classe. Alcuni suoi

amici decidono di acquistare insieme il regalo da offrire a Maria. Si tratta di

un bellissimo Tablet in offerta speciale che costa 158 €. Gli amici sono

quattro e forse le loro paghette non sono sufficienti per acquistare il regalo.

Allora Giorgio ha un’idea:

-Coinvolgiamo anche gli altri compagni, così più siamo e meno ci costerà il

regalo a testa!

-E si! - dice Franco. - Però io non voglio farlo con le ragazze. E poi, ho già

speso parte della paghetta e non mi restano che 16,20 € …

Aiuta Giorgio e i suoi amici a capire con quanti altri compagni devono fare il regalo per rientrare nella disponibilità delle loro paghette.

Costruisci una tabella di due colonne, dove la prima rappresenta il numero di compagni e la seconda la quota spettante a ciascuno.

Che calcolo devi fare Per completare la tabella?

Ricorda che il tablet costa 158 €.

N° compagni Quota (€)

N° compagni Quota (€)

1 158 €

2 79 €

3 52,67 €

4 39,50 €

5 31,60 €

6 26,34 €

7 22,58 €

8 19,75 €

9 17,56 €

10 15,80 €

Osserva il variare dei valori della colonna rappresentante il numero dei compagni e di quelli che riguardano le quote. Cosa noti?

N° compagni 1 2 3 4

Quota 158 79 52,67 39,50

doppio triploquadruplo

la metà

Un terzo

Un quarto

Tra n° di compagni e quota c’è un legame che si chiama proporzionalità inversa.

La proporzionalità inversa significa che all’aumentare di una grandezza l’altra diminuisce.

Se una grandezza raddoppia, triplica o quadruplica allora l’altra si dimezza, diventa un terzo, un quarto.

Ripercorrendo i ragionamenti che ti hanno permesso di costruire la tabella, indica quale grandezza che hai utilizzato nei calcoli rimane costante. Aggiungi una colonna alla tabella in cui calcolare il prodotto tra n° di compagni e quota corrispondente.

N° compagni Quota (€)ProdottoN° comp * quota

1 158 €

2 79 €

3 52,67 €

4 39,50 €

5 31,60 €

6 26,34 €

7 22,58 €

8 19,75 €

9 17,56 €

10 15,80 €

La grandezza che rimane costante è il prezzo del tablet che si ottiene moltiplicando n° di persone e quota corrispondente.

La proporzionalità inversa significa che all’aumentare di una grandezza l’altra diminuisce , mantenendo costante il prodotto tra le grandezze, ossia:

Quota x n° compagni = 158

Ripensa ai ragionamenti e ai calcoli che hai fatto per completare la prima tabella.

Sapresti scrivere una relazione, ossia un calcolo che lega quota e numero di compagni?

Quota = ?

In generale, il legame di proporzionalità inversa si scrive:

Y =

Quota =

dove k è la costante di proporzionalità inversa

158

N° compagni

K

X

Leggi i seguenti racconti e costruisci per ciascuno di essi una tabella. Indica poi se si tratta di proporzionalità diretta o inversa.

Barbara deve preparare una torta per il compleanno. La ricetta indica che servono 200 grammi di farina, 150 grammi di zucchero, 4 uova, un bicchiere di latte e una bustina di lievito. Tale ricetta è per 6 persone. Barbara ha invitato tutti i suoi 43 amici, ma alcuni di loro non hanno ancora confermato. Non vorrebbe sprecare la torta facendone una troppo grande. Peraltro si rende conto di non avere uova a casa e pertanto deve uscire per comprarne. Aiuta Barbara a capire quante uova deve comprare a secondo del numero di partecipanti alla festa di compleanno.

Un contadino deve recintare diversi suoi poderi che sono tutti quadrati. Sappiamo che il primo ha un lato di lunghezza 10 m, il secondo 13 m, il terzo 20 m e l’ultimo 32 m. Quanta recinzione deve comprare il contadino per ciascuno dei suoi poderi? Generalizza il ragionamento costruendo una tabella.

In una classe sono seduti ai loro posti 10 alunni. In realtà gli alunni sono 21 e oggi mancano 9 studenti. La classe ha una superficie di 45 mq. Calcola quanta superficie è a disposizione di ciascuno alunno. Generalizza il ragionamento considerando un numero di alunni che varia giorno per giorno in base al numero degli assenti.

Federico ha compiuto da poco gli anni. Sua mamma ha realizzato una torta per 20 persone perché il figlio le aveva detto che avrebbe invitato al più 16 compagni. Federico però ha invitato i suoi amici tramite Facebook scrivendo il seguente messaggio sulla sua bacheca:“Domani è il mio compleanno, siete tutti invitati! Venite a casa mia a partire dalla 17.00. Vi aspetto tutti!”Secondo te, quanto grandi saranno le fette di torta che spetteranno a ciascuno? Generalizza il tuo ragionamento a secondo del numero di persone che si presenteranno.