Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali...

Contenuto

Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche.Il teorema spettraleGli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali.(Dimostrazione fatta usando i numeri complessi).Dimostrazione del teorema spettrale.Forme quadratiche. Riduzione a forma diagonale.Forme quadratiche definite, semidefinite, indefinite.Applicazioni geometriche: Riduzione di una conica agliassi principali.(Complementi) Decomposizione polare.

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24

Operatori auto-aggiunti. Matrici simmetriche

Definizione

V spazio vettoriale euclideo. Un endomorfismo F : V −→ V sidice auto-aggiunto o simmetrico se, per ogni v,w ∈ V,

(Fv) ·w = v · (Fw) (1)

Si dimostra facilmente il seguente:

Teorema

Se B = (v1, ...,vn) e una base ortonormale, un endomorfismoF e auto-aggiunto se e solo se la sua matrice rispetto a B esimmetrica, cioe A = At .Se A = At e una matrice simmetrica, per ogni X ,Y ∈ Rn si ha

AX · Y = X · AY (2)Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 2/24

Il teorema spettrale

Teorema (Teorema spettrale)

Sia A = At una matrice reale simmetrica n × n. Allora:1 Tutti gli autovalori λ1, ..., λn di A sono reali.2 Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.3 A e ortogonalmente diagonalizzabile. Questo significa che

esiste una base ortonormale B′ di Rn che e formata daautovettori di A. Dunque, esiste una matrice invertibile Pper la quale

A′ = P−1AP = diag (λ1, ..., λn) (3)

P e ortogonale (P−1 = P t ), perche le sue colonne sono i vettoridella base ortonormale B′. Dunque si puo scrivere anche

A′ = P−1AP = P tAP = diag (λ1, ..., λn) (4)


Conseguenze della proprieta di simmetria

Lemma 1

Gli autovalori di un operatore auto-aggiunto sono reali.

Lemma 2

Autovettori di un operatore auto-aggiunto (o di una matricesimmetrica), relativi ad autovalori distinti, sono ortogonali.

Lemma 3

Sia v un autovettore di un operatore auto-aggiunto F . Allora Ftrasforma il complemento ortogonale V0 = v⊥ in se.Dunque e definita la restrizione F |V0

F |V0 : V0 −→ V0

In breve: il sottospazio V0 = v⊥ e F -invariante.


Lemma 1: Gli autovalori di una matrice simmetricasono reali. (Uso dei numeri complessi).

Per il teorema fondamentale dell’algebra, esiste un numerocomplesso λ = α+ iω per il quale PA(λ) = 0. Ora proviamoche λ e reale (cioe, ω = 0).

Idea: pensiamo alla matrice A come a un endomorfismo

Cn A−→ Cn

Il numero λ e autovalore di A. Dunque, esiste un autovettoreZ = X + iY in Cn (X ,Y ∈ Rn),

Z =

z1··

zn

=

x1 + iy1··

xn + iyn

∈ Cn

Si ha AZ = λZ , ossia A(X + iY ) = (α+ iω)(X + iY )


Separando le parti reali e immaginarie,

AX = αX − ωY , AY = αY + ωX (5)

Ricordare: la condizione di simmetria A = At equivale a:

AX · Y = X · AY (6)

Allora, da (5) e (6) segue

(αX − ωY ) · Y = X · (αY + ωX )

ossiaα(X · Y )− ω(Y · Y ) = α(X · Y ) + ω(X · X )

ovveroω(‖X‖2 + ‖Y‖2) = 0

Poiche X + iY = Z 6= 0 (e quindi ‖X‖2 + ‖Y‖2 6= 0), deve essereω = 0. Conclusione: λ = α e un numero reale. �


Lemma 2: Autovettori relativi ad autovalori distinti diuna matrice simmetrica, sono ortogonali

Siano X1,X2 autovettori della matrice simmetrica A,

AX1 = λ1X1, AX2 = λ2X2,

con autovalori distinti: λ1 6= λ2. Poiche A e simmetrica,

(AX1) · X2 = X1 · (AX2)

Quindi(λ1X1) · X2 = X1 · (λ2X2)

ossia(λ1 − λ2)(X1 · X2) = 0

Poiche λ1 − λ2 6= 0, si deve avere X1 · X2 = 0. �


Lemma 3: Se v e autovettore di F auto-aggiunto, ilcomplemento ortogonale v⊥ e F -invariante

Ipotesi: v ∈ V autovettore dell’operatore autoaggiunto F ,

Fv = λv

e w ∈ v⊥, cioev ·w = 0

Tesi: Fw appartiene a v⊥, cioe

(Fw) · v = 0

La dimostrazione e semplice:

(Fw) · v = w · (Fv) = w · (λv) = λ(w · v) = 0

Dunque, posto V0 = v⊥, la restrizione F |V0 trasforma V0 in se:

F |V0 : V0 −→ V0

�Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 8/24

Dimostrazione del teorema spettrale

Teorema spettrale

Ogni endomorfismo auto-aggiunto su uno spazio vettorialeeuclideo V ha una base ortonormale di autovettori.

In breve: Ogni endomorfismo auto-aggiunto e ortogonalmentediagonalizzabile.

Dimostrazione (Per induzione sulla dimensione n di V )

Base dell’induzione: caso n = 1. Banale. Un qualunquevettore non nullo e autovettore. Per ottenere una baseortonormale, basta normalizzarlo.Supponiamo l’enunciato vero in dimensione n − 1. SiaF : V −→ V auto-aggiunto, dim V = n. Abbiamodimostrato che F possiede un autovettore v (che possiamopensare unitario).


Dimostrazione del teorema spettrale (Continuazione).

Dimostrazione (Continuazione)

Il complemento ortogonale V0 = v⊥ ha dimensione n − 1 ed eF -invariante (Fatto 3). Consideriamo allora la restrizione F |V0di F a V0:

F |V0 : V0 −→ V0

Per l’ipotesi induttiva, l’operatore autoaggiunto F |V0 possiedeuna base ortonormale v1, ...,vn−1 di autovettori.Allora v1, ...,vn−1,v e una base ortonormale di V formata daautovettori di F . �


Operatore auto-aggiunto F

Assi principali: Vλ1 ,Vλ2 , (λ1 6= λ2)

v1

v2

Base o.n. di autovettori

Fv1 = λ1v1

Fv2 = λ2v2

S1

F (S1)


Forme quadratiche in due variabili

Forma quadratica in due variabili

La forma quadratica associata alla matrice simmetrica (At = A)

A =

∣∣∣∣ a bb c

∣∣∣∣e il polinomio omogeneo di secondo grado in x1, x2

q(X ) = X tAX = (AX ) · X

dove X =

∣∣∣∣ x1x2

∣∣∣∣. Esplicitamente:

X tAX =∣∣ x1 x2

∣∣ ∣∣∣∣ a bb c

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ x1x2

∣∣∣∣= ax2

1 + 2bx1x2 + cx22


Forme quadratiche in n variabili

Definizione (Forme quadratiche su Rn)

La forma quadratica in n variabili associata alla matricesimmetrica A, n×n, e il polinomio omogeneo di secondo grado:

Rn q−→ R, q(X ) = X tAX =∑

i,j=1,...,n

aijxixj

In modo equivalente, si puo anche scrivere: q(X ) = (AX ) · XEsempio:

q(x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + x23

e una forma quadratica in tre variabili.


Cambio di coordinate in una forme quadratica

X = (x1, ..., xn)t : Coordinate rispetto alla base canonica

q(X ) = X tAX : Forma quadratica.Cambio di variabili: X = PX ′.Il polinomio X tAX diventa

(PX ′)tA(PX ′) = X ′ t (P tAP) X ′

Quindi la matrice A che rappresenta la forma quadratica, sitrasforma in

A′ = P tAP

Una matrice A′ si dice congruente a A se esiste una Pinvertibile per la quale A′ = P tAP. (E’ una relazione diequivalenza).Dunque, la matrice A rappresentativa di una forma quadraticasi trasforma per congruenza.


Diagonalizzazione di forme quadratiche

Se A e una matrice diagonale diag (λ1, ..., λn), la formaquadratica q(X ) = X tAX si scrive nella forma diagonale

q(x1, ..., xn) = λ1 x21 + · · ·+ λn x2

n

Teorema (Ogni forma quadratica puo essere scritta in formadiagonale)

Sia q una forma quadratica su Rn. Allora esiste una baseortonormale B′ di Rn che diagonalizza q. Questo significa che,dette (x ′1, ..., x

′n) le coordinate rispetto a tale base, si ha

q(x ′1, ..., x′n) = λ1(x ′1)

2 + · · ·+ λn(x ′n)2


Dimostrazione

Per il teorema spettrale, esiste una matrice ortogonale P (dicambio di base) che diagonalizza A:

A′ = P−1AP = P tAP = diag (λ1, ..., λn) (7)

Con il cambio di coordinate X = PX ′, la matricerappresentativa della forma quadratica q si trasforma proprionella matrice diagonale A′ = P tAP. Dunque, nelle coordinateX ′ la forma quadratica si scrive in forma diagonale. �


Classificazione: forme quadratiche definite e indefinite

Definizione

Una forma quadratica q(X ) si dice:Definita positiva, se q(X ) > 0 per ogni X 6= 0.Esempio:

q(x1, x2) = λ1x21 + λ2x2

2 , λ1, λ2 > 0

Definita negativa, se q(X ) < 0 per ogni X 6= 0.Esempio:

q(x1, x2) = λ1x21 + λ2x2

2 , λ1, λ2 < 0

Indefinita, se assume sia valori positivi che valori negativi.Esempio:

q(x1, x2) = λ1x21 + λ2x2

2 , λ1 > 0, λ2 < 0Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 17/24

Classificazione: forme quadratiche semidefinite

Definizione

Una forma quadratica q(X ) si dice:Semidefinita positiva, se q(X ) ≥ 0.Esempio:

q(x1, x2) = λ1x21 , λ1 > 0, λ2 = 0

Semidefinita negativa, se q(X ) ≤ 0.Esempio:

q(x1, x2) = λ1x21 , λ1 < 0, λ2 = 0


Segnatura di una forma quadratica

Una riduzione in foma diagonale di q sia:

q(x1, ..., xn) = λ1 x21 + · · ·+ λn x2

n ,

La segnatura di q(X ) e la sequenza (+, ..,+,−, ..,−,0, ..,0),dove i segni + (risp., i segni −) sono quanti i λ positivi (risp.,negativi), e gli zeri quanti i λ nulli. Esempi:q(x1, x2, x3) = x2

1 − x22 (+,−,0).

q(x1, x2, x3) = x21 + x2

2 − x23 (+,+,−).

La segnatura non dipende dalla particolare scrittura in formadiagonale (Teorema di inerzia, di Sylvester) e determina il tipodella forma quadratica q:

Se i segni sono tutti +, e definita positiva;Se i segni sono tutti −, e definita negativa;Se ci sono sia segni + che segni −, e indefinita;Se ci sono solo segni + (o solo −) e almeno uno 0, esemidefinita.


Applicazione: studio di coniche

Problema

Classificare la conica (del piano) di equazione

3x21 + 2x1x2 + 3x2

2 = 1

La matrice di q(x1, x2) = 3x21 + 2x1x2 + 3x2

2 e A =

(3 11 3

).

Gli autovalori sono entrambi positivi: λ1 = 2, λ2 = 4. Con unaopportuna rotazione degli assi, la forma quadratica si trasformanella forma diagonale 2x ′21 + 4x ′22 = 1, o

x ′21(1/√

2)2+

x ′22(1/2)2 = 1

Si tratta di un’ellisse.


Riduzione di una conica agli assi principali

x

y

Assi principali di simmetriav1

v2

y ′

x ′

3x2 + 2xy + 3y2 = 1, A =

(3 11 3

). λ1 = 2, λ2 = 4,

P =[v1,v2

]=

( √2/2

√2/2

−√

2/2√

2/2

), (P t = P−1), X = PX ′.

Forma canonica: 2x ′2 + 4y ′2 = 1 , ossiax ′21

(1/√

2)2+

x ′22(1/2)2 = 1


Applicazione: studio di quadriche

Problema

Classificare la quadrica (dello spazio) di equazione

2x21 + 5x2

2 + +5x23 + 2x2x3 = 1

La matrice di q(x1, x2, x3) = 2x21 + 5x2

2 + +5x23 + 2x2x3 e

A =

2 0 00 5 10 1 5

. Gli autovalori sono tutti positivi:

λ1 = 2, λ2 = 4, λ3 = 6. Con una opportuna rotazione degli assi,la forma quadratica si trasforma nella forma diagonale2x2

1 + 4x22 + 6x2

3 = 1, o

x21

(1/√

2)2+

x22

(1/2)2 +x2

1

(1/√

6)2= 1

E un’ellissoide.


Decomposizione polare

Teorema (Decomposizione polare)

Sia T un operatore lineare invertibile di uno spazio vettorialeeuclideo. Allora esistono, e sono unici, un operatoreautoaggiunto S positivo (cioe, con autovalori positivi) e unoperatore ortogonale Q (cioe, una isometria lineare), per i quali

T = QS (8)

Esistono anche, e sono unici, un operatore autoaggiuntopositivo S′ e un operatore ortogonale Q′, per i quali

T = S′Q′ (9)

Si ha Q = Q′ e S′ = QSQ−1.


Decomposizione polare (Idea della dimostrazione)

La dimostrazione si basa sul seguente fatto notevole (n = 2): Perogni operatore lineare invertibile R2 T−→ R2, esistono sempre duevettori unitari v1, v2 ortogonali tra loro, tali che i loro trasformatiT (v1),T (v2) siano anch’essi ortogonali tra loro.

v1

v2

S1

T

T v1T v2

T (S1)

S: Operatore simmetrico che dilata gli assi di v1,v2,portando questi vettori a essere lunghi quanto T v1,T v2;Q: Isometria lineare che porta Sv1,Sv2 su T v1,T v2,rispettivamente.Allora, si ha T = QS.


Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali...

Documents

Transcript of Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali...