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GEOMETRIA 1Autovalori e autovettori

Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini

2018/2019

Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 1 / 28

Matrici rappresentative "semplici"

index

1 Matrici rappresentative "semplici"

2 Autovalori e autovettori

3 Il polinomio caratteristico

4 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica



Siano V e W spazi vettoriali f.g. sul campo K con n = dim(V),m = dim(W)e sia f : V → W un’applicazione lineare.

PROBLEMA - Esistono basi B di V e C di W tali che la matricerappresentativa di f in queste basi sia "particolamente semplice", ossia dielementiaij = 1 se i = j = 1, . . . k, aij = 0 in tutti gli altri casi, ovvero sia dellaforma

A =( Ik O

O O

).

Anzitutto, perché ciò sia possibile è necessario che sia k = dim(Im(f )) (ilrango della matrice rappresentativa coincide con la dimensione dell’immaginedell’applicazione).

Se k = dim(Im(f )) la risposta è SÌ.

Per il teorema nullità + rango, si ha dim(ker(f )) = n− k.Sia inoltre {vk+1, . . . , vn} una base di ker(f ) (se n > k) e la si completi ad unabase B = {v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vn} di V.



Allora {f (v1), . . . , f (vk)} è una base di Im(f ). Si completi tale base ad unabase C = {f (v1), . . . , f (vk),wk+1, . . .wm} di W.

La matrice rappresentativa di f rispetto a tali basi ha la forma richiesta.

Ad esempio, per f : R3 → R2 definita da

f

(xyz

)=( 2x− y

z

),

si può prendere B = {

(010

),

(001

),

(120

)} e

C = {( −1

0

),( 0

1

)}.


Autovalori e autovettori

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Endomorfismi diagonalizzabili

Siano ora V f.g. con dim(V) = n e f : V → V un endomorfismo.

PROBLEMA - Esiste una base B = {v1, . . . , vn} di V tale che la matrice Arappresentativa di f rispetto a tale base (sia in dominio che in codominio) siadiagonale

A =

λ1 0 . . . 00 λ1 . . . 0...

......

...0 0 . . . λn

?

Se la risposta è affermativa l’endomorfismo f viene detto diagonalizzabile e labase B viene detta diagonalizzante.

OSSERVAZIONE - I vettori di una base diagonalizzante verificano:

f (vj) = λjvj, ∀j = 1, . . . , n



Un vettore non nullo v ∈ V, v 6= 0 viene detto autovettore per f se esisteλ ∈ K tale che f (v) = λv.

Lo scalare λ (che è univocamente associato a v) viene detto autovalorerelativo all’autovettore v.

Una immediata conseguenza delle considerazioni fatte sopra è il

TEOREMA - Un endomorfismo f è diagonalizzabile se e solo se esiste unabase di V interamente costituita da autovettori di f .

Sia λ è un autovalore di f . Consideriamo l’insieme Aλ(f ) degli autovettori di frelativi a λ.

L’ insieme

Vλ(f ) = Aλ(f ) ∪ {0}è un sottospazio di V (verificarlo) detto autospazio relativo all’autovalore λ.



Qualche esempio nel caso di VectO(R2)

OSSERVAZIONE - Un autovettore, nel caso dei vettori geometrici, è unvettore trasformato in un vettore parallelo.

Riflessione rispetto alla retta r.



Nella riflessione rispetto alla retta r gli autovettori sono i vettori di r (conautovalore 1) e i vettori ortogonali a r (con autovalore −1).



Proiezione ortogonale sulla retta r.

Nella proiezione ortogonale sulla retta r gli autovettori sono i vettori di r (conautovalore 1) e i vettori ortogonali a r (con autovalore 0).



Rotazione di un angolo α attorno O.

Se α non è congruo a 0 o a π (mod. 2π), la rotazione di un angolo α attorno Onon ammette autovettori.



Matrici diagonalizzabili

Le nozioni di diagonalizzabilità, autovalori, autovettori introdotte per gliendomorfismi si trasferiscono alle matrici quadrate:

una matrice quadrata n× n A è diagonalizzabile se lo è l’endomorfismoLA : Kn → Kn;un autovettore di A è un vettore non nullo x ∈ Kn tale che A · x = λx;

lo scalare λ viene detto autovalore della matrice A.

Ricordando la nozione di matrici simili introdotta nella seconda parte diqueste note, si ha (verificarlo):

Una matrice quadrate n× n A è diagonalizzabile se e solo se è simile a unamatrice diagonale.



Sia f un endomorfismo di V f.g., con dim(V) = n.

Problema: ricerca (se esiste) di una base di autovettori.

TEOREMA - Se λ1, . . . , λk sono autovettori di f distinti tra loro, e v1, . . . , vksono autovettori relativi a λ1, . . . , λk (rispett.), allora i vettori v1, . . . , vk sonolinearmente indipendenti.

DimostrazionePer induzione su k.

Se k = 1, v1 è l.i. in quanto non nullo.Supponendo vero il risultato nel caso di k − 1 autovalori, dimostriamolonel caso di k autovalori.

Supponiamo che sia

(∗) a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk = 0 a1, . . . , ak ∈ K.



Applicando f a entrambe i membri di (∗) si ottiene

(◦) a1λ1v1 + a2λ2v2 + · · ·+ akλkvk = 0.

Moltiplicando entrambe i membri di (∗) per λk si ottiene

(◦◦) a1λkv1 + a2λkv2 + · · ·+ akλkvk = 0.

Sottraendo membro a membro (◦◦) da (◦) si ottiene

a1(λ1 − λk)v1 + a2(λ2 − λk)v2 + · · ·+ ak−1(λk−1 − λk)vk−1 = 0.

Per l’ipotesi di induzione allora deve essere:

a1(λ1 − λk) = a2(λ2 − λk) = . . . ak−1(λk−1 − λk) = 0,

e quindi, trattandosi di autovalori distinti tra loro,

a1 = a2 = · · · = ak−1 = 0 ⇒ ak = 0.

COROLLARIO - Se f ha n = dim(V) autovalori distinti, allora èdiagonalizzabile.


Il polinomio caratteristico

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Sia f un endomorfismo di V (dim(V) = n).

OSSERVAZIONE - λ ∈ K è un autovalore di f se e solo se esistev ∈ ker(f − λidV), v 6= 0.

OSSERVAZIONE - Se λ ∈ K è un autovalore di f allora si ha

Vλ(f ) = ker(f − λidV).

In particolare, se λ = 0 è un autovalore per f , allora V0(f ) = ker(f ).

Sia ora B una base di V e A =MBB(f ) la matrice rappresentativa di f rispettoalla base B.

λ ∈ K è un autovalore di f se e solo se f − λidV non è un isomorfismo se esolo se A− λIn non ha rango massimo se e solo se det(A− λIn) = 0



Il polinomio

PA(t) = det(A− tIn) = det

a11 − t a12 . . . a1n

a21 a22 − t . . . a2n...

......

...an1 an2 . . . ann − t

viene detto polinomio caratteristico di A.

OSSERVAZIONE - Se A =MBB(f ) e B =MCC(f ) sono matricirappresentative dello stesso endomorfismo rispetto a basi diverse, allora

PA(t) = PB(t).

Infatti

det(B− tI) = det(C−1AC − tI) = det(C−1AC − tC−1IC) =

det(C−1(A− tI)C) = det(C−1) det(A− tI) det(C) = det(A− tI).

In particolare, per t = 0, si ha anche det(B) = det(A).



Per questo motivo il polinomio det(A− tIn) viene anche detto polinomiocaratteristico di f e denotato con Pf (t) e il determinante di A viene anchedetto determinante di f e denotato con det(f ).

OSSERVAZIONE - Il polinomio caratteristico Pf (t)ha grado n,ha coefficiente direttore (−1)n,

ha termine noto Pf (0) = det(f ),

le sue radici in K sono gli autovalori di f .

OSSERVAZIONE - Se K = C, tutte le radici di Pf (t) ∈ C[t] sono in K epertanto sono autovalori di f . Se invece K = R, allora solo le radici reali diPf (t) sono autovalori.



Ricerca degli autovalori e autovettori

Sia f un endomorfismo di V (dim(V) = n). Per cercare autovalori eautovettori di f ;

Si considera una base B di V e si costruisce la matrice A =MBB(f )rappresentativa di f rispetto alla base B.Si calcola il polinomio caratteristico PA(t) e si determinano le sue radiciλ1, . . . , λk ∈ K che sono gli autovalori di f .Per ciascuno degli autovalori λi si risolve il sistema lineare(A− λiI)x = 0Le soluzioni non nulle x del sistema (A− λiI)x = 0 sono le coordinate,nella base B degli autovettori relativi a λi.



Esempi

(n = 2)

det( a11 − t a12

a21 a22 − t

)= t2 − (a11 + a22)t + det(A)

(n = 3)

det

(a11 − t a12 a13

a21 a22 − t a23a31 a32 a33 − t

)= −t3 + (a11 + a22 + a33)t2 −

(det( a11 a12

a21 a22

)+ det

( a11 a13a31 a33

)+ det

( a22 a23a32 a33

))t + det(A).

In generalePA(t) = (−1)ntn+(−1)n−1σ1tn−1+· · ·+(−1)n−iσitn−i+· · ·−tσn−1+σn,ove σi è la somma dei minori principali (ossia aventi come diagonaleparte della diagonale di A) di A.

In particolare σ1 = a11 + a22 + · · ·+ ann viene detta traccia di A eσn = det(A).


Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica

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Ricordo che una radice α ∈ K di un polinomio p(t) ∈ K[t] si dice averemolteplicità m > 0 se p(t) = (t − α)mq(t), con q(α) 6= 0, ovvero mè il massimo degli l tali che (t − α)l sia un fattore di p(t).

Abbiamo visto che un autovalore λ di f è necessariamente una radice in K delpolinomio caratteristico Pf (t) di f .

Si dice molteplicità algebrica ma(λ) dell’autovalore λ la suamolteplicità come radice del polinomio Pf (t).

Se λ è un autovalore di f , l’autospazio Vλ(f ) non è lo spazio nullo. Sidefinisce molteplicità geometrica mg(λ) dell’autovalore λ ladimensione dell’autospazio Vλ(f ).



TEOREMA - Siano V uno spazio vettoriale f.g. sul campo K, f : V → V unendomorfismo e λ ∈ K un autovalore di f . Si ha

1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ).

DimostrazioneLa relazione 1 ≤ mg(λ) segue dal fatto che, essendo λ un autovalore, si hadim(Vλ(f )) > 0.

Consideriamo una base {v1, . . . , vmg(λ)} di Vλ(f ) e completiamola a una base{v1, . . . , vmg(λ),wmg(λ)+1 . . .wn} di V.

In tale base f è rappresentato da una matrice della forma

λ 0 . . . 0 ? . . . ?0 λ . . . 0 ? . . . ?...

......

......

......

0 0 . . . λ ? . . . ?0 0 . . . 0 ? . . . ?...

......

......

......

0 0 . . . o ? . . . ?



Il polinomio caratteristico di f allora risulta

Pf (t) =

λ− t 0 . . . 0 ? . . . ?0 λ− t . . . 0 ? . . . ?...

......

......

......

0 0 . . . λ− t ? . . . ?0 0 . . . 0 ?− t . . . ?...

......

......

......

0 0 . . . o ? . . . ?− t

= (λ−t)mg(λ)q(t)

(segue iteratamente dallo sviluppo di Laplace del determinante secondo laprima colonna).

Pertanto si ha mg(λ) ≤ ma(λ).



TEOREMA - Siano V uno spazio vettoriale f.g. sul campo K e f : V → V unendomorfismo f è diagonalizzabile se e solo se

i) tutte le radici di Pf (t) sono in K;

ii) per ogni autovalore λ di f si ha mg(λ) = ma(λ).

OSSERVAZIONI1) Se K = C la condizione i) è sempre verificata.

2) Se ma(λ) = 1, allora mg(λ) = 1, quindi la condizione ii) è verificata.

3) In generale, per calcolare mg(λ) :

mg(λ) = dim(ker(f − λidV)) = n− car(A− λI).



ESEMPI

A =

(cos(θ) −sin(θ)sin(θ) cos(θ)

)K = R.

PA(t) = (cos(θ)− t)2 + sin2(θ) = t2 − 2cos(θ)t + 1

che ha discriminante ∆ = 4(cos2(θ)− 1), quindi se θ 6= 0, π non vale lai).

A =

(1 1 10 1 10 0 1

)K = R.

PA(t) = (1− t)3

L’unica radice è λ = 1, quindi vale la i), inoltre ma(1) = 3.

car(A− I) = 2, quindi mg(1) = 1, per cui non vale la ii).



A =

(1 1 01 1 00 0 0

)K = R.

PA(t) = −t2(t − 2)

Le radici sono 0, 2, quindi vale la i), inoltre ma(0) = 2,ma(2) = 1.

Ovviamente ma(2) = 1 = mg(2).car(A) = 1, quindi mg(0) = 3− car(A) = 2 = ma(0), per cui valeanche la ii) e la matrice è diagonalizzabile.



Diagonalizzazione simultanea

TEOREMA - Siano A e B due matrici diagonalizzabili in Matn(K).Allora esiste una matrice M invertibile tale che D1 = M−1AM eD2 = M−1BM siano diagonali se e solo se A e B commutano, cioè AB = BA.

Dimostrazione - Se esiste M, si ha

AB = MD1D2M−1 = MD2D1M−1 = BA.

Supponiamo che A e B siano diagonalizzabili e che commutino. Perquest’ultima condizione, l’applicazione lineare LB è un endomorfismo diciascun autospazio di A (verificarlo).Dato che LB è diagonalizzabile, ciascun autospazio di A si scompone inautospazi di B.Per ciascun autospazio di A prendiamo una base fatta da autovettori di LBristretta a tale autospazio. Si genera una base che per costruzione diagonalizzaA e B simultaneamente.


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