MATRICI, SISTEMI LINEARI E AUTOVETTORI: esercizi propostimatagria/Didattica/Analisi...18....

MATRICI, SISTEMI LINEARI E AUTOVETTORI: esercizi proposti

1. Risolvere le seguenti equazioni lineari omogenee A ·X = 0 ove

A =

2 0 1

0 −1 1

6 −4 7

A =

1 2 −1

−2 1 1

−4 7 1

A =

−1 0 0

0 1 0

0 0 0

2. Risolvere l’equazione lineare non omogenea A ·X = C ove

A =

2 0 1

0 −2 2

2 2 3

C =

0

−2

3

3. Determinare le soluzioni dei seguenti sistemi in corrispondenza ai val-

ori reali del parametro k per i quali i sistemi sono possibili.

x − 2y + 3z = k

x − z = 0

3x − 2y + z = 0

1

x + y = 2

y + z = 1

kx − kz = 2

kx + y − z = 1

2y + kz = 0

x + 3y = 1

2x − y + kz = 0

x − y + z = 0

kx + z = 0

3x − y = 2

x + 2y = k + 8

(k − 4)x + y = −10

x + 2y + kz = 0

10ky − z = 2

−2x + y = k

(k + 2)x + 2ky − z = 1

x − 2y + kz = −k

y + z = k

4. Determinare per quale valore del parametro k i seguenti sistemi in-

dividuano un fascio proprio, cioe le rette di ciascun sistema hanno un

punto in comune:

2kx + y = 1

kx + 2y = 0

2x − ky = k

kx + y = 0

2kx + y = k

2x + 3y = k

2

5. Risolvere il seguente sistema

x2 − y2 + z2 = 1

x2 + y2 = 5

2y2 − z2 = 4

6. Risolvere i seguenti quesiti relativamente a ciascuna matrice A asseg-

nata:

A =

1 0

0 −1

A =

−1 0

0 −1

A =

0 −1

1 0

A =

0 1

−1 0

(a) Determinare nel piano cartesiano la relazione tra il vettore v =

(x, y) e il vettore trasformato w = A · v.

(b) Sia v = (2, 3) e w = A·v. Trovare la loro somma algebricamente

e geometricamente nel piano.

7. Determinare per ali valori del parametro k il seguente sistema lineare

omogeneo ammette infinite soluzioni:

2x + ky + z = 0

kx + 5y − 2z = 0

−x + y + 5z = 0

8. Assegnato il vettore v = (2, 3) disegnare e determinare le coordinate

di un vettore w che sia

- opposto a v,

- parallelo a v,

- perpendicolare a v.

9. Applicazione della teoria delle matrici alla teoria dei grafi.

Grafi chimici.

3

I vertici sono gli atomi e gli spigoli sono i legami chimici. Una matrice

puo essere formata nel seguente modo:

numerati gli atomi in un ordine qualunque, si rappresenta la struttura

chimica con una matrice (aij) cosı definita: aij = 1 se ce legame

chimico tra l’atomo i e l’atomo j ; aij = 0 se non ce legame chimico

tra l’atomo i e l’atomo j. (Si intende che non ci sia spigolo tra l’atomo

e se stesso, quindi la diagonale principale della matrice e tutta nulla.)

Tradurre in matrici le seguenti strutture chimiche:

10. Dati la matrice

A =

k + 1 k k − 2

−2k 1− 2k k

e il vettore

B =

k

−k

si determinino, se esistono, i valori del parametro reale k per cui il

sistema A · x = B non ha soluzioni.

11. Discutere e risolvere il seguente sistema lineare omogeneo, ove a e un

numero reale:

ax − y − z = 0

2x + (1− a)y + 2z = 0

x + y − az = 0

12. Risolvere il sistema: x + y + tz = 0

10ty − z = 2

−2x + y = t

in relazione al parametro t ∈ IR.

13. Dare l’esempio di

a) una matrice non invertibile;

b) una matrice invertibile con calcolo della relativa inversa

4

14. Risolvere il sistema: x + y + kz = 0

10ky − z = 2

−2x + y = k

in relazione al parametro k ∈ IR.

15. Determinare il sistema lineare che permette di calcolare i coefficienti

della seguente reazione chimica:

Cu+H2SO4 = CuSO4 +H2O +SO2. (suggerimento: si indichino con

x1, x2, x3, x4, x5 i coefficienti rispettivamente di

Cu,H2SO4, CuSO4,H2O,SO2 e poiche ognuno degli elementi deve

comparire a destra e a sinistra con lo stesso numero di atomi......) E’

facoltativa la risoluzione del sistema.

16. In uno studio genetico si contano il numero di individui che apparten-

gono ai genotipi AA, Aa, aa in un locus e dei genotipi BB, Bb, bb in

un altro locus. Si assegni rispettivamente i = 0,1,2 ad AA, Aa, aa e

k = 0,1,2 a BB, Bb, bb. Formare una matrice del numero nik di

individui aventi genotipo i,k.

17. Risolvere il sistema: 2x + 2y + 2tz = 0

5ty − 12z = 1

−4x + 2y = 2t


18. Nell’insieme delle matrici quadrate non singolari, abbiamo introdotto

le operazioni di somma e di prodotto (riga per colonna).

Descrivere le proprieta di queste operazioni e correlarle con le proprieta

delle analoghe operazioni in IR.

19. E noto che le sostanze inquinanti velenose si accumulino nelle catene

alimentari. Studiamo un sistema ecologico formato da tre anelli di una

catena:

1) La vegetazione che fornisce cibo per gli erbivori. Consideriamo due

specie di piante p1, p2.

2) Gli animali erbivori che si nutrono delle piante descritte in 1). Con-

sideriamo due specie di erbivori e1, e2.

5

3) Gli animali carnivori che si nutrono degli erbivori descritte in 2).

Siano c1, c2, le specie di carnivori considerate.

Qual’e la quantita di pianta p1 mangiata indirettamente dal carniv-

oro c1? .

Suggerimento: si introduca una matrice (xij) in cui xij rappresenti

la quantita media di piante della specie pi mangiate da ogni animale

della specie ej e una matrice (yij) in cui yij rappresenti il numero

degli erbivori della specie ei divorati da tutti i carnivori della specie

cj .

20. Determinare per quali valori del parametro k ∈ IR la retta

3kx−2y +5 = 0 e parallela alla tangente alla curva y = x3 +2x2 +x

nel punto di ascissa x = 0.

21. Risolvere il sistema: x + y + tz = 0

5ty − 12z = 1

2x− y = −t


22. Determinare per quali valori del parametro k le rette di equazione

kx + 2y = 8

2kx − 6y = 2k

2x − y = k

appartengono ad uno stesso fascio proprio, hanno cioe un punto a

comune.

23. Dare l’esempio di un sistema lineare di due equazioni in due incognite

che sia impossibile.

Spiegare il significato geometrico nel piano di ciascuna equazione e del

sistema.

24. Una foresta venne suddivisa in piccole aree di 1 m2 ciascuna, dette

quadrati. Si contarono il numero delle felci per quadrato e il risultato

venne fornito in forma vettoriale.

6

n. felci per quadrato f =

0

1

2

3

4

5

n. quadrati q =

23

17

8

6

8

2

(Cio significa: 23 quadrati contengono 0 felci, 17 quadrati contengono 1

felce,ecc.) Trovare il numero totale di felci per mezzo di una operazione

matriciale.

25. Determinare il valore di k per cui il seguente sistema e risolubile

x + z = 1

3x + 2y = 0

−x + 3z = 0

4x + 2y − z = k

26. Studiare al variare del parametro k il sistema linearex + y + 3z = 3

2x + 2y + kz = 6

x + z = 3

Studiare al variare del parametro λ il sistema linearex + y + 3z = 3

2x + 2y + λz = 6

x + z = 2

27. Determinare, al variare di h ∈ IR le soluzioni del seguente sistema

lineare:

7

hx+ y+ z = 0

x+ hy+ z = 0

x+ y+ z = 0

28. Stabilire se esistono valori del parametro reale h per cui il seguente

sistema e impossibile:

(h− 1)x− y+ hz = 1

x− z = 0

2x+ y− hz = h

29. Risolvere, al variare del parametro reale h il seguente sistema:

hx− h2y = 1

x+ (h + 1)y = h

30. Turismo Una agenzia di autonoleggi sta valutando l’acquisto di pull-

mans per soddisfare una domanda stimata di 400 posti. L’azienda ha

deciso di acquistare modelli A che possono trasportare 50 passeggeri e

costano 225000 euro, modelli B con 40 posti al prezzo di 200000 euro

e modelli C che hanno 30 posti e un costo di 160000 euro.

Assumendo che l’azienda desideri acquistare modelli B in quantita

tripla rispetto ai modelli A, quanti e quali pullmans deve ordinare per

soddisfare la domanda di posti, disponendo di un budget di 1800000

euro?

31. Turismo Una agenzia di autonoleggi sta valutando l’acquisto di pull-

mans per soddisfare una domanda stimata di 400 posti. L’azienda ha

deciso di acquistare modelli A che possono trasportare 50 passeggeri e

costano 220000 euro, modelli B con 40 posti al prezzo di 200000 euro

e modelli C che hanno 30 posti e un costo di 180000 euro.

Assumendo che l’azienda desideri acquistare una quantita di modelli

B che sia k volte la somma dei modelli A e C e che disponga di

un budget di 2000000 euro, individuare per quali valori del parametro

reale k il problema ammette soluzioni e determinarle.

32. Una fetta di pane di segale contiene 4g di proteine e 12g di carboidrati;

10 g di nutella contengono 0.65 g di proteine e 5,7 g di carboidrati.

8

(a) Volendo pasteggiare a base di pane e nutella e volendo assumere

28 g di proteine e 80g di carboidrati, che cosa devo preparare?

(b) Trovare una formula che indichi quanti grammi di nutella e quante

fette di pane servono per assumere A grammi di proteine e B

grammi di carboidrati.

33. Dieta e Nutella. Una fetta biscottata contiene 4g di proteine, 12g di

carboidrati e 2 g di grassi; un cucchiaino di nutella contiene 0.65 g di

proteine, 5.7 g di carboidrati e 2.4 g di grassi.

Si vuole prescrivere una dieta che preveda il consumo di fette biscottate

e nutella a colazione a condizione che si assumino 14g di grassi e la

quantita di carboidrati sia il triplo di quella delle proteine.

(a) Quanti grammi di carboidrati e di proteine devono essere prescrit-

ti, perche la dieta sia realizzabile? (Suggerimento: si indichi con

k, parametro reale, la quantita totale di proteine che possono

essere assunte.)

(b) Quante fette biscottate e cucchiaini di nutella si possono mangiare

nel rispetto di tale dieta?

34. T-shirt. La scorsa settimana un negozio ha venduto 50 magliette stam-

pate a 15 euro l’una, 40 magliette in tinta unita a 10 euro l’una e 30

T-shirt baseball a 12 euro l’una. Utilizzate le operazioni sulle matrici

per calcolare i ricavi della settimana.

35. Econometria Si consideri il seguente modello semplificato per la de-

terminazione dello stock di moneta:

M = C + D

C = 0.2D

R = 0.1D

H = R + C

dove:

M = stock di moneta

C = valuta circolante

9

R = riserve bancarie

D = depositi bancari

H = base monetaria

Se lo stock di moneta e di 120 miliardi di euro, a quanto ammontano

le riserve bancarie?

10

FACOLTA DI AGRARIA

Nome Cognome

CL

Anno di corso

Perugia, 14 aprile 2005

Analisi Matematica

Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.

1. Accessori auto. Le vendite di gennaio di due negozi di accessori per

auto con sede a Perugia e Terni rispettivamente, sono riassunte nella

seguente tabella

PG TR

Spazzole tergicristalli 20 14

Flaconi liquido pulizia 10 12

Tappetini 8 4

I prezzi di vendita di questi articoli in euro sono

Prezzo unitario normale Prezzo unitario scontato

Spazzole tergicristalli 7 6

Flaconi liquido pulizia 3 2

Tappetini 12 10

Utilizzate la moltiplicazione tra matrici per calcolare il ricavo totale

di ciascun negozio, assumendo prima che tutti gli articoli siano stati

venduti ai prezzi normali e poi che siano stati venduti tutti ai prezzi

scontati.

2. Discutere e risolvere rispetto al parametro reale k il sistema lineare

omogeneo A×X = O ove

A =

3− k 3− k 3

2k 2− k 2

1 1 1− k

.

11

3. Vettori.

(a) Determinare la matrice A di ordine 2 tale che i vettori v = (x, y)

e w = A × v abbiano lo stesso modulo e direzione, ma verso

contrario.

(b) Calcolare gli autovalori ed autovettori di A e spiegarne il signifi-

cato geometrico.

(c) Individuare una matrice di ordine 3 che operi la stessa trasfor-

mazione nello spazio tridimensionale.

12

FACOLTA DI AGRARIA

Nome Cognome

CL

Anno di corso

Perugia, 12 maggio 2005

Analisi Matematica


1. Frutteto.

(a) Il vostro frutteto ha prodotto nell’ultima stagione mele, pere e

susine nelle quantita indicate nella seguente tabella

prima scelta seconda scelta terza scelta

mele 75 Kg 60 Kg 64 Kg

pere 52 kg 44 kg 45 Kg

susine 110 Kg 78 Kg 61 Kg

i. Se la prima scelta di ogni frutto si vende al prezzo medio di

3.00 euro al Kg, la seconda scelta al prezzo medio di 2.00

euro al Kg e la terza scelta a 1.00 euro al Kg, utilizzate la

moltiplicazione tra matrici per calcolare i ricavi relativi alle

vendite delle mele, delle pere e delle susine.

ii. Per quale matrice si deve moltiplicare la colonna dei 3 ricavi

in modo da ottenere il ricavo totale?

(b) Si vuole indirizzare il frutteto verso una produzione di frutta

D.O.C. (solo prima scelta). Tenendo conto che la produzione

delle pere potra essere 1/3 di quella delle mele e che la pro-

duzione delle susine sara pari alla somma di quella delle mele

e pere, determinare quanti Kg di mele, pere, susine dovrebbero

essere prodotte in modo che il ricavo totale rimanga lo stesso.

2. Discutere e risolvere rispetto al parametro reale k il seguente sistema

13

lineare

kx + 2y = 1

3x − y = 2

4x + ky = 3k

3. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono vere giusti-

ficare la risposta, se false, fornire un controesempio.

(a) Tutte le matrici quadrate sono invertibili.

(b) Se A e una matrice invertibile, l’equazione matriciale A×X = B

ammette come unica soluzione

X = A−1 ×B.

(c) I sistemi lineari omogenei di 2 equazioni in 2 incognite non sono

mai impossibili. Dare una interpretazione geometrica nel

piano.

(d) Se v = (2, 5), la sua direzione e individuata dalla retta y = 25x.

Determinare un vettore w perpendicolare a v.

14

FACOLTA DI AGRARIA

Nome Cognome

CL

Anno di corso

Perugia, 05 aprile 2006

Analisi Matematica


1. Crittografia. Le matrici possono essere utilizzate per crittografare dei

dati. Negli esempi che seguono useremo la matrice

A =

1 2

3 4

Rappresentiamo ogni lettera dell’alfabeto con un numero. Stabiliamo

spazio = 0, a = 1, b = 2 ecc, la frase matematica e cultura diventa

la sequenza di numeri(11 1 18 5 11 1 18 9 3 1 0 5 0 3 19 10 18 19 16 1

)che puo essere scritta come matrice di due righe nel seguente modo

B =

11 18 11 18 3 0 0 19 18 16

1 5 1 9 1 5 3 10 19 1

.

(a) Per crittografare, si moltiplica la matrice B per A e si riscrive

la matrice ottenuta (matrice cifrata) come sequenza di numeri.

Crittografate la frase matematica e cultura

(b) Per decodificare, si moltiplica la matrice cifrata per A−1.

Decodificate il messaggio(40 82 37 87 1 3 16 46 47 111 22 64

)2. Discutere e risolvere rispetto al parametro reale k il seguente sistema

lineare 2kx + ky = 1− k

2x + y = 0

x + (2− 2k)y = k

15

3. Vettori.

(a) Assegnato il vettore v = (2,−3) determinare il vettore w

perpendicolare a v di modulo unitario.

(b) Calcolare il prodotto scalare v · w .

(c) Determinare la matrice A di ordine 2 tale che v = (x, y) e

w = A× v siano perpendicolari.

(d) Calcolare gli autovalori ed autovettori di A e spiegarne il signifi-

cato geometrico.

(e) Individuare una matrice di ordine 3 che operi la stessa trasfor-


16

FACOLTA DI AGRARIA

Nome Cognome

CL

Anno di corso

Perugia, 11 maggio 2006

Analisi Matematica


1. Crittografia. Le matrici possono essere utilizzate per crittografare dei

dati. Negli esempi che seguono useremo la matrice

A =

1 2

3 0

Rappresentiamo ogni lettera dell’alfabeto con un numero. Stabiliamo

spazio = 0, a = 1, b = 2 ecc, la frase modelli matematici diventa la

sequenza di numeri(11 13 4 5 10 10 9 0 11 1 18 5 11 1 18 9 3 9

)che puo essere scritta come matrice di due righe nel seguente modo

B =

11 4 10 9 11 18 11 18 3

13 5 10 0 1 5 1 9 9

.

(a) Per crittografare, si moltiplicano opportunamente le matrici A

e B e si riscrive la matrice ottenuta (matrice cifrata) come

sequenza di numeri.

Crittografate la frase modelli matematici

(b) Per decodificare, si moltiplicano opportunamente la matrice cifrata

e la matrice A−1.

Decodificate il messaggio(1 3 25 21 53 39 13 15 9 27 22 12 21 9 49 39 44 54

)

17


lineare kx + y + z = 1

(k + 1)x + (k + 1)y + 2z = k + 1

x + y + kz = k2

3. Qua e la.

(a) Costruite un’applicazione che abbia una soluzione come la seguente.

Ricavo totale =(

10 100 30)

×

10 0 3

1 2 0

0 1 40

(b) Un vostro amico ha due matrici quadrate A e B, nessuna ddelle

quali e una matrice di zeri, legate dalla proprieta per cui A×B

e una matrice di zeri. Voi dite immediatamente che ne A ne B

sono invertibili. Come fate ad essere cosı sicuri?

(c) Assegnato il vettore v = (1,−2) determinare il vettore w

perpendicolare a v di modulo unitario.

(d) Calcolare il prodotto scalare v · w .

(e) Determinare la matrice A di ordine 2 tale che v = (x, y) e

w = A× v siano perpendicolari.

18

FACOLTA DI AGRARIA

Nome Cognome

CL

Anno di corso

Perugia, 29 marzo 2007

Analisi Matematica


1. Acidi e altri composti chimici.

(a) I vettori

H Na K F Cl Br

A =(

7 2 4)

B =(

5 9 11)

rappresentano rispettivamente il numero di molecole di H, Na, K

e F, Cl, Br a disposizione per un esperimento.

Calcolare i prodotti matriciali A × B e B × A e indicare il

significato chimico di ciascun elemento delle matrici prodotto.

(b) Bilanciare la seguente reazione chimica tra rame e acido nitrico:

Cu + HNO3 −→ N2O4 + Cu(NO3)2 + H2O


lineare 3kx + 3y + (k + 2)z = k + 2

x + 2y + 2z = k + 1

x + ky + kz = 1

3. Qua e la.

(a) Risolvere l’equazione matriciale

A(B + CX) = D

rispetto a X (assumere che tutte le matrici siano quadrate e

invertibili).

19

(b) Assegnato il vettore v = (1,−2) determinare il vettore w

opposto a v di modulo unitario.

(c) Determinare la matrice A di ordine 2 tale che v = (x, y) e

w = A× v siano opposti.

(d) Determinare gli autovalori e gli autovettori di A e spiegarne il

significato geometrico.

(e) Individuare una matrice di ordine 3 che operi la stessa trasfor-


20

MATRICI E SISTEMI LINEARI: alcuni esercizi con svolgimento

1. Una certa dieta prevede un consumo giornaliero di

g 50 di grassi, g 100 di proteine, g 250 di carboidrati.

Si vuol seguire tale dieta con l’uso di tre soli alimenti A, B, C. Conoscen-

do le rispettive composizioni percentuali (in peso) individuare il sis-

tema lineare che interpreta il problema e discuterlo.

Alimento A Alimento B Alimento C

Grassi 30% 5% 5%

Proteine 10% 20% 10%

Carboidrati 20% 15% 40%

Altre sostanze 40% 60% 45%Come cambia il sistema lineare nel caso si voglia seguire la dieta facen-

do uso di due soli alimenti, A e B?

Discutere anche graficamente le eventuali soluzioni.

Soluzione

Sia x la quantita in grammi di A

y la quantita in grammi di B

z la quantita in grammi di C0.3x + 0.05y + 0.05z = 50

0.1x + 0.2y + 0.1z = 100

0.2x + 0.15y + 0.4z = 250

⇒

30x + 5y + 5z = 5000

10x + 20y + 10z = 10000

20x + 15y + 40z = 25000

⇒

6x + y + z = 1000

x + 2y + z = 1000

4x + 3y + 8z = 5000

A =

6 1 1

1 2 1

4 3 8

C =

6 1 1 1000

1 2 1 1000

4 3 8 5000

det A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣6 1 1

1 2 1

4 3 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 96 + 4 + 3− 8− 18− 8 = 63 6= 0

21

Per il Teorema di Cramer il sistema ammette un’unica soluzione.

Se consideriamo la dieta con due soli alimenti avremo i seguenti casi:

se gli alimenti utilizzati sono A e B si avra

6x + y = 1000

x + 2y = 1000

4x + 3y = 5000

A1 =

6 1

1 2

4 3

C1 =

6 1 1000

1 2 1000

4 3 5000

rgA1 = 2

det C1 = 1000

∣∣∣∣∣∣∣∣∣6 1 1

1 2 1

4 3 5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1000(6 ·7−1−5) = 1000 ·36 = 36000 6= 0

rgC1 = 3 6= rgA1 , quindi il sistema e impossibile.

–500

500

1000

1500

2000

y

–1000 –800 –600 –400 –200 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000x

Se gli alimenti utilizzati sono A e C si avra6x + z = 1000

x + z = 1000

4x + 8z = 5000

22

A2 =

6 1

1 1

4 8

C2 =

6 1 1000

1 1 1000

4 8 5000

rgA2 = 2

det C2 = 1000

∣∣∣∣∣∣∣∣∣6 1 1

1 1 1

4 8 5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1000(−18− 1 + 4) = −15000 6= 0


–500

500

1000

1500

2000

y

–1000 –800 –600 –400 –200 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000x

Se gli alimenti utilizzati sono B e C si avray + z = 1000

2y + z = 1000

3y + 8z = 5000

A3 =

1 1

2 1

3 8

C3 =

1 1 1000

2 1 1000

3 8 5000

rgA3 = 2

23

det C3 = 1000

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1

2 1 1

3 8 5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1000(−3− 7 + 13) = 3000 6= 0


–500

500

1000

1500

2000

y

–1000 –800 –600 –400 –200 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000x

24

2. Un tratto di rete stradale e costituito da quattro strade a senso unico

come in figura.

400 500

200 400

300 300

200 100

x3

x4 x2

x1

I numeri posti alle estremita di ciascuna strada indicano rispettiva-

mente il numero di automobili che accedono ad essa e che fuoriescono

da essa in un’ora.

Determinare il flusso di traffico, cioe il numero delle auto che circolano

in un’ora attraverso ciascuno dei quattro tratti intermedi.

Svolgimento

Se consideriamo le incognite x1, x2, x3, x4 come descritte nel grafico

25

che rappresentano il numero di macchine presenti nei tratti centrali, il

problema puo essere descritto dal seguente sistema lineare di 4 equazioni

e 4 incognite

x1 + x4 = 900

x1 + x2 = 600

x3 + x4 = 600

x2 + x3 = 300

A =

1 0 0 1

1 1 0 0

0 0 1 1

0 1 1 0

det A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0

0 1 1

1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 0

0 0 1

0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −1 + 1 = 0

E facile verificare che rgA = 3, basta calcolare det A41 sviluppan-

dolo, per esempio rispetto alla prima riga.

Consideriamo la matrice completa C =

1 0 0 1 900

1 1 0 0 600

0 0 1 1 600

0 1 1 0 300

e valutiamo il suo rango.

Poiche la prima riga e combinazione lineare delle altre tre ( prima riga

= seconda riga + terza riga - quarta riga) il rango di C non puo essere

4, quindi anche rgC = 3.

Il sistema ammette infinite soluzioni

x4 = 900− x1

x2 = 600− x1

x3 = −300 + x1

x1 ∈ [300, 600]

Poiche si possono accettare solo soluzioni intere positive in intervalli

limitati, 300 ≤ x1 ≤ 600 le soluzioni accettabili sono un numero finito.

26

3. Un’azienda produce 3 versioni di un prodotto: standard, di lusso e

fuoriserie. Ogni pezzo deve essere sottoposto a lavorazione nei reparti

A, B e C. L’azienda riceve un ordine imprevisto che deve soddisfare

attingendo al monte - ore straordinarie. Nella seguente tabella sono

riportate le ore di lavorazione che ciascuna versione richiede in og-

ni reparto e il totale delle ore straordinarie utilizzabili nei rispettivi

reparti:

A B C

Versione standard 5 2 3

Versione di lusso 7 4 5

versione fuoriserie 7 3 6

Monte-ore straordinarie a disposizione 96 45 67Quanti pezzi di ciascun tipo puo fabbricare l’azienda sfruttando tutte

le ore straordinarie?

Soluzione

Dobbiamo impostare il seguente sistema lineare non omogeneo

5x + 7y + 7z = 96

2x + 4y + 3z = 45

3x + 5y + 6z = 67

A =

5 7 7

2 4 3

3 5 6

det A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣5 7 7

2 4 3

3 5 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 10

Per il Teorema di Cramer il sistema ammette una sola soluzione.

x =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣96 7 7

45 4 3

67 5 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣10

=8010

= 8

y =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣5 96 7

2 45 3

3 67 6

∣∣∣∣∣∣∣∣∣10

=5010

= 5

27

z =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣5 7 96

2 4 45

3 5 67

∣∣∣∣∣∣∣∣∣10

=3010

= 3

Si potranno costruire 8 pezzi standard, 5 pezzi di lusso, 3 pezzi

fuoriserie.

28

4. Stabilire per quali valori del parametro reale k il sistema ammette

soluzioni: x − y = k

x + 2y = 2k

x − 3y = −2

Soluzione

A =

1 −1

1 2

1 −3

C =

1 −1 k

1 2 2k

1 −3 −2

ovviamente rgA ≤ 2 , piu precisamente

∣∣∣∣∣∣ 1 2

1 −3

∣∣∣∣∣∣ = −5 6= 0⇒ rgA = 2

det C =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 k

1 2 2k

1 −3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −4 + 6k − 2− 2k − 3k − 2k = −6− k

quindi detC = 0⇔ k = −6. Percio

se k = −6 allora rgC = rgA = 2 e il sistema ammette una sola

soluzione,

se k 6= −6, allora rgC = 3 6= 2 = rgA e il sistema non ha soluzioni.

29

5. Ciascuna equazione del seguente sistema rappresenta un piano nello

spazio tridimensionale.ax + by + cz = h

dx + ey + fz = k

px + qy + rz = w

Sotto quali condizioni i tre piani si incontrano in un solo punto?

Quando, invece, la loro intersezione e una retta ?

Soluzione

Dal Teorema di Rouche-Capelli, per avere una sola soluzione e suffi-

ciente verificare che rgA = rgC = 3 , dove

A =

a b c

d e f

p q r

e C =

a b c h

d e f k

p q r w

cioe basta verificare che detA 6= 0.

Se rgA = rgC = 2 , allora il sistema ha ∞1 soluzioni (retta).

Se rgA = rgC = 1 , allora il sistema ha ∞2 soluzioni (piano).

30

6. Discutere e risolvere in IR il seguente sistema lineare, essendo k un

parametro reale. 6x + (k − 2)y = k + 2

2x + 2ky = 2

4x − 2y = k

Soluzione

A =

6 k − 2

2 k

4 −2

C =

6 k − 2 k + 2

2 k 2

4 −2 k

det C =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣6 k − 2 k + 2

2 k 2

4 −2 k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

= 6k2 + 8(k − 2)− 4(k + 2)− 4k(k + 2) + 24− 2k(k − 2) =

= 6k2 + 8k − 16− 4k − 8− 4k2 − 8k + 24− 2k2 + 4k = 0⇒ rgC ≤ 2,

per ogni valore del parametro k.

Consideriamo la sottomatrice di A di ordine 2 formata dalla seconda

e dalla terza riga:

det

2 k

4 −2

= −4− 4k = 0⇔ k = −1

Se k 6= −1 allora rgA = 2 = rgC = numero incognite, quindi, per

il Teorema di Cramer, il sistema ammette una e una sola soluzione.

2x + ky = 2

4x− 2y = k

x =

∣∣∣∣∣∣ 2 k

k −2

∣∣∣∣∣∣−4− 4k

=−4− k2

−4− 4k=

k2 + 44k + 4

31

y =

∣∣∣∣∣∣ 2 2

4 k

∣∣∣∣∣∣−4− 4k

=2k − 8−4− 4k

=8− 2k

4k + 4

Se k = −1, allora il sistema diventa

6x− 3y = 1

2x− y = 2

4x− 2y = −1

A =

6 −3

2 −1

4 −2

C =

6 −3 1

2 −1 2

4 −2 −1

rgA = 1 poiche tutte le righe sono proporzionali

Per quanto riguarda C, la sottomatrice

−3 1

−1 2

ha determinante

pari a −6 + 1 = −5 6= 0, quindi rgC = 2.

Per k = −1 il sistema e impossibile.

32

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI

1. Risolvere i seguenti quesiti relativamente a ciascuna matrice A asseg-

nata:

A =

1 0

0 −1

A =

−1 0

0 −1

A =

0 −1

1 0

A =

0 1

−1 0

(a) Determinare nel piano cartesiano la relazione tra il vettore v =

(x, y) e il vettore trasformato w = A · v.

(b) Sia v = (2, 3) e w = A·v. Trovare la loro somma algebricamente

e geometricamente nel piano.

(c) Determinare gli autovalori e gli autovettori di A. Spiegarne il

significato geometrico.

2. Sia assegnata la matrice

A =

k 1

1 1

Determinare k ∈ IR in modo che la matrice A ammetta come au-

tovettori i vettori giacenti nelle bisettrici y = x e y = −x. Spiegarne

il significato geometrico.

3. Determinare una matrice quadrata A di ordine due avente come au-

tovalori i numeri λ1 = 1, λ2 = −2 e calcolare gli autovettori di

A.

4. Calcolare autovalori ed autovettori della matrice

A =

5√

3

−√

3 1

33

Indicare un’altra matrice diversa da A che abbia gli stessi autovalori

ed autovettori di A.


A =

−1 0 0

0 1 0

0 0 0

Trovare gli autovalori e gli autovettori di A. Spiegarne il significato

geometrico.

6. Assegnato il vettore v = (2, 3) disegnare e determinare le coordinate

di un vettore w che sia

- opposto a v,

- parallelo a v,

- perpendicolare a v.


A =

0 0 0

0 1 0

0 0 0

Trovare gli autovalori e gli autovettori di A. Spiegarne il significato

geometrico.

8. Trovare gli autovalori e gli autovettori della matrice

A =

1 1

1 1

e spiegarne il significato geometrico.

Come sono tra loro gli autovettori trovati?

9. Assegnata la matrice

A =

2 1

0 −3

determinare gli autovalori e gli autovettori di A e della sua inversa

A−1.

Stabilire le relazioni tra gli autovalori e gli autovettori delle due ma-

trici.

34

MATRICI, SISTEMI LINEARI E AUTOVETTORI: esercizi propostimatagria/Didattica/Analisi...18....

Documents

Transcript of MATRICI, SISTEMI LINEARI E AUTOVETTORI: esercizi propostimatagria/Didattica/Analisi...18....