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Prof. Guido Franchini

INDICE TEORIA • Definizione e tipologia di matrici • Operazioni tra matrici • Proprietà delle matrici • Determinante • Proprietà dei determinanti ESERCIZI • Somma, sottrazione e prodotto tra matrici • Calcolo del determinante • Calcolo della matrice inversa

Matrici e DeterminantiScaricabile su: http://lezioni.jimdo.com/

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Prodotto di matrici

Date due matrici ( )A am n i j, ,= , ( )B bn p i j, ,= noi intenderemo come prodotto delle due matrici

A B· , una matrice ( )C cm p i j, ,= che avrà lo stesso n° di righe A e lo stesso n° di colonne

di B .

Il prodotto denominato righe · colonne sarà possibile se e solo se il n° di colonne di A èuguale al n° di righe di B .

Avremo quindi :

A B Cm n n p m p, , ,� = ( )ci j, con c a b a b a bi j i j i j in nj, . . .= + + +1 1 2 2

Questa è solo una anteprima dimostrativadei contenuti disponibili nel File Completo: Matrici e determinanti su http://lezioni.jimdo.it Qui di seguito trovate una parte del capitolo"Teoria"

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che si può sintetizzare tramite il simbolo di sommatoria : c a bi j ir rjr

n

, ==

�1

.

Es. Date le matrici A2 3

2 0 2

2 1 3, =- -+ + +

Ø

ºŒ

ø

ߜ , B3 3

1 1 0

2 2 3

1 1 1, =

- ++ - -+ - +

Ø

º

ŒŒŒ

ø

ß

œœœ

calcolarne il prodotto :

Si avrà che A B C2 3 3 3 2 3, , ,� =c c c

c c c11 12 13

21 22 23

Ø

ºŒø

ߜ con :

c11 =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- � - + � + + - � + =2 1 0 2 2 1 0 , 12c = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0122012 =-�-+-�++�-

13c = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2123002 -=+�-+-�+�- , 21c = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3132112 +=+�+++�++-�+

22c = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3132112 -=-�++-�+++�+ , 23c = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0133102 =+�++-�++�+

quindi sarà : C2 3

0 0 2

3 3 0, =-

+ -Ø

ºŒø

ߜ .

PROPRIETA’ DELLE MATRICI

Nell’insieme delle matrici M, sono valide le seguenti proprietà:

1) (A+B)+C = A+(B+C) ( prop. associativa )

2) A+0 = 0+A = A ( esistenza elemento neutro )

3) A+ (-A) = (-A)+A = O ( esistenza elemento opposto )

4) A+B = B+A ( proprietà commutativa )

5) 1�A = A ( operatore unità )

6) h k� ( A) = ( )hk A ( propr. associativa mista )

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7) ( )h k+ A = h A + k A ( prop. distribut. rispetto alla somma di scalari )

8) h (A+B) = h A + h B ( prop. distribut. rispetto alla somma di matrici )

qualunque siano le matrici A , B , C e gli scalari h , k .

DETERMINANTE di una matrice An

Per determinante di una matrice An , intenderemo quel valore numerico (e quindi un numeroreale), espresso da un insieme di operazioni polinomiali, dettate da tutti gli elementi dellamatrice.Nel caso più specifico esaminiamo i determinanti di alcuni ordini di matrici.

Determinante di una matrice di ordine 1 .

[ ]A a1 11= � det A a a1 11 11= =

quindi il determinante di una matrice del 1° ordine è dato direttamente dal valore espressodall’unico suo elemento.

Determinante di una matrice di ordine 2.

Aa a

a a211 12

21 22

=Ø

ºŒø

ߜ� det A

a a

a a211 12

21 22

= = a a a a11 22 21 12-

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il determinante di una matrice del 2° ordine è dato dalla differenza dei prodotti deglielementi che costituiscono , rispettivamente, la diagonale principale ( a a11 22 ) e la diagonalesecondaria ( a a21 12 ).

Determinante di una matrice di ordine 3 .

Ci si può avvalere di due metodi di calcolo.

1) METODO DI SARRUS ( valido esclusivamente per matrici con n=3 )

2) METODO GENERALE ( secondo lo sviluppo di una linea della matrice )

Calcoliamo quindi il det A3 mediante il metodo di Sarrus .

det A3=

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

fia a a a a

a a a a a

a a a a a

11 12 13 11 12

21 22 23 21 23

31 32 33 31 33

( ) ( )det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a3 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12= + + - + + .

Tale metodo consiste quindi nel riportare , parallelamente alla 3^ colonna, le prime due, edeseguire la somma delle tre diagonali principali alle quali viene sottratta la somma delle trediagonali secondarie.

Es. Calcolare il determinante :

A3

1 2 1

0 3 2

1 4 2

=

- + -

+ ++ + -

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17.œœœ

ß

ø

ŒŒŒ

º

Ø

---++-

=œœœ

ß

ø

ŒŒŒ

º

Ø

-+++--

+=

150

103

101

,

412

412

010

BA

042

421

412

412

010

=-+

+--=

-++

+--

+

=A non esiste l'inversa .

Questa è solo una anteprima dimostrativadei contenuti disponibili nel File Completo: Matrici e determinanti su http://lezioni.jimdo.it Qui di seguito trovate solo uno dei tanti esercizi svolti presenti nel capitolo "Esercizi"

Calcolare il determinante e , quando possibile , la matrice inversa delle seguenti matrici

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1013

115

150

103

101

-=-+

+-+=

--

-+

+-

=B

���

���

�

=-

-

+�+

==-

--

+�-

==-

--

-�+

= 010

10

101

,2

1

10

15

101

,2

1

10

15

101

131211 bbb

����������

�

����������

�

�

œœœœœœ

ß

ø

ŒŒŒŒŒŒ

º

Ø

++

---

++

=�

=-

+

-�+

==-

-

-�-

==-

-

+�+

=

-=-

-+

+-�-

=-=-

-

+-�+

=-=-

-

-+�-

=

-

02

1

2

35

1

10

1

10

3

02

1

2

1

010

03

011

,2

1

10

50

011

,2

3

10

50

031

5

1

10

13

111

,10

1

10

10

111

,10

3

10

10

131

1

333231

232221

B

bbb

bbb

infatti come da verifica :

œœœ

ß

ø

ŒŒŒ

º

Ø=

œœœœœœ

ß

ø

ŒŒŒŒŒŒ

º

Ø

++

---

++

�œœœ

ß

ø

ŒŒŒ

º

Ø

---++-

=� -

100

010

001

02

1

2

35

1

10

1

10

3

02

1

2

1

150

103

1011BB