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Numerica e aritmetica dei calcolatori Matrici

Docente: Ivan Zivko 1

Matrici

NUAC Capitolo 2

Ivan Zivko

Introduzione

•Una matrice si può descrivere come una tabella ordinata di elementi, ognuno dei quali ha una posizione ben precisa.

NUAC 2

987

654

321

M



Introduzione• Se il numero di righe è n e il numero di colonne è m, allora diremo che è una matrice di dimensione nxm.

•Ogni elemento della matrice potrà essere identificato dalle coordinate riga (i) e colonna (j).

NUAC 3

Introduzione

NUAC 4



Introduzione

• Si utilizzano per esempio per:

– rappresentare dati che dipendono da due variabili,

– risolvere sistemi di equazioni,

– attuare trasformazioni geometriche di figure,

– ecc.

NUAC 5

Introduzione

• A dipendenza delle sue dimensioni possiamo distinguere alcuni tipi di matrici:

– Matrici rettangolari, ad es. (4x3)

– Matrici quadrate, ad es. (3x3)

– Matrici colonna (o vettori), ad es. (3x1)

– Matrici riga, ad es. (1x3)

NUAC 6



Scilab: costruire una matrice

• In scilab, qualsiasi elemento è considerato una matrice. Anche un qualsiasi numero è trattato come una matrice 1x1.

• Esempio: per costruire la matrice della prima slide basta inserire:

--> M=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

NUAC 7

Operazioni con matrici

• Prodotto con uno scalare: è la moltiplicazione di una matrice con un numero (ovvero uno scalare). In questo caso ogni elemento della matrice viene moltiplicato per questo numero.

• Esempio: moltiplicazione di uno scalare λ con una matrice qualsiasi 4x4:

NUAC 8

4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa



Operazioni con matrici• Somma/sottrazione di matrici: è possibile solo

se le matrici hanno le stesse dimensioni! In questo caso gli elementi delle due matrici che sono nella medesima posizione vengono sommati o sottratti.

• Esempio:

NUAC 9

1

1

9

13

3

3

1

3

2

10

4

5

0

4

7

3

1

2

Operazioni con matrici• Prodotto di matrici: è possibile moltiplicare tra

loro due matrici A e B solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B.

NUAC 10

m

n m

p p

n

pnpmmn CBA




• Esempio:

NUAC 11

4

1

0

3

1

1

2

121

110

112

201

4121021


• Proprietà del prodotto tra matrici:

– Non vale la proprietà commutativa!

– Vale la proprietà associativa:

NUAC 12

ABBA

CBACBA



Scilab: operazioni• Siano A e B due matrici, λ uno scalare.

• Somma e sottrazione:

--> A+B

--> A-B

• Prodotto con uno scalare:

--> λ*A

• Prodotto di matrici:

--> A*B

NUAC 13


• Proprietà del prodotto tra matrici:

– L’elemento neutro (detto matrice identità) esiste solo nella moltiplicazione con matrici quadrate!

NUAC 14

nnnnnn AIA

100

01

0

010

001

nnI



NUAC 15

Scilab: matrice identità

• Esiste un comando in Scilab che crea la matrice identità di qualsiasi dimensione:

--> eye(num. righe, num. colonne)

• Esempio: la matrice identità 3x3 si troverà nel seguente modo:

--> eye(3,3)

NUAC 16



La matrice trasposta

• Data una matrice A se ne può ricavare un’altra scambiando le righe con le colonne. La nuova matrice ottenuta si dice matrice trasposta e si indica con AT.

• Esempio:

NUAC 17

120

753

17

25

03TAA

La matrice trasposta

• Proprietà della trasposizione:

NUAC 18

TTT

TTT

ABBA

BABA



Scilab: matrice trasposta

• Se A è una matrice, e vogliamo ricavare la sua trasposta con Scilab, dobbiamo aggiungere l’apostrofo dopo la lettera:

--> A’

NUAC 19

La matrice inversa

• Se esiste l’elemento neutro possiamo allora supporre che esiste anche l’elemento inverso, o nel nostro caso la matrice inversa, che indichiamo con A-1.

• Siccome l’elemento neutro esiste solo per le matrici quadrate, ciò vale anche per l’inversa.

• Non tutte le matrici quadrate hanno l’inversa!

NUAC 20

IAAAA 11



NUAC 21

La matrice inversa

• Esempio:

NUAC 22

17325

11216

19328

892

413

5611AA



Scilab: matrice inversa

• Se A è una matrice, e se l’inversa esiste, il comando per trovarla è:

--> inv(A)

NUAC 23

Rappresentazione con matrici• Esempio: un commerciante vende tre prodotti

A, B e C ai rispettivi prezzi di 10, 5 e 8 CHF. Possiamo rappresentare ciò con la seguente matrice:

NUAC 24

8

5

10

P



Rappresentazione con matrici• Esempio: nel primo quadrimestre ha venduto

rispettivamente 30 prodotti A, 71 prodotti B e 52 prodotti C. Nel 2° trimestre invece 24 A, 83 B e 61 C. Nel 3° infine 46 A, 55 B e 65 C. Possiamo rappresentare le vendite con la seguente matrice:

NUAC 25

655546

618324

527130

V

Rappresentazione con matrici• Esempio: Moltiplicando le due matrici si

ottengono così le cifre d’affari ottenute nei tre quadrimestri.

NUAC 26

1255

1143

1071

8

5

10

655546

618324

527130

PVC



Il determinante

• Dagli elementi di una matrice quadrata è possibile estrapolare un particolare numero, detto determinante, che mi da alcuneinformazione che vedremo in seguito.

NUAC 27

Il determinante• Per una matrice 2x2:

• Esempio: calcoliamo il determinante delle matrici A e B.

NUAC 28

A= ��

⇒ det � = � = ��

A=12 66 12

B=12 624 12



Il determinante• Per una matrice 3x3:

• Esempio:

NUAC 29

2322

1312

31

3332

1312

21

3332

2322

11

333231

232221

131211

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

963

852

741

A

NUAC 30



Il determinante

• Se il determinante è diverso da zero allora la matrice possiede l’inversa, in caso contrario no!

NUAC 31

NUAC 32



NUAC 33

NUAC 34

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