Addizione

Sottrazione

Potenze

Divisione

Moltiplicazione

Multipli e divisori

LE QUATTRO OPERAZIONI

Una operazione aritmetica è quel procedimento che fa corrispondere ad una coppia ordinata di numeri (termini dell’operazione) un terzo numero (risultato)

ADDIZIONE: E’ l’operazione che associa a una coppia ordinata di numeri un terzo numero che si ottiene contando dopo il primo numero tante unità quante sono quelle del secondo numero. I termini dell’addizione si dicono addendi il risultato somma o totale. Es : 5+6 =11 (5 e 6 addendi ; 11 somma)

L’insieme N è chiuso rispetto all’addizione perché la somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale : a + b = c con a, b, c appartengono a N

L’ addizione si può rappresentare graficamente : si scrive l’immagine del primo addendo, si contano a partire da questa tante unità quante sono quelle del secondo addendo; il punto in cui si arriva è l’immagine della somma data. Es : 1+6 =7

PROPRIETA’ DELL’ADDIZIONE

1. Proprietà commutativa : cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambiaEs : 4+6 = 6 +4

2. Proprietà associativa : Se a due o più addendi sostituiamo la loro somma, la somma finale non cambia. Es: 3+2 +8 = 3+(2+ 8) = 13

3. Proprietà dissociativa : La somma non cambia se al posto di un addendo se ne sostituiscono altri aventi per somma l’addendo sostituito.Es : 45 +35 = 40 + 5 + 5 +30 =80

TUTTE LE PROPRIETA’ DELLE OPERAZONI SERVONO PER RENDERE PIU’ RAPIDI I CALCOLI, OVVIAMENTE NON CAMBIA MAI IL RISULTATO

LA SOTTRAZIONE

E’ l’operazione che fa corrispondere a una coppia ordinata di numeri la loro differenza.La differenza è quel numero , se esiste, che addizionato al secondo dà per somma il primo, per questo motivo la sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione

I termini della sottrazione sono : Minuendo , sottraendo , il risultato è la differenzaEs : 45 -14 = 31 (45 minuendo ; 14 sottraendo; 31 differenza)

la prova :31 +14 = 45

La sottrazione si può rappresentare graficamente : si parte dal minuendo e ci si sposta verso sinistra di tante unità quante sono quelle del sottraendo, il punto incui si arriva , se esiste, è l’immagine della differenza. Es (vedi fig.) 9 - 4 =5L’insieme N non è chiuso rispetto alla sottrazione perché per poterla eseguire in N il minuendo deve essere maggiore del sottraendo.

PROPRIETA’ DELLA SOTTRAZIONE

Proprietà invariantiva : Aggiungendo o sottraendo, se possibile, sia al minuendo che al sottraendo uno stesso numero diverso da zero, la differenza non cambiaEs : 45 – 38 = 7

Applicando la proprietà :(45 -5) – (38 -5) = 40 -33 = 7

Oppure

(45 + 2) – (38 +2) = 47 – 40 =7

LA MOLTIPLICAZIONE

La moltiplicazione è l’operazione che associa a due numeri (FATTORI) un terzo numero (PRODOTTO) che si ottiene sommando tanti addendi uguali al primo quante sono le unità del secondo.

ES: 4 x 8= 32 cioè 4+ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32

La moltiplicazione è una operazione interna all’insieme N, esso pertanto si dirà chiuso rispetto alla moltiplicazione.Il prodotto di tre o più fattori si ottiene moltiplicando al prodotto tra i primi due il terzo fattore e così via.

ES: 3 x 4 x5 = 12 x5 = 60.

La moltiplicazione si può rappresentare sulla retta orientata: si deve individuare il primo fattore , successivamente si compiono tanti salti pari al primo fattore quante sono le unità del secondo fattore, il punto in cui si arriva è l’immagine del prodotto ES : 2 x 4

PROPRIETA’ DELLA MOLTIPLICAZIONE

PROPRIETA’ COMMUTATIVA : cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia

ES : 5 x 6 = 6 x 5

PROPRIETA’ ASSOCIATIVA : Il prodotto di più fattori non cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto.

ES : 5 x2 x 6 = 10 x6 =60

PROPRIETA’ DISSOCIATIVA : Il prodotto di due o più fattori non cambia se a un fattore se ne sostituiscono altri aventi per prodotto il fattore sostituito.

ES : 80 x 5 = 8 x 10 x 5 = 400

PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA: Per moltiplicare una somma (o una differenza) per un numero si può moltiplicare ogni singolo termine per quel numero e poi addizionare (o sottrarre) i prodotti ottenuti.

ES : (7 + 3) x 5 = (7 x 5 ) + (3 x 5) = 50

( 8 - 5) x 2 = (8 x2) – (5 x 2) = 6

LA DIVISIONE

La divisione è l’operazione che associa a due numeri (dividendo e divisore) un terzo numero, se esiste , quoto che moltiplicato al divisore dà come risultato il dividendo.

Es : 20 : 4 = 5 perché 5 x4 =20

Questa divisione si dice propria. Una divisione si dice impropria se non è esatta, cioè rimane il resto

Es: 34 : 4 = 8 resto 2 perché 8 x4 = 32 +2 = 34

La divisione non è sempre possibile in N quindi l’insieme N è aperto rispetto alla divisione e la divisione non è una operazione interna all’insieme N

La divisione si può rappresentare sulla retta numerica: si parte dal dividendo e si fanno tanti salti fino allo 0 ampi quante sono le unità del divisore. Il numero dei salti sarà il quoto.Es : 12 :4 =3

QUOZIENTE APPROSSIMATO

Il risultato di una divisione impropria si dice quoziente. Se non si continua la divisione e si conclude con un quoziente intero questo sarà approssimato a meno di una unità. Potrà essere approssimato per difetto, o per eccesso

Es : 43 : 6 = 7…7 è il quoziente approssimato per difetto a meno di una unità, 8 è il quoziente approssimato per eccesso a meno di una unità

7 < (43 : 6) < 8

Continuando la divisione fino ai decimi, se la divisione continua ad avere resto ci sarà un quoziente approssimato per difetto a meno di un decimo

Es : 43 : 6 = 7,1…

7,1 è il quoziente approssimato per difetto a meno di un decimo7,2 è il quoziente approssimato per eccesso a meno di un decimo

7,1< (43 : 6) < 7,2Maggiore è il numero di cifre decimali più corretto è il quoziente.

Proprietà della divisione

Proprietà invariantiva: Se moltiplichiamo o dividiamo, se possibile, con unnumero diverso da zero, sia il dividendo che il divisore, il quoto non cambia.Se la divisione è impropria il resto rimane moltiplicato o diviso per quelnumeroEs : 40 :10 = 4con la p. invariant. (40 x2) : (10 x 2) = moltiplico per 280 : 20 =4

43 : 6 = 7 resto 1con la p. invariant. (43 x10) : (6 x 10) = moltiplico per 10430 : 60 = 7 resto 10.

Questa proprietà si usa obbligatoriamente quando il divisore è decimaleperché bisogna sempre che sia un numero naturale e quindi si moltiplicanosia il divisore che il dividendo per 10 o sue potenze.

Proprietà distributiva rispetto alla somma o alla differenza : Questaproprietà si può applicare solo se la somma o la differenza sono al postodel dividendo e se entrambi i termini sono divisibili per il divisore dato.Es: (65 +15) : 5 = (65 : 5) + (15 : 5) = 13 + 3 = 16(85 - 14) : 7 = non si può applicare perché 85 : 7 non è una divisionepropria

ELEVAMENTO A POTENZA

L’elevamento a potenza è l’operazione che associa a due numeri a (base) n (esponente) un terzo numero (potenza) che si ottiene moltiplicando la base per se stessa tante volte quante sono le unità del’esponente

Es : 53 = 5 x 5 x5 = 125

5 = base; 3 = esponente 125 = potenza

Per elevare a potenza un numero decimale, si esegue la potenza considerando la base un numero intero infine si mette la virgola separando da destra a sinistra tante cifre quante sono le cifre decimali della base moltiplicate l’esponente

Es: 1,52 = 15 x 15 = 225 quindi 2,25Es : 2,413= 241 x 241 x 241 = 13997521 quindi 13,997521

Una potenza che ha esponente 2 si dice anche al quadrato, se ha l’esponente tre si dice al cubo.Es: 162 si può dire 16 al quadrato o 16 alla seconda

163 si può dire 16 al cubo o 16 alla terza.

USO DELLE TAVOLE NUMERICHE

Le tavole numeriche riportano i quadrati, i cubi, la radice quadrata e la radice cubica dei primi mille numeri. Sono divise in colonne: nella colonna n sono riportati i numeri, nella colonna n 2, nella colonna n3 sono riportate rispettivamente la potenza al quadrato e la potenza al cubo di n.

PROPRIETA’ DELLE POTENZE

Potenze con lo stesso esponente:

a. Prodotto tra potenze che hanno base uguale e esponente diverso:E’ la potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Es : an x am = an + m Es: 54 x 53= 54+3 = 57

b. Quoto tra potenze che hanno la stessa base e esponente diverso : E’ la potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. Es : an x am = an - m

Es: 54 x 53= 54-3 = 51 (con n >m)

c. La potenza di una potenza :E’ una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto tra gli esponenti: Es : [(a) n]m= an x m [(5) 3]2= a3 x 2= 56

Potenze con lo stesso esponente:

a. Prodotto tra potenze che hanno base diversa e lo stesso esponente:E’ la potenza che ha per base il prodotto tra le basi e per esponente lo

stesso esponenteEs : anx bn x cn = (axbxc)n

32 x 42 x 52= (3 x 4 x 5)2= 602

b. Quoto tra potenze che hanno base diversa e lo stesso esponente:E’ la potenza che ha per base il quoto tra le basi e per esponente lo stesso

esponente:an : bn = (a : b)n 152 : 52= (15 : 5)2= 32

Proprietà distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione o alla divisione:Per elevare a potenza un prodotto (o un quoto) si possono elevare a potenza isingoli termini e fare poi la moltiplicazione o il quoto.

(a x b x c )n= an x bn x cn (a : b )n= an : bn

PROPRIETA’ DELLE POTENZE

CASI PARTICOLARIPotenze con esponente 1 :La potenza con esponente 1 è sempre uguale alla base :Es : a1 = a Es. con i numeri : 71 = 7

Potenza con esponente 0 :La potenza con base diversa da 0 e esponente 0 è sempre uguale a 1 qualunque sia la base:a0 = 1 Es. con i numeri 780 = 1 00 non ha significato

Potenza con base 1:E’ sempre uguale a 1 perché 1 moltiplicato per se stesso dà sempre come prodotto 11n = 1 Es. con i numeri 18 = 1

Potenza con base 0 ed esponente diverso da 0:E’ sempre uguale a 0 Es 0n= 0 Es . con i numeri 056 = 0

Operazioni inverse

La radice: Estrarre la radice, di indice n di un numero (radicando) significa determinare il numero (radice) che elevato a n dà il radicando

81 273 16481 è il radicando, l’indice è 2 (non si scrive) la radice quadrata di 81 è 9 perché 92 = 8127 è il radicando, l’indice è 3, la radice cubica di 27 è 3 perché 33 =2716 è il radicando, l’indice è 4, la radice quarta di 16 è 2 perché 24 =16

La radice è quindi l’operazione inversa della potenza che ci permette di calcolare la base conoscendo la potenza (radicando) e l’esponente (indice)

Il logaritmo: Calcolare il logaritmo in una determinata base di un numero (argomento) significa trovare quel numero (logaritmo) a cui bisogna elevare quella base per trovare l’argomento

log2 16 = 4 perché 24 =16 log5 625 = 4 perché 54 =625

2 è la base, 16 è l’argomento, 4 è il logaritmo5 è la base, 625 è l’argomento, 4 è il logaritmo

Il logaritmo è l’operazione inversa della potenza che dati la base e la potenza (argomento) ci consente di trovare l’esponente (logaritmo)

NOTAZIONE SCIENTIFICA

Consideriamo le potenze con base 10:101 = 10102 = 100103 = 1 000104 = 10 000106 = 1 000 000Una potenza di base 10 ed esponente positivo è un numero formato da 1 e da tanti 0 quante sono le unità dell’esponente

Consideriamo le potenze che hanno per base 0,1:0,11 = 0,1 corrisponde a 10-1

0,12 = 0,01 corrisponde a 10-2

0,13 = 0,001 corrisponde a 10-3

0,14 = 0, 0001 corrisponde a 10-4

0,16 = 0,00 0001 corrisponde a 10-6

Una potenza di base 10 ed esponente negativo è un numero formato da 0 eda tanti 0 decimali tranne l’ultima cifra che è 1 quante sono le unitàdell’esponente

UTILIZZO DELLE POTENZE DI10

Le potenze di 10 ci permettono di scrivere numeri molto grandi e/o numeri molto piccoli, sotto forma di un prodotto tra un numero decimale compreso tra 1 e 10 per una potenza di 10

Per numeri molto grandi :

Es : 5698 = 5,698 x 103 3467432 = 3,467432 x 106

Come si procede : 5698 : 1000 = 5,698 x 103

3467432 : 1 000 000 = 3,467432 x 106

Lo stesso si fa per i numeri molto piccoli utilizzando le potenze di 10 con esponente negativo

Es: 0,0098 =9,8 x 10-3 0,0000876 = 8,76 x 10-5

Questo modo di scrivere , utilizzando le potenze di 10, numeri molto grandi o molto piccoli si dice “Notazione scientifica”

ORDINE DI GRANDEZZAL’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 più vicina a quel numeroPer individuarla bisogna: Scrivere il numero in notazione scientifica e considerare a quali potenze di 10 è vicino Se l’unità del numero scritto in notazione scientifica è uguale o maggiore di 5 si sceglie la potenza di 10 maggiore Se l’unità del numero scritto in notazione scientifica è minore di 5 si sceglie la potenza di 10 minore

Es : 7897 in notazione scientifica : 7,897 x 103

Quindi 103 < 7,897 x 103 < 104 L’ordine di grandezza è 104

Per i numeri molto piccoli si usano le potenze di 10 con esponente negativo: all’esponente con il valore numerico maggiore corrisponde il numero decimale minore

Es : 0,02325 in notazione scientifica : 2,325 x 10-2

Quindi 10-2 < 2,325 < 10-1 L’ordine di grandezza è 10-2

SCRITTURA POLINOMIALE

Il nostro sistema di numerazione è decimale (o in base 10, perché si usano solo 10 simboli o cifre) e posizionale (perché ogni cifra assume valore in base al posto che occupa.Ora che conosciamo le potenze possiamo scrivere qualsiasi numero nella forma polinomiale usando le potenze di 10

Es : 34 543 = 3 x 104 +4 x103+ 5x 102 + 4x101 + 3x 10°Es: 456,764 = 4 x 102 + 5 x101 + 6 x 10° +7x 10-1 +6 x 10-2 + 4 x 10-3

In un sistema a base 5 le cifre che si possono utilizzare sono 5 e cioè: 0 -1 - 2 - 3 – 4Utilizzando anche per questo sistema la base polinomiale avremo:(2314)5 = 2 x 53 +3 x 52 +1x 51 +4 x 50

Eseguendo i calcoli troverò il numero espresso in base 10:2 x125 +3 x25 +1x5 +4 x1 = 250 +75 +5+4= 334

SISTEMA BINARIO

E’ il sistema di numerazione a base 2. Ha solo due cifre : 0 -1. E’ il linguaggio utilizzato in elettronica perché convertibile in segnale elettrico.

Per trasformare un numero dal sistema binario a quello decimale si usa la forma polinomiale:Es . (10110)2 = 1x 24 + 0 x 23 +1x 22 +1 x 21 + 0 x 20

Calcolando: 16 + 0 +4 +2+ 0 =22Per passare da un numero in base 10 al corrispondente in base 2 bisogna effettuare divisioni consecutive:

35 : 2 = 17 resto 1 20

17 : 2 = 8 resto 1 21

8 : 2 = 4 resto 0 22

4 ; 2 = 2 resto 0 23

2 : 2 =1 resto 0 24

1 : 2 = 0 resto 1 25 Il numero in base 2 è (100011)2

MULTIPLI E DIVISORI

Si dice multiplo di un numero “a” diverso da zero, ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per ciascun elemento di N.Poiché N = { }..104,..95....7...3,2,1,0

Zero è multiplo di tutti i numeri quindi non lo si considera, inoltre poiché l’insieme N è infinito anche i multipli di un numero sono infiniti. L’insieme dei multipli di un numero si indicaEs : M4= { }..220,..100,....44,...20,16,12,8,4,0

Solo lo zero ha un solo multiplo : 0

Altri esempi : M8 = { }..224,..104,....40,...32,24,16,8,0

M7 = { }..217,..105,....49,...35,21,14,7,0

Se una divisione è esatta o propria cioè non ha resto, Es : a:b = c il divisore dato “b” sarà detto anche divisore di a o sottomultiplo di a

a = multiplo di b b = sottomultiplo di aa= divisibile per b b = divisore di a

Se la divisione a : b = c + resto non è esatta si dirà che:

a non è divisibile per b b non è divisore di a.I sottomultipli di un numero diverso da zero si dicono fattori di quel numero, l’insieme dei divisori si indica:D8= D10= D13=

DIVISORI

{ }8,4,2,1 { }10,5,2,1 { }13,1

OSSERVAZIONIL’insieme dei divisori di un numero è finito. 1 è divisore di tutti i numeri.Ogni numero è divisibile per se stesso.Se un numero a è divisibile per il numero b saranno divisibile per b anche i sui multipli Es : 21 è divisibile per 3 e per 7, anche 42, 63, 210 …saranno divisibili per 3 e per 7

CRITERI DI DIVISIBILITA’

PER 2 : Un numero è divisibile per 2 se l’ultima sua cifra a destra è pari o zero(0 – 2 – 4 - 6 – 8). Es:Sono divisibili per 2 : 34; 876; 900; 654; 3456…. Non sono divisibili per 2 : 65; 87; 549; 8761,……….

PER 5 : Un numero è divisibile per 5 se l’ultima sua cifra a destra è 5 o zero(0 – 5). Es:Sono divisibili per 5 : 35; 875; 900; 170; 34585…. Non sono divisibili per 5 : 643; 887; 2549; 80761,……….

PER 10 -100 -1000 : Un numero è divisibile per 10-100-1000… se l’ultima sua cifra a destra è uno zero, due zeri, tre zeri…….(0 – 00 – 000 – 0000…….). Es:Sono divisibili per 10 : 30; 870; 950; 170; 34580…. Non sono divisibili per 10 : 643; 887; 2549; 80761,……….

Sono divisibili per 100: 400, 5300, 7400, 763 200, …)Non sono divisibili per 100: 340, 5320, 2189, 43876..)

PER 3 e per 9 : Un numero è divisibile per 3 se sommando tutte le sue cifre si ottiene un multiplo di 3. Es:

Sono divisibili per 3 : 36 perché 3+6 =9; 876 perché 8+7+6 = 21; 900 perché 9+0+0 =9 ; 654 perché 6+5+4 = 15Non sono divisibili per 3 : 65 perché 6+5 = 11; 82 perché 8+2 =10;

841 perché 8+4+1=13;

Un numero è divisibile per 9 se sommando tutte le sue cifre si ottiene un multiplo di 9. Es:Sono divisibili per 9 : 405 perché 4+0+5 =9 7317 perché 7+3+1+7 = 18Non sono divisibili per 9: 329 perché 3+2+9 =14 806 perchè 8+0+6 =14

PER 4: Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure multipli di 4(00 – 04 – 20 - 40 – 08 – 80 – 12 – 16 – 32 – 36…) Es :

Sono divisibili per 4 : 340, 520, 7656Non sono divisibili per 4 : 342, 574, 4321

PER 25: Un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre sono 00 oppure multipli di 25(00 – 25 – 50 – 75) Es :

Sono divisibili per 25 : 350, 2500, 7675Non sono divisibili per 25 : 340, 5472, 43205

PER 11: Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle sue cifre di posto dispari e quella delle sue cifre di posto pari (o viceversa) è zero, 11 o multiplo di 11.

Sono divisibili per 11 : 363 perché (3+3) – 6 =0, 3509 perché (5+9) – (3 + 0) =14-3=11, 7656 perché (7+5) – (6+6) = 12 -12 =0

Non sono divisibili per 11 : 342, 574, 4321 perché …..