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Universitagrave degli Studi di Verona

FACOLTAgrave DI SCIENZE DELLA FORMAZIONECorso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria

Enrico Gregorio

Note per il corso diFondamenti di Matematica

Anno Accademico 2011ndash2012

Indice

Capitolo 1 Definire la matematica bull 1

11 Uguaglianza bull 2

12 Contare bull 4

13 Forme bull 7

14 Misure bull 11

Capitolo 2 Numeri naturali bull 15

21 Numeri e numerali bull 16

22 Addizione bull 18

23 Maggiore e minore bull 20

24 Moltiplicazione bull 21

25 Il sistema posizionale bull 22

Capitolo 3 Gli algoritmi delle operazioni bull 27

31 Lʼalgoritmo dellʼaddizione bull 28

32 Lʼalgoritmo della moltiplicazione bull 30

33 Lʼalgoritmo del confronto bull 33

34 Lʼalgoritmo della sottrazione bull 33

Capitolo 4 La divisione nei numeri naturali bull 35

41 Esistenza del quoziente e del resto bull 35

42 Unicitagrave del quoziente e del resto bull 36

43 Lʼalgoritmo della divisione bull 37

44 Il resto nella divisione bull 39

Capitolo 5 Frazioni bull 43

51 Divisione in parti uguali bull 43

iii

iv Indice

52 Introdurre le frazioni bull 4453 Frazioni e numeri interi bull 4654 Addizione tra frazioni bull 4655 Ordinamento tra frazioni bull 4756 Moltiplicazione tra frazioni bull 4857 La densitagrave dei numeri razionali bull 4958 Frazioni decimali bull 5059 Numeri decimali periodici bull 51

Capitolo 6 Che cosʼegrave la matematica bull 55

61 Apollonio e Kepler bull 5562 I numeri in circolo bull 5663 Infinito bull 5764 I numeri interi bull 5865 Alcuni problemi bull 59

Capitolo 1

Definire la matematica

Matematica viene dal greco μάθημα [maacutethēma] che significa lsquoconoscen-zarsquo lsquostudiorsquo La divisione classica degli studi matematici egrave in aritmetica (daἀριθμός [arithmoacutes] numero) e geometria (da γεωμετρία [geometriacutea] misu-razione della terra)

Nel corso dei secoli si sono aggiunti molti altri rami al grande alberodella matematica ma bene o male si capisce quasi sempre quando qualco-sa egrave matematica La rivoluzione nella matematica moderna nasce nel nonosecolo con lrsquoalgebra di Abū Aʿbdallāh Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmīlrsquoalgebra penetrograve in occidente ed ebbe la sua esplosione nel sedicesimo se-colo con gli studi sulle equazioni di terzo e quarto grado a opera di Scipio-ne del Ferro Niccolograve Tartaglia Lodovico Ferrari e Girolamo Cardano Mafu nel diciassettesimo secolo che lrsquoalgebra si impose con lrsquointroduzione delmetodo delle coordinate da parte di Reacuteneacute Descartes sebbene non si debbadimenticare lrsquoopera di Pierre de Fermat

Non si troveragrave qui la definizione di matematica parafrasando lrsquoautoredi un libro di testo di fisica che scrisse ldquoPhysics is what physicists do latein the nightrdquo potremmo dire che la matematica egrave ciograve che fanno i matema-tici possibilmente insegnando a tutti ciograve che fanno Percheacute la dovrebberoinsegnare La risposta egrave abbastanza ovvia percheacute serve

Ora ciascuno dovrebbe porsi unrsquoaltra domanda qual egrave il concetto fon-dante della matematica Ciascuno di noi egrave capace di comprenderne almenoqualche parte trovare qualcuno che non abbia alcuna cognizione di tipomatematico egrave davvero difficile Si racconta di tribugrave amazzoniche che posse-devano solo lsquounorsquo lsquoduersquo lsquotrersquo lsquoquattrorsquo e lsquomoltirsquo ma giagrave la distinzione fralsquopochirsquo e lsquomoltirsquo egrave matematica

Sono noti esperimenti etologici che provano come certe specie animaliabbiano consapevolezza del numero i famosi corvi che lsquocontavanorsquo il nu-mero di persone in una baracca e non si facevano ingannare almeno finoal numero di quattro Ma matematica non egrave solo numero come potremmo

1

2 Capitolo 1 Definire la matematica

classificare la capacitagrave dei colombi di orientarsi dei cani di trovare la stradadi casa anche senza ausilio del fiuto degli orsi di capire quando viene lrsquoin-verno Istinto naturale certamente ma che ci dagrave lrsquoidea che la matematicanon egrave solo frutto dellrsquointelligenza

Non crsquoegrave dubbio che giagrave i nostri antichi progenitori avessero qualche abi-litagrave matematica contare le pecore del gregge saper valutare merci da ba-rattare dividersi le prede La strada da questo al calcolo differenziale o allasoluzione della congettura di Poincareacute egrave molto lunga ma da qualcosa si egravecominciato

11 Uguaglianza

Giagrave che ci siamo diciamo francamente che in italiano moderno si dicelsquougualersquo e lsquouguaglianzarsquo e non come si trova in certi libri dal linguaggio au-lico lsquoegualersquo e lsquoeguaglianzarsquo In quei libri si trovano anche lsquoallrsquouoporsquo lsquodicesirsquoe altri manierismi che saragrave meglio tralasciare se vogliamo farci comprende-re

Che significa lsquougualersquo Ecco alcune definizioni da dizionari in inglese egraveequal in francese eacutegal

Che nella natura o nellrsquoaspetto non differisce non si discosta sostan-zialmente da un altro oggetto elemento individuo (Treccani)

Che ha le stesse caratteristiche e proprietagrave di unrsquoaltra cosa o personacon cui viene messo a confronto (Sabatini Coletti)

Che non egrave differente da altro o da altri che ha la stessa natura formaquantitagrave qualitagrave valore e simili rispetto a qualcosa (Gabrielli)

Being the same in quantity size degree or value (New Oxford Amer-ican Dictionary)

Qui ne preacutesentent pas de diffeacuterence quantitative (Treacutesor de la languefranccedilaise)

Sono state prese solo le prime definizioni tuttavia sembra proprio che leidee non siano concordi per quanto riguarda il significato di lsquougualersquo Ve-diamo gli stessi dizionari per lsquodifferentersquo (in inglese different e in francesediffeacuterent)

Che ha natura o qualitagrave dissimili da quelle di un altro oggetto o per-sona con cui egrave confrontato (Treccani)

Che in tutto o in parte si distingue da un altro termine con cui vieneimplicitamente o esplicitamente raffrontato (Sabatini Coletti)

Che differisce che egrave di natura qualitagrave aspetto diverso da qualcuno oqualcosa che costituisce termine di confronto (Gabrielli)

11 Uguaglianza 3

Not the same as another or each other unlike in nature form or qual-ity (New Oxford American Dictionary)

Qui diffegravere de qui preacutesente des caractegraveres distinctifs par rapport agrave unautre ecirctre agrave une autre chose (Treacutesor de la langue franccedilaise)

Ecco invece che dicono i dizionari per lsquodiversorsquo (in inglese crsquoegrave unequal infrancese divers)

Che non egrave uguale neacute simile che si scosta per natura aspetto quali-tagrave da altro oggetto o che egrave addirittura altra cosa (si distingue perciograveda differente in quanto la differenza puograve essere anche parziale e persingoli talora minimi aspetti mentre la diversitagrave egrave per lo piugrave totale)(Treccani)

Che si presenta con unrsquoidentitagrave una natura nettamente distinta rispet-to ad altre persone o cose (Sabatini Coletti)

Di natura qualitagrave aspetto condizione ecc non uguale neacute simile (Ga-brielli)

Not equal in quantity size or value (New Oxford American Dictio-nary)

Qui preacutesente plusieurs aspects ou caractegraveres diffeacuterents simultaneacutementou successivement (Treacutesor de la langue franccedilaise)

Le parole lsquougualersquo e lsquodiversorsquo si usano spesso in matematica ci tornere-mo Ciograve che si vuole sottolineare qui egrave che il concetto di uguaglianza si basasulla capacitagrave di astrarre

Quando la segreteria di un corso di laurea deve approntare lrsquoorario del-le lezioni e prenotare le aule necessarie considera solo quanti studenti sonoiscritti o devono frequentare un certo corso da ciascun individuo astrae laqualitagrave di essere studente e considera uguali due individui che abbiano quel-la qualitagrave trovando unrsquoaula che li contenga tutti Non ha alcuna rilevanzadove poi ciascuno studente si siederagrave

I gamberetti alla pescheria sono uguali O no Unrsquoorata e una cernia sonodiversi eppure sono pesci se astraiamo alcune loro qualitagrave sono uguali

A nessuno verrebbe mai in mente di considerare uguali penne candeleforbici e chiodi Eppure se domandassi a qualcuno di contare quanti og-getti ci sono nel bicchiere di terracotta sul mio tavolo chi distinguerebbe trapenne candele forbici e chiodi

Questa abilitagrave ci egrave necessaria esiste una nuvola uguale a unrsquoaltra Eppu-re sappiamo riconoscere la lsquonuvolitagraversquo Non crsquoegrave un albero identico a un altroma crsquoegrave qualche tipo di lsquouguaglianzarsquo fra i cipressi di Bolgheri Per costrui-re un muro ci occorrono mattoni il muratore li prende uno alla volta daun mucchio percheacute uno vale lrsquoaltro e non si chiede lsquoqualersquo mattone debbascegliere


Siamo capaci dunque di astrarre la qualitagrave che ci serve per eseguire certicompiti o per fare valutazioni Certi atti possono essere del tutto automaticicome contare gli oggetti dentro il bicchiere oppure i pesci esposti sul banco-ne Il pastore sa contare le pecore del gregge considerandole tutte uguali masa anche riconoscerne le differenze quando si tratta di mungerle o tosarle odi decidere quali portare al mercato

Due o piugrave cose possono essere considerate uguali per certi scopi e diver-se per altri Ma che succede quando consideriamo concetti astratti Lascia-mo da parte per ora questo problema

12 Contare

Il primo passo verso il contare egrave saper astrarre A un livello primitivosi astrae poco contiamo le pecore non egrave difficile considerare lsquougualirsquo duepecore se quello che ci interessa egrave sapere quante

Contare non significa usare i numerali non possiamo certo credere chegli uomini primitivi possedessero i numerali Piuttosto egrave probabile che siaiutassero con segni su pezzi di legno tracciando un segno per ogni pecoraquando usciva al pascolo e confrontando poi quando rientrava Cosigrave egrave facilesapere se qualcuna non egrave tornata per andarla a cercare oppure rallegrarsipercheacute ce nrsquoegrave qualcuna in piugrave

Possiamo suddividere una quantitagrave di mele fra piugrave persone senza biso-gno di contarle e di eseguire la divisione sulla carta basta darne una perciascuno e ripetere lrsquooperazione fincheacute abbiamo ancora mele

Queste sono operazioni elementari il passo decisivo egrave di rendersi contoche il procedimento del contare egrave lo stesso in tutti i casi Ma occorre primaun altro passo assegnare nomi alle quantitagrave

Con lsquonomersquo intendo qualsiasi modo per indicare qualcosa di certo i su-ricati del Kalahari non parlano ma hanno un sistema di codici gestuali esonori che permettono alle sentinelle di comunicare agli altri del gruppo lapresenza di pericoli Il linguaggio umano egrave ovviamente molto piugrave flessibilee potente ma non crsquoegrave grande differenza concettuale

Riconoscere lsquounorsquo rsquoduersquo come nomi di quantitagrave astratte egrave davvero un bal-zo gigantesco In alcune lingue antiche si usavano numerali diversi per cosediverse ma non nella nostra giagrave lrsquoindoeuropeo non faceva questa distinzio-ne In latino i numerali lsquounusrsquo lsquoduorsquo lsquotresrsquo erano declinati lrsquoindoeuropeo lipercepisce come aggettivi

Lrsquoaltro balzo egrave forse riconoscere che egrave possibile combinare questi nomiper formarne altri In tedesco si dice tuttora lsquozwei und dreissigrsquo per direlsquotrentaduersquo Basta dare nomi a gruppi di unitagrave per arrivare a nominare tut-te le quantitagrave inferiori a cento e questi nomi sono di nuovo basati su quellidei numeri inferiori a dieci Lo schema si puograve ripetere dando nuovi nomi

12 Contare 5

ai gruppi che via via si riconoscono mille milione miliardo Si tenga perogravepresente che lsquomilionersquo compare in italiano nel Medioevo e da qui si diffon-de nel mondo agli antichi romani non servivano nomi del genere per unmilione potevano dire decies centena milia dieci centinaia di migliaia

In alcune lingue resta una traccia di nomi diversi in inglese ci sono elevene twelve che in tedesco sono elf e zwoumllf Percheacute Dieci uova non si possonoimpacchettare bene allo stesso modo di dodici uova

La storia della numerazione egrave lunga come quella dellrsquouomo un susse-guirsi di intuizioni geniali e di ricadute allrsquoindietro I babilonesi possede-vano un sistema a base posizionale piugrave di cinquemila anni fa che avevaperfino lo zero un gruppo di unitagrave mancanti veniva indicato lasciando unospazio vuoto Il sistema babilonese permetteva di scrivere numeri qualsia-si con due soli simboli base in realtagrave tre percheacute lo spazio vuoto egrave il terzoAnche i maya possedevano una notazione numerica basata su tre simboli

I greci avevano invece sistemi di numerazione alfabetici piuttosto insod-disfacenti Quello prevalente detto ionico richiedeva ventisette simboli unoin piugrave serviva per esprimere numeri piugrave grandi di diecimila Almeno comedimostrograve Archimede questo sistema permetteva di esprimere numeri arbi-trariamente grandi Il sistema romano assai inefficiente non aveva questapossibilitagrave

A che serve avere un sistema di notazione Prima che a eseguire i cal-coli per i quali egrave sufficiente un abaco serve a dare nomi ai numeri Di fattonoi adoperiamo due modi di nominare i numeri quello simbolico e quelloverbale Quello simbolico sarebbe sufficiente se leggessimo le cifre secondola tabella

ba la ca ma da na fa pa ga ra

potremmo nominare il numero come cafalanabadaga e non aver bi-sogno di assegnare nomi alle unitagrave superiori Egrave chiaro che la doppia nomen-clatura deriva da fattori storici ma non solo quando diciamo ldquounmilione-trecentocinquantasettemilaventiquattrordquo abbiamo chiaro lrsquoordine di gran-dezza del numero Si potrebbe ovviare al problema leggendo il numero co-me ca-i-falana-i-badaga e il numero di lsquoirsquo intercalate darebbe la stessa infor-mazione

Questioni di abitudine nientrsquoaltro Forse il modo verbale ci aiuta a es-sere piugrave concreti non egrave un caso che diciamo ldquoun milione di personerdquo adifferenza di ldquomille personerdquo Il lsquomilionersquo egrave un numero tanto grande chenon riusciamo a percepirlo che come un grosso mucchio mentre ldquomillerdquo


egrave piugrave facilmente visualizzabile In inglese si direbbe ldquoa million peoplerdquo laregolaritagrave dei numerali come aggettivi prevale

Stiamo un porsquo precorrendo i tempi Torniamo alla questione dei nomiuno degli aspetti da tenere presenti egrave che il nome non egrave la cosa nominataEcco un celebre passo al riguardo

rsquoTis but thy name that is my enemyThou art thyself though not a MontagueWhatrsquos Montague it is nor hand nor footNor arm nor face nor any other partBelonging to a man O be some other nameWhatrsquos in a name that which we call a roseBy any other name would smell as sweetSo Romeo would were he not Romeo callrsquodRetain that dear perfection which he owesWithout that title Romeo doff thy nameAnd for that name which is no part of theeTake all myself

Sono parole di Giulietta nel secondo atto di lsquoRomeo and Julietrsquo Ecco unatraduzione

Il tuo nome soltanto egrave mio nemico tu sei sempre tu stesso anche senzaessere un Montecchi Che significa Montecchi Nulla non una manonon un piede non un braccio non la faccia neacute unrsquoaltra parte qualun-que del corpo di un uomo Oh datti un altro nome Che cosa crsquoegrave in unnome Quella che noi chiamiamo rosa anche chiamata con unrsquoaltraparola avrebbe lo stesso odore soave cosigrave Romeo se non si chiamassepiugrave Romeo conserverebbe quella preziosa perfezione che egli possie-de anche senza quel nome Romeo rinunzia al tuo nome e per essoche non egrave parte di te prenditi tutta me stessa

Unrsquoaltra citazione che pare appropriata egrave la chiusura del lsquoNome dellarosarsquo di Umberto Eco

Stat rosa pristina nomen nomina nuda tenemus

ldquoDella rosa che esisteva rimane solo il nome possediamo solo nudi nomirdquopuograve essere una traduzione Pare che invece di lsquorosarsquo il testo da cui egrave tratta lacitazione riportasse lsquoRomarsquo ldquodellrsquoantica Roma rimane solo il nome posse-diamo solo nudi nomirdquo

Non dobbiamo mai dimenticare che lsquoVeronarsquo non egrave la cittagrave di Verona masolo il suo nome Cosigrave nominare un numero non egrave avere quel numero cherimane sempre un concetto astratto Crsquoegrave una differenza a Verona possiamocamminare e ammirarne le bellezze artistiche di un numero possiamo solocogliere una sua rappresentazione lsquoDue manirsquo non sono il numero due lsquorsquonon egrave il numero due ma solo un suo nome Egrave una qualitagrave comune a tutti i

13 Forme 7

concetti astratti non possiamo toccare la bellezza ma possiamo riconoscerlaquando ne abbiamo davanti una rappresentazione

Ecco unrsquoaltra differenza le persone possono avere criteri di bellezza di-versi ma difficilmente avranno concezioni diverse del lsquoduersquo Qualcuno forsepotrebbe non digerire lsquoRomeo and Julietrsquo ma al punto di contare le paroledel titolo sarebbe drsquoaccordo con tutti che egrave formato da tre parole

Senza voler essere kantiani possiamo certamente convenire che lrsquointui-zione dei numeri lsquopiccolirsquo egrave la stessa per tutti Il concetto di numero lsquograndersquodipende viceversa da individuo a individuo E qui interviene lrsquoaritmeticache permette con semplici regole di trattare numeri qualsiasi indipenden-temente dalla percezione soggettiva

13 Forme

La geometria nasce da esigenze pratiche come del resto lrsquoaritmeticaErodoto ne racconta lrsquoorigine dalla necessitagrave degli antichi egizi di ripristi-nare i confini dei campi dopo le periodiche alluvioni del Nilo egrave probabileche una parte di veritagrave ci sia

Su che cosa si basa la geometria Il principio di astrazione egrave essenzial-mente lo stesso si sfronda la realtagrave di ciograve che non egrave necessario idealizzandoi procedimenti di misura I triangoli i segmenti i quadrati non esistono innatura eppure eseguiamo le misure reali sfruttando le proprietagrave delle figu-re geometriche astratte

Non dovrebbe sorprenderci troppo la nostra visione funziona confron-tando due immagini bidimensionali leggermente sfalsate della realtagrave tridi-mensionale che ci circonda Questo spiega percheacute quando osserviamo lapala di Brera di Piero della Francesca riusciamo a immaginare che la sce-na sia davvero allrsquointerno di un edificio e a capire che la figura del Duca diMontefeltro non fa parte della Sacra Conversazione

Tuttavia la prospettiva non egrave lrsquounico modo di rappresentare scene delmondo reale La scena dellrsquoUltima Cena dipinta da Giotto nella Cappelladegli Scrovegni egrave un chiaro esempio le figure umane hanno le stesse di-mensioni la stanza la tavola e la panca non sono disegnate in prospettivaEppure percepiamo chiaramente quali figure siano lsquodavantirsquo e quali lsquodie-trorsquo Se osserviamo con attenzione San Giovanni egrave lsquosbagliatorsquo visto con oc-chi abituati alla prospettiva sembra sbucare dalla tavola ma se diamo unosguardo allrsquoinsieme questo non appare piugrave

Il succo del discorso egrave che crsquoegrave qualcosa di piugrave elementare che ci permettedi distinguere lsquodavantirsquo da lsquodietrorsquo che nel disegno di un viso ci fa ricono-scere un viso Egrave una capacitagrave che si acquisisce in tenera etagrave un bambino diuno o due anni sa riconoscere la mamma in una fotografia e non si lascia piugrave


Figura 1 Piero della Francesca la Pala di Brera Accademia di Brera Mi-lano

ingannare dalle posizioni relative degli oggetti come invece puograve succedereal neonato

Nel Felix Klein espose una nuova concezione di geometria ci sonomolte geometrie possibili che vanno distinte in base a un semplice criterioIl criterio egrave lrsquoinvarianza rispetto a un certo gruppo di trasformazioni

La geometria che ci serve per la vita di tutti i giorni si basa sulle trasfor-mazioni che conservano le misure la prospettiva invece sulle trasformazio-ni che conservano lrsquoallineamento tra punti la topologia sulle trasformazioniche conservano la vicinanza una camera drsquoaria e una ciambella con il bucoci appaiono simili dopo tutto

Un nastro di carta puograve essere un esempio molto semplice fu Moumlbiusa scoprirne le proprietagrave Lo vediamo realizzato in due modi diversi nellafigura egrave un oggetto molto interessante Realizzato con la carta puograve sembrareun normale anello ma un semplice esperimento mostra che non lo egrave

Ci sono molte figure che ci appaiono simili ma che osservando bene nonlo sono altre che ci sembrano diversissime eppure sono lsquougualirsquo La manodestra e la mano sinistra sono lsquougualirsquo solo se ne guardiamo una allo spec-chio possiamo trovarci davanti a un oggetto mai visto prima e indovinarnenon solo la funzione ma anche il funzionamento in base a ciograve che giagrave sap-piamo di oggetti lsquosimilirsquo A nessuno viene il dubbio vedendo un boccale dibirra della Oktoberfest a Monaco su quale ne sia la funzione anche se ma-

13 Forme 9

Figura 2 Giotto lʼUltima Cena Cappella degli Scrovegni Padova

Figura 3 Due rappresentazioni del nastro di Moumlbius quella di destra egrave diM C Escher

gari non ha mai visto un bicchiere di quelle dimensioni ed egrave solo abituatoalle tazze per il caffellatte Questo significa che il nostro cervello sa ricono-scere lsquoformersquo egrave compito anche della matematica aiutare a spiegare questalsquosomiglianzarsquo lo studioso di topologia egrave talvolta definito come uno che nonriconosce una tazzina da caffegrave da una ciambella di salvataggio

Un esempio classico di astrazione egrave il famoso problema dei ponti di Kouml-nigsberg che quando viene ridotto al minimo indispensabile diventa di faci-le soluzione Lo si lascia per lo studio personale il problema egrave di far fare unapasseggiata al filosofo Kant nativo di Koumlnigsberg (lrsquoattuale КалининградKaliningrad) in modo che passi una e una sola volta per i sette ponti dellacittagrave che nella figura sono colorati in rosso

La lsquotraduzionersquo astratta che appare nella figura in basso puograve lasciare per-plessi una parte del problema egrave appunto capire come egrave stata ottenuta


Figura 4 I ponti di Koumlnigsberg

14 Misure 11

14 Misure

Una cosa va tenuta presente sebbene la geometria nasca dalle necessi-tagrave del mondo reale la sua trattazione matematica riguarda concetti astrattiNon esistono punti rette triangoli e quadrati nel mondo reale un lsquotrian-golorsquo costruito con i listelli del Meccano non egrave un triangolo geometrico mase prendiamo un listello da tre unitagrave uno da quattro e uno da cinque neilimiti dellrsquoapprossimazione delle misure il lsquotriangolorsquo saragrave lsquorettangolorsquo e lopossiamo adoperare per vedere se il muro egrave a piombo

Questo non deve sorprenderci piugrave di tanto la geometria egrave unrsquoastrazionedelle proprietagrave del mondo reale Se volessimo davvero misurare lrsquoarea diuna stanza non sapremmo mai come fare ma ciograve che ci interessa egrave proba-bilmente sapere quante mattonelle comprare per pavimentarla e il detta-glio del millesimo di millimetro non ha alcuna importanza La geometriaegrave unrsquoottima illustrazione del principio di astrazione si rinuncia a tutti queidettagli che non influiscono davvero su ciograve che ci interessa e ne otteniamouna grande semplificazione Egrave simile a quando chiamiamo pesci lrsquoorata e lacernia se il dettaglio si dimostra rilevante ecco che dobbiamo tenerne contoe usare metodi diversi

Lrsquoantico autore del Libro dei Re scrisse

[Chiram di Tiro su ordine di Salomone fece] un bacino di metallo fusodi dieci cubiti da un orlo allrsquoaltro rotondo la sua altezza era di cinquecubiti e la sua circonferenza di trenta cubiti ( Re )

Crsquoegrave chi prende questo brano per dire che la Bibbia sbaglia e che se fossedavvero ispirata da un Essere onnisciente il valore di 120587 dovrebbe esserecorretto chi invece lo analizza spaccando il capello in quattro per dire chedopo tutto non sbaglia e che il valore di 120587 dato qui egrave in realtagrave accuratissimo

Il problema per chi non egrave accecato da pregiudizi in un senso o nellrsquoal-tro egrave di facile soluzione tutte le misure umane sono affette da un errore e ilrapporto tra la circonferenza e il diametro egrave 120587 solo per le astratte figure geo-metriche Un valore di 3 per quel rapporto parlando di un bacino di metalloegrave plausibilissimo con un errore relativo di circa il 4 Quando le macchinet-te del caffegrave lo facevano pagare a chi aveva la chiavetta 033euro arrotondandoa 035euro per chi pagava in moneta lsquosbagliavanorsquo di piugrave (egrave il 6)

Tutto questo naturalmente non egrave matematica in senso stretto ma pos-siamo usare la matematica per discuterne Se adoperata correttamente dagravemodo di parlare delle cose in termini obiettivi e spesso riesce a smontarediscorsi evanescenti che spesso si sentono in giro ammantati anche di cifree di argomentazioni lsquoscientifichersquo

Il problema delle misure esatte egrave forse responsabile del mancato sviluppoda parte dei greci di un efficiente sistema numerico Quando si resero conto


che ci sono segmenti che non possono essere misurati lsquoesattamentersquo lrsquounocon lrsquoaltro rinunciarono quasi del tutto alle misure numeriche a favore diuna teoria delle grandezze geometriche che nascondesse il problema del-lrsquoinfinito La pietra dello scandalo fu la considerazione che la diagonale delquadrato come quella del pentagono non egrave misurabile con il lato

Facciamo un porsquo di matematica lsquoverarsquo Supponiamo che il lato 119897 del qua-drato e la diagonale 119889 abbiano un sottomultiplo comune e possiamo sup-porre che 119904 sia il piugrave grande sottomultiplo comune Questo significa che119897 = 119898119904 e 119889 = 119899119904 dove 119898 e 119899 sono numeri interi ancora sconosciuti Il teoremadi Pitagora dice che

1198891113569 = 1198971113569 + 1198971113569

quindi che1198991113569 = 21198981113569

e perciograve 1198991113569 = 21198981113569 Ma allora 119899 egrave un numero pari e quindi 119899 = 2119886 con 119886intero ma allora 41198861113569 = 21198981113569 e quindi anche 1198981113569 = 21198861113569 Per lo stesso motivodi prima 119898 egrave pari 119898 = 2119887 Dunque abbiamo 119897 = 119887 e 119889 = 119886 dove

= 2 egrave una contraddizione percheacute egrave un sottomultiplo comunedi 119897 e 119889 piugrave grande di

Egrave una dimostrazione difficile si fa vedere che qualcosa non esiste e quin-di richiede una certa dose di fantasia nel supporre che la cosa che non deveesserci ci sia Chiaramente esula da quanto si puograve ragionevolmente dire abambini di dieci anni ma una questione simile puograve essere molto interessan-te Se in un pentagono tracciamo le diagonali allrsquointerno vediamo un nuovopentagono se in esso tracciamo le diagonali allrsquointerno vediamo un nuovopentagono hellip

14 Misure 13

Figura 5 Il pentagono magico

Capitolo 2

Numeri naturali

Lrsquouomo ha cominciato a contare assegnando nomi ai numeri Egrave evidenteche lrsquoastrazione del concetto di numero egrave venuta molto tempo dopo che siegrave cominciato ad adoperarli Egrave anche probabile che la lsquoscritturarsquo dei numerifosse semplice qualche sbarretta incisa su un pezzo di legno o una tavoletta

Da che cosa puograve essere nato lrsquouso di raggruppare queste sbarrette inquantitagrave definite Chiaramente lrsquouomo ha sempre usato le dita per contaree ovunque si trovano disegni come oppure o ancora ma anche

Lrsquoidea egrave davvero geniale possiamo usare i numeri per contare i numeri stes-si Il numero lsquograndersquo di prima egrave fatto da lsquootto cinquersquo e lsquoduersquo

Nella scrittura geroglifica egizia i numeri giagrave raggruppati a decine peresempio 4622 in unrsquoiscrizione a Karnak egrave probabilmente per ragioni di spa-zio piugrave o meno cosigrave

444433333322||ma lrsquoallineamento poteva variare di parecchio

Non egrave difficile spiegare il motivo di questo raggruppamento riempitedue mani si puograve fare un segno diverso che indica la decina poi lo ripetiamoquando altre due mani sono complete e cosigrave via Il passaggio al livello su-periore richiedeva un nuovo simbolo Lo schema egizio egrave comune a moltescritture antiche ed egrave tutto sommato efficiente almeno per le esigenze piugrave

Non egrave interessante un sistema di composizione tipografica con il quale si possonoscrivere i numerali egizi ma anche il nome della regina Cleopatra in caratteri geroglifici Kliopadra

15

16 Capitolo 2 Numeri naturali

semplici e per numeri non troppo grandi Ma non si dimentichi che gli egiziavevano simboli fino al milione

|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000

21 Numeri e numerali

Occorre sempre distinguere tra numero e il simbolo adoperato per deno-tarlo Il linguaggio non ci aiuta per la veritagrave ma se non facessimo questadistinzione concettuale la scrittura

1 + 1 = 2

non avrebbe alcun significato Prima perograve di affrontare le operazioni egrave me-glio concentrarsi sui numeri

Che siano lrsquoastrazione dellrsquoidea di una quantitagrave di oggetti egrave evidentenon crsquoegrave bisogno di sapere che cosa siano e la domanda probabilmente non hanemmeno senso Altrettanto chiari sono i problemi che questo pone a livellodidattico non egrave possibile chiedere a un bambino di sei anni di arrivare allivello di astrattezza necessario per afferrare almeno in parte il concetto dinumero che vogliamo affrontare qui

La funzione fondamentale da considerare egrave il successore In un certo sen-so ogni numero (naturale) definisce il suo successivo nel mondo reale que-sto egrave esemplificato dalla pecora che arriva dopo quella che abbiamo appenacontato

Da dove si parte Per millenni si egrave cominciato da uno sbagliando Lrsquoattodel contare comincia da quando ancora non crsquoegrave niente Naturalmente non egraveuna colpa non aver considerato lo zero per tanto tempo la necessitagrave di avereun simbolo un numerale anche per la quantitagrave nulla si egrave presentata solo almomento di perfezionare la notazione posizionale

Le simbologie tradizionali egizia greca romana e le altre non avevanoquesta necessitagrave e le operazioni di ldquosommare zerordquo o ldquomoltiplicare per zerordquonon hanno grande rilevanza operativa tanto da richiedere una definizioneEgrave solo con lrsquointroduzione del sistema posizionale e degli algoritmi di calcoloche diventa essenziale dare un significato a ldquosommare zerordquo e ldquomoltiplicareper zerordquo ma naturalmente la definizione egrave del tutto ovvia

Come abbiamo visto un modo per dare un nome a ciascun numero egravedisegnare bastoncini lrsquooperazione di addizione diventa semplicemente af-

21 Numeri e numerali 17

fiancare le liste di bastoncini

+ =

e la proprietagrave associativa

(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)

egrave del tutto evidenteEgrave perograve complicato riconoscere questi numerali e distinguerli il passo di

raggrupparli egrave molto semplice e anche lrsquoaddizione non egrave cosigrave difficile

+ =

Uno dei tre bastoncini lsquoliberirsquo nel secondo addendo completa un gruppo dicinque e basta affiancare i gruppi completi ai bastoncini liberi rimasti

Attenzione non si vuole lasciare intendere che gli antichi usassero ilsimbolo lsquo+rsquo per lrsquoaddizione si tratta di un simbolo che deriva probabilmentedalla parola et ed egrave in uso dal quindicesimo secolo Il simbolo lsquo=rsquo fu usatoper la prima volta da Robert Recorde nel

And to auoide the tediouſe repetition of theſe woordes is equalle to I willſette as I doe often in woorke vſe a paire of paralleles or Gemowe lines of onelengthe thus ==== bicauſe noe 2 thynges can be moare equalle

In inglese meno arcaico sarebbe

And to avoid the tedious repetition of these words lsquois equal torsquo I willset as I often do in working use a pair of parallels or twin lines of thesame length thus ==== because no two things can be more equal

Prima di Recorde si impiegava quasi sempre lrsquoabbreviazione aeq dal latinolsquoaequeturrsquo Descartes usograve un simbolo simile a prop che non ebbe successo

Torneremo piugrave avanti sui simboli per le operazioni e le relazioni Quici interessa mettere in evidenza come la notazione egizia sia una naturaleevoluzione del modo di denotare numeri raggruppando bastoncini Le cifreromane sono un altro esempio molto interessante I V e X non sono altroche un bastoncino o un dito una mano e due mani Forse la V deriva dalbastoncino con lrsquoaggiunta di un segnetto per indicare il raggiungimento delcinque e la X da un secondo segnetto la successione IIIII potrebbe poi esserestata abbreviata in I La convenzione sottrattiva per ridurre il numero disimboli egrave tarda e si stabilizzograve solo nel tredicesimo secolo cioegrave poco primache i numerali romani fossero soppiantati da quelli indo-arabici

Per i numerali in notazione egizia o romana egrave sufficiente lrsquoaddizione esaper lsquoraggrupparersquo concetto che non richiede la conoscenza completa della


divisione Gli egizi raggruppavano a dieci a dieci i romani anche ma conuna suddivisione intermedia per stare dentro una mano

Ciograve che va dunque messo in evidenza egrave la procedura ricorsiva per asse-gnare numerali Decidiamo come raggruppare e poi contiamo i gruppi cosigraveottenuti raggruppando anche questi e procedendo fino a esaurimento del-la quantitagrave da contare egrave il fondamento stesso del sistema posizionale Perarrivarci fu necessario astrarre ancora e invece di usare un simbolo appo-sito per decine centinaia e cosigrave via adoperare semplicemente la posizionerelativa indicando solo la quantitagrave di gruppi di un certo ordine

22 Addizione

La trattazione astratta dellrsquoaddizione egrave piuttosto semplice per sommare119886 e 119887 si esegue lrsquooperazione di successore 119887 volte partendo da 119886

Se abbiamo giagrave imparato i nomi dei numeri coinvolti possiamo farloesattamente come farebbe un bambino che ancora non sa adoperare lrsquoalgo-ritmo scritto dice il numero 119886 e poi i successivi contando fino a 119887 con le ditaSi noti che in questo modo stiamo usando due distinti modi di denominarei numeri uno verbale e uno lsquosimbolicorsquo quello con le dita

La definizione lsquoformalersquo di addizione egrave questa indicando con 119852 la fun-zione successore

119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)

Non crsquoegrave da prendere paura la prima riga dice come si comincia la secondanon egrave altro che la formalizzazione del conteggio si va avanti aggiungendouno (meglio prendendo il successore) fino a quando si deve Egrave molto similea quando si cerca la via in cui svoltare conoscendone il nome se egrave quellaallrsquoangolo in cui siamo allora giriamo altrimenti vediamo la prossima ecosigrave via fincheacute abbiamo trovato la via giusta Nel caso dellrsquoaddizione fincheacuteabbiamo esaurito il secondo addendo

Detta cosigrave perograve sembra che lrsquoaddizione possa dipendere dallrsquoordine incui prendiamo i due numeri Questo invece non accade egrave chiaro che la pro-cedura di spostare un bastoncino alla volta dal mucchio di 119887 bastoncini almucchio di 119886 bastoncini non puograve dare risultato diverso da spostarne unoalla volta dal mucchio di 119886 al mucchio di 119887 A dire il vero non egrave proprio cosigraveovvio una dimostrazione formale richiede parecchi ragionamenti ma a noilrsquoevidenza intuitiva basteragrave almeno in questo caso Le dimostrazioni for-mali servono essenzialmente a ridursi al caso davvero ovvio in cui si devespostare un solo bastoncino Il fatto che i bastoncini possano essere sostituiti

22 Addizione 19

da pecore bulloni sassi o quello che ci pare senza inficiare il ragionamen-to ci tranquillizza abbiamo effettivamente un risultato valido sui numeriastratti

Tanto per assaggio vediamo come si dimostra che 0 + 119886 = 119886 Se cosigrave nonfosse ci sarebbe un primo numero naturale 119886 per il quale 0+ 119886 non egrave ugualead 119886 Siccome 0 + 0 = 0 non puograve essere 119886 = 0 e dunque possiamo scrivere119886 = 119852(119888) e per come egrave stato determinato 119886 0 + 119888 = 119888 per la definizione diaddizione

0 + 119886 = 0 + 119852(119888) = 119852(0 + 119888) = 119852(119888) = 119886contro lrsquoipotesi fatta su 119886

Lrsquoaltra importante proprietagrave dellrsquoaddizione egrave lrsquoassociativitagrave

119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888

In alcuni testi si parla anche di proprietagrave lsquodissociativarsquo quella secondo cuisi puograve ragionare come in

13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22

tecnica usatissima nel calcolo mentale rapido Non egrave una nuova proprietagraveegrave esattamente la proprietagrave associativa

Questa proprietagrave ci permette di scrivere le somme di piugrave addendi sen-za inserire parentesi per indicare in quale ordine eseguire le addizioni Varicordato che lrsquoaddizione coinvolge solo due addendi egrave solo lrsquoassociativitagraveche ci permette di estendere la notazione a piugrave di due

La dimostrazione di questa proprietagrave si fa a gradi prima per 119886 = 0 e poiper il caso generale Lrsquoinizio egrave facile

0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888

Se la proprietagrave non fosse valida ci sarebbe un minimo 119886 per il quale 119886 + (119887 +119888) ne (119886+119887)+119888 per certi 119887 e 119888 per quanto appena visto 119886 ne 0 e quindi 119886 = 119852(119889)Allora per ipotesi

119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888

contro la scelta di 119886 assurdo Mancherebbe la dimostrazione che

119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)

che va scritta per esercizio (non egrave facilissimo)


23 Maggiore e minore

Ho un mucchio di bulloni e uno di dadi vorrei sapere se ho piugrave dadiche bulloni o viceversa in modo da sapermi regolare che cosa comprare alferramenta per avere tanti bulloni quanti dadi

La chiave per risolvere il problema egrave lrsquoastrazione posso contare ciascunmucchio e arrivare alla conclusione Ma davvero occorre conoscere i no-mi dei numeri necessari No Lrsquoatto primitivo del contare consiste nel farscorrere un oggetto alla volta Perciograve prendiamo un bullone e un dado e lispostiamo (magari avvitando il bullone al dado) ripetendo lrsquooperazione fi-no a quando esauriamo uno dei due mucchi Se ci rimangono dadi questisono di piugrave se ci rimangono bulloni egrave viceversa altrimenti sono tanti gli uniquanti gli altri

Se prendiamo altri mucchi di bulloni e dadi il risultato finale puograve esse-re diverso ma di sicuro ci troveremo alla fina in una (e solo una) delle trepossibilitagrave di prima Indicando con 119886 il numero di bulloni e con 119887 il numerodi dadi scriveremo

119886 lt 119887 119886 gt 119887 119886 = 119887nei tre casi Detto cosigrave sembra che abbiamo definito lrsquouguaglianza in real-tagrave abbiamo solo asserito che quando ho due numeri (distinti) ci troviamonella prima situazione oppure nella seconda

Se 119886 lt 119887 posso applicare almeno una volta la funzione successore ad 119886ripetendo lrsquooperazione se necessario arriverograve a 119887 Dunque crsquoegrave un legametra ldquoessere di menordquo (o ldquodi piugraverdquo) e lrsquoaddizione vale 119886 le 119887 se crsquoegrave un numero119888 per il quale 119886+119888 = 119887 Questo 119888 egrave il numero delle ripetizioni dellrsquooperazionedi successore per arrivare da 119886 a 119887

La notazionele egrave meno intuitiva dilt ma molto piugrave maneggevole La suacomoditagrave perograve si apprezza solo quando si trattano operazioni su lettere cioegravesu ldquoindeterminaterdquo o ldquoincogniterdquo Egrave un porsquo ridicolo sebbene sia unrsquoasser-zione vera scrivere 2 + 3 le 5 dal momento che sappiamo che 2 + 3 = 5 Imatematici si affezionano a queste notazioni allrsquoapparenza inutili ci torne-remo

Se ripensiamo a quanto detto prima ci accorgiamo di aver definito la sot-trazione Se 119886+119888 = 119887 poniamo 119888 = 119887minus119886 questo 119888 infatti egrave determinato Questoha senso solo quando 119886 le 119887 nel caso in cui 119886 = 119887 si ha per la definizionedi addizione 119887 minus 119886 = 0 Agli antichi non interessava definire la sottrazione119886 minus 119886 e si potrebbe farne a meno anche oggi se non fosse che lrsquoimpiego deinumeri negativi ci porta a dover considerare anche questa operazione

Occorrerebbe dimostrare che il 119888 di prima egrave unico ma di nuovo egrave in-tuitivamente evidente e la prova formale consiste solo nel ridurre questaintuizione a questioni sul successore e alla definizione ricorsiva di addizio-ne

24 Moltiplicazione 21

24 Moltiplicazione

Lrsquoaddizione egrave lrsquoastrazione dellrsquooperazione di aggiungere via via un og-getto alla volta fino a quando terminiamo il mucchio Ma se abbiamo giagravemucchi con lo stesso numero di oggetti possiamo aggiungere un mucchioalla volta In termini piugrave astratti possiamo considerare invece del succes-sore (cioegrave sommare 1) il 2-successore il 3-successore e cosigrave via Quindi ladefinizione formale di moltiplicazione puograve essere

119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886

Abbiamo cominciato da 1 percheacute non egrave immediatamente chiaro che cosasignifichi ldquomoltiplicare per zerordquo Lo vedremo fra poco qui supponiamoanche 119886diverso da zero mucchi di zero oggetti sono piuttosto bizzarri dopotutto

Il termine usato per lrsquooperazione purtroppo ricorda il lsquocrescete e molti-plicatevirsquo biblico che puograve indurre in errore egrave uno di quei casi in cui il nomeva preso per quello che egrave ormai egrave tardi per cambiarlo

Crsquoegrave una facile interpretazione concreta della moltiplicazione gli albe-ri in una piantagione di pioppi un pavimento con piastrelle quadrate nonsfalsate molte altre disposizioni regolari di oggetti Queste interpretazio-ni concrete danno lrsquoidea che anche la moltiplicazione sia commutativa sitratta solo di cambiare il punto di vista da cui si osserva la piantagione dipioppi Se ci sono venti file di dodici pioppi dal nostro punto di osservazio-ne guardando il boschetto dallrsquoaltro lato diventeranno dodici file di ventipioppi Dunque egrave ragionevole concludere che

119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886

Anche la proprietagrave distributiva ha una facile interpretazione

119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888

(adottiamo drsquoora in poi la notazione usuale senza lrsquoindicazione del simbo-lo di operazione se almeno uno dei fattori egrave letterale) Questa proprietagrave civiene in aiuto per definire la moltiplicazione per zero svincolandoci da inter-pretazioni concrete Estendiamo infatti lrsquooperazione facendo in modo che laproprietagrave distributiva continui a valere siccome 119887 + 0 = 119887 dobbiamo avere

119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860

e dunque non ci resta che definire 1198860 = 0 e anche 0119886 = 0 per la commutativitagraveTutto sommato non egrave cosigrave insensato se mettiamo insieme mucchi di zero


oggetti continuiamo a non averne affatto Resta solo da definire 0 sdot 0 e nonpossiamo fare altro che porre 0 sdot 0 = 0

Il problema di voler visualizzare lrsquooperazione rende complicato giusti-ficare la moltiplicazione per zero percheacute non siamo abituati a considerareldquomucchi fatti di nienterdquo e il linguaggio che si egrave sviluppato quando dello ze-ro non si aveva nozione percheacute non se ne sentiva il bisogno non ci aiuta Maegrave solo una questione di convenzioni e di fantasia In ogni caso lrsquooperazionedi moltiplicazione egrave definita senza far ricorso necessariamente a unrsquointerpre-tazione concreta altrimenti non sapremmo come moltiplicare fra loro duenumeri enormi mentre vedremo che non egrave un problema

Tuttavia non egrave realmente un problema la lsquoverarsquo definizione ricorsiva del-la moltiplicazione egrave

119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886

dove 119886 e 119887 sono numeri naturali qualsiasi Il caso di 119886 sdot 1 egrave come prima dopotutto infatti

119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886

La proprietagrave associativa della moltiplicazione cioegrave (119886119887)119888 = 119886(119887119888) puograve es-sere visualizzata con configurazioni a tre dimensioni per esempio pile dimattoni Come nel caso della commutativitagrave si tratta solo di vedere la pilada angolazioni diverse ma ovviamente la proprietagrave puograve essere dimostratasulla base della definizione

25 Il sistema posizionale

I numerali egizi sono un sistema posizionale primitivo lrsquoidea infatti egravequella di raggruppare in decine centinaia migliaia e cosigrave via Quando unantico romano diceva ldquotrecenti quadraginta et quinquerdquo aveva giagrave compiutoil passo che avrebbe portato al sistema posizionale 345

I babilonesi che avevano bisogno di scrivere parecchi numeri per le loroosservazioni astronomiche hanno infatti sviluppato un sistema posizionalea base sessanta Dunque il sistema posizionale non egrave unrsquoinvenzione degliindiani neacute tanto meno degli arabi ma egrave unrsquoevoluzione di altri sistemi giagrave invasto uso

Lrsquoabitudine al sistema ci rende complicato capirne il vero funzionamen-to e perciograve vogliamo descrivere per primo il sistema binario Come quellousuale si basa sui gruppi di dieci il sistema binario si basa sui gruppi didue

Prendiamo un mucchio di bastoncini Ora li dividiamo ingruppi a due a due con eventuale resto che sottolineiamo

25 Il sistema posizionale 23

Successivamente raggruppiamo a due a due i gruppi di due bastoncini

e a questo punto raggruppiamo ancora i gruppi da quattro a due a due

Notiamo la sottolineatura di lsquonientersquo percheacute in questo caso non crsquoegrave statoresto Non egrave ancora finita percheacute possiamo raggruppare i due gruppi daotto ottenendone uno da sedici

e di nuovo abbiamo unrsquoaltra sottolineatura di niente percheacute non crsquoegrave statoresto Ora non possiamo piugrave fare nulla

In definitiva abbiamo un gruppo da sedici nessun gruppo da otto nessungruppo da quattro un gruppo da due e un gruppo da uno Quindi la rap-presentazione binaria del nostro numero egrave

10011

Notiamo che non occorre altro che saper contare fino a due Con 1 indichia-mo la presenza di un gruppo sopra la sottolineatura con 0 lrsquoassenza Duesimboli ci bastano per esprimere tutti i numeri naturali

E se volessimo la rappresentazione ternaria di Di nuovo egravefacile Raggruppiamo a tre a tre (con eventuale resto)

e raggruppiamo i gruppi da tre ancora a tre a tre

e ci accorgiamo che non possiamo piugrave fare gruppi da tre

cosiccheacute la rappresentazione ternaria egrave

201

dove indichiamo con i numeri lsquosolitirsquo il numero di gruppi in ciascun ordi-ne Per il sistema decimale egrave esattamente lo stesso raggruppando a dieci adieci (con eventuale resto) Agiamo su per non fare unesempio troppo banale


che egrave giagrave lrsquoultimo passo

Un antico romano avrebbe da questo ricavato lrsquoespressione XXXII un egizioavrebbe scritto 222|| ma egrave esattamente lo stesso concetto

Lrsquointuizione dei babilonesi poi dimenticata ma riscoperta dagli indianiegrave stata che non occorrono simboli diversi per ciascun ordine la posizionebasta a capire che stiamo indicando ldquodue unitagrave dellrsquoordine minimo e tre uni-tagrave del successivordquo Questo purcheacute si indichino chiaramente eventuali ordinilsquomancantirsquo la mancanza di gruppi di un certo ordine venne segnata con unpunto o con un cerchietto ecco lo zero

Quando Leonardo Fibonacci nel Liber abaci descrisse il sistema indo-arabico ebbe bisogno di un nome per questo simbolo ignoto al mondo cheparlava latino siccome in arabo si dice ṣifr scrisse cosigrave

Novem figure indorum he sunt Cum his itaque novemfiguris et cum hoc signo quod arabice zephirum appellatur scribiturquilibet numerus ut inferius demonstratur

Prese dunque una parola latina (il nome di un vento) che assomigliava allaparola araba da questa parola viene zero mentre dalla parola araba stessaviene cifra Si noti che Fibonacci chiamava figure quelle che oggi chiamia-mo cifre il nome figures egrave rimasto in inglese con le nove figure indiane econ il segno 0 si scrive qualsiasi numero come si dimostra piugrave avanti diceFibonacci Il latino usato non egrave classico come si vede bene

La scrittura posizionale in base 10 di un numero consiste nello scriverlocome

1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 100 +⋯ + 119886119899 sdot 10hellip 0119899

dove 0 le 119886119896 lt 10 Forse diventa piugrave chiara scrivendo 119887 al posto di 10

1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899

che mette in evidenza i raggruppamenti ci sono quelli di 119887 oggetti poi quellidi 119887 gruppi di 119887 oggetti e cosigrave via

Ogni numero puograve essere espresso in qualsiasi altra base 119887 gt 1 esattamen-te allo stesso modo con lsquocifrersquo diverse ovviamente La scrittura egrave simile

1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899

Se il numero egrave diciannove possiamo scriverlo come 1+1sdot2+0sdot4+0sdot8+1sdot16e quindi come 10011 percheacute nella scrittura compatta si parte da sinistra


dallrsquounitagrave piugrave alta Egrave usuale adoperare le cifre solite per basi minori di diecici occorrono simboli solo per i numeri da zero a 119887 minus 1

Come facciamo a determinare le cifre Ancora non abbiamo davvero lostrumento ma lo possiamo capire abbastanza facilmente se togliamo 1198861113567 ilnumero che risulta egrave divisibile per 119887 infatti egrave

(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887

Possiamo dunque ripetere lo schema prendendo il quoziente di nuovo unaprocedura ricorsiva

Vediamo lrsquoesempio del numero 4567 da scrivere in base 8 possiamo scri-vere

4567 = 570 sdot 8 + 7570 = 71 sdot 8 + 271 = 8 sdot 8 + 78 = 1 sdot 8 + 01 = 0 sdot 8 + 1

e quindi la rappresentazione in base 8 egrave 10727 Lo strumento che ci serve pergarantire che ogni numero si puograve scrivere in una base qualsiasi egrave dunque ladivisione

La base due egrave quella che richiede il minor numero di simboli e ha no-tevoli vantaggi vedremo che le tabelle di addizione e moltiplicazione datenere a mente sono davvero banali inoltre egrave ideale per i calcolatori percheacutesi puograve codificare 0 con un circuito dove non passa corrente e 1 con uno incui la corrente passa Lo svantaggio principale della base due egrave che richiedeun maggior numero di cifre Il numero 4567 si scrive infatti con i seguenti


calcoli

4567 = 2283 sdot 2 + 12283 = 1141 sdot 2 + 11141 = 570 sdot 2 + 1570 = 235 sdot 2 + 0285 = 142 sdot 2 + 1142 = 71 sdot 2 + 071 = 35 sdot 2 + 135 = 17 sdot 2 + 117 = 8 sdot 2 + 18 = 4 sdot 2 + 04 = 2 sdot 2 + 02 = 1 sdot 2 + 01 = 0 sdot 2 + 1

che danno la rappresentazione 1000111010111 con ben tredici cifre Infatti211135681113569 = 4096 e 211135681113570 = 8192

Una base piccola facilita i calcoli una base grande richiede piugrave simbo-li La base usuale cioegrave dieci egrave un buon compromesso percheacute le tabelle diaddizione e moltiplicazione non sono troppo grandi Forse dodici sarebbepiugrave maneggevole ma normalmente gli esseri umani hanno cinque dita permano e non sei

Una base potenza di 2 egrave comoda percheacute dalla rappresentazione bina-ria otteniamo facilmente quella nella nuova base Per esempio per passaredalla base 2 alla base 8 = 21113570 egrave sufficiente dividere in gruppi di tre le cifre

10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575

dove indichiamo in basso la base usata questo percheacute 1111113569 = 1+1sdot2+1sdot4 = 7e 101113569 = 0+1sdot2 = 2 In effetti riguardando il procedimento usato per scrivere4567 in base 8 e in base 2 vediamo che ogni terzo quoziente nella secondaserie di divisioni corrisponde a un quoziente della prima

Resta un piccolo problema supponendo che 1 sia il simbolo che usia-mo per lsquounorsquo in qualsiasi sistema posizionale la base 119887 usata si scrive inquesto sistema sempre come 10 Quindi dobbiamo accordarci che quandoindichiamo esplicitamente la base che egrave necessario se ne usiamo due al-lo stesso tempo come fatto appena adesso questa base viene scritta con ilsistema decimale (o in uno che decidiamo e teniamo fisso)

Capitolo 3

Gli algoritmi delle operazioni

La vittoria del sistema posizionale su tutti gli altri sistemi ha una ragio-ne semplicissima con il sistema posizionale le moltiplicazioni diventanoeseguibili con un metodo piuttosto facile che infatti possiamo insegnare aibambini di sette o otto anni

Lrsquoaddizione non egrave in realtagrave difficile nei sistemi additivi degli egizi o deiromani basta operare come si farebbe con lrsquoabaco Vediamo per esempio16 + 27 nel sistema egizio

2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||

Con il sistema romano avremmo qualcosa di analogo

XVI + XXVII = XXX VV III

= XXXXIII

Si tratta di raggruppare i simboli simili e poi di trasformare le combinazioniche equivalgono a un simbolo di ordine superiore Vediamo 54 + 78 cherichiede una trasformazione piugrave complessa ma non difficile da vedere

LIV + LXXVIII = LL XX V IV III = LL XX V IV I II

= LL XX VV II = LL XXX II

= CXXXII

Inutile inventarsi regole per eseguire tutte le addizioni tenendo conto an-che della convenzione sottrattiva del resto i romani adoperavano lrsquoabacoche funziona essenzialmente allo stesso modo liberando dal dettaglio dellascrittura ripetuta dei simboli

Per la moltiplicazione crsquoegrave poco da fare con quei simboli In effetti le areenon venivano misurate con moltiplicazioni egrave ancora vivo il ricordo delle

27

28 Capitolo 3 Gli algoritmi delle operazioni

misure agrarie in biolche campi giornate pertiche Le si prendeva a occhiocon un porsquo di esperienza non era difficile paragonare un campo a un altroattenzione il campo veronese era piugrave piccolo di quello padovano a sua voltapiugrave piccolo di quello bassanese

Moltiplicazioni elementari potevano essere eseguite con lrsquoabaco Lrsquoaba-co cinese piugrave perfezionato insieme a tecniche astute permette di eseguiremoltiplicazioni molto velocemente Si usa essenzialmente lo stesso algorit-mo che usiamo noi con scorciatoie per casi particolari

31 Lʼalgoritmo dellʼaddizione

Se guardiamo bene lrsquoalgoritmo dellrsquoaddizione che adoperiamo oggi egraveidentico a quello con lrsquoabaco Vogliamo sommare 54+78 segniamo dunqueil primo numero sullrsquoabaco quattro sassolini sulla colonna piugrave a destra ecinque sulla successiva Ora aggiungiamo otto sassolini alla colonna di de-stra quando abbiamo raggiunto il colmo cioegrave nove sassolini li togliamo equello che avremmo messo lo aggiungiamo alla seconda colonna poi con-tinuiamo a mettere i sassolini fino a otto

Nella colonna di destra avremo dunque due sassolini con i primi cinqueabbiamo raggiunto il colmo il sesto egrave andato nella seconda colonna e i novesono stati messi da parte

Ora abbiamo sei sassolini nella seconda colonna ne prendiamo sette dalmucchio e li inseriamo con i primi tre raggiungiamo il colmo il quarto vienemesso nella terza colonna togliendo i nove e nella seconda colonna vannogli ultimi tre totale centotrentadue

Si vedono chiaramente i due riporti nellrsquoatto di togliere i nove sassoliniche riempiono una colonna quando ne avremmo un altro da inserire egrave ildecimo che fa scattare il riporto

Operare con i sassolini o con il pallottoliere egrave un metodo che ci liberadalla necessitagrave di imparare la tabellina dellrsquoaddizione Non occorre chissagravequale mole di memoria per ottantuno risultati elementari tanto piugrave che so-no effettivamente solo

10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55

dal momento che possiamo adoperare la commutativitagrave Come si puograve cal-colare questa somma senza eseguirla effettivamente

La somma in colonna degli stessi numeri 54+78 procede in modo del tutto

31 Lʼalgoritmo dellʼaddizione 29

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Tabella 31 Tavola dellʼaddizione


analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2

Naturalmente non crsquoegrave davvero bisogno di segnare il secondo riporto percheacutela tavola dagrave giagrave 1 + 5 + 7 = 13 Con le somme di due soli addendi non crsquoegravemai il rischio di superare la tabella se non con somme del tipo 1 + 9 + 119909 o1 + 119909 + 9 che non danno comunque problemi il riporto non puograve mai esseresuperiore a 1

Si tratta di un metodo molto semplice che non richiede altro che eserci-zio moltissimi sanno eseguire queste addizioni a mente magari ricorrendoa qualche trucchetto 54 + 78 = 54 + 6 + 72 = 60 + 72 = 132 Questo equivalea riconoscere lrsquoesigenza di un riporto e lsquofarlo primarsquo portando il primo ad-dendo alla decina superiore Si puograve anche eseguire 54 + 78 = 52 + 2 + 78 =52 + 80 = 132 egrave esattamente lo stesso

Lrsquoalgoritmo usa infatti lrsquoassociativitagrave e la commutativitagrave dellrsquoaddizionema anche la proprietagrave distributiva della moltiplicazione rispetto allrsquoaddi-zione che egrave nascosta nella notazione

54 + 78 = 4 + 5 sdot 10 + 8 + 7 sdot 10= (4 + 8) + 5 sdot 10 + 7 sdot 10= 2 + 1 sdot 10 + 5 sdot 10 + 7 sdot 10= 2 + (1 + 5 + 7) sdot 10= 2 + (3 + 1 sdot 10) sdot 10= 2 + 3 sdot 10 + 1 sdot 10 sdot 10= 2 + 3 sdot 10 + 1 sdot 100= 132

Di nuovo si osserva la ricorsivitagrave una volta che abbiamo operato sulla co-lonna di destra si ripete lo stesso procedimento sulla colonna successiva asinistra e basta lsquodimenticarsirsquo di quanto giagrave eseguito segnando solo il risul-tato nella colonna piugrave a destra con lrsquoeventuale riporto

32 Lʼalgoritmo della moltiplicazione

La vera superioritagrave della notazione posizionale sta nella possibilitagrave dieseguire le moltiplicazioni riducendole ad addizioni Tutto ciograve che occorreegrave dunque conoscere la tabella delle moltiplicazioni fra i numeri minori didieci e saper eseguire le addizioni

32 Lʼalgoritmo della moltiplicazione 31

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81

Tabella 32 Tavola della moltiplicazione

Vediamo la teoria supponiamo di dover moltiplicare 119903 per 119904 = 1199041113567 + 1199041113568119887 +⋯ + 119904119899119887

119899 Il prodotto egrave naturalmente

119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899

Ora ciascun termine del tipo 119903119904119894 puograve essere ridotto in forma posizionale conla moltiplicazione per un numero minore di 119887 (dieci se questa egrave la base)Siccome avremo 119903 = 1199031113567 + 1199031113568119887 +⋯ + 119903119898119887

119898 possiamo scrivere

119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898

e a questo punto siamo proprio nella situazione in cui dobbiamo moltipli-care fra loro coppie di numeri minori della base

Il caso piugrave semplice egrave quando il numero 119904 egrave minore di dieci per esempio119903 = 32 e 119904 = 6

(2 + 3 sdot 10) sdot 6 = 2 sdot 6 + 3 sdot 6 sdot 10= 12 + 18 sdot 10= 2 + 1 sdot 10 + 8 sdot 10 + 1 sdot 100= 2 + 9 sdot 10 + 1 sdot 100= 192


Si noti lrsquouso essenziale delle proprietagrave commutativa associativa e distribu-tiva della moltiplicazione Scritta nel modo tradizionale avremo

3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2

Con la pratica i riporti che qui sono stati segnati esplicitamente diventanoautomatici

Sei per due dodici scrivo due e riporto uno Sei per tre diciotto e unoche riportavo diciannove

Il trucco per eseguire le moltiplicazioni per numeri arbitrari egrave propriodi scrivere

119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899

che riduce il problema al precedente basta ricordarsi che 1199031199041113568 andragrave scrittouna posizione piugrave a sinistra percheacute va poi moltiplicato per 119887 cioegrave 10 e questoegrave semplicemente lsquoaggiungere uno zerorsquo Per esempio ecco 32 sdot 86

3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6

A questo punto abbiamo tutti i dati e possiamo eseguire lrsquoaddizione finale

3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2

Di fatto non sarebbe nemmeno necessario eseguire le riduzioni parzialiavremmo infatti

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2

33 Lʼalgoritmo del confronto 33

che non offre alcun problema di interpretazione neacute di calcolo Occorre so-lo saper eseguire somme di piugrave di due addendi che puograve richiedere riportimaggiori di uno Il vero problema egrave di annettere un significato a queste azio-ni e non farle apparire come gesti magici per loro natura incomprensibiliDi fatto ciograve che eseguiamo egrave

32 sdot 86 = 32(6 + 8 sdot 10) = 32 sdot 6 + (32 sdot 8) sdot 10

In altre parole eseguiamo 32 sdot 6 e lo sommiamo a 32 sdot 8 che perograve va ldquospostatoa sinistrardquo percheacute moltiplicato per dieci Il gioco ricorsivo ci permette di farelo stesso quando il secondo fattore ha un qualsiasi numero di cifre

33 Lʼalgoritmo del confronto

Come possiamo adoperare la notazione posizionale per confrontare duenumeri Basta scriverli in colonna uno sopra lrsquoaltro e riempire con zeri

12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927

Si guarda la colonna piugrave a sinistra se la cifra di sopra egrave maggiore della cifradi sotto il numero di sopra egrave maggiore se la cifra di sopra egrave minore dellacifra di sotto il numero di sotto egrave maggiore Se le due cifre sono uguali siripete il confronto nella colonna successiva a destra e cosigrave via

Egrave istruttivo provare a dimostrare che questo confronto egrave corretto

34 Lʼalgoritmo della sottrazione

Stabilito che la sottrazione 119886 minus 119887 egrave definita solo se 119886 ge 119887 occorre trovareun metodo di calcolo che sfrutti la notazione posizionale Lrsquounico problemaegrave quello del lsquoprestitorsquo se dobbiamo eseguire 72 minus 34 possiamo fare cosigrave

2+7sdot10minus4minus3sdot10 = (10+2)+6sdot10minus4minus3sdot10 = (12minus4)+(6minus3)sdot10 = 8+3sdot10 = 38

Qui si vede chiaramente il prestito Naturalmente questo puograve propagarsialle cifre successive come in 16235 minus 2357 creando notevoli difficoltagrave di no-tazione cancelliamo le cifre e le sostituiamo

Si puograve ovviare alla difficoltagrave con un algoritmo leggermente diverso Lasottrazione 10000 minus 2357 egrave molto semplice percheacute basta da 7 arrivare a 10 eper le cifre successive scrivere il complemento a 9

10000 minus 2357 = 7643


Ora basta osservare che

16235 minus 2357 = 16235 + (10000 minus 2357) minus 10000 = (16235 + 7643) minus 10000

e quindi la nostra sottrazione diventa unrsquoaddizione seguita da una sottra-zione banale

1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8

che toglie tutti i prestiti multipli La scelta di 10000 egrave naturale si tratta dellapotenza di 10 immediatamente superiore al termine da sottrarre (il sottraen-do)

Non sarebbe lrsquounico caso in cui si introducono termini che rendono icalcoli apparentemente piugrave complicati ma in realtagrave li semplificano

Capitolo 4

La divisione nei numeri naturali

Dedichiamo un capitolo alla divisione che non egrave in senso stretto unrsquoo-perazione analoga alla sottrazione Se infatti egrave vero che 119887 + (119886 minus 119887) = 119886 non egravevero in generale che 119887 sdot (119886 ∶ 119887) = 119886

Il modo corretto di ragionare sulla divisione egrave di considerarla una riscrit-tura dati 119886 e 119887 con 119887 gt 0 cerchiamo di scrivere

119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887

Chiameremo 119902 il quoziente e 119903 il restoIl primo problema che si presenta egrave la divisione per zero non egrave defini-

ta proprio percheacute non si potrebbe avere alcun resto Egrave scorretto giustificarequesta impossibilitagrave dicendo che non puograve esistere alcun numero che molti-plicato per 0 diciamo dia 37 infatti non esiste nemmeno alcun numero chemoltiplicato per 3 dia 37 ma la divisione di 37 per 3 si puograve eseguire percheacute

37 = 3 sdot 12 + 1

Egrave anche sbagliato dire che lsquo0 diviso 0 egrave indeterminatorsquo percheacute lsquoqualsiasi nu-mero moltiplicato per 0 dagrave 0rsquo Ci sono cose che non si possono fare nella vitareale come uscire dalle sabbie mobili tirandosi per i capelli (lo poteva fare ilBarone di Muumlnchhausen ma solo quello del romanzo) In matematica nonsi puograve dividere per zero tutto qui

La storia dei quarantaquattro gatti in fila per sei con il resto di due egrave bennota ci dice che fincheacute i numeri in ballo sono lsquoragionevolirsquo lrsquointuizione cidice che sappiamo trovare quoziente e resto Ma saragrave vero per tutti i numeri

41 Esistenza del quoziente e del resto

Come facevano gli antichi a eseguire le divisioni senza possedere unalgoritmo efficiente Supponiamo che una banda di sette ladri ignoranti

35

36 Capitolo 4 La divisione nei numeri naturali

ma abili nel loro mestiere avesse rubato un sacco pieno di sesterzi comepotevano dividersi il bottino

La risposta egrave molto semplice un sesterzio davanti al primo uno davantial secondo e cosigrave via fino a chiudere con il settimo poi si riprende Con ilprimo giro la quantitagrave di sesterzi si egrave ridotta e perciograve abbiamo anche qui unprocedimento ricorsivo

Piugrave formalmente se sappiamo che 119886 gt 119887 e sappiamo giagrave eseguire la divi-sione per 119887 dei numeri minori di 119886 sappiamo eseguire la divisione di 119886 per119887 infatti 119886 minus 119887 lt 119886 e perciograve possiamo scrivere

119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903

e dunque 119886 = 119887(119902 + 1) + 119903 Questo ragionamento egrave esattamente lo stesso deiladri a ogni giro il quoziente aumenta di uno In altre parole la divisioneconsiste di sottrazioni ripetute fino a quando il numero da dividere diventaminore del divisore Ecco lrsquoesempio dei gatti

44 minus 6 = 38 38 minus 6 = 32 32 minus 6 = 26 26 minus 6 = 2020 minus 6 = 14 14 minus 6 = 8 8 minus 6 = 2

Il numero di sottrazioni egrave 7 quindi 44 = 6 sdot 7 + 2

42 Unicitagrave del quoziente e del resto

Abbiamo determinato dunque che la divisione egrave sempre possibile (pur-cheacute il divisore non sia 0) Ma qui sorge un problema e se qualcuno inventas-se una strategia diversa per trovare il quoziente e il resto potrebbero esserediversi Di nuovo per numeri ragionevolmente piccoli questo non sembrapossibile ma per quelli di cui non abbiamo la percezione

Bene di fronte a dubbi del genere la matematica dimostra Se crsquoegrave un nu-mero che puograve essere diviso per 119887 dando quozienti o resti diversi ce nrsquoegrave unopiugrave piccolo con questa proprietagrave Sia esso 119886 e supponiamo che

119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904

dove 119903 lt 119887 e 119904 lt 119887 Non puograve essere 119886 lt 119887 percheacute altrimenti dobbiamo avere119909 = 119910 = 0 e 119903 = 119904 = 119886 quindi 119886 ge 119887 e perciograve possiamo sottrarre 119887

119886 minus 119887 = 119887(119909 minus 1) + 119903 119886 minus 119887 = 119887(119910 minus 1) + 119904

Ma ora 119886 minus 119887 lt 119886 e quindi per la scelta di 119886 119886 minus 119887 non puograve dare quozienti oresti diversi

119909 minus 1 = 119910 minus 1 119903 = 119904Questo dice anche che 119909 = 119910 ma egrave assurdo per come avevamo scelto 119886Dunque questo 119886 che dia quozienti o resti diversi non puograve esistere

43 Lʼalgoritmo della divisione 37

43 Lʼalgoritmo della divisione

Dobbiamo dividere i 65735 sesterzi tra i sette ladri tanti erano infatticome risultava da un foglietto nel sacco Sono ladri che si fidano del lorocapo che tiene un registro di quanto spetta a ciascuno e versa il contenutoin una cassa comune La procedura ben nota consiste nella seguente tabella

minus

minus

minus

minus

Si noti la preferenza per una notazione diversa da 65735 ∶ 7 = 9390 che nonva adoperata percheacute suggerisce ciograve che non dice I lsquorisultatirsquo della divisionesono due quoziente e resto Ogni ladro avragrave 9390 sesterzi stabiliranno lorocome tenere conto dei 5 di resto

Come funziona Prendiamo due cifre e dividiamo 65 per 7 scrivendo ilquoziente 9 e calcolando il resto tramite 9sdot7 e una sottrazione Che abbiamofatto in realtagrave La divisione di 65000 per 7000 Ora divideremo 2700 per 700poi 630 per 70 e quindi 5 per 7

La scelta di due cifre iniziali egrave solo una comoditagrave se ne prendessimosolo una avremmo la divisione di 60000 per 70000 che ha come quoziente0 e resto 60000

Vediamo con numeri piugrave piccoli per esempio la divisione di 935 per 7

minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4


Il nostro numero egrave 900 + 30 + 5 dunque abbiamo

900 + 30 + 5 = (700 sdot 1 + 200) + 30 + 5= (700 sdot 1) + 230 + 5= (700 sdot 1) + (70 sdot 3 + 20) + 5= (700 sdot 1 + 70 sdot 3) + 25= (700 sdot 1 + 70 sdot 3) + 7 sdot 3 + 4= (700 sdot 1 + 70 sdot 3 + 7 sdot 3) + 4= 7 sdot (1 sdot 100 + 3 sdot 10 + 3) + 4= 7 sdot 133 + 4

Questo mostra come il primo passaggio dia la cifra del quoziente da molti-plicare per 100 il secondo quella da moltiplicare per 10 il terzo la cifra delleunitagrave e il resto finale

Se il divisore egrave maggiore di 9 crsquoegrave solo la complicazione formale di doverlsquoindovinarersquo quante volte stia il divisore nel numero considerato in ciascunpassaggio Lrsquounica cosa che sappiamo egrave che questo numero egrave per forza dicose minore di 10 infatti il risultato di lsquodivisore moltiplicato 10rsquo ha una cifrain piugrave Eseguire le moltiplicazioni necessarie a parte egrave forse il modo miglioredi affrontare la questione se non si vede lsquoa occhiorsquo il quoziente parziale Sei ladri fossero 41 come nella favola di Aligrave Babagrave la divisione sarebbe

minus

minus

minus

minus

Come la moltiplicazione in base 2 richiede una tabella semplicissima co-sigrave la divisione in base 2 egrave facile infatti il divisore ldquoci stardquo oppure ldquonon ci stardquoe il resto si calcola facilmente

1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0

44 Il resto nella divisione 39

Questa era la divisione di 935 per 7 ma non egrave molto piugrave complicato eseguirequella di 65735 = 100000000110001111113569 per 41 = 1010011113569

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0

44 Il resto nella divisione

In moltissime situazioni il quoziente della divisione egrave quello che ci in-teressa ma in altre il resto egrave importantissimo per esempio lo si usa perdeterminare le cifre nello sviluppo in base 119887 come abbiamo giagrave visto Siscrive 119899 = 1198871199021113568 + 1198861113567 e 1198861113567 egrave la cifra dellrsquoordine piugrave basso (le unitagrave) poi si scrive1199021113568 = 1198871199021113569+1198861113568 e 1198861113568 egrave la cifra successiva si prosegue fincheacute si ha 119902119899 lt 119887 che suc-cederagrave di sicuro percheacute i quozienti successivi diminuiscono a questo punto119902119899 = 119887 sdot 0 + 119902119899 e questa egrave dunque la cifra piugrave a sinistra

Unrsquoaltra situazione in cui ci interessa il resto egrave nella dimostrazione cheesistono infiniti numeri primi

Diciamo che 119886 egrave divisibile per 119887 se 119886 = 119887119902 per qualche numero naturale119902 egrave lo stesso dire che il resto della divisione di 119886 per 119887 egrave zero Vediamo quicomrsquoegrave utile avere lo zero a disposizione

Un numero naturale 119901 gt 1 si dice primo se egrave divisibile solo per 1 e 119901stesso Per esempio 2 11 65 537 sono primi ma 6 = 2 sdot 3 non egrave primo

Il numero 1 non egrave primo per definizione ci sono molti motivi per esclu-derlo dalla lista dei numeri primi La principale egrave che i numeri maggiori di 1sono determinati dai numeri primi che li dividono e invece 1 li divide tuttidunque non serve per distinguere numeri tra loro dal punto di vista dellamoltiplicazione

Ogni numero maggiore di 1 egrave divisibile per almeno un numero primoinfatti se 119899 gt 1 esiste certamente un minimo divisore 119889 di 119899 tale che 119889 gt 1basta cominciare da 2 e vedere se divide 119899 se non lo divide si prova 3 e cosigravevia Allora 119889 egrave primo infatti se non lo fosse ci sarebbe un numero 119890 diversoda 1 e da 119889 che divide 119889 ma allora 119890 divide 119899 e 1 lt 119890 lt 119889 lt 119899 assurdo percheacute119889 egrave il minimo divisore di 119899 maggiore di 1


A questo punto possiamo trovare un metodo che fornisce un nuovo nu-mero primo diverso da quelli che abbiamo giagrave trovato Se essi sono 1199011113568 1199011113569 hellip119901119899 possiamo considerare

119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1

Il numero 119872 egrave maggiore di 1 quindi egrave divisibile per almeno un numeroprimo 119901 per esempio il minimo divisore maggiore di 1 Questo primo 119901non puograve essere 1199011113568 percheacute il resto della divisione di 119872 per 1199011113568 egrave 1 ma nonpuograve essere nemmeno 1199011113569 per lo stesso motivo neacute uno degli altri della listaDunque questo numero 119901 non compare nella lista nessuna lista di numeriprimi puograve comprendere tutti i numeri primi Ne concludiamo che ce ne sonoinfiniti La dimostrazione compare essenzialmente in questa forma giagrave negliElementi di Euclide

Crsquoegrave unrsquoaltra situazione in cui il resto egrave importante la prova del nove Se119899 egrave un numero naturale 119899 gt 0 diciamo che due numeri naturali 119886 e 119887 sono119899-uguali se danno lo stesso resto quando li dividiamo per 119899

Tutti i numeri sono 1-uguali il resto della divisione per 1 egrave sempre zeroPer 119899 = 2 la situazione egrave diversa 119886 e 119887 sono 2-uguali se sono entrambi pario entrambi dispari

Che crsquoentra questo con la prova del nove Ci arriveremo presto Vediamoche succede quando 119886 e 119887 sono 119899-uguali possiamo scrivere

119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)

percheacute il resto della divisione per 119899 egrave lo stesso Ma allora

119886 minus 119887 = 119899119909 + 119903 minus 119899119910 minus 119903 = 119899(119909 minus 119910)

cioegrave la differenza fra 119886 e 119887 egrave un multiplo di 119899 Questo se 119886 ge 119887 altrimenti sifa 119887 minus 119886 e il risultato egrave lo stesso Oppure si adoperano i numeri negativi noncrsquoegrave da averne paura

E se 119886 minus 119887 = 119899119911 si puograve dire che 119886 e 119887 sono 119899-uguali Certo scriviamo119887 = 119899119910 + 119903 con 119903 lt 119899 allora

119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903

e dunque il resto della divisione di 119886 e 119887 per 119899 egrave lo stesso numero 119903Usiamo la notazione 119886 equiv119899 119887 per indicare che 119886 e 119887 sono 119899-uguali cioegrave che

come abbiamo appena visto la differenza tra 119886 e 119887 egrave un multiplo di 119899 Questanuova ldquouguaglianzardquo ha proprietagrave simili a quella tradizionale 119886 equiv119899 119886 se119886 equiv119899 119887 allora 119887 equiv119899 119886 se 119886 equiv119899 119887 e 119887 equiv119899 119888 allora 119886 equiv119899 119888

La terminologia usuale egrave 119886 e 119887 sono congruenti modulo 119899


Crsquoegrave unrsquoaltra proprietagrave importante se 119886 equiv119899 119887 e 119888 equiv119899 119889 allora 119886 + 119888 equiv119899119887 + 119889 e 119886119888 equiv119899 119887119889 Le 119899-uguaglianze si possono ldquosommare e moltiplicarerdquoesattamente come le uguaglianze

Vediamo la prima sappiamo che 119886 minus 119887 = 119899119909 e 119888 minus 119889 = 119899119910 Allora

(119886 + 119888) minus (119887 + 119889) = 119886 + 119888 minus 119887 minus 119889 = (119886 minus 119887) + (119888 minus 119889) = 119899119909 + 119899119910 = 119899(119909 + 119910)

cioegrave 119886 + 119888 equiv119899 119887 + 119889Analogamente possiamo dimostrare che 119886119888 equiv119899 119887119888 infatti 119886119888 minus 119887119888 = 119899119909119888

Analogamente 119887119888 equiv119899 119887119889 e dunque

119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889

da cui 119886119888 equiv119899 119887119889Veniamo alla prova del nove Prendiamo il numero 348 lo possiamo

scrivere

3+4sdot10+8sdot100 = 3+4sdot9+4+8sdot99+8 = (3+4+8)+(4+8sdot11)sdot9 = 15+(4+8sdot11)sdot9

che ci dice 348 equiv1113576 15 In altre parole 348 egrave 9-uguale alla somma delle sue ci-fre Ma anche la somma delle cifre in questo caso 15 egrave 9-uguale alla sommadelle sue cifre in questo caso 6 Dunque

348 equiv1113576 6

Questo egrave vero per ogni numero infatti

1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)

e 10119899 minus 1 egrave un multiplo di 9 Questo prova che ogni numero egrave 9-uguale allasomma delle sue cifre (in base 10 chiaramente) Procedendo allo stesso mo-do abbiamo che ogni numero egrave 9-uguale alla sua radice numerica il numeroche si ottiene sommando le cifre e ripetendo fincheacute di cifre ne rimane unasola

Vogliamo controllare se il risultato di 3455 sdot2134 puograve essere 7 272 970 Laradice numerica di 3455 si ottiene con

3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8

quella di 2134 con 2134 rarr 2 + 1 + 3 + 4 = 10 rarr 1+ 0 = 1 quella di 7 272 970con

7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7


Da quello che abbiamo visto sappiamo che 3455 equiv1113576 8 2134 equiv1113576 1 e dunque3455 sdot 2134 equiv1113576 8 sdot 1 = 8 La moltiplicazione egrave sbagliata

Naturalmente questa verifica non garantisce lrsquoesattezza del risultato mapuograve provarne la scorrettezza Se invece del corretto

3455 sdot 2134 = 7 372 970

si fosse ottenuto il risultato 7 282 970 la prova del nove sarebbe andata bene

7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8

Che la prova del nove non garantisca la correttezza del risultato egrave ovvio seconsideriamo la base 2 qui la radice numerica di ogni numero (diverso da 0)egrave una cifra diversa da 0 quindi egrave necessariamente 1 La ldquoprova dellrsquounordquo egraveovviamente sempre soddisfatta ma il calcolo potrebbe essere sbagliato

Nel caso della base 10 stiamo sostituendo ogni numero con quello com-preso tra 1 e 9 a esso 9-uguale egrave chiaro che numeri diversi saranno sostituiticon lo stesso numero In effetti

7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000

egrave un multiplo di 9Forse sorprenderagrave lrsquoasserzione che chiunque legga queste note usa co-

munemente la 119899-uguaglianza anche escludendo la prova del nove In effettila si usa inconsapevolmente ogni volta che si inserisce il della tesseraBancomat o si comincia una connessione protetta con la propria banca manon egrave a queste applicazioni che lrsquoasserzione si riferisce Ogni volta che siguarda lrsquoorologio e ci si domanda che ora saragrave tra 20 ore si adopera la 12-uguaglianza Ogni volta che si fa un conto riguardante i giorni della settima-na si usa la 7-uguaglianza giorni che differiscono fra loro per un multiplodi 7 hanno lo stesso nome

Capitolo 5

Frazioni

Per le piugrave elementari esigenze di misura i numeri interi non bastanoGiagrave gli egizi usavano frazioni quindi lrsquoidea egrave molto antica Non egrave difficileimmaginare lrsquoorigine mettere una stazione di posta a metagrave strada dividereil giorno in unitagrave piugrave maneggevoli o in genere suddividere in parti ugualiqualsiasi cosa ammetta di essere suddivisa O anche in parti disuguali comenelle questioni di ereditagrave

Gli egizi preferivano le frazioni con numeratore unitario 12 13 e cosigravevia Per esempio esprimevano 25 come ldquo13 e 115rdquo Una tavola nel papiroRhind che si crede copia di un testo scritto attorno al AC sono riportatetutte le equivalenze simili per le frazioni del tipo 2119899 con 119899dispari fino a 101Si trovano conti come

267 =

140 +

1335 +

1536

51 Divisione in parti uguali

Se abbiamo una strada rettilinea non egrave difficile suddividerla in un certonumero di parti uguali dove sistemare le stazioni di posta In realtagrave non egravedifficile nemmeno suddividere una strada qualsiasi si conta quanti giri diruota del carro sono necessari per percorrerla e si divide per il numero distazioni di posta ritenuto adatto il resto diventa trascurabile

Notiamo che questo problema egrave essenzialmente diverso da quello delladivisione del bottino per il quale non serve conoscere il numero di monetedentro al sacco Il motivo egrave evidente la strada egrave un tuttrsquouno e contare ilnumero di giri di ruota serve a cambiare lrsquounitagrave di misura piugrave o meno comequando si ha una banconota da 100euro e la si cambia in pezzi piugrave piccoli

La possibilitagrave di dividere ciascuna grandezza lsquocontinuarsquo in parti ugualiegrave del tutto intuitiva una torta un liquido un segmento un angolo Eppurela divisione effettiva non egrave cosigrave ovvia per una torta circolare la dobbiamo

43

44 Capitolo 5 Frazioni

pensare in astratto e diventa equivalente alla divisione di un angolo per iliquidi ci viene in soccorso il principio dei vasi comunicanti

Per gli angoli ci si scontrograve con una difficoltagrave mentre egrave semplice dividerea metagrave un angolo con riga e compasso la trisezione sfidograve i geometri fin daltempo degli antichi greci fino a che Wantzel dimostrograve nel che non egravepossibile in generale Tuttavia si tratta di un falso problema la divisionedi un angolo in parti uguali si puograve eseguire se adoperiamo strumenti piugraveraffinati della riga e del compasso

Le frazioni ci servono per astrarre lrsquooperazione intuitiva di divisione inparti uguali Una volta che le si comprendono in quanto concetto a seacute stantesi possono introdurre le operazioni in modo che valgano proprietagrave analo-ghe a quelle dei numeri naturali e cosigrave anche le frazioni diventano lsquonumerirsquoSi potrebbe evitare di chiamarle lsquonumerirsquo la questione egrave sempre la stessada un punto di vista astratto si tratta di un nome che non ha bisogno dispiegazioni Numero egrave ciograve che decidiamo abbia diritto di chiamarsi cosigrave

52 Introdurre le frazioni

Quando suddividiamo una grandezza lsquocontinuarsquo in 119899 parti uguali e neprendiamo 119898 ne abbiamo preso la frazione 119898119899 Egrave chiaro che 119899 deve esserediverso da zero non si puograve suddividere un segmento in zero parti ugualinemmeno se il segmento egrave lungo 0

Dunque una frazione egrave data da due numeri tradizionalmente detti nu-meratore (il numero di parti che si prendono) e denominatore (il numero diparti della suddivisione) e si usa il simbolo119898119899 scritto anche se lo spazio loconsente

119898119899

La tradizione dice anche di leggere la frazione 35 come lsquotre quintirsquo nume-ro cardinale per il numeratore e ordinale per il denominatore Non sarebbemolto meglio leggerlo lsquotre su cinquersquo che evita contorsioni con lsquomilledue-centesimirsquo e simili

Per ora questi sono simboli che denotano unrsquooperazione concreta sud-dividere la grandezza in cinque parti e prenderne tre per esempio Primadi arrivare a definire le operazioni sulle frazioni abbiamo bisogno di saperequando due frazioni sono uguali

La teoria delle frazioni fece un enorme passo avanti quando Eudosso nefece la base per risolvere il problema della misura delle grandezze incom-mensurabili introducendo il concetto di proporzione Quattro grandezze so-no in proporzione 119886 ∶ 119887 = 119888 ∶ 119889 quando il rapporto tra 119886 e 119887 coincide con ilrapporto tra 119888 e 119889 Questa perograve non egrave una definizione vera e propria non sap-piamo che cosa sia questo lsquorapportorsquo Si dovrebbe andare molto piugrave a fondo

52 Introdurre le frazioni 45

su questrsquoargomento ma non ci serviragrave dal momento che ci interessano solorapporti tra numeri interi Per definizione poniamo

119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888

Questa egrave la definizione di uguaglianza tra frazioni siamo liberi di darla co-me ci pare ma naturalmente siamo obbligati a verificare che questa relazio-ne abbia le proprietagrave che ci aspettiamo

Che valga 119886119887 = 119886119887 egrave evidente infatti 119886119887 = 119886119887 Se sappiamo che 119886119887 = 119888119889da 119886119889 = 119887119888 possiamo dedurre che 119888119887 = 119889119886 e quindi 119888119889 = 119886119887

La transitivitagrave egrave un pochino piugrave complicata supponiamo che 119886119887 = 119888119889 eche 119888119889 = 119890119891 possiamo dedurne che 119886119887 = 119890119891 Scriviamo per bene lrsquoipotesicioegrave che

119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890

Se moltiplichiamo la prima uguaglianza per 119891 e la seconda per 119887 otteniamo

119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890

e quindi ne deduciamo che 119886119889119891 = 119887119889119890 o scritto in altro modo

119889(119886119891 minus 119887119890) = 0

Lo zero ci fa ancora molto comodo percheacute un prodotto di numeri diversida zero egrave diverso da zero Siccome 119889 ne 0 avremo allora 119886119891 minus 119887119890 = 0 cioegrave119886119891 = 119887119890 e quindi per la definizione 119886119887 = 119890119891

Vale anche la proprietagrave di invarianza se 119898 ne 0 allora

119886119887 =

119886119898119887119898

Infatti 119886(119887119898) = (119886119898)119887 per le proprietagrave della moltiplicazione La condizione119898 ne 0 ci serve per mantenere non nullo il denominatore Con questa pro-prietagrave possiamo vedere che questa definizione di uguaglianza tra frazionidopo tutto rispecchia la nostra intuizione se vogliamo che 119886119887 sia la stessalsquopartersquo rappresentata da 119888119889 invece che suddividere la grandezza in 119887 parti eprenderne 119886 la suddividiamo in 119887119889 parti e ne prendiamo 119886119889 analogamenteinvece di suddividerla in 119889 parti e prenderne 119888 la suddividiamo in 119887119889 par-ti e ne prendiamo 119887119888 Lrsquouguaglianza tra le frazioni diventa allora secondolrsquointuizione 119886119889 = 119887119888

Se 119886119887 = 119888119889 le espressioni 119886119887 e 119888119889 sono rappresentazioni della stessa fra-zione o piugrave precisamente dello stesso numero razionale Cosigrave 24 e 12 sonola stessa frazione non lsquodue frazioni diverse che hanno lo stesso valorersquo Co-me un numero intero si puograve rappresentare in basi diverse ma rimanere lostesso anche le frazioni si possono rappresentare in infiniti modi diversi


53 Frazioni e numeri interi

Niente in quanto abbiamo visto finora sulle frazioni impone che 119886 lt 119887percheacute si possa considerare la frazione 119886119887 119886 e 119887 sono due numeri naturaliqualsiasi con lrsquounica restrizione che 119887 ne 0 Lrsquointuizione ci dice che suddivi-dere una grandezza in una parte e prenderne 119886 sia del tutto equivalente aprendere 119886 volte quella grandezza Perciograve identifichiamo la frazione 1198861 con ilnumero naturale 119886

Le frazioni in cui il denominatore egrave un divisore del numeratore sonospesso chiamate apparenti (qualcuno riserva il nome alle frazioni del tipo119886119886) A un livello intuitivo possiamo anche accettare questa terminologiama concettualmente una frazione e un numero intero sono lsquooggettirsquo diversile frazioni apparenti sono precisamente quelle che identifichiamo ai nume-ri interi Questa identificazione non crea problemi percheacute vedremo che leoperazioni sulle frazioni quando ristrette alle frazioni apparenti danno glistessi risultati che darebbero le stesse operazioni sui numeri interi corri-spondenti

Se la frazione 119886119887 egrave apparente allora esiste un unico intero 119909 tale che119886119887 = 1199091 Infatti dire che 119887 egrave un divisore di 119886 significa che 119886 = 119887119909 per un intero119909 ma allora 119886119887 = 1199091per definizione Se poi 1199091 = 1199101 la definizione dagrave 119909 = 119910Il succo di questo capoverso egrave che una frazione apparente corrisponde a unben determinato numero intero

54 Addizione tra frazioni

La definizione formale di addizione tra frazioni appare piuttosto bizzar-ra forse

119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889

Di fatto non lo egrave se scriviamo un passaggio in piugrave

119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889

In altre parole riduciamo allo stesso denominatore le due frazioni e som-miamo i numeratori Lrsquousuale ricerca del minimo comune denominatore servesolo per rendere meno pesanti i calcoli ma non egrave affatto richiesta dalla de-finizione che diventerebbe altrimenti inutilmente complicata

Crsquoegrave un piccolo problema da risolvere prima di andare avanti che succe-de allrsquoaddizione se invece di 119888119889 uso una rappresentazione diversa diciamo119890119891 della stessa frazione Avremmo secondo la definizione

119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891

55 Ordinamento tra frazioni 47

e se abbiamo fatto le cose per bene dovremmo avere

119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891

Vediamo (119886119889 + 119887119888)119887119891 = 119886119887119889119891 + 1198871113569119888119891 = 119886119887119889119891 + 1198871113569119889119890 mentre (119886119891 + 119887119890)119887119889 =119886119887119889119891 + 1198871113569119889119890 Abbiamo usato che 119888119891 = 119889119890 e ottenuto che i due risultati sonola stessa frazione Siccome egrave ovvio che la definizione di addizione produceunrsquooperazione commutativa non occorre eseguire la verifica anche quandoprendiamo una rappresentazione diversa del primo addendo

Egrave evidente che 119886119887 + 01 = 119886119887 inoltre

1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105

Dunque lrsquoaddizione tra frazioni ha proprietagrave del tutto analoghe a quelledellrsquoaddizione tra interi Vediamo la verifica di quanto detto prima

1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1

Effettivamente lrsquoaddizione tra frazioni apparenti egrave come lrsquoaddizione tra inumeri interi corrispondenti

55 Ordinamento tra frazioni

Lrsquoidea intuitiva che funziona per lrsquoaddizione ci permette anche di defini-re un ordinamento riduciamo le frazioni allo stesso denominatore e guar-diamo i numeratori Per definizione

119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888

Dovremmo ancora una volta verificare che questo non dipende dalla parti-colare rappresentazione delle frazioni Vediamo supponiamo che 119886119887 lt 119888119889e che 119888119889 = 119890119891 ci serve dimostrare che 119886119887 lt 119890119891 o meglio che 119886119891 lt 119887119890Il trucco egrave sempre lo stesso dallrsquoipotesi abbiamo che 119886119889 lt 119887119888 e 119888119891 = 119889119890 semoltiplichiamo la prima uguaglianza per 119891 e la seconda per 119889 abbiamo

119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890

e quindi 119886119889119891 lt 119887119889119890 Ma siccome in entrambi i termini crsquoegrave 119889 e 119889 ne 0 ne ri-caviamo 119886119891 lt 119887119890 come richiesto La verifica cambiando la rappresentazionedellrsquoaltro termine si fa in modo analogo Si noti che possiamo ricavare lrsquoin-teressante relazione

119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888


Un caso particolare egrave 119886119887 lt 1 (o se si vuole essere pignoli 119886119887 lt 11)questo avviene esattamente quando 119886 lt 119887

Si dimostri che la relazione lsquoessere minorersquo egrave transitiva cioegrave che

se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891

56 Moltiplicazione tra frazioni

Egrave piugrave complicato giustificare intuitivamente la moltiplicazione Lrsquoideabase egrave che la moltiplicazione per 1119899 consiste nellrsquoinfittire la suddivisionedividendo ogni pezzo precedente in 119899 parti uguali Invece moltiplicare per1198981 significa prendere 119898 volte piugrave parti Dunque la definizione dovrebbeessere 119886

119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889

Di nuovo abbiamo il problema di verificare che questo non dipende dallaparticolare rappresentazione delle due frazioni Proviamo con il caso 119888119889 =119890119891 cioegrave 119888119891 = 119889119890 Dovremmo avere allora

119886119888119887119889 =

119886119890119887119891

cioegrave 119886119887119888119891 = 119886119887119889119890 che egrave vero proprio percheacute 119888119891 = 119889119890Le dimostrazioni delle proprietagrave associativa e distributiva sono semplici

verifiche lasciate per esercizio Ci interessa invece osservare che

119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1

Date due frazioni 119903 = 119886119887 e 119904 = 119888119889 ne 0 esiste una frazione 119909 tale che 119903 =119904119909 nei numeri razionali la divisione egrave sempre possibile Come facciamo adeterminare 119909 Poniamo 119909 = 119898119899 e scriviamo ciograve che ci serve dallrsquoipotesi119903 = 119904119909 119886

119887 =119888119889119898119899 = 119888119898

119889119899cioegrave

119886119889119899 = 119887119888119898

che si puograve anche scrivere119898119899 = 119886119889

119887119888 =119886119887119889119888

Quindi lsquodividere per 119888119889rsquo equivale a moltiplicare per 119889119888 Questo egrave possibilepercheacute 119888119889 ne 0 cioegrave 119888 ne 0

57 La densitagrave dei numeri razionali 49

57 La densitagrave dei numeri razionali

Se 119903 e 119904 sono numeri razionali con 119903 lt 119904 esiste almeno un numero razio-nale 119905 tale che

119903 lt 119905 lt 119904

Basta prendere per esempio

119905 = (119903 + 119904) sdot 12

Vediamolo piugrave in dettaglio se 119903 = 119886119887 e 119904 = 119888119889 allora

119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889

secondo la definizione Dobbiamo verificare che

119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889

Per la prima si deve dunque provare che 2119886119887119889 lt (119886119889 + 119887119888)119887 Il fattore 119887 egraveirrilevante essendo un denominatore e quindi diverso da zero Ci rimanedunque da vedere che 2119886119889 lt 119886119889 + 119887119888 che egrave vero percheacute equivale allrsquoipotesi119886119889 lt 119887119888 La seconda disuguaglianza si verifica in modo analogo

Ne segue facilmente che esistono infiniti numeri razionali 119905 tali che 119903 lt119905 lt 119904 basta ripetere il procedimento a partire dal primo 119905 trovato e inserireun nuovo numero tra 119903 e 119905 e andare avanti questo procedimento puograve essereripetuto quante volte si vuole

Questa infinitagrave perograve non egrave sufficiente per gli scopi della misura le gran-dezze incommensurabili sfuggono Di fatto i numeri razionali sono lsquotan-ti quantirsquo i numeri naturali possiamo scrivere una tabella in cui compaio-no tutti i numeri razionali Quella che mostriamo si chiama albero di Stern-Brocot

Ogni termine si ottiene da quelli immediatamente a sinistra e a destranelle righe precedenti se sono 119886119887 e 119888119889 il termine da inserire egrave quello del-lrsquoaddizione sbagliata

119886 + 119888119887 + 119889

Per il termine piugrave a sinistra di ciascuna riga si usa la frazione 01 per quellopiugrave a destra la frazione formale 10 (che non fa parte dei razionali ma ser-ve solo a costruire lrsquoalbero) Si puograve dimostrare che ogni numero razionalecompare esattamente una volta nella tabella che pensiamo completata contutte le righe costruite come da ricetta In questo modo possiamo lsquocontarersquoi numeri razionali partendo da 01 e procedendo riga per riga


Tabella 51 Lʼalbero di Stern-Brocot

01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41

58 Frazioni decimali

Una volta che si sia adottata la numerazione in base 10 diventa abba-stanza naturale considerare le frazioni 110 1100 e cosigrave via in realtagrave i primiusi sistematici di queste frazioni sono apparsi solo nel sedicesimo secolo

Al giorno drsquooggi con lrsquoadozione ormai quasi universale del sistema me-trico decimale le frazioni decimali sono familiari anche per via della spe-ciale notazione usata invece di 357100 si scrive 357 Non egrave altro che

3 + 57100

dove riconosciamo quoziente e resto della divisione di 357 per 100In molti ambiti applicativi non egrave necessario avere lsquomisure esattersquo e ci si

accontenta delle approssimazioni a meno di 110 1100 o in generale 110119899Dove si adopera ancora il sistema inglese (cioegrave quasi solo negli USA) egrave co-mune parlare di 14 18 di miglio di oncia o di libbra non crsquoegrave tutta questaconvenienza nellrsquouso delle frazioni decimali

La teoria delle frazioni decimali o dei numeri decimali che sono esatta-mente la stessa cosa potrebbe finire qui Se dobbiamo moltiplicare 357 per12 eseguiamo

357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284

La moltiplicazione in colonna funziona esattamente allo stesso modo bastanel risultato inserire la virgola alla sinistra di tante cifre quanto egrave la somma

59 Numeri decimali periodici 51

dei numeri di cifre dopo la virgola nei fattori Questo percheacute i denominatorisi moltiplicano e 10119898 sdot 10119899 = 10119898+119899

Nel caso dellrsquoaddizione egrave necessario prima ridurre allo stesso denomi-natore Questo si realizza lsquoaggiungendo zerirsquo a destra in modo da avere lostesso numero di cifre dopo la virgola in tutti gli addendi

Supponiamo ora di voler calcolare lrsquoapprossimazione a meno di 1100di 37 cioegrave una frazione decimale 119902100 tale che

37 minus

119902100 lt

1100

Questa disuguaglianza si puograve anche scrivere

3007 minus 119902 lt 1

cioegrave300 minus 7119902 lt 7

Se calcoliamo la divisione di 300 per 7 abbiamo 300 = 7119902 + 119903 con 119903 lt 7dunque 300 minus 7119902 lt 7 esattamente quello che cercavamo Perciograve scriveremola divisione al modo usuale con due zeri dopo la virgola che possono anchenon essere indicati ma semplicemente lsquoabbassatirsquo quando servono

59 Numeri decimali periodici

Se nel caso precedente non limitiamo a priori il numero di cifre dopo lavirgola ma continuiamo ad lsquoabbassare zerirsquo ci possiamo trovare di fronte adue possibilitagrave uno dei resti che otteniamo egrave zero oppure no

Quando abbiamo un resto nullo il procedimento termina non ha piugravesenso continuare ad abbassare zeri Che significa Che abbiamo ottenutoun numero nella forma 11990210119899 Se siamo partiti dalla frazione 119886119887 questo sipuograve anche scrivere

119886119887 =

11990210119899

Se i due numeri 119886 e 119887 non hanno fattori primi in comune cioegrave la frazione egraveridotta ai minimi termini e scriviamo questa uguaglianza come

119886 sdot 10119899 = 119887119902


scopriamo che tra i fattori primi di 119887 ci devono essere solo 2 e 5 Se infatti unnumero primo 119901 diverso da 2 e 5 divide 119887 deve dividere anche 119886 sdot 10119899 manon puograve comparire tra i fattori di 10119899 e dunque deve comparire tra i fattoridi 119886 assurdo

Dunque quando il denominatore 119887 non egrave un divisore di una potenzadi 10 non si potragrave mai avere un resto nullo in alcun punto del procedimentodi divisione Che succede allora Succede che i resti sono sempre minori di119887 quindi le possibilitagrave sono finite a un certo punto dobbiamo ottenere unresto che abbiamo giagrave trovato e da quel punto in poi tutte le divisioni siripetono identiche

Sono i cosiddetti numeri decimali periodici In questo caso il periodo egrave la suc-cessione di cifre 428571 che si ripeterebbe indefinitamente Non egrave difficileverificare che il periodo di 1(10119899 minus 1) egrave di 119899 cifre per esempio


Dunque non crsquoegrave limite al numero di cifre del periodo Tuttavia dare un sen-so preciso a queste successioni infinite di cifre richiede concetti piuttostoelevati di analisi matematica

Capitolo 6

Che cosʼegrave la matematica

La matematica non egrave solo numeri Egrave prima di tutto la ricerca di simme-trie di connessioni tra concetti allrsquoapparenza diversi lo studio di astrazionie astrazioni di astrazioni

61 Apollonio e Kepler

Apollonio attivo sul finire del terzo secolo AC scrisse un trattato moltofamoso sulle coniche cioegrave le figure che si ottengono sezionando un conocon un piano circonferenza ellisse parabola e iperbole Sono figure checiascuno puograve disegnare sul muro o sul pavimento con una torcia elettricae in qualche modo parenti tra loro Infatti Apollonio ne descrisse moltis-sime proprietagrave e poco si egrave aggiunto da allora si sono trovati nuovi modidi proporre e di collegare le proprietagrave studiate da Apollonio ma non tanteproprietagrave in piugrave

Percheacute Apollonio studiograve le coniche Percheacute erano figure geometriche in-teressanti con le quali per esempio si poteva lsquoduplicare il cuborsquo e lsquotrisecarelrsquoangolorsquo Qual era lrsquoutilitagrave pratica Nessuna era matematica pura

Nel sedicesimo secolo il polacco Mikołaj Kopernik sconvolse il mondoproponendo una nuova lsquoteoria del cielorsquo secondo la quale il Sole egrave al centrodellrsquouniverso e non la Terra come la cosmologia del tempo asseriva ancheper motivi religiosi Tuttavia il sistema proposto da Kopernik era assai si-mile a quello di Tolomeo percheacute lrsquounico moto concepibile a quel tempo eraquello circolare epicicli sfere celesti e tutto lrsquoarmamentario tolemaico eraben presente nella teoria copernicana

Alla fine del secolo Johannes Kepler stava studiando sia le lenti per co-struire cannocchiali migliori sia le traiettorie dei pianeti per capire se sisarebbe potuto semplificare il sistema copernicano Per le lenti si rese contoche studiare le coniche di Apollonio sarebbe stato utile ed ebbe lrsquoillumina-

55

56 Capitolo 6 Che cosʼegrave la matematica

zione le orbite dei pianeti attorno al Sole sono ellissiLe curve studiate quasi diciotto secoli prima da Apollonio diventarono

cosigrave oggetti della matematica applicata alla fisica Poco tempo dopo IsaacNewton riuscigrave a dedurre matematicamente le leggi sperimentali di Keplersul moto dei pianeti dalla sola legge di gravitazione ma dovette inventareuna nuova branca della matematica il calcolo flussionale Allo stesso tempoGottfried von Leibniz faceva ricerche matematiche simili il suo calcolo fudetto infinitesimale nacque la moderna analisi matematica

62 I numeri in circolo

Pierre de Fermat era un magistrato che in ossequio alle raccomandazio-ni del re non faceva vita di societagrave e perciograve si era trovato un passatempola matematica Visse tra il e il tra le tante cose che scoprigrave una egravemolto bella Se 119901 egrave un numero primo allora qualunque sia il numero intero119886

119886119901 egrave 119901-uguale ad 119886Con i nostri simboli 119886119901 equiv119901 119886 cioegrave detto in altro modo 119886119901 minus 119886 egrave un multiplodi 119901 Proviamo in qualche caso

31113572 minus 3 = 243 minus 3 = 240 = 5 sdot 48611135681113568 minus 6 = 362 797 050 = 11 sdot 32 981 550

2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200

Naturalmente Fermat non si mise a fare tutte le prove calcoli come 2411135681113574minus24sfidano la pazienza di qualsiasi essere umano Invece trovograve un modo di di-mostrare quanto asserito Il concetto di 119901-uguaglianza non si era ancora svi-luppato lo introdusse Gauss nei primi anni del diciannovesimo secolo maFermat era molto interessato a numeri che differivano tra loro per multiplidi un primo 119901

Fu Gauss nel suo libro Disquisitiones arithmeticae a capire meglio que-sta faccenda Se consideriamo lsquougualirsquo numeri che differiscono per multiplidi 119899 possiamo fare su questi nuovi oggetti operazioni aritmetiche moltosimili a quelle che si fanno con i numeri

Non egrave molto diverso da come abbiamo fatto per le frazioni Come 12 e24 sono rappresentazioni diverse della stessa frazione cosigrave [8]1113574 e [15]1113574 sonorappresentazioni diverse dello stesso 7-numero

Possiamo definire gli 119899-numeri per ogni 119899 gt 0 ed eseguire le operazioniin modo abbastanza intuitivo

[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57

percheacute 10 equiv1113574 3 e 15 equiv1113574 1 Ogni 119899-numero ha una ldquorappresentazione ai mi-nimi terminirdquo [8]1113574 = [1]1113574 [14]1113574 = [0]1113574

Gauss si accorse che lrsquoasserzione di Fermat diventava unrsquoasserzione sui119901-numeri e ne diede una dimostrazione piugrave semplice Nello stesso periodoGiuseppe Luigi Lagrange studiava tuttrsquoaltro genere di problemi si interes-sava alle equazioni algebriche e alle permutazioni Ci volle quasi un secolopercheacute gli studi di Gauss e di Lagrange fossero visti come aspetti diversi diunrsquounica teoria nella quale lrsquoasserzione di Fermat diventa quasi banale

Tutta matematica pura a nessuno interessa trovare complicate formulerisolutive di equazioni se ciograve che sta cercando egrave di risolvere con la mate-matica problemi pratici soluzioni approssimate in molti casi pratici sonoanche meglio di soluzioni esatte scritte in modo astruso

Nel Ronald Rivest Adi Shamir e Leonard Adleman idearono unsistema per la trasmissione di dati in modo sicuro tramite una cifratura unmetodo crittografico che tutti adoperiamo spesso visto che su esso si basala trasmissione dei dati fra la banca e lo sportello Bancomat o il calcolatoredi casa quando ci colleghiamo con la banca Il metodo si basa proprio sugli119899-numeri di Gauss

63 Infinito

Lrsquoalbero di Stern-Brocot mostra che i numeri razionali sono lsquotanti quantirsquoi numeri interi Invece i numeri reali sono lsquodi piugraversquo nessuna lista numerabilepuograve comprendere tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1 Sia infatti

0119886111356811135681198861113568111356911988611135681113570hellip0119886111356911135681198861113569111356911988611135691113570hellip0119886111357011135681198861113570111356911988611135701113570hellip⋮

una lista di numeri reali (visti come allineamenti decimali infiniti) Egrave facilecostruire un numero reale che non compare nella lista ma che egrave ancora com-preso tra 0 e 1 si prenda 1198871113568 = 1 se 5 le 11988611135681113568 le 9 altrimenti si prenda 1198871113568 = 5 siprenda 1198871113569 = 1 se 5 le 11988611135691113569 le 9 altrimenti si prenda 1198871113569 = 5 hellip

Il numero 0119887111356811988711135691198871113570hellip non compare nella lista percheacute la sua prima cifradecimale egrave diversa dalla prima cifra del primo numero la seconda cifra de-cimale egrave diversa dalla seconda cifra del secondo numero hellip

Georg Cantor scoprigrave questo apparente paradosso e lo generalizzograve datoun insieme infinito ce nrsquoegrave uno la cui lsquoinfinitagraversquo egrave maggiore Ci dice qualco-sa di metafisico No egrave semplicemente una conseguenza del ragionamentoa partire da certe premesse gli apparenti paradossi della matematica nonhanno conseguenze sul mondo reale


64 I numeri interi

Tutti abbiamo esperienza dei numeri interi come lsquocrediti e debitirsquo i nu-meri negativi possono essere interpretati come debiti La scala lsquosotto zerorsquo egraveben nota ma ci sono comunque certi aspetti dei numeri negativi che a voltelasciano perplessi

Intanto giagrave il nome li rende sospetti ma si tratta solo di una tradizioneche non vedeva questi numeri come soluzione accettabile di unrsquoequazioneLi si considerava semplici strumenti di calcolo che non avevano dignitagrave au-tonoma

Possiamo vedere i numeri interi in modo analogo a quanto fatto per lefrazioni Una registrazione egrave data da una coppia di numeri naturali il primodetto avere e il secondo detto dare se lrsquoavere egrave 119886 e il dare egrave 119887 la registrazioneda essi rappresentata egrave 119886 ⊖ 119887

Due rappresentazioni 119886 ⊖ 119887 e 119888 ⊖ 119889 sono uguali se

119886 + 119889 = 119887 + 119888

Lrsquoanalogia con le frazioni egrave evidente usiamo lrsquoaddizione invece della mol-tiplicazione e infatti la dimostrazione delle proprietagrave riflessiva simmetricae transitiva sono del tutto simili

Come definiamo lrsquoaddizione tra registrazioni Se il modello che abbia-mo in mente egrave quello di un conto economico per sommare due registrazionidovremo sommare gli avere e i dare

(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)

Si verifica esattamente come per le frazioni che se 119888 ⊖ 119889 = 119890 ⊖ 119891 allora

(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)

e quindi che la somma dipende solo dalla registrazione e non dalla sua rap-presentazione

Egrave chiaro che 119886 ⊖ 119887 + 0 ⊖ 0 = 119886 ⊖ 119887 si ha poi 119886 ⊖ 119887 = 0 ⊖ 0 se e solo se119886 = 119887 come ci si aspetta Dunque se sommiamo la registrazione 119886 ⊖ 119887 allasua opposta cioegrave 119887 ⊖ 119886 otteniamo

119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0

Possiamo dunque risolvere il problema date le registrazioni 119903 e 119904 trovareuna registrazione 119909 tale che 119903 = 119904 + 119909 Egrave il problema analogo della divisionese 119903 = 119886 ⊖ 119887 e 119904 = 119888 ⊖ 119889 basta prendere 119909 = (119886 ⊖ 119887) + (119889 ⊖ 119888) cioegrave sommare a 119903lrsquoopposto di 119904

65 Alcuni problemi 59

Ogni registrazione 119886⊖ 119887 cade in uno dei casi seguenti () 119886 gt 119887 () 119886 = 119887() 119886 lt 119887 Nel primo caso 119886 ⊖ 119887 = (119886 minus 119887) ⊖ 0 nel secondo caso 119886 ⊖ 119887 = 0 ⊖ 0nel terzo abbiamo 119886 ⊖ 119887 = 0 ⊖ (119887 minus 119886) che egrave lrsquoopposta di (119887 minus 119886) ⊖ 0

Egrave facile vedere che una registrazione 119886 ⊖ 119887 si puograve scrivere in modo unicocome 119888 ⊖ 119889 dove 119888 = 0 oppure 119889 = 0 Se 119909 gt 0 una registrazione 119909 ⊖ 0 sichiama positiva una 0 ⊖ 119909 si chiama negativa 0 ⊖ 0 egrave la registrazione nulla

Come abbiamo fatto per le frazioni possiamo identificare le registrazionipositive con i numeri naturali diversi da zero e la registrazione nulla con 0A questo punto la registrazione 0⊖119909 egrave lrsquoopposta di 119909⊖0 = 119909 e quindi usiamola notazione minus119909

Si puograve anche definire una moltiplicazione tra registrazioni con

(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)

Si puograve dimostrare che valgono le solite proprietagrave egrave un esercizio noioso mafacile Vediamo che il prodotto di registrazioni negative egrave positiva

(0 ⊖ 119909) sdot (0 ⊖ 119910) = (0 sdot 0 + 119909119910) ⊖ (0 sdot 119910 + 119909 sdot 0) = 119909119910 ⊖ 0

Non crsquoegrave nessun mistero sono le regole stesse che ci dicono come operare Mapercheacute la moltiplicazione tra registrazioni egrave definita cosigrave Lrsquoidea egrave semplicela registrazione 119886⊖ 119887 egrave lsquoil risultatorsquo della sottrazione 119886 minus 119887 Se moltiplichiamoformalmente (119886minus119887)(119888minus119889) (con la regola che lsquomeno per meno fa piugraversquo) abbiamoesattamente

(119886 minus 119887)(119888 minus 119889) = 119886119888 minus 119886119889 minus 119887119888 + 119887119889 = (119886119888 + 119887119889) minus (119886119889 + 119887119888)

e se trasformiamo le espressioni formali in una registrazione abbiamo pro-prio la definizione data di moltiplicazione

Qual egrave lo scopo di tutto questo Costruire i numeri interi usando solole proprietagrave affidabili dei numeri naturali La necessitagrave che la moltiplicazio-ne sia definita cosigrave viene solo dal fatto che vogliamo preservare le proprie-tagrave delle operazioni cioegrave associativitagrave commutativitagrave e distributivitagrave dellamoltiplicazione rispetto allrsquoaddizione

Quando poi identifichiamo le registrazioni positive con i numeri natu-rali (quella nulla con 0) abbiamo dato un modo di lsquovederersquo i numeri intericome unrsquoestensione dei numeri naturali e possiamo dimostrarne le proprietagraveEgrave lrsquoesatto analogo lo ripetiamo di quello fatto per le frazioni la frazione 119886119887egrave lsquoil risultato della divisione esatta di 119886per 119887rsquo Ci inventiamo quello che servetanto non sono oggetti del mondo reale ma solo creazioni della mente

65 Alcuni problemi

Supponiamo di avere quattro aiuole e tre tipi diversi di fiori Volendopiantare in ciascuna aiuola un tipo di fiore quante configurazioni diverse


possiamo ottenereSe i fiori sono margherite rododendri e garofani possiamo avere fra le

altre configurazioni

MMMM MRGM GRGR GGGR

ma anche molte altre Scriverle e contarle tutte puograve essere davvero lungo enon si sarebbe mai del tutto sicuri di aver considerato tutte le possibilitagrave

Come facciamo a contare queste configurazioni in modo intelligente esoprattutto senza sprecare carta e inchiostro

Proviamo a risolvere un problema apparentemente piugrave difficile le aiuo-le sono sempre quattro ma i tipi di fiori sono dieci Solo che invece di usareil nome dei fiori li numeriamo da 0 a 9 ecco che ogni configurazione corri-sponde a un unico numero 119909 con 0 le 119909 le 9999 basta tener conto anche deglizeri iniziali Dunque in questo caso le configurazioni sono 101113571 = 10 000

E nel caso originale Numeriamo i fiori come 0 1 e 2 ogni configurazio-ne corrisponde a un numero di quattro cifre (compresi gli zeri iniziali) inbase 3 Dunque le configurazioni sono 31113571 = 81 Con una sola idea abbiamorisolto il problema con un numero qualsiasi di aiuole e di fiori Se abbiamo12 aiuole e 15 varietagrave di fiori le configurazioni possibili sono

1511135681113569 = 129 746 337 890 625

Un giardiniere fantasioso puograve sbizzarrirsi per parecchio tempoEcco un altro problema di enumerazione quanti anagrammi si possono

scrivere della parola lsquoROMArsquo Alcuni non avranno significato ma per sape-re quanti ne hanno occorreragrave essere sicuri di saperli scrivere tutti in mododa non saltarne Se sappiamo quanti sono in astratto potremo controllareche il numero sia giusto

Abbiamo quattro lettere (diverse) da disporre in quattro caselle In quan-ti modi possiamo riempire la prima casella Quattro Mettiamoci una lette-ra quanti modi abbiamo di riempire la seconda Tre percheacute una lettera egravegiagrave stata usata Posiamone una delle tre per la terza casella avremo duepossibilitagrave e a questo punto lrsquoultima lettera rimasta va nella quarta Totale4 sdot 3 sdot 2 sdot 1 = 24 Gli anagrammi sono costruiti nella figura

Piugrave interessante del numero egrave forse la procedura per costruire questianagrammi Si parte da una lettera per esempio la lsquoArsquo Aggiungiamo unalettera in questo caso la lsquoMrsquo che poniamo a sinistra e a destra della prece-dente Prendiamo la lsquoOrsquo e la inseriamo prima in lsquoMArsquo e poi in lsquoAMrsquo sfruttan-do tutti i pertugi disponibili a sinistra in mezzo e a destra A questo puntoabbiamo i sei anagrammi di lsquoOMArsquo e possiamo aggiungere la lsquoRrsquo con lo stes-so trucco su ciascuna delle sei parole precedenti le posizioni dove inserirela lsquoRrsquo sono proprio quattro Nellrsquoultima tabella sono messe in evidenza leparole di senso compiuto


A

MAAM

MA AM

OMA OAMMOA AOMMAO AMO

OMA MOA MAO OAM AOM AMO

ROMA RMOA RMAO ROAM RAOM RAMOORMA MROA MRAO ORAM AROM ARMOOMRA MORA MARO OARM AORM AMROOMAR MOAR MAOR OAMR AOMR AMOR

ROMA RMOA RMAO ROAM RAOM RAMOORMA MROA MRAO ORAM AROM ARMOOMRA MORA MARO OARM AORM AMRO

OMAR MOAR MAOR OAMR AOMR AMOR

Figura 6 Gli anagrammi di ʻROMAʼ

Un ultimo problemino costruire un quadrato magico con i numeri da1 a 9 cioegrave una tabella in cui le celle vanno riempite con tutti i numeri da1 a 9 in modo che le somme delle caselle su ogni riga ogni colonna e ognidiagonale sia la stessa

119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894

e per esempio 119886 + 119887 + 119888 = 119889 + 119890 + 119891 = 119886 + 119889 + 119892 = 119886 + 119890 + 119894La somma su ogni riga colonna e diagonale egrave la costante magica Se 119896 egrave

questa costante dobbiamo avere

(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896

e la somma a sinistra si puograve scrivere come

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

che fa 45 Dunque 3119896 = 45 e quindi 119896 = 15 Cerchiamo perciograve di scrivere 15


come somma di numeri distinti fra 1 e 9

1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7

e nessun altro modo Ora vediamo di scrivere nella nostra tabella in quantesomme ogni casella egrave coinvolta

1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580

Nelle somme di prima solo il 5 compare quattro volte compaiono tre volte2 4 6 e 8 compaiono due volte 1 3 7 e 9 Perciograve al centro va 5 e possiamomettere nellrsquoangolo in alto a sinistra 2 cosiccheacute nellrsquoangolo in basso a destrava 8

2

5

8

Negli altri due posti agli angoli vanno 4 e 6 sistemiamoli cosigrave

2 4

5

6 8

e a questo punto il diagramma si completa facilmente

2 9 4

7 5 3

6 1 8


Ci sono otto simmetrie del quadrato che corrispondono alle altre scelte cheabbiamo fatto quindi il quadrato magico egrave essenzialmente unico se aves-simo messo 8 nellrsquoangolo in alto a sinistra 2 sarebbe andato in quello inbasso a destra oppure potremmo mettere 4 in alto a sinistra e cosigrave via mail quadrato che si ottiene egrave lsquolo stessorsquo a meno di simmetria Non sono uni-ci invece i quadrati magici da lsquoquattro per quattrorsquo in su Se sottraiamo 5 aogni numero la costante magica diventa 0

minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3

e qualche simmetria si vede meglioNel caso di un quadrato lsquoquattro per quattrorsquo la costante magica egrave 34

Percheacute Una famosa opera di Albrecht Duumlrer Melencolia I contiene un qua-drato magico di questo tipo


Figura 7 Albrecht Duumlrer Melencolia I National Gallery of Art Washing-ton USA


Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione

Il sistema posizionale


Lalgoritmo delladdizione

Lalgoritmo della moltiplicazione

Lalgoritmo del confronto

Lalgoritmo della sottrazione


Esistenza del quoziente e del resto

Unicitagrave del quoziente e del resto

Lalgoritmo della divisione

Il resto nella divisione

Frazioni

Divisione in parti uguali

Introdurre le frazioni

Frazioni e numeri interi

Addizione tra frazioni

Ordinamento tra frazioni

Moltiplicazione tra frazioni

La densitagrave dei numeri razionali

Frazioni decimali

Numeri decimali periodici

Che cosegrave la matematica

Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi

Indice

Capitolo 1 Definire la matematica bull 1

11 Uguaglianza bull 2

12 Contare bull 4

13 Forme bull 7

14 Misure bull 11

Capitolo 2 Numeri naturali bull 15

21 Numeri e numerali bull 16

22 Addizione bull 18

23 Maggiore e minore bull 20

24 Moltiplicazione bull 21

25 Il sistema posizionale bull 22

Capitolo 3 Gli algoritmi delle operazioni bull 27

31 Lʼalgoritmo dellʼaddizione bull 28

32 Lʼalgoritmo della moltiplicazione bull 30

33 Lʼalgoritmo del confronto bull 33

34 Lʼalgoritmo della sottrazione bull 33

Capitolo 4 La divisione nei numeri naturali bull 35

41 Esistenza del quoziente e del resto bull 35

42 Unicitagrave del quoziente e del resto bull 36

43 Lʼalgoritmo della divisione bull 37

44 Il resto nella divisione bull 39

Capitolo 5 Frazioni bull 43

51 Divisione in parti uguali bull 43

iii

iv Indice




Capitolo 1







1




11 Uguaglianza












11 Uguaglianza 3

















12 Contare








12 Contare 5



















13 Forme 7




13 Forme













13 Forme 9








14 Misure 11

14 Misure












1198891113569 = 1198971113569 + 1198971113569

quindi che1198991113569 = 21198981113569




14 Misure 13


Capitolo 2

Numeri naturali








15



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi

iv Indice




Capitolo 1







1




11 Uguaglianza












11 Uguaglianza 3

















12 Contare








12 Contare 5



















13 Forme 7




13 Forme













13 Forme 9








14 Misure 11

14 Misure












1198891113569 = 1198971113569 + 1198971113569

quindi che1198991113569 = 21198981113569




14 Misure 13


Capitolo 2

Numeri naturali








15



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi

Capitolo 1







1




11 Uguaglianza












11 Uguaglianza 3

















12 Contare








12 Contare 5



















13 Forme 7




13 Forme













13 Forme 9








14 Misure 11

14 Misure












1198891113569 = 1198971113569 + 1198971113569

quindi che1198991113569 = 21198981113569




14 Misure 13


Capitolo 2

Numeri naturali








15



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi




11 Uguaglianza












11 Uguaglianza 3

















12 Contare








12 Contare 5



















13 Forme 7




13 Forme













13 Forme 9








14 Misure 11

14 Misure












1198891113569 = 1198971113569 + 1198971113569

quindi che1198991113569 = 21198981113569




14 Misure 13


Capitolo 2

Numeri naturali








15



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi

11 Uguaglianza 3

















12 Contare








12 Contare 5



















13 Forme 7




13 Forme













13 Forme 9








14 Misure 11

14 Misure












1198891113569 = 1198971113569 + 1198971113569

quindi che1198991113569 = 21198981113569




14 Misure 13


Capitolo 2

Numeri naturali








15



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi




12 Contare








12 Contare 5



















13 Forme 7




13 Forme













13 Forme 9








14 Misure 11

14 Misure












1198891113569 = 1198971113569 + 1198971113569

quindi che1198991113569 = 21198981113569




14 Misure 13


Capitolo 2

Numeri naturali








15



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi

12 Contare 5



















13 Forme 7




13 Forme













13 Forme 9








14 Misure 11

14 Misure












1198891113569 = 1198971113569 + 1198971113569

quindi che1198991113569 = 21198981113569




14 Misure 13


Capitolo 2

Numeri naturali








15



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi











13 Forme 7




13 Forme













13 Forme 9








14 Misure 11

14 Misure












1198891113569 = 1198971113569 + 1198971113569

quindi che1198991113569 = 21198981113569




14 Misure 13


Capitolo 2

Numeri naturali








15



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi








13 Forme 9








14 Misure 11

14 Misure












1198891113569 = 1198971113569 + 1198971113569

quindi che1198991113569 = 21198981113569




14 Misure 13


Capitolo 2

Numeri naturali








15



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi



14 Misure 11

14 Misure












1198891113569 = 1198971113569 + 1198971113569

quindi che1198991113569 = 21198981113569




14 Misure 13


Capitolo 2

Numeri naturali








15



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi




1198891113569 = 1198971113569 + 1198971113569

quindi che1198991113569 = 21198981113569




14 Misure 13


Capitolo 2

Numeri naturali








15



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi

14 Misure 13


Capitolo 2

Numeri naturali








15



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi

Capitolo 2

Numeri naturali








15



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi



|1

210

3100

41000

510 000

6100 000

71 000 000



1 + 1 = 2









+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi



+ =


(119886 + 119887) + 119888 = 119886 + (119887 + 119888)



+ =












22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi




22 Addizione




119886 + 0 = 119886119886 + 119852(119887) = 119852(119886 + 119887)



22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi

22 Addizione 19





119886 + (119887 + 119888) = (119886 + 119887) + 119888


13 + 9 = (12 + 1) + 9 = 12 + (1 + 9) = 12 + 10 = 22




0 + (119887 + 119888) = 119887 + 119888 = (0 + 119887) + 119888


119889 + (119887 + 119888) = (119889 + 119887) + 119888e quindi

119886 + (119887 + 119888) = 119852(119889) + (119887 + 119888) = 119852(119889 + (119887 + 119888))= 119852((119889 + 119887) + 119888) = 119852(119889 + 119887) + 119888= (119852(119889) + 119887) + 119888 = (119886 + 119887) + 119888


119852(119886) + 119887 = 119852(119886 + 119887)













24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi












24 Moltiplicazione


119886 sdot 1 = 119886119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886




119886 sdot 119887 = 119887 sdot 119886


119886(119887 + 119888) = 119886119887 + 119886119888


119886119887 = 119886(119887 + 0) = 119886119887 + 1198860






119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi





119886 sdot 0 = 0119886 sdot 119852(119887) = 119886 sdot 119887 + 119886


119886 sdot 1 = 119886 sdot 119852(0) = 119886 sdot 0 + 119886 = 0 + 119886 = 119886













10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi







10011






201












1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi











1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899



1198861113567 + 1198861113568119887 + 11988611135691198871113569 +⋯+ 119886119899119887

119899





(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi




(1198861113568 + 1198861113569119887 +⋯ + 119886119899119887119899minus1113568)119887







calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi


calcoli





10001110101111113569 = 1 000 111 010 1111113569 = 107271113575



Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi

Capitolo 3




2|||||| + 22||||||| = 222 |||||||||| |||= 2222|||



= XXXXIII




= CXXXII



27










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi










10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18



analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi


analogo

5 4 +7 8 =

11135685 4 +7 8 =

2

1113568 11135685 4 +7 8 =3 2

1113568 11135685 4 +7 8 =

1 3 2









1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi


1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81




119901 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899



119903119904119894 = 1199031113567119904119894 + 1199031113568119886119894119887 +⋯ + 119903119898119904119894119887119898






3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi



3 2 sdot6 =

3 2 sdot6 =

11135682

3 2 sdot6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot6 =

1 9 2




119903119904 = 1199031199041113567 + 1199031199041113568119887 +⋯ + 119903119904119899119887119899


3 2 sdot8 6 =

3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

3 2 sdot8 6 =

1 9 21113569 1113568

4 6


3 2 sdot8 6 =

1 9 22 5 62 7 5 2


3 2 sdot8 6 =

1113568 11135688 2

1113569 11135684 6

2 7 5 2







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi







12078561207865

36 lt 45

12078561207829

36 gt 9

121207863121207857

1243 gt 1237

12078209271207830927

927 lt 10927








10000 minus 2357 = 7643





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi





1 6 2 3 5 +7 6 4 3 =

2 3 8 7 8 minus1 0 0 0 0 =1 3 8 7 8



Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi

Capitolo 4




119886 = 119887119902 + 119903 con 119903 lt 119887



37 = 3 sdot 12 + 1





35





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi





119886 minus 119887 = 119887119902 + 119903







119886 = 119887119909 + 119903 119886 = 119887119910 + 119904








minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi




minus

minus

minus

minus





minus

minus

minus

Abbiamo

900 = 700 sdot 1 + 200230 = 70 sdot 3 + 2025 = 7 sdot 3 + 4






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi






minus

minus

minus

minus


1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 11 0 0 1

1 0



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi



1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 11 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 0 1 0 11 0 1 0 0 1

1 1 0 0










119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi



119872 = 11990111135681199011113569hellip119901119899 + 1





119886 = 119899119909 + 119903 119887 = 119899119910 + 119903 (119903 lt 119899)





119886 = (119886 minus 119887) + 119887 = 119899119911 + 119899119910 + 119903 = 119899(119911 + 119910) + 119903










119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi







119886119888 equiv119899 119887119888 119887119888 equiv119899 119887119889


scrivere



348 equiv1113576 6


1198861113567 + 1198861113568 sdot 10 + 1198861113569 sdot 101113569 +⋯+ 119886119899 sdot 10

119899 = 1198861113567 + 1198861113568 + 1198861113569 +⋯+ 119886119899+ 1198861113568 sdot (10 minus 1)+ 1198861113569 sdot (10

1113569 minus 1)+⋯+ 119886119899 sdot (10

119899 minus 1)



3455 rarr 3 + 4 + 5 + 5 = 17 rarr 1 + 7 = 8


7 272 970 rarr 7 + 2 + 7 + 2 + 9 + 7 + 0 = 34 rarr 3 + 4 = 7




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi




3455 sdot 2134 = 7 372 970


7 282 970 rarr 7 + 2 + 8 + 2 + 9 + 7 + 0 = 35 rarr 3 + 5 = 8



7 372 970 minus 7 282 970 = 90 000



Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi

Capitolo 5

Frazioni



267 =

140 +

1335 +

1536





43








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi








119898119899






119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi



119886119887 =

119888119889 se e solo se 119886119889 = 119887119888




119886119889 = 119887119888 119888119891 = 119889119890


119886119889119891 = 119887119888119891 119887119888119891 = 119887119889119890


119889(119886119891 minus 119887119890) = 0



119886119887 =

119886119898119887119898










119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi








119886119887 +

119888119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889


119886119887 +

119888119889 =

119886119889119887119889 +

119887119888119887119889 =

119886119889 + 119887119888119887119889



119886119887 +

119890119891 =

119886119891 + 119887119890119887119891



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi



119886119889 + 119887119888119887119889 = 119886119891 + 119887119890

119887119891



1114101119886119887 +

1198881198891114104 + 119890

119891 =119886119887 + 1114102

119888119889 +

119890119891 1114105


1199091 +

1199101 =

119909 sdot 1 + 1 sdot 1199101 sdot 1 = 119909 + 119910

1




119886119887 lt

119888119889 se e solo se 119886119889 lt 119887119888


119886119889119891 lt 119887119888119891 = 119887119889119890


119886119887 lt

119888119889 se e solo se

119887119886 gt

119889119888




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi




se119886119887 lt

119888119889 e

119888119889 lt

119890119891 allora

119886119887 lt

119890119891



119887 sdot119888119889 =

119886119888119887119889


119886119888119887119889 =

119886119890119887119891



119886119887119887119886 =

119886119887119887119886 =

11 = 1


119887 =119888119889119898119899 = 119888119898


119886119889119899 = 119887119888119898


119887119888 =119886119887119889119888





119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi




119903 lt 119905 lt 119904


119905 = (119903 + 119904) sdot 12


119905 = (119903 + 119904) sdot 12 =119886119889 + 1198871198882119887119889


119886119887 lt

119886119889 + 1198871198882119887119889 e

119886119889 + 1198871198882119887119889 lt 119888

119889





119886 + 119888119887 + 119889




01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi



01 1114102

101114105

11

12

21

13

23

32

31

14

25

35

34

43

53

52

41




3 + 57100




357100 sdot

1210 =

357 sdot 121000 = 4284

1000 = 4284






37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi





37 minus

119902100 lt

1100


3007 minus 119902 lt 1






119886119887 =

11990210119899


119886 sdot 10119899 = 119887119902







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi







Capitolo 6








55








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi








2411135681113574 minus 24 = 290 797 794 982 682 557 415 400= 17 sdot 17 105 752 646 040 150 436 200





[6]1113574 + [4]1113574 = [10]1113574 = [3]1113574 [5]1113574 sdot [3]1113574 = [15]1113574 = [1]1113574

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi

63 Infinito 57





63 Infinito







64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi


64 I numeri interi





119886 + 119889 = 119887 + 119888



(119886 ⊖ 119887) + (119888 ⊖ 119889) = (119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889)


(119886 + 119888) ⊖ (119887 + 119889) = (119886 + 119890) ⊖ (119887 + 119891)



119886 ⊖ 119887 + 119887 ⊖ 119886 = (119886 + 119887) ⊖ (119887 + 119886) = 0 ⊖ 0







(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi






(119886 ⊖ 119887) sdot (119888 ⊖ 119889) = (119886119888 + 119887119889) ⊖ (119886119889 + 119887119888)








65 Alcuni problemi





MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi




MMMM MRGM GRGR GGGR





1511135681113569 = 129 746 337 890 625






A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi


A

MAAM

MA AM








119886 119887 119888

119889 119890 119891

119892 ℎ 119894



(119886 + 119887 + 119888) + (119889 + 119890 + 119891) + (119892 + ℎ + 119894) = 3119896


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9




1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi



1 + 5 + 9 2 + 4 + 9 3 + 4 + 8 4 + 5 + 61 + 6 + 8 2 + 5 + 8 3 + 5 + 7

2 + 6 + 7


1113580 1113579 1113580

1113579 1113581 1113579

1113580 1113579 1113580


2

5

8


2 4

5

6 8


2 9 4

7 5 3

6 1 8



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi



minus3 4 minus1

2 0 minus2

1 minus4 3






Uguaglianza

Contare

Forme

Misure

Numeri naturali

Numeri e numerali

Addizione

Maggiore e minore

Moltiplicazione












Frazioni








Frazioni decimali



Apollonio e Kepler

I numeri in circolo

Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi




Uguaglianza

Contare

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Misure

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Infinito

I numeri interi

Alcuni problemi

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